Научная статья на тему 'Компьютерное исследование броуновского движения на основе статистического и фрактального анализа'

Компьютерное исследование броуновского движения на основе статистического и фрактального анализа Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
369
110
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ / ФРАКТАЛЬНАЯ БРОУНОВСКАЯ ЛИНИЯ / ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Никулин Евгений Александрович

Работа посвящена изучению статистических свойств свободного и закрепленного броуновских движений, а также установлению фрактальных закономерностей случайного броуновского процесса. Впервые введено понятие фрактальной броуновской линии. Метод ее получения случайное изотропное смещение средних точек отрезков полилинии. Предложен метод оценки размерности неоднородных фрактальных полилиний. Получены статистические свойства и фрактальная размерность случайных броуновских полилиний.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Компьютерное исследование броуновского движения на основе статистического и фрактального анализа»

УДК 681.3.513

Е.А. Никулин

КОМПЬЮТЕРНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ НА ОСНОВЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО И ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Работа посвящена изучению статистических свойств свободного и закрепленного броуновских движений, а также установлению фрактальных закономерностей случайного броуновского процесса. Впервые введено понятие фрактальной броуновской линии. Метод ее получения - случайное изотропное смещение средних точек отрезков полилинии. Предложен метод оценки размерности неоднородных фрактальных полилиний. Получены статистические свойства и фрактальная размерность случайных броуновских полилиний.

Ключевые слова: броуновское движение, фрактальная броуновская линия, фрактальная размерность.

Введение

Компьютерное моделирование броуновского движения (БД) - хаотического перемещения видимой частицы, возникающего при ее столкновениях с большим числом малых невидимых частиц - реализуется множеством методов [1-4]. Каждый из них в различной степени адекватен данному природному явлению, в действительности происходящему под воздействием большого числа неопределенных факторов: размеров и масс частиц, величин и направлений их скоростей, длин и длительностей свободного пробега, плотности и вязкости среды и т. п. Учет всех этих составляющих в процессе моделирования проблематичен, поэтому неизбежно принятие определенных идеализаций и упрощений, аналогичных замене трассировки всех световых лучей на отслеживание лишь приведенных обратных лучей в расчете освещенности поверхностей [5, 6]:

• использование модельных единиц измерения длины, времени и скорости, мало связанных с метриками реального БД;

• простейшие формы частиц, например, сферы одинакового диаметра либо просто точки;

• случайные или даже равные единице длительности свободного пробега частиц;

• мгновенное изменение скорости либо перемещения частицы после ее столкновения с другой частицей на алгоритмически генерируемую случайную векторную величину;

• равномерное движение частицы с новой скоростью до следующего столкновения.

Свободное броуновское движение

В рамках принятых допущений построим на плоскости стошаговую траекторию свободного броуновского движения pi+l = р1 +Vi V/=0,99 из начального положения p0 = О, где О = [0 0] - нулевой вектор. Для изменения векторов скорости У1 используем функцию ^(а)=^(а)-^т(ф) cos(ф)] генерирования вектора со случайными длиной ^(а) и углом направления ф=гЫ (2 л) рад, равномерно распределённым по кругу. При задании типа генератора случайных чисел (ГСЧ) с нулевым средним г = г[ (а) можно выбрать либо равномерный г = 2rnd(а)-а в интервале [-а, а], либо нормальный ГСЧ с гауссовой плотностью вероятности в~г /2а /ал/2тс со среднеквадратичным отклонением (СКО) а .

© Никулин Е.А., 2019.

На рис. 1 построены реализации броуновского движения с равномерным ГСЧ с параметром о = 1 двумя методами изменения направления движения частицы после столкновения: (а) Vi =V-i+ rv(а) при V_1 = O и (б) V = rv(a). Насколько каждый из этих методов случайного блуждания близок к реальному броуновскому движению - судить тем, кто видел его воочию, возможно, даже в микроскоп.

Изучим статистические свойства процесса со случайными приращениями положений, показанного на рис. 1, б. Каждая n -шаговая полилиния P=p0pi ■■■pn с вершинами pt Vi=0, n имеет следующие длину у и квадраты максимального удаления р и расстояния х между начальной и последней вершинами po и pn :

Y=Xp- "p¿-i|, Р=max(Pi "po|2),

У 0

i=i

10 20 30 40 50 x

20

----- 1 1 У V ' i i i

1 : :рср

----- 1 ^ri У i - X 1 i i ср i - - г---1----1- ^ i i i

у¿г - -- 1 -i- i i i ■ Г 1 1 1 1 1 III. —1-1-1-►

20 40 60 80 100 i в)

X = Pn -po

У i к

"2 Р0 ж зггт.

-2 0 Pi \4; 6 ¡8 10 x

-2 ^InrSi у 1

- ---- -Г--Г--Ш- ■ ^P '» ' i i ■> j i

_6

б)

У,

50-40-30-20 10 + 0

P,X

Рср

0 0.2 0.4 0.6 0.8

г)

(i)

Рис. 1. Свободное броуновское движение

Сгенерируем ансамбль из K = 1000 случайных траекторий! броуновского движения Pk , к=1,K, вычислим по (1) значения уk , рk, %к и рассчитаем средние параметры ансамбля:

у Ср = mean(y k ), рСр = mean(pk ), Хор = mean(Xk ).

Соответствующие графики этих зависимостей от числа шагов моделирования i и параметра разброса равномерного ГСЧ а приведены на рис. 1, в, г. Все они хорошо аппроксимируются следующими функциями: _

уср(/)«0.5i, Рср(/)«0.47/, |Хср(i)«033i,

УсР (а)« 50а, Рср (а)« 48.2а2, Хор (а)« 33.3а2.

Аналогичные зависимости при использовании нормального ГСЧ с СКО а выглядят следующим образом:

у ср (i )«0.8i, Рср (i )«1.41i,

X,

ср

(i )«

у ср (а)« 79.8а, р Н« 142а2, Хср (а)«100а2.

2

У

0

0

Особо значимым результатом моделирования является пропорциональность среднего квадрата расстояния хср(/) от начальной до конечной точки броуновской полилинии числу

шагов (времени движения при равномерном квантовании времени), экспериментально подтвердившая хорошо известную в молекулярной физике формулу Альберта Эйнштейна.

Фрактальные броуновские линии

Понятие «фрактал» было введено Б. Мандельбротом в 1975 году для преодоления проблемы чрезвычайной громоздкости математического описания бесконечно дробимых объектов уравнениями линий или поверхностей [6]. Наибольшее распространение в компьютерной графике фрактальная тема получила для формирования объектов природного ландшафта. Нерегулярность самоподобия означает, что фрагменты объекта не точно повторяют его форму в уменьшенном масштабе, а имеют некоторые отклонения от регулярности, носящие случайный (стохастический) характер. Случайность доставляет фрактальному объекту неповторимость, живость и близость к реальным природным образованиям, каждый из которых уникален.

Рассмотренная выше броуновская линия в действительности не является фрактальной, так как в методе ее создания отсутствует процесс дробления элементов. Вместе с тем двусто-ронне закрепленная фрактальная броуновская линия (ФБЛ), проходящая между заданными точками а и Ь , дает классический пример устройства бесконечно дробимых самоподобных объектов. Для ее построения используется хорошо зарекомендовавший себя рекурсивный метод срединного смещения [4], состоящий в изотропном гауссовом смещении средних точек дробимых отрезков строящейся полилинии. В плоском варианте задачи изотропность и гаус-совость означают следующее (рис. 2):

• случайный угол ф отклонения вектора смещения средней точки с=(а+Ь)/2 отрезка аЬ от вертикали равномерно распределён в интервале [0,2л);

случайная величина смещения нормально распределена с нулевым средним значением и абсолютным СКО \Ь - а |а .

^ ф1 Ь

Рис. 2. Метод срединного смещения

Используя предложенную нами ранее методологию [7], для повышения гибкости алгоритма построения ФБЛ введем в список его параметров признак направления срединного смещения Бф е{0,1}: при Б = 0 смещение происходит по вертикали с углом ф=0, тогда как при

Бф =1 производится генерирование случайного угла отклонения ф=rnd (2л).

Начальное значение смещения задаётся пропорциональным длине исходного отрезка |Ь-, а на каждой следующей рекурсии параметр а уменьшается в 2н раз, где Не[0,1] -показатель Херста, задающий степень хаотичности ФБЛ и коррелированности смещений. При Н=0 неизменное значение а при уменьшении длин отрезков приводит к максимальной изрезанности ФБЛ.

Рекурсивная функция FBLrec (ь, Ь, а, 5, г,Б ,Н) построения фрактальной броуновской линии с аргументами Ь (списком вершин построенной части линии, последняя точка которого а является началом следующего отрезка аЬ ), точкой Ь , абсолютным СКО а , минимальной длиной разбиваемого отрезка 5 и глубиной рекурсии г работает по следующему алгоритму.

& FBLrec (дЬ,аДг,Др ,H )

{ a = Lze (L), V=b -a ;

если {r=0}v{|V|<ö}, то { b ^ L ; /ine (a,b); возврат L }; Ф=Dp-rnd(2л), a=a/2h ; d=a+0.5V+rf (a)-[sin (ф) cos(ф)]; L=FBLrec (l, d, a, 5, —r,Dp ,H ); возврат FBLrec(L, b, a, 5, r,Dp,H);

}

// начало отрезка и его направление

// условия остановки разбиения отрезка // добавление в список новой точки // вывод отрезка аЬ // выход из рекурсии

// параметры смещения // смещение средней точки // разбиение отрезка ad // разбиение отрезка dЬ

Построение ФБЛ на отрезке аЬ осуществляется заданием начального значения погонного СКО а , соответствующего единице длины отрезка |Ь -а|, и однократным вычислением

списка её вершин Ь=FBLrec (а, Ь, |Ь - а| а, 5, г,Иф ,Н ). Для создания броуновского фрактала на базовой полилинии Р1 р2-..рп инициализируется начальный список, состоящий из ее первой вершины Ь = {р1}, после чего в цикле:

Ь=FBLrec (ь, р1, | р1 - р-х |а, 5, г,Бф ,Н ) V/= к нему подстраиваются сегменты ФБЛ на отрезках р- Р1.

На рис. 3 показаны четыре группы реализаций алгоритма FBLrec на базовом единичном отрезке за г=8 рекурсий при разных значениях параметров а , Иф и Н . Изучение графиков приводит к следующим выводам:

• при строго вертикальных срединных смещениях ( И = 0) абсциссы всех точек ФБЛ изменяются монотонно, что позволяет строить на таких базовых линиях самонепересекающиеся ландшафтные поверхности [4];

• изотропность срединного смещения (И =1) создает на фрактальных линиях хаотически

расположенные петли и участки попятного движения - совсем как на реальных траекториях случайного блуждания частиц в молекулярной среде. Однако такое поведение ФБЛ усложняет их использование в качестве базовых линий фрактальных броуновских поверхностей, моделирующих строение поверхности природных ландшафтов, - они получаются чрезвычайно самопересекающимися и комковатыми, в чем мы скоро сможем убедиться;

• влияние показателя Херста 0 < Н <1 на форму фрактальных линий сказывается на относительном содержании в их спектре высокочастотных гармоник (шума) и коррелированности соседних смещений. При малых значениях Н«0 доля шума максимальна, а направления соседних смещений в среднем противоположны. Наоборот, выбор Н позволяет создать ФБЛ с малым уровнем высокочастотных колебаний и сильной коррелированностью соседних смещений.

Важной статистической характеристикой полилинии, отражающей ее непрямолинейность, является коэффициент удлинения - отношение полной длины линии к расстоянию между ее концами:

n—1

у=Ц Pi- p/+i|/ |pi - Pn|

(2а)

i=1

#=0.5

0.2 0 -0.2

-0.2

Рис. 3. Фрактальные броуновские линии

Зададим набор СКО а у = 0.01 / V/ = 0, 50 и для каждого а ■ сгенерируем ансамбль из

К = 100 фрактальных полилиний с вычисленными по (2а) значениями ук Ук = 1, К . Рассчитаем среднее значение коэффициента удлинения:

У ср = теап(у к ). (2б)

Наилучшие приближения уср (а,Н), вычисленные в MathCAD методом Левенберга-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Марквардта с помощью функции genfit на г=8 уровнях рекурсии для выборочных значений Н=0.5 и а=0.3, имеют следующий вид:

Г ср

(а,0.5)«1+18.3а1Л6, у (0.3,Н)®1+69.6-2'

-7.8Н

(2в)

Графики этих зависимостей от параметров а и Н при выборочных глубинах рекурсии ге {4,6,8,10} показаны на рис. 4.

<сР 20

10

5 0

| Н=0.5

_ __1___1___1____1 _ 1111 1111 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ¿Г 1 1 _ /г=10 — 1- -I I I

1 1 1 1 1 | —г=8

_____1 _ 1 J _ 1 | — /\ 1 | II \

--1-1-1-1-0-►

У '

ср

403020100

а=0.3

I

. J___

\г=10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 а

0 0.2 0.4 0.(5 0.8 1 Н

Рис. 4. Статистические свойства ФБЛ

Экспериментальная оценка размерности ФБЛ

Броуновская полилиния также является стохастическим линейным фракталом с неоднородными элементами (рис. 3). На рис. 5 построены графики усредненных по К = 100 реализациям функции FBLrec (а,Ь, а,0, г,0, Н) зависимостей их полной длины у ср (а,Н,г) и размерности dср(а,Н,г) от числа рекурсий г на наборе СКО ае{0.1,0.2,0.з} нормального ГСЧ г/(а) и от показателя Херста Н е {0.1,0.5,0.9}. Выбор логарифмического масштаба позволяет обнаружить предельную линейную зависимость функции (уср) от числа итераций и оценить полную длину ФБЛ зависимостью от двух параметров а(а, Н) и р(а, Н):

1082 (у ср )-а(е"рг +Рг-1)

с нулевыми значением и наклоном при г=0 . Прямые измерения по графикам обнаруживают установившиеся значения коэффициентов наклона аР=1—Н .

Таким образом, оценка предельной длины ФБЛ приобретает вид Мг (а,Н2(1-Н )г, а ее фрактальная размерность

сходится к

Dr(а,н)= 11т - / , ч

гч 7 г^> 1-1о82(мг/мг-1)

Ог (а, Н

1—(1-Н )г+(1-Н)(г-1) Н

1

=—=const У г.

10§2УСр 12 10 8 6 ^ 4 2 1

Н=0.1

0 3 6 9 12 15 г

10§2У

2' ср 12 10 8 6 4 2 0

10§2УсР

6 5 4 3 2 1 0

Н=0.9

а=0.1

10§2У,

0 3 6 9 12 15 г

2'ср 12 10 8 6 4 2 0

12 15 г

12 15 г

Рис. 5. Длина фрактальной броуновской линии

Это полностью согласуется с размерностью броуновского движения, приведенной в [1] и экспериментально подтверждается графиками на рис. 6, асимптотически сходящимися к пунктирно проведенным уровням 1/Н , независимым от значений а . При этом скорость сходимости сильно замедляется по мере приближения показателя Херста Н к 1.

1

d ■ ср

121086 4 2-| 0

H=0.1

I

"g=Ö.3I

d

ср 2.221.81.61.4 1.2-1 1

H=0.5

d

ср

0

I H=0.9 1 1 ff) 1 1 1

1 1К 1 1 1 11 1 1 1 II 1 1 1 1 VT

о=0.3!П ! А - ■ m^-i- isö- ч - V - \ *STi мГ il Г J/^ \ ДЙ 1 1 1 /_ __® 1 <a_1 n гт*

Iii \ if \JrrJ\ ч Д7 06 Р^Сч X/ /Ssr^ 1 4=0.2

1 _ аг° 1 03 1 /«0=0.1

_ 1 J-, f^ft'Q1***? ^ 1 1 аг^л^w 1 1 1 1 1 --+-1-1-1-1-1—►

6 9 12 15 18 г

Рис. 6. Размерность фрактальной броуновской линии

Заключение

Получены усредненные характеристики траекторий броуновского движения, создаваемых с помощью генераторов равномерно и нормально распределенных случайных чисел. На основе этого становится возможным как оценить вид и область расположения полилинии при заданных значениях 5 , а и г , так и задать эти параметры сообразно ее желаемому поведению.

Библиографический список

1. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с.

2. Кроновер, Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / Р.М. Кроновер. - М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

3. Федер, Е. Фракталы / Е. Федер. - М.: Мир, 1991. - 254 с.

4. Никулин, Е.А. Компьютерная графика. Фракталы: учеб. пособие для вузов / Е.А. Никулин. - СПб.: Издательство «Лань», 2018. - 100 с.

5. Никулин, Е.А. Компьютерная графика. Оптическая визуализация: учеб. пособие для вузов. / Е.А. Никулин. - СПб.: Издательство «Лань», 2018. - 200 с.

6. Никулин, Е.А. Компьютерная графика. Модели и алгоритмы: учеб. пособие для вузов / Е.А. Никулин. - СПб.: Издательство «Лань», 2017. - 708 с.

7. Никулин, Е.А. Исследование фрактальных полилиний // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2018. № 3(122). - С. 23-31.

Дата поступления

в редакцию 11. 01.2019

E.A. Nikulin

COMPUTER INVESTIGATION OF THE BROWN MOVEMENT BY MEANS OF STATISTICAL FRACTAL ANALYSIS

Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alekseev

Purpose: The establishment of statistical regularities of random Brownian motion. Methodology: Random isotropic displacement of midpoints of polyline segments.

Experiments: A statistical experiment was performed to evaluate the length and dimension of a fractal polyline. Results: Statistical properties and fractal dimension of random Brownian polylines are obtained. Findings: A method for estimating the dimension of inhomogeneous fractal polylines is proposed. Research implications: Computer synthesis of random fractal objects with desired properties.

Key words: Brownian motion, fractal polyline, fractal dimension.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.