CC BY
146
В.Д. СЕЛЮТИН
доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и математических методов в экономике Орловского государственного университета Е-шаИ: [email protected] Тел. 8 919 267 81 54
В.Н. ЮШИН
кандидат педагогических наук, профессор кафедры физики Академии ФСО России Е-шаИ: [email protected] Тел. 8 910 302 66 11
ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
В статье обосновывается целесообразность введения в курсы физики и теории вероятностей представлений о случайных броуновских фракталах и важнейших характеристиках описания стохастических процессов.
Ключевые слова: случайные фракталы, броуновское движение, фрактальная размерность, шумы.
Одним из важнейших условий успешного развития высшей школы на современном этапе является не только разработка новых учебных курсов и программ, которые позволяют профессионально подготовить новое поколение исследователей и инженеров, но и органичное включение в содержание фундаментальных дисциплин достижений современной науки.
В предисловии к знаменитым Фейнмановским лекциям по физике известный советский физик Я. Смородинский писал: "Поиск новых путей в преподавании также всегда были важной частью науки. Преподавание, следуя развитию науки, должно непрерывно менять свои формы, ломать традиции, искать новые методы. Здесь важную роль играет то обстоятельство, что в науке все время происходит процесс своеобразного упрощения, который позволяет просто и кратко изложить то, что когда-то потребовало много лет работы" [1].
В современной науке для описания различных явлений и процессов используются как динамические, так и статистические методы. Динамические законы описывают объекты исследования с помощью усредненных характеристик в пренебрежении различными возмущениями. В тех же случаях, когда наблюдается сложное непредсказуемое поведение исследуемой системы, применяются статистические методы.
Стохастическое поведение физической системы может быть обусловлено не только флуктуациями ее параметров, случайными внешними воздействиями, но и развитием в системе разнообразных неустойчивостей. Последняя причина часто приводит к © В.Д.Селютин, В.Н.Юшин
возникновению детерминированного хаоса.
Указанные факторы приводят к стохастизации процессов и структур, характеризующих поведение и состояние системы. Для изучения стохастических процессов чаще всего привлекаются разнообразные вероятностные подходы.
В основе таких подходов лежат методы статистического анализа случайных величин и функций. Часто они сводятся к определению таких характеристик, как плотность распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсия, моменты высоких порядков, автокорреляционные функции, спектральные плотности. При проведении статистического анализа широко используются элементы математической статистики, включающие теорию выборок, оценки доверительных интервалов, проверку статистических гипотез, способы аппроксимации экспериментальных данных. Указанные методы и подходы давно стали традиционными. Наряду с ними в последние годы получили распространение и некоторые новые способы анализа сложных процессов, основанные, в частности, на фрактальном анализе.
Отличительная особенность последнего состоит в том, что наряду с глобальными характеристиками стохастических процессов, которые получают в результате использования процедуры усреднения по большим временным интервалам, фрактальный анализ позволяют вскрыть особенности локальной структуры процесса.
Важной характеристикой методов, основанных на фрактальных представлениях, является их универсальность. Они используются для исследования
323^"1с
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
широкого круга сложных нерегулярных явлении как в естественных, так и в гуманитарных науках.
Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому [2]. Самоподобие как основная характеристика фрактала означает, что он более или менее единообразно устроен в широком диапазоне масштабов. Так, при увеличении маленькие фрагменты фрактала получаются очень похожими на большие. Это предопределяет масштабную инвариантность (скейлинг) основных геометрических особенностей фрактального объекта, их неизменность при изменении масштаба. В отличие от геометрических фракталов для реального природного фрактала существуют некоторые минимальный и максимальный масштабы длины, ограничивающие область (область скейлинга), вне пределов которой основное свойство фрактала - самоподобие - пропадает.
Фрактальные формы широко распространены в природе: это извилины берегов морей и рек, очертания облаков, гористый рельеф, контуры снежинок, контуры дерева, сосудистая система человека и т.д. Известны фрактальные структуры веществ, фрактальные структуры множеств и случайных процессов. При проведении физических исследований фрактальные признаки могут быть обнаружены в структуре регистрируемых сигналов и полей. Часто фрактальность проявляется в поведении функций, характеризующих распределение физических величин во времени и пространстве.
Понятие о случайных фракталах естественным образом можно ввести при рассмотрении броуновского движения. На рисунке 1 показано, как выглядит под микроскопом типичная траектория частицы, совершающей броуновское движение.
Если фиксировать положение частицы через какие-то не слишком малые промежутки времени, то получается картина, подобная приведенной на рисунке 1. Если увеличить разрешение микроскопа и временное разрешение, с которым регистрируется движение, то вновь наблюдается случайное блуждание частицы. При этом отрезок прямой, соединяющий точку А с точкой В, превращается в ряд более коротких прямолинейных отрезков, изображающих случайное блуждание.
Аналогичная ситуация будет наблюдаться при более точной регистрации движения частицы между точками С и Б. Броуновское движение является статистически самоподобным. У каждого реального самоподобного процесса имеется наибольший и наименьший масштаб: нельзя бесконечно увеличивать или уменьшать масштаб. В случае броуновского движения диапазон масштабов, в пределах которого сохраняется самоподобие, очень велик - от
линейных размеров сосуда с жидкостью (~ см) до длины свободного пробега молекул между столкновениями. В результате этого коэффициент подобия для броуновского движения может достигать 108.
Фрактальные свойства броуновского движения удобно описать с помощью модели такого движения.
Простейшей аппроксимацией броуновского движения служит одномерное случайное блуждание [3]. Будем считать, что в начальный момент времени броуновская частица располагается на оси координат х в точке с координатой хд = 0. Далее, каждые 1 секунд частица смещается на случайную величину + Ах или - Ах.
Классическая модель броуновского движения основана на двух постулатах. Во-первых, приращения Ах на интервале времени 1 имеют нормальное (гауссово) распределение с нулевым математическим ожиданием (с нулевым средним). Следует обратить внимание на то, что вместо термина математическое ожидание, используемого в теории вероятностей, в статистической физике аналогичная величина называется средним значением данной величины. Во-вторых, приращения на неперекры-вающихся временных интервалах статистически независимы.
Пусть Ах - нефиксированная величина, имеющая нормальное распределение вероятностей с математическим ожиданием равным нулю:
..2 ^
р(Ах) =^=^ехр л/2тсст
Ах
2ст
На каждом интервале длительностью 1 длина шага Ах выбирается случайным образом. В соответствии с формулой Эйнштейна для броуновского движения средний квадрат длины шага
Ах2) > = 2В %, где В - коэффициент диффузии.
Среднее значение координаты частицы равно (х(/) - х(/0}) > = 0. Дисперсия приращения броуновского сигнала ст2 = ^[х(/) - х(/о)]] = 2В %.
Поэтому
р(Ах, %) =
^4жВ%
ехр
( .2 ^ Ах 2
4В%
(1)
На рисунке 2 изображена зависимость координаты частицы от времени, измеренного в единицах интервала %.
х
- 50
- 50
-100
0 20 40 60 80
Рис. 2
Следует отметить, что в случае нефиксированных промежутков времени дисперсию приращения броуновского процесса принято записывать в виде ст (*2 - *1), где ст2 - дисперсия за единицу времени [4]. В этом случае распределение вероятностей принимает вид:
р(Ах)=
1
2лст2(?2 - *0
^ехр
Ах2
9
2СТ (*2 - *1)_
(2)
Свойство броуновских диаграмм не менять "вида" при изменении разрешения называется масштабной инвариантностью. Это свойство подобия (скейлинга) броуновского движения можно выразить в явном виде, пр еобразовав соотношение (1)
с помощью замены Ах = Ь Ах, % = Ь%, т.е. изменив
1/2
масштаб времени в Ь раз, а масштаб длины - в Ь раз. В результате такого преобразования получаем следующее соотношение подобия для плотности вероятности: р(Ь1/2Ах, Ь%) = Ь1/2 р(Ах, %)
Это соотношение показывает, что броуновский случайный процесс инвариантен в смысле распределения при преобразовании, которое меняет мас-
1 10
штаб времени в Ь раз, а масштаб длины в Ь раз.
Преобразования, которые меняют масштабы времени и расстояния в разных пропорциях, называются аффинными, а зависимости, которые в некотором смысле сохраняют свой вид при аффинном преобразовании, называются самоафинными.
При описании свойств фрактала важную роль играет такая его характеристика, как фрактальная размерность. Определение фрактальной размерности можно дать следующим образом. Пусть d - обычная размерность пространства, в котором находится наш фрактальный объект ^ = 1 - линия, d = 2 - плоскость, d = 3 - обычное трехмерное пространство). Пусть фрактальный объект располагается на плоскости. Покроем этот объект целиком квадратами со стороной 8. Предположим, что нам потребовалось для этого не менее, чем N (8) квадратов. Тогда, если значение N (8) изменяется при изменении 8 так, что зависимость N (8) определяется степенным законом N(8) — 1/8а, то d называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича, или фрактальной размерностью этого объекта.
Используя понятие фрактальной размерности, Мандельброт дал более строгое, чем приведенное выше, определение фрактала. Согласно этому определению фрактал представляет собой объект, размерность Хаусдорфа-Безиковича, которого больше его топологической размерности (0 - для россыпи точек, 1 - для кривой, 2 - для поверхности и т.д.).
Формулу для определения фрактальной размерности d можно переписать также в виде
«/ = - Нш М© . (3)
8^0 1п 8
В соответствии с формулой (3) величина d является локальной характеристикой данного объекта.
Наличие самоподобия в характере изменения приращений на различных интервалах позволяет определить фрактальную размерность графика модели броуновского движения описанным выше методом. Пусть интервал, на котором определена зависимость смещения от времени, равен [0, 1]. Разделим этот интервал на п равных подынтервалов одинаковой длины А/ = 1/ п и таким же образом разделим вертикальную ось на подынтервалы длины А/. Выражение |Ах| /|А/ служит в качестве оценки числа квадратов размера А/, необходимых для покрытия части графика у = х(/), расположенной над одним подынтервалом. Так как математическое ожидание величины |Ах пропорционально л/А/
, то число квадратов, необходимых на одном подынтервале, пропорционально л/А/. Всего имеется 1 / А/ таких подынтервалов, и поэтому общее число квадратов пропорционально N (А/) к А/_3/2. Тогда в соответствии с определением фрактальной размер-
1
0
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
ности, получим
= - lim lQg#(At) = 1,5-At^o log At
Таким образом, фрактальная размерность одномерного броуновского движения составляет 1,5, т.е. что-то промежуточное между размерностью линии и размерностью плоскости.
Броуновское движение, как и любой процесс с независимыми приращениями, есть Марковский процесс. Это означает, что условная вероятность события x(t2) достигает определённого значения при данном значении x(ti), где ti < t2, зависит только от ti и t2. Эта вероятность не зависит от поведения x(t), при t < ti, то есть в процессе случайного блуждания каждый шаг делается без какой-либо информации о том, каким образом процесс достиг текущего значения.
В тех случаях, когда нужно описать случайные процессы с фрактальными размерностями отличными от значения 1,5, применяют модель обобщенного броуновского движения, введенную Мандельбротом. Обобщенный броуновский процесс имеет нулевое среднее приращение и дисперсию приращений вида
^[x(t) -x(to)]2) >= a2|t -^|2Я , (4)
где H параметр Херста, связанный с фрактальной размерностью графика реализации этого процесса rf соотношением H = 2 - rf . В частности, при H = 1/2 получаем классическую модель броуновского движения.
Параметр Херста представляет собой меру персистентности - склонности процесса к трендам. Значение H > 1/2 означает, что динамика процесса, направленная в прошлом в определенную сторону, вероятнее всего, повлечет продолжение в том же направлении. Если же значение H < 1/2, то можно прогнозировать, что процесс изменит свою направленность. Очевидно, что в случае броуновского процесса при H = 1/2 имеем дело с полной неопределенностью.
Важной характеристикой стохастических процессов, которые называют шумами, являются спектральные зависимости. Спектральные плотности мощности S(f) очень часто подчиняются степенным законам с постоянным показателем Р: S(f) ж f Р, где f - частота. Для фрактальных процессов показатель Р связан с параметром Херста соотношением: Р = 2H +1 .Зная соотношения между Р, rf и H , можно сформулировать принципиальные различия в поведении хаотических временных рядов, описывающих стохастические процессы разного типа:
При Р = 0 будем получать временной ряд, ко-
торый называется белым шумом, или последовательностью независимых, распределенных по нормальному закону с постоянным средним и некоторой дисперсией случайных величин.
При 1 <р<2 (0<Н <0,5) временной ряд, описывающий случайный процесс, называется розовым шумом. Для таких процессов характерно то, что если в прошлом наблюдалось положительное приращение, то в будущем с высокой вероятностью будет наблюдаться отрицательное и наоборот.
При р = 2 (Н = 0,5) будем получать временной ряд броуновского процесса или коричневый шум. Основным свойством этого процесса является отсутствие памяти: следующее приращение ряда не зависит от всех предыдущих.
При 2 < р < 3 (0,5 < Н < 1 временной ряд описывает процесс, называется черным шумом, для которого характерно то, что если в прошлом наблюдалось положительное приращение, то в будущем с высокой вероятностью будет также наблюдаться положительное и наоборот.
Большинство процессов, наблюдаемых в природе и науке, обычно можно отнести к одному из перечисленных выше классов.
Фрактальный анализ стохастических процессов проводится в тех случаях, когда необходимо установить, в какой степени в их поведении проявляются фрактальные признаки. Существует несколько методов определения фрактальной размерности. Один из них заключается в том, что если построенные в двойном логарифмическом масштабе графики зависимости дисперсии случайной величины от величины приращения времени хорошо аппроксимируются прямой, то можно говорить о фракталь-ности исследуемого процесса. По тангенсу угла наклона прямой определяют величину 2Н . По установленному значению параметра Херста Н легко определяется фрактальная размерность d = 2 - Н.
Отличительной особенностью фрактального анализа является то, что наряду с глобальными характеристиками стохастических процессов он позволяет вскрыть особенности их локальной структуры .
Библиографический список
1. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике.М.: Мир, 1976. Т. 1. 440 с.
2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований. 2002. 656 с.
3. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 254 с.
4. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. 352 с.
V.D. SELUTIN, V.N. YUSHIN THE STUDY OF ELEMENTS OF FRACTAL ANALYSES OF STOCHASTIC PROCESSES
The article under considerations aims at expediency to introduce the notion of occasional Broun fractals and the most important characters of stochastic processes description into the courses ofphysics and the theory ofprobability.
Key words: occasional fractals, Broun movement, fractal dimension, noises.
