CC BY
351
ФРАКТАЛЬНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ
М.Р. КОРОТКИНА, д. ф.-м. н., профессор кафедры физики МГУЛа
Существование фрактальных структур было известно Аристотелю. Фракталь-ность пространства и фрактальность времени наблюдают биологи, химики, физики, географы, геологи и механики в многочисленных экспериментах. Возможность увидеть и исследовать фрактальные структуры началась с работ Бенца Мандельброта [1].
Все эти исследования помогают установить связь между микроскопическим поведением системы на макроскопическом уровне. Определение фрактала по Мандельброту: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».
Фрактальные структуры возникают в открытых системах, находящих вдали от термодинамического равновесия и связанных с самоорганизацией диссипативных структур. Количественных мер фрактальных структур в настоящее время известно несколько, одной из которых является фрактальная размерность.
Основные книги Мандельброта относительно фрактальной геометрии:
Фрактальные объекты, форма, случай и размерность [2].
Фракталы: форма, случай и размерность [3].
Фрактальная геометрия природы [4].
Мандельброт связывает разнообразные объекты: геометрию деревьев, растений, геометрию ландшафта, структуру наших внутренних органов, некоторые закономерности в экономике и геометрию многих самых разнообразных явлений с фрактальной геометрией. По-видимому, фракталы каким-то образом схватывают суть топографии земной поверхности [2]: «Чтобы предметы отбрасывали тени, необходимо проявить недюжинную изобретательность. Тома понадобились, чтобы описать все подробности. Кроме того, используемый алгоритм сильно
зависит от того, на каком компьютере он реализуется: повторить проделанную работу можно только на таком же компьютере, который был использован нами». Фосс [5, 6] опубликовал основные идеи, заложенные им в программу, создающую различные пейзажи. Компьютерная графика, используемая при создании фрактальных объектов, описана в трудах серии компьютерной графики Ассоциации вычислительной техники [7]. Фрактальные деревья построены Оппенгей-мером [8]. Для применения фракталов к обработке экспериментальных данных достаточно использовать простые фракталы и фрактальные размерности, с которыми связаны скейлинговые размерности или размерности подобия. Экспериментальные данные, обладающие случайной фрактальной структурой, можно исследовать с помощью Я/Б - анализа, предложенного Мандельбротом и Уоллисом [9]. С помощью Я/Б - анализа можно проследить фрактальную зависимость от времени. Фрактальные случайные блуждания служат основой для объяснения фрактальных временных рядов и введения понятия фрактального броуновского движения. При анализе фрактальной структуры временных сигналов необходимо различать фракталы самоафинные и самоподобные. Популярное изложение фракталов дано в книге Пейтгана и Рихтера «Красота фракталов» [10].
Фрактальность пространства
Фрактальность пространства можно изучать с использованием различных фрактальных подходов.
1. Фрактальная размерность
Мандельброт [4] предложил определение фрактала: «Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Базико-вича которого строго больше его топологи-
ческой размерности». Мандельброт [11] сузил первоначальное определение: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Строгого и полного определения фрактала в настоящее время не существует.
Фрактальную размерность Б береговой линии можно вычислить с помощью формулы
*(8) = р-. О).
где 8 - размер квадратной ячейки 8 х 8 ; N{5') - число таких ячеек, необходимых для покрытия береговой линии.
2. Подобие и скейлинг
Зададим точку х =(х,,х2,хз). Рассмотрим прямую, проходящую через точку х0 в направлении а=(а1,а2,а3):
х=х0 + Ш , -оо < ? < +со , (2)
где 1 - любое действительное число. Изменим масштаб в г раз, тогда получим
х =гх- ( гх{, гх2, гхъ),
х=г(х0 +Ш) = х0 +гШ-{\-г)х0. (3) Эти преобразования можно записать в виде преобразования самоподобия:
х-+х+ап, (4)
где п - любое действительное число. Другие множества точек, например, окружность, не обладают свойством (4).
Множество С самоподобно с коэффициентом подобия г, если
С = г(С). (5)
Для отрезка прямой единичной длины г(АП = — > гДе N - целое число. Пря-N
моугольник можно покрыть прямоугольниками, с уменьшением длины в 1/2
г(Аг) - (¡//У) раз. Аналогично, прямоугольный параллелепипед можно покрыть прямоугольными параллелепипедами,
уменьшенными в г(Лг) = ( 1/Лг)1/3. В общем случае масштабный множитель следует выбрать по формуле
г(А^) = (1/А/')1/с(. (6)
В общем случае размерность подобия А вычисляется по формуле
£>5=-1пЛГ/1п г(Ы). (7)
В случае самоподобия фигур 2) = .
3. Функттия Веерштрасса-Мандельброта
Примером масштабно-инверсной фрактальной кривой является фрактальная функция Веерштрасса-Мандельброта
^(0=Е1 ¿Л ■ да
п=— СО О
Косинусной фрактальной функцией Веерштрасса-Мандельброта называется действительная часть функции И/(!):
+=° (1 — СОБ ЬПЛ
с(0 = кеИ0=2/ -л™* <9)
Фрактальная размерность 0{ШЬ) функции Веерштрасса-Мандельброта заключена в пределах
0-(В/Ь)<0(№ь)<П. (Ю)
Для достаточно больших В неравенство (10) выполняется и для больших Ь.
Функцию Веерштрасса-Мандельбро-та можно использовать для получения случайных фрактальных кривых, считая (рп -случайными из интервала (0,2л-) .
4. Фрактальная размерность кластеров
Рассмотрим цепочку молекул или мономеров (рис. 1), которые представим в
виде сфер радиуса Л0. Двумерное множество заменяем плоским набором мономеров, а объем заменяем некоторой упаковкой сфер. Число мономеров в цепи (плотная упаковка рис. 1) длиной Ь = 2Я равно
ы = (я/к0)‘. (п)
соосоо
Рис. 1
Для плотной упаковки мономеров радиуса Я0 получим
ЛГ = р(Л/Л0)\ (12)
где р = 7Г/2л/3, которое получено при
Я/Д0 = 1.
Асимтотическая формула между числом частиц п и размером «кластера», который оцениваем по радиусу Я наименьшей сферы, содержащей кластер внутри себя, имеет вид
м = Р(я/я<))0,м^ъ, (13)
где О - размерность кластера.
Фрактальный кластер обладает свойством: с ростом размеров его плотность определятся формулой
р{т)^.А\ (14)
где Е - размерность пространства. Плотность р постоянна, когда £> = Е согласно (14). Фрактальные кластеры имеют плотность р, убывающую с увеличением расстояния согласно (14).
Фрактальность времени
Фрактальность времени можно изучать с использованием различных «фрактальных» подходов.
1. Фрактальные временные ряды
Временные последовательности измерений удобно исследовать с помощью ме: Т9Д§_Херста (метод нормированного размаха). На основе экспериментальных данных относительно случайной величины ^ находим средние по времени значения
1
где î - дискретное время с целочисленными значениями, а т - длительность промежутка времени.
Херст использовал отношение R/S, где S - стандартное отклонение (квадратный корень из дисперсии):
(
S =
N 1/2
У
(18)
Гипотеза Херста. Получено эмпирическое соотношение
Д/5 = (г/2)Н, (19)
где Н - показатели Херста.
2. Моделирование случайных рядов
Рассмотрим бросание п монет г раз. Случайной величиной % является число «орлов» или «решек». Для этого процесса
R =
\я
-пт -
1 ; S = 4п .
(20)
В пределе больших г получим формулу
Д/5=(лт/2)1/2. (21)
В данном случае Я = 1 / 2.
3. Случайные фракталы
Рассмотрим одномерное блуждание случайной величины £ с нормальным законом распределения
1
р{^т)=7Ш ехр
£
2 Л
4 Dr
(22)
где D - коэффициент диффузии, подчиняющийся соотношению Эйнштейна
D
--тМУ
(23)
<4=7 5»- (15)
* ,=і
Вводим величину X(t,T) формулой
(16)
п=1
Определим размах R(t) формулой Æ(r) = max X(i,r)-min X(/,r), (17)
Подобия одномерных случайных блужданий
Практически броуновское движение можно наблюдать на основе экспериментальных данных на промежутках времени Ь = Т, где Ь - произвольное число. В случае Ь = 2 рассмотрим
р(?,?,т) = р(?,т)р(4”,т).
1 <1<г
Совместная плотность вероятности вычисляется по формуле
+00
Р& 2т) = т)р{%, т)^' =
1
:ехр
■4АтФ1х \4П2тх В этом случае дисперсия увеличивается (^2^ = ЛВт- Обобщим этот результат на интервал Ь т между наблюдениями:
е2
р(£,Ьт) =
1
л/4 яБЬт
ехр
АИЬт
(24)
Для всех «Ь» получим ~ О и
где хп- численность популяции в момент времени іп — пт, а параметр « а » определяет связь системы с внешним миром (открытая система, параметр « а » может быть кормом).
Зависимость х„ от а имеет вид
(£2) = 2 1 = Ъс. (25)
Броуновское движение обладает свойством масштабней инвариантности. Это свойство подобия (скейлинга) можно выразить в явном виде с помощью замены
11 = ¿1/2£, т -Ьт. Для плотности вероятности получим формулу
= т = ы) = Ь-тр(^х), (26)
где множитель Ъ 1/2 обеспечивает нормировку:
-Ко +оо
|р(£,т)й7£ = 1.
-оо —со
Преобразования, которые меняют масштабы времени и расстояния в равных пропорциях, называются аффинными. Зависимость, которая в некотором смысле сохраняет свой вид при аффинном преобразовании, называются самоаффинными.
Фрактальность пространства и времени
Фрактальность пространства и времени имеют глубокие физические причины. Связь фрактальных структур пространства и времени образует стрелу пространство -время, которое определяет эволюцию самоорганизующейся системы. Этот процесс проще всего исследовать с помощью ЭВМ для логистического уравнения
Рис. 2
При а = а*к имеет место спонтанное разветвление решения (детерминированный
хаос). При переходе через ак решения размножаются, сохраняя самоподобие. В точках
ак наблюдается фрактальность «пространства и времени». Роль «пространства» играют значения хп, которые группируются по определенному закону. Точки ак,ак+1,...
стремятся к ак по определенному закону. Эти масштабы были получены Фейгенбау-мом, по формуле
( И л
8 = Нгп-^——; а = Нш------------
п-*°ап+2-ап+[
V
и+1 /
В первом интервале 0 < а < а* эти величины имеют значения
8 = 4,66920160910299097.........
а = 2,502978750958928485........
В следующих интервалах ак<а< ак+{ эти величины имеют значения 8к, ак.
Эволюция популяции идет по схеме:
В интервале 0 <а<а\ динамика системы проходит по схеме удвоения (вилке) до бесконечного числа удвоений (детермениро-ванный хаос).
При переходе через а[ возникают три ветки, полностью повторяющие динамику системы при 0 < а < а[ ■
В интервалах ак <а< аш динамика системы определяется масштабами «пространства - времени» ^ак,5к).
Стрела эволюции «пространство -время» определяется формулой
(а1 ’Х\) ^ {^аг>хг ) ^ ^ (ал’^л ) ~^ • ■ •
где тк - собственное пространство системы
в момент а = а*к. Значения а], а2, ... определяют интервалы собственного времени системы с масштабами 5Я в каждом интервале (а*п, ап+]). Собственное пространство системы определяется последовательностью хп = х(а*и) с масштабами ап.
Литература
1. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991.-254 с.
2. Mandetlbrot B.B. Les Objects Fractals; Form, Hasard et Dimension. - Paris: Flammarion, 1975. - 320 p.
3. Mandetlbrot B.B. Fractals; Form, Chance and Dimension. - San Francisco; W.H. Freeman, 1977. -274 p.
4. Mandetlbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. -New Jork; W.H. Freeman, 1983. - 290 p.
5. Voss R.F. Random fractals; Characterization and Measurement, - In; Scaling Phenomena in Disordered Systems (eds. R. Pynn, A. Skjeltorp) - New Jork; Plenum Press, 1985.-P. 1-11.
6. Voss R.F. Random fractal forgeries, - In; Fundamental
Algorithms in Computer Graphics (ed. Eamshaw). -Berlin; Springer - Verlag, 1985. - P. 805-835.
7. Evans D. C. Athay R.J. Computer Graphics. -Siggraph 1986 Conference Proceeding, Computer Graphics 20 Number 4, August 1986.
8. Oppenheimer P.E. Real time design and animation of fractal plants and tees. - Computer Graphics, 20. - P. 55-64.
9. Mandetlbrot B.B., Wallis J.R. Noah, Joseph and operational hydrology, Water Resour, Res. 4, 1968. -P. 909-918.
10. Peitgen H.O., Richter P.H. The Beauty of Fractals. -Berlin; Springer - Verlag, 1986. - 296 p.
11. Mandetlbrot B.B. Self - affine fractal sets, - In; Fractals in Physics (eds. L. Pietronero, E. Tosatti) -Amsterdam; North - Holland, 1986. - P. 3-28.
Prof. Dr. Nikolai Kojouhov
HAS BEEN CHOSEN FOR DISTINGUISHED STANDING AND HAS BEEN CONFERRED WITH AN HONORARY APPOINTMENT TO
THE
RESEARCH О BOARD OF ADVISORS 1999
U- c.
Director. nl AdviLre. The AmentM bioy&phicAl laaurate, Int.
ПОЗДРАВЛЯЕМ
Кожухова Николая Ивановича, биография которого помещена в сборнике "Кто есть кто в мире".
Включение в этот сборник дает возможность участвовать в конкурсе, проводящемся каждое столетие в различных номинациях (отраслевого, научного, коммерческого и др. характера).
На основании участия в этом конкурсе Н.И.Кожухов получил диплом выдающегося лидера в области лесного сектора в экономике XX века.
