Фрактальное движение Леви и его приложение к моделированию сетевого трафика Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396.67

Фрактальное движение Леви и его приложение к моделированию сетевого трафика

А.В. Осин

Приведены теоретические сведения относительно ог-устойчивых распределений, движения Леви и фрактального движения Леви (FLM); дан алгоритм получения реализаций FLM и показаны результаты работы алгоритма для разных параметров а и H; обсуждены возможности применения FLM при моделировании сетевого трафика.

Theoretical aspects of о-stable distributions, Levy motion, and fractional Levy motion (FLM) are presented; algorithm of FLM samples generating is described; samples obtained with algorithm for different a and H parameters are depicted; possibilities of FLM usage for network traffic modeling are discussed.

Введение

Первой попыткой применить фрактальную концепцию к моделированию трафика было использование так называемого фрактального гауссовского шума (ФГШ) взамен традиционных пу-ассоновских моделей. По сравнению с обычным гауссовским шумом, модель фрактального гауссовского шума имеет дополнительный параметр -показатель Херста Н, который количественно определяет степень фрактального масштабирования. Обычно говорят, что ФГШ является самоподобным или фрактальным с показателем Херста Н. Тем не менее, существует обобщающая концепция, в рамках которой броуновское движение выступает лишь как частный случай. Более общие процессы получили название устойчивых. Устойчивые процессы известны уже довольно давно. Первые упоминания об а-устойчивых процессах можно встретить в работах советских ученых Б. В. Гнеденко [1], В.М. Золотарева [2], а также схожие вопросы рассматривались в работах О.Л. Коши, С.Н. Бернштейна и П. Леви [3].

Рассмотрим более подробно теорию и практику фрактального устойчивого движения, которое далее будет именоваться фрактальным движением Леви (ФДЛ). Этот фрактальный процесс будет моделироваться на основе симметричных а-устойчивых (8а8) распределений.

Формально введем в рассмотрение модель телетрафика, которая учитывает в дополнение к показателю Херста #е[1/2, 1] еще и показатель Леви ае(0, 1]. Это так называемое фрактальное движение Леви (ФДЛ), упоминаемое Б.Б. Мандельбротом в [4].

Существует два подкласса движения Леви:

1) хорошо известное ординарное движение Леви (ОДЛ) (а - устойчивый процесс (введенный

в [3]) с независимыми приращениями), которое является обобщением ординарного броуновского движения (винеровского процесса);

2) фрактальное движение Леви (самоподобный и устойчивый процесс), являющийся обобщением фрактального броуновского движения (ФБД), имеющего стационарные приращения и бесконечный интервал корреляции.

Случайный Леви-процесс (дробный) играет важную роль в моделировании телетрафика и, более широко, в исследовании прикладных стохастических процессов по двум причинам.

Первая причина состоит в том, что движение Леви (дробное) может рассматриваться как обобщение броуновского движения (фрактального). Математическое обоснование такого обобщения получается при использовании основных свойств устойчивых законов вероятностей. С точки зрения предельной теоремы, устойчивые распределения являются естественными обобщениями широко известных гауссовских распределений: устойчивые распределения получаются как предел (соответственным образом нормированный) сумм независимых одинаково распределенных случайных переменных. Основное отличие а-устойчивого распределения вероятностей в том, что степенной закон (дополнительной функции распределения)

затухает по закону |х| 1 а, где а - показатель Леви

при 0<а<2. Поэтому моменты прядка у>а расходятся. При анализе построения очередей для телекоммуникационных коммутаторов и маршрутизаторов бесконечные моменты входного процесса могут служить причиной бесконечных моментов процесса построения очередей, что выливается в большие времена ожидания.

Вторая причина важной роли фрактального движения Леви заключена в его свойстве масштабной инвариантности или самоподобности. Более того, приращения процесса не только самоподобные, но и зависимые друг от друга, имеющие одновременно распределения с «тяжелыми хвостами». ФБД обладает математической трактовкой и легко применимо к моделированию фрактального трафика. Однако гауссовские процессы обладают конечной дисперсией.

Фрактальное движение Леви является более общим случаем и может быть очень подходящим для моделирования интенсивностей в трафике или скоростей, которые имеют большие разбросы (теоретически бесконечную дисперсию). Более того, искусственно полученные трассы профилей трафика могут быть важны для испытаний/тестирований реальных компьютерных систем/сетей. Так, например, в [5] была использована стационарная последовательность, полученная на основе ФДЛ, для моделирования реального трафика ЕШете^ VBR-video, ШШ¥, описываемого распределениями с «тяжелыми хвостами».

Известно несколько самоподобных устойчивых процессов, в которых естественным образом совмещены и масштабирование и чрезвычайная локальная нерегулярность.

Фрактальное движение Леви и его свойства

Определение фрактального движения Леви. Двойником броуновского движения для 0<а<2 является симметричное а-устойчивое движение Леви (8а8) Ьа = {Ьа (), Т>0}. 8а8 является марковским стохастическим процессом, который начинается в 0, имеет стационарные независимые приращения и является самоподобным процессом с показателем Херста Ни со стационарными приращениями (H-sssi) с Н=1/а, т.е. Ьа(с£) = с11аЬа((), t >0. Функция плотности вероятностей для 8а8 будет выражена в виде

а

да

(х, t) = 2-1 ёке1Ъс ехр | —ст|£|а^, (1)

где о > 0 - масштабный параметр.

Для 8а8 известно, что «закон 1/а» можно сформулировать для дробной структурной функции (т,а) = М [Ьа ^ + т) - Ьа (/)]v следующим

образом:

при 0< а <2

Гтг/аК(у;а), V <а< 2,

V > а,

<^(т,а) = <

(2)

где V(v;а) определяется как

^/а да да

V(v;a) = ~2^ | I d^exp(i^g-\g\а) .(3)

—да —да

Отметим, что V(v; а) может быть легко оце-

нено согласно [6], и в результате получаем

V ^,а) =

2^ . I п V

---------Sin I — |х

XV I 2

хГ(1 + г)П1---------I, v<а< 2.

а

(4)

Следуя обобщению ординарного броуновского движения до ФБД, сделанного Б. Б. Мандельбротом в [7], определим процесс ФДЛ как дробный интеграл Римана-Лиувилля:

ан

—1/2

(5)

является не-

где Ьа?) - ординарное симметричное а-устойчивое движение Леви (8а8) (определение дробного интеграла можно найти, например, в [8]).

Отметим, что ФДЛ является обобщением хорошо известного ФБД, которое может быть получено из (5) для а =2. Поэтому роль, которую ФДЛ играет среди устойчивых процессов, подобна роли, которую ФБД играет среди гауссовских процессов.

Определим приращение ФДЛ как АЬа Н (т) =

= { Ьа,Н ^ + 7) — Ьа,Н ^), т > 0 } , которое

прерывным во времени стационарным процессом.

Некоторые важные свойства ФДЛ-процесса и его приращений обосновываются следующей теоремой.

Теорема 1: ФДЛ является Н-5.Ш-процессом с показателем Херста Н — 1 + „ . Поэтому, в соответствии с определением (5), ФДЛ является Н

— 1 + аа '^«-процессом.

Из теоремы вытекает следствие: процесс приращений {ЬаН(^) — ЬаН(^)| является самоподобным с показателем Херста Н — 1 + „ .

Действительно, легко показать, что для t2 > tl и с > 0 справедливо выражение

Ьа,Н (с^2) — Ьа,Н (сЧ) =

= С 1 а (а,Н (t2) — Ьа,Н (t1)),

т.е. процесс приращений является самоподобным с таким же показателем Херста Н — 2 + „ .

Функция распределения вероятностей для ФДЛ. Функция плотности вероятностей соа Н (X, ()

ФДЛ-процесса определяется как

а

a,H

(x, t) = — J dke!ikC exp<j — Jk|a ta(H 2)+1

. (б)

Используя разложение в ряд Тейлора в (1), получаем

і да , —\l aL(H—i)+n ,я (X, t) = *(x) — t x

7Г

а

n=1

n!

iaL+1

Lan |, x sin I —:— Ir(an + 1) .

(7)

а

да

H (x, t) = 2l J dkelikC exp{— 7 J'Bt2H } =

4lB at

2H

exp

4l jb t2H

где 7В находится как 7В = о/2НГ2(Н+1/2) для а = 2.

Алгоритм моделирования фрактального движения Леви. Пусть в - н.о.р. 8а8 средняя величина (СВ) с ае(0,2]. Тогда найдем вектор а, у которого а1=1, и ап= пв-(п-1)в, где Р = Н-1/а, а и Н - параметры создаваемого ФДЛ. Определим процесс МА(<х>) следующим образом: Хп=

= ^ а^п-1 . Тогда, при условии, что ^ 1 а1

i^Z+

Hla, I —

или Н =1/а +Р<1, подобный процесс будет существовать [9].

Пусть *«)=^х, ^ л

частичная сумма процесса Хп. При соответствующих ограничениях, накладываемых на коэффициенты а, нормированная реализация Бп(?) сходится в смысле конечномерных распределений к самоподобному процессу Ьн,,(), т.е. к ФДЛ. В случае конечной дисперсии для инновационного процесса в в пределе процесс сходится к ФБД. Для заданных п, т определим

(Y I m,1 Ym,2 =A I є i p0 є—1 , (S)

Y V m,m у vP1—m У

где A =

al a2

a2 a,

v am al

Am—1

am—2 am—1У

циркулянтная

Приведенный ряд (7) пригоден для исследования асимптотического поведения соаН (X, ?) при

IX .

Плотность распределения вероятностей (ПРВ) для ФБД получается из (1) как частный случай при а = 2:

<да

матрица размера т*т.

Пусть (ґ) - ступенчатая функция, такая что

(к / п) =^1Пт1,0 < к < п . Тогда при п/т^-0 БІ (ґ) № №

—^ Ьн,с(ґ), где ^ обозначает сходимость в п а

конечномерных распределениях. Доказательство этого утверждения можно найти в [10, 11].

На основании сказанного сформулируем алгоритм для генерирования реализаций ФДЛ. Вектор У в (8) размерностью т*1 без труда может быть вычислен на основе быстрого преобразования Фурье (БПФ - англ. ББТ). Пусть а=(аь...,ат) и Є=(Є0,Є1-Ш, Є2-т,...,Є-{), а также а = т(а) и е =№Т(е) - БПФ для соответствующих векторов. Благодаря тому, что матрица А размера ш*ш ку-мулянтная, получаем обратное быстрое преобразование Фурье (англ. - ІРБТ)

П = ШЕГ(у), где V = 0>1,...,Ут) и Vі = аД-. Известный алгоритм генерирования может быть представлен в следующем виде.

Шаг 1. Используем ББТ для вычисления ББТ для а. Пусть Ьт=її¥Т(а)=(Ьи...,Ьт).

Шаг 2. Сгенерируем т-мерный случайный вектор е, элементы которого являются н.о.р. случайными переменными, полученными при помощи следующих соотношений [10, 11]:

если а = 2, то єі = ^/2Gi■;

если а = 1, то є( = tg (ж(Хі - 0,5)) ;

если а > 0, то

1

(

( — a')Xj )) sin (aX,)

є =

cos

(cos (Xt))«

Здесь Gj - СВ распределенные по гауссовскому закону с нулевым средним и единичной дисперсией; Ej - экспоненциальные СВ с единичным средним значением; Xj - СВ распределенные по рав-

номерному закону на интервале [0,1]; вг- - симметричные а-устойчивые (8а8) СВ; /=1,...,т.

Шаг 3. Используем РБТ для вычисления ББТ от ет. Пусть/т=БРТ(ет)=(/;,.,/т).

Шаг 4. Пусть V =(Ъх/1,..,Ъ^п).

Шаг 5. Используем ББТ для вычисления ГОБТ от Ут. Пусть (у1,...,ут) = ГОРТ(у) =Ут,}, 7=1,.,т.

Шаг 6. Вычислим кумулятивную сумму для у, и выполним нормировку с коэффициентом пН7, чтобы получить требуемую реализацию.

Быстродействие приведенного алгоритма фактически определяется быстродействием алгоритма БПФ и обладает временной сложностью О (mlogm). Еще одной особенностью этого алгоритма является то, что он позволяет одновременно получить Ь = Гт / п ] ФДЛ, что существенно снижает временные затраты при имитации сетевого трафика.

В качестве примера на рис. 1 и 2 представлены реализации ФДЛ, полученные при помощи описанного выше алгоритма. Для сравнения реализации были получены при различных параметрах а и Н. Свойства, определяемые показателем Херста, оказывают влияние на долговременно зависимые (ДВЗ) особенности процесса, как и в случае ФБД и ФГШ, а показатель а (показатель Леви) отвечает за «тяжесть хвоста» распределения, и при

его уменьшении на графиках (рис. 1 и 2) наблюдаются все более выдающиеся всплески.

Формирование фрактального трафика на основе ФДЛ

В работах Норроса [11, 12] для формирования гауссовской самоподобной модели телетрафика использовано ФБД. Определение модели Норроса выглядит следующим образом: непрерывный интегральный процесс поступлений А(^)t е(0,<») определяется как

А ^) = mt + VатВН (^ , (9)

где т >0, а >0 - константы; ВН(1) - процесс непрерывного ФБД с показателем Херста Н.

Фрактальное движение Леви с симметричными устойчивыми инновациями. Иногда процесс ФБД, используемый в модели Норроса, заменяется симметричным самоподобным устойчивым процессом. Данная модель трафика строится на основе ФДЛ, определяемого в (5).

При помощи ФДЛ объем поступившего за

период [0, 0 в канал трафика ) t е (0, а>) по ана-

логии с моделью Норроса можно описывать в виде

А(0 = mt + (7т)1аЬа Н(0 . (10)

Подобную формулировку для случая ФБД принято называть моделью Норроса. И если вместо ФБД рассматривать ФДЛ, то такая запись бу-

8а8

Индекс вектора

РЬМ

1 1 1 1 1 г

1 1 1 1 1

О 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

Индекс вектора

а)

Индекс вектора

б)

0 2000 4000 6000 8000

Индекс вектора

в)

Рис. 1. Реализации симметричных а-устойчивых случайных величин и полученные на их основе реализации ФДЛ при Н = 0,1: а - а = 0,5; б - а = 1,1; в - а = 1,8

Рис. 2. Реализации симметричных а-устойчивых случайных величин и полученные на их основе реализации ФДЛ при Н=0,5 (верхние графики) и Н=0,9 (нижние графики): а - а = 0,5; б - а = 1,1; в - а = 1,8

дет естественным обобщением хорошо известной модели Норроса, так как само ФБД является частным случаем ФДЛ при а = 2. Данную модель трафика задают четыре параметра: 1) т > 0 - интенсивность; 2) ае(0,2] - показатель Леви, определяющий тяжесть хвоста распределения и отвечающий за резкие всплески в данных (рис. 1 и 2);

3) 7>0 - масштабный параметр, определяющий разброс значений трафика вокруг среднего значения интенсивности; 4) Не [0,1) - показатель Херста.

Введение в рассмотрение обобщенного негауссовского, самоподобного стохастического процесса (ФДЛ) значительно расширяет семейство традиционных фрактальных моделей сетевого трафика.

Условие Н>1/а означает положительную ДВЗ, Н< 1/а- отрицательную ДВЗ и Н= 1/а означает независимый процесс. Однако, так как ФДЛ -процесс с бесконечной дисперсией (и бесконечным средним значением, если а <1), к интерпретации т и а следует подходить осторожно. Кроме того, поскольку ФДЛ является более пульсирующим, чем ФБД, вероятность А[/]<0 больше для любых заданных т и а.

Фрактальное движение Леви с несимметричными устойчивыми инновациями. Гибкость рассмотренной модели может быть дополнительно

увеличена заменой симметричных случайных переменных на несимметричные, что, однако, увеличивает число параметров, которые должны быть оценены для модели. В результате процесс поступления будет описываться уравнением вида [13]

A[j] = т + 4ат (La p H [j]) .

Здесь La р H (t) - фрактальный устойчивый шум

Леви (ФУШЛ) (fLsn-fractal Levy stable noise) [2], который определяется в интегральном виде как

/•да

La,p, H (t )=| (t - X - 1)

J—да

-(t - x)

(dx ),

(11)

где Ьа р(йх) - независимо и одинаково распределенный устойчивый процесс; в - показатель, характеризующий асимметрию распределения,

т - средняя интенсивность поступления; а - масштабный коэффициент.

Показаны основные свойства ФДЛ и определено, что показатель Херста и параметр устойчивого распределения (а) оказывают совместное влияние на фрактальные свойства процесса.

Приведен алгоритм, позволяющий использовать фрактальные процессы Леви с различными параметрами Н и а для практических целей.

Показано, что ФДЛ может быть использовано

для описания трафика сетей связи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гнеденеко Б.В. К теории областей притяжения устойчивых законов. -Ученые записки МГУ, 1939, №2, 30, с. 61-82.

2. Золотарев В.М. Устойчивые законы и их применения. - М.: Знание, 1984.

3. Levy P., Random Functions: General Theory with Special Reference to Laplacian Random Functions, Univ. CaliforniaPubl. Statist., 1995, vol.1, pp. 331-390.

4. Mandelbrot B.B., Van Ness J.W., Fractional Brownian Motions, Fractional Noises and Applications, SIAM Rev., 1968, vol.10, pp. 422-437.

5. Karasaridis A., Hatzinakos D., On the Modeling of Network Traffic and Fast Simulation of Rare Events using Stable Self-Similar Processes, In Proc. Sign. Proc. Workshop on HOS, Banff, Alberta, 1997.

6. Mandelbrot B.B., Long-run linearity, locally Gaussian processes, H-spectra and infinite variance, International Economic Review, 1969, vol.10, pp. 82-113.

7. Karasaridis A., Hatzinakos D., Broadband Heavy-Traffic Modeling using Stable Self-Similar Processes, Proc. 2nd Canadian Conference on Broadband Research (CCBR) - Ottawa, 1998, pp. 157-168.

8. Avram F., Taqqu M.S., Weak convergence of moving averages with infinite variance. In Dependence in Probability and Statistics: A Survey of Recent Results, Eber-lein and Taqqu (eds.), 399-416, Boston: Birkhauser, 1986.

9. Chambers J.M, Mallows C.L., Stuck B.W., Correction to: A method for simulating stable random variables. Journal of the American Statistical Association, 1987, vol.82, pp.704.

10. Norros I., On the use of fractional Brownian motion in the theory of connectionless networks, J. Sel. Areas in Commun., 1995, vol.13(6), pp. 953-962.

11. Norros I, A Storage Model with Self-Similar Input, Queuing Systems, 1994, no 16, p. 387-396.

12. Laskin N., Lambadaris I., Harmantzis F.C., Devet-sikiotis M. Fractional Levy motion and its application to network traffic modeling. Elsevier. Computer Networks, 2002, vol.40, pp. 363-375.

13. Riedi R.H., Multifractal processes. Theory and Applications of Long Range Dependence (P. Doukhan, G. Op-penheim, and M. S. Taqqu, et al.), Birkh'auser, Boston, 2002.

Поступила 22. 09. 2006 г.