Моделирование федеративной системы квот на вредные выбросы с учетом вертикальных и горизонтальных взаимодействий субъектов федерации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Моделирование федеративной системы квот на вредные выбросы с учетом вертикальных и горизонтальных взаимодействий субъектов федерации

Шахабов Роман Г ерманович, аспирант Кисловодского института экономики и права;

in63@mail.ru

Аннотация: В работе проанализирована модель эколого-

экономического регулирования с использованием системы продаваемых разрешений на вредные выбросы с учетом вертикальных и горизонтальных взаимодействий субъектов федерации.

Ключевые слова: экономико-математическая модель, экологическое регулирование, продаваемые разрешения на выбросы, оптимизация

Abstract. In this paper we study mathematical model of ecological regulation using the system of traded permits which takes account of vertical and horizontal interactions of regions.

Keywords: mathematical model, ecological regulation, innovating firms, optimization

Введение

В работе [3] построена экономико-математическая модель системы продаваемых разрешений на выбросы загрязняющих веществ в федеративном государстве с учетом межрегиональных взаимодействий и выведены условия существования оптимума первого порядка. Продемонстрировано также, что стандартная система продаваемых разрешений на вредные выбросы не позволяет достичь оптимума первого порядка.

Не следует, однако, считать, что первоначальное распределение разрешений на выбросы загрязняющих веществ, генерирующее совокупное обще-

ственное благосостояние в федерации первого порядка, никогда не содержит отрицательных распределений. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример.

Пример 1. Первоначальное распределение разрешений на выбросы загрязняющих веществ может быть отрицательным.

Рассмотрим федерацию, включающую три субъекта. Предполагаем, что производственные затраты описываются идентичными функциями

1 2

С (у() = — у , i = 1,2,3 . Субъекты федерации 1 и 2 не испытывают общест-2 г

венных ущербов от выбросов загрязняющих веществ. Субъект федерации 3 испытывает воздействие выбросов загрязняющих веществ только со стороны

12

субъекта федерации 1: D3(у1, у2, у3) = — Ру 1 , где Р - положительная постоянная. Полезность от потребления продукции в субъектах федерации описывается логарифмической функцией: и (zi) = 1п zi, i = 1,2,3. В оптимуме

~2 ~2 1 i 2 3 + V

первого порядка имеем = г= — для всех I, где 2 = -—. Кроме того,

2 (1 + Р)2

у1 = т;—~п~2 и у\= УЗ2 = 2. Заметим, что поскольку Р > 0, имеет место нера-

венство ух < %1=£ < у2= у3, т.е. субъект федерации 1 должен потреблять больше, чем он потребляет и производит выбросы, в то время как в субъектах федерации 2 и 3 имеется избыток продукции. Полное число разрешений на выбросы загрязняющих веществ в оптимуме первого порядка следует из условия х = 35, и цена в оптимуме первого порядка равна р =1.

5

Условие максимизации прибыли фирм приводит к соотношениям у{ = р — w - р1, i = 1,2,3 . Суммируя эти уравнения по у{ и учитывая, что

Е Уi=x, получаем р — w = 1 (р1 + р2 + р3 + х). Выражение для р — w определяет зависимость w от р1 для всех значений -.

Подставляя выражение для р — w обратно в уравнения максимизации прибыли, получаем выражение

2 1^ 1 Л

у- =— 3 Рг + 3 ЕР] + 3 х,

3 3 j & 3 ду.

которое определяет изменение —— для всех значений г и j. Из условий

дР

максимизации общественного благосостояния в субъектах федерации следует, что имеют место соотношения

2( р — у1 — ^ = у1 —

2(р — у2 — ^ = у2 — Х2 ,

2( р — у3 — ^ = у3 — х3 — ру 1.

Суммируя эти уравнения по и используя выражения для оптимального полного числа разрешений на выбросы загрязняющих веществ, т.е. Е хг = х, для оптимальной цены продукции р и для уровней выпуска продукции, соответствующих оптимуму первого порядка, у1, - = 1,2,3, можно вычислить

равновесную цену W разрешений на выбросы.

При условии, что цена продукции и разрешений на выбросы загрязняющих веществ соответствуют оптимуму первого порядка, федеральное правительство теперь в состоянии вычислить количество разрешений на выбросы, которое должно быть распределено каждому субъекту федерации таким образом, чтобы были достигнуты уровни производства продукции и выбросов загрязняющих веществ, соответствующие оптимуму первого порядка. В частности, из условий максимизации общественного благосостояния в каждом субъекте федерации получаем:

(1 — Р)2

х1 = 3 у1 — 2 р + 2w =

1 + Р ’

~ (1 — Р)2

х1 = 3 у — 2 р + 2w = -------------------—,

1 ^ 1 + р

- о~ о~ (1 — Р)2

х1 = 3 у1 — 2 р + 2w = --—

1 1 1 + р

для субъектов федерации 1,2,3 соответственно. Очевидно, количество разрешений на выбросы загрязняющих веществ, распределенных субъекту федерации, будет отрицательным, если и только если выполняется неравенство Р > 1. Следовательно, в этом случае загрязняющий окружающую среду субъект федерации (производственные предприятия субъекта федерации) должен купить недостающее ему количество разрешений на выбросы, но,

кроме этого, он должен заплатить «входной платеж» перед тем, как войти в

рынок разрешений на выбросы. Субъект федерации 2 получит больше разрешений, чем ему необходимо при уровне производства, соответствующего оптимуму первого порядка. В результате субъект федерации 2 будет продавать разрешения на выбросы загрязняющих веществ в количестве, превышающем его уровень оптимума первого порядка, субъекту федерации 1. Субъект федерации 3 получит количество разрешений на выбросы загрязняющих веществ, которое необходимо ему для производства и, следовательно, не будет вовлечен в торговлю на рынке разрешений на выбросы.

Для условий Примера 1 очевидно, что субъекты федерации 2 и 3 выигрывают при оптимуме первого порядка с учетом ограничения на количество разрешений на выбросы загрязняющих веществ по сравнению с безусловным оптимумом первого порядка. Субъекты федерации 2 и 3 являются экспортерами продукции, а субъект федерации 2 также продает разрешения на выбросы загрязняющих веществ субъекту федерации 1. Очевидно, что по сравнению с безусловным оптимумом первого порядка субъект федерации 1 несет потери общественного благосостояния при политике интервенции на уровне субъектов федерации, поскольку ему приходится импортировать продукцию и покупать разрешения на выбросы загрязняющих веществ.

В Утверждении [3] не накладывались никакие ограничения на ставки налогов на вредные выбросы субъектов федерации р1, - = 1,2,3, и поэтому

они могут быть отрицательными в оптимуме. Следующий пример демонстрирует это.

Пример 2. Ставки налога на выбросы загрязняющих веществ могут быть отрицательными в равновесии.

В условиях примера 1 используем условия максимизации прибыли и характеристики оптимума первого порядка для вычисления ставок налога субъектов федерации из соотношений

рг=р — и — у., г = 1,2,3 .

В результате получаем

хр

Р =-------- и р2 = р3 = —р .

1 2(1 + Р) ^3 ^

Таким образом, субъекты федерации 2 и 3 субсидируют производство, тогда как загрязняющий окружающую среду субъект федерации 1 применяет налогообложение производственных предприятий, допускающих вредные выбросы.

Теперь предположим, что субъекты федерации не могут допускать отрицательные ставки налога на производственные предприятия, допускающие вредные выбросы (причина этого может состоять в том, например, что экологические политические движения противодействуют субсидированию загрязнения). Следовательно, задача максимизации общественного благосостояния в субъекте федерации - должна решаться при наличии ограничения р. > 0. Предположим, что только в одном субъекте федерации, например (без ограничения общности) в субъекте федерации 1, это ограничение определяет нулевую ставку налога. Проводя анализ аналогично доказательству Утверждения 1, имеем 25 +1 неизвестных величин, а именно и, р1

(г = 1,2,..., 5) и (г = 1,2,..., 5) и 2 5 +1 уравнений, а именно,

р = С’г( уг ) + и + Рг ,

5

Е хг= ^

г=1

Р1 0

и система уравнений (3.9), кроме первого. Следовательно, в принципе можно и в рассматриваемой ситуации найти все неизвестные, и существует распределение разрешений на выбросы, генерирующее оптимум первого порядка с учетом ограничения на количество разрешений на субъект федерации. В Утверждении 8 доказывается, что при соответствующем выборе начального распределения разрешений может быть реализован условный оптимум первого порядка.

Утверждение 1. В случае, если субъекты федерации не могут допускать отрицательные ставки налога на производственные предприятия, допускающие вредные выбросы, существует оптимум первого порядка с учетом ограничения на количество разрешений на выбросы загрязняющих веществ.

Доказательство. Из условия максимизации прибыли следует, что для всех субъектов федерации і, ставки налога в которых должны быть неотрицательными, должны выполняться уравнения

Р - ™ = С'г( Уг ).

Рассмотрим два субъекта федерации, например, 1 и 2, с отрицательными ставками налога на производственные предприятия, допускающие вредные выбросы, в задаче безусловной оптимизации. Допустим, что в задаче безусловной оптимизации имеет место соотношение 0 > р2 > р1. Тогда, если в задаче условной оптимизации минимальная ставка налога полагается равной нулю, т.е. р1 = 0, получаем, что ставка налога р2 будет положительной, поскольку р2 > р1. В результате оптимум первого порядка производства и потребления может быть реализован, поскольку мы имеем 2 5 +1 неизвестных, а именно, ^, рі и хі (г = 1,2,...,5) и столько же уравнений, а именно,

Р = С’г(Уг ) + ™ + Рг , Е Х= ^ р = 0 и система уравнений (9) из [3] при і = 2,...,5 .

і=1

Если субъект федерации должен применять нулевую ставку к своим фирмам, фирмы могут быть стимулированы производить больше продукции,

если субъекту федерации распределяется больше разрешений на выбросы. Очевидно, это означает, что другие субъекты федерации будут получать более низкое начальное число разрешений на загрязнение, и положительное число разрешений может смениться отрицательным, как показывает пример 3.

Пример 3. Ограничение налога на загрязнение в субъекте федерации может приводить к более низкому распределению разрешений на выбросы загрязняющих веществ для других субъектов федерации.

В примерах 1 и 2 субъекты федерации 1 и 2 применяли отрицательные ставки налогов на загрязнение. Если ставка р2 принуждается быть равной нулю, то ставки налога в других субъектах федерации оказываются равными:

ЛР Л

р =------- и р3 = 0 .

1 1 + Р 3

Оптимальное распределение разрешений на выбросы загрязняющих веществ в субъектах федерации определяется соотношениями:

(1 - 2р)Л

х1 =

Х2 =

Х3 =

1 + Р ’

(1 + 4р)Л

1 + Р ’ Л

1 + Р

По сравнению с распределением разрешений на выбросы, представленным в примере 1, субъекты федерации 1 и 3 получают меньшее количество разрешений, тогда как субъект федерации 2 получает большее количество разрешений на выбросы загрязняющих веществ. При условии

1 < Р < 1

2

положительное распределение разрешений на выбросы для субъекта федерации 1 в случае отсутствия ограничений на ставку налога сменится отрицательным распределением в случае, если ставится условие неотрицательности ставок налогообложения загрязнения.

Пример 1 показывает, что в общем случае распределяемые разрешения на выбросы не будут совпадать с уровнями выбросов загрязняющих веществ, соответствующих оптимуму первого порядка. В федерации с числом субъектов 5 > 2 условие х{ = у{ для всех значений i может выполняться только

случайно. Интересно, однако, что в федерации из двух субъектов, независимо от формы асимметрии выпадения выбросов, разрешения на выбросы загрязняющих веществ, распределяемые субъектам федерации, всегда будут равны уровням выбросов загрязняющих веществ, соответствующих оптимуму первого порядка, т.е. х, = у1. Однако, поскольку на ставки налогообложения накладывается условие неотрицательности, указанное равенство не имеет места. Причина этого состоит в том, что если субсидии фирмам, допускающим загрязнение, не допускаются, увеличение производства может стимулироваться распределением большего числа разрешений на выбросы загрязняющих веществ. Эти результаты формулируются ниже в Утверждениях 2 и 3.

Утверждение 2. В случае, если на ставку налогообложения загрязнения не накладывается условие неотрицательности, в федерации, включающей два субъекта, не будет иметь место торговля разрешениями на выбросы в оптимуме первого порядка с условием ограничения на количество разрешений на выбросы загрязняющих веществ.

Доказательство. Из условия максимизации прибыли и ограничения на количество разрешений на выбросы загрязняющих веществ у1 + у2 = х получаем цепочку равенств

^1 = ^2 = ЗУ = дУ2

др д^2 др ‘

Объединяя условия оптимума первого порядка (3.3) и (3.4) с уравнениями (3.9), получаем

(х - У1) ^ = (Х2 - У2) ^ .

дР д^1

Поскольку на рынке разрешений на выбросы имеет место ограничение, оптимум общественного благосостояния первого порядка может быть достигнут, если разрешения на выбросы распределяются двум субъектам федерации в соответствии с их уровнями выбросов, соответствующими оптимуму первого порядка. Следовательно, в федерации, включающей два субъекта, федеральное правительство может полностью копировать решение, соответствующее оптимуму первого порядка, для каждого субъекта в отдельности.

Утверждение 3. В случае, если на ставку налогообложения загрязнения накладывается условие неотрицательности, в федерации, включающей два субъекта, может иметь место торговля разрешениями на выбросы в оптимуме первого порядка с условием ограничения на количество разрешений на выбросы загрязняющих веществ.

Доказательство. Предположим, что два субъекта федерации характеризуются одинаковыми функциями производственных затрат:

1 2

С, (Уг) = - Ж , i = 1,2.

Субъект федерации 1 не испытывает общественных ущербов от выбросов загрязняющих веществ, в то время как субъект федерации 2 испытывает воздействие отрицательных экстерналий только субъекта федерации 1:

1 2

С2( у 1 , У2) = 2 рУ1,

где Р - положительная постоянная. Полезность от потребления продукции в субъектах федерации описывается логарифмической функцией:

и1 (г,) = 1п г,, , = 1,2.

В оптимуме первого порядка имеем

52 - 52 - 1

= -г = —т ‘ уЯ2

при , = 1,2, где

Я2 = 2 + 2Р

2у2 + РЖ

Кроме того, имеем

У1 = ~ЖЯ , Уг = Я.

Ж + Р

В случае, если на ставку налогообложения загрязнения не накладывается условие неотрицательности, согласно Утверждению 7, получаем х1 = У1 и

х2 = У2. Из условия максимизации общественного благосостояния субъектов федерации получаем

П 2Р

р = 0 и р2 =--------------.

1 2 Я(2/ + Р)

Вводя ограничение (р2 = 0 и вычисляя оптимальное распределение разрешений на выбросы загрязняющих веществ, получаем, что для субъекта федерации 1 первоначальное количество разрешений на выбросы равно

(Ж - Р)У2 Ж + Р ’

что меньше количества разрешений, получаемых субъектом федерации 1 в случае, если на ставку налогообложения загрязнения не накладывается условие неотрицательности. Очевидно, что субъект федерации 2 получит большее количество разрешений на выбросы. Таким образом, поскольку объемы выпуска продукции, соответствующие оптимуму первого порядка, не меняются, возникает торговля разрешениями на выбросы.

Отметим, что в построенной в этой работе модели федеральное правительство может учитывать поведение субъектов федерации. Используя механизмы, которые определяют ставки налогообложения субъектами федерации фирм, производящих выбросы, федеральное правительство может неявно направить производство продукции в субъектах федерации к их значениям, соответствующим оптимуму первого порядка. Во-вторых, ограничение, связанное с неотрицательностью ставок налогообложения выбросов создает искажение, которое может препятствовать оптимальному распределению. В частности, если общественные ущербы, вызванные фирмами субъекта федерации, низки, субсидирование производства, сопровождающегося вредными

выбросами, может повышать общественное благосостояние. Если субъекты федерации не могут применять отрицательные ставки налогообложения выбросов по институциональным причинам, фирмы имеют стимулы выбирать неэффективно высокие уровни производства продукции. В предложенной в этой работе модели этот механизм не работает, поскольку на товарном рынке имеет место совершенная конкуренция. Кроме того, Утверждение 1 показывает, что даже в случаях, когда ограничение неотрицательности ставок налогообложения выбросов сводится к их равенству нулю, федеральное правительство может достичь уровней производства продукции, соответствующих оптимуму первого порядка, соответствующим выбором первоначального распределения разрешений на выбросы.

Литература

1. Kolstad C. D. 2006. Environmental Economics. Oxford University Press: New York, Oxford.

2. Гофман К.Г., Рюмина Е.В. Кредитные отношения общества и природы // Экономика и математические методы. - 1994. - Т. 30. - Вып. 2. - С. 155161.

3. Шахабов Р.Г. Экономико-математическая модель федеративной системы продаваемых разрешений на вредные выбросы с учетом межрегиональных взаимодействий // Управление экономическими системами (электронный научный журнал), 2012. - № 2 (38).