CC BY
10МАТЕРИАЛЫ ЭЛЕКТРОНИКИ ELECTRONICS MATERIALS
УДК [621.315.5:537.311/.312]:001.891.573 DOI: 10.24151/1561-5405-2021-26-2-115-122
Моделирование эффективной диэлектрической проницаемости пенополимерных материалов
И.В. Лавров1, В.В. Бардушкин1, В.Б. Яковлев1'2, А.В. Бардушкин1'3
1 Национальный исследовательский университет «МИЭТ», г. Москва, Россия
Институт нанотехнологий микроэлектроники Российской академии наук, г. Москва, Россия
о
ООО «Альфачип», г. Москва, Россия iglavr@mail. ru
Пористые пластмассы используются в различных отраслях промышленности, в том числе радио- и электротехнической. Они характеризуются хорошими тепло- и звукоизолирующими, диэлектрическими и механическими свойствами, а также стойкостью к воздействию различных внешних факторов в процессе эксплуатации. Рассмотрена задача прогнозирования эффективной диэлектрической проницаемости пористых пластмасс с большой объемной долей пор, в частности пенополиэпоксидных материалов. Предложены два подхода для ее решения, основанные на модели матричного композита. В первом подходе матрицей считается полиэпоксидное связующее, а полости, заполненные газом, принимаются за включения. Во втором - за включения принимаются полиэпоксидные стенки, разделяющие полости, а в качестве матрицы рассматривается газ, заполняющий полости. Для получения расчетных формул в обоих случаях использовано обобщенное сингулярное приближение теории случайных полей. На основе полученных выражений проведены модельные расчеты эффективной диэлектрической проницаемости макроскопически изотропного пенопласта с полимерным связующим на основе ЭД-20 и полостями, заполненными фреоном, в зависимости от кажущейся плотности материала. Расчеты в обобщенном сингулярном приближении выполнены для случая, когда средой сравнения считалась матрица, а также методом самосогласования. При вычислениях во втором подходе рассмотрены следующие формы ячеек материала: слабовытекший или сильновытекший многогранник. Полученные различными методами расчетные зависимости показали качественное соответствие экспериментальным данным.
Ключевые слова: эффективная диэлектрическая проницаемость; пенополимерный материал; матричный композит; включение; обобщенное сингулярное приближение; метод самосогласования
© И.В. Лавров, В.В. Бардушкин, В.Б. Яковлев, А.В. Бардушкин, 2021
Для цитирования: Лавров И.В., Бардушкин В.В., Яковлев В.Б., Бардушкин А.В. Моделирование эффективной диэлектрической проницаемости пенополимерных материалов // Изв. вузов. Электроника. 2021. Т. 26. № 2. С. 115-122. DOI: 10.24151/1561-5405-2021-26-2-115-122
Финансирование работы: работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 20-08-00155-а).
Prediction of Effective Permittivity of Foam-Polymer Materials
I. V. Lavrov1, V. V. Bardushkin1, V.B. Yakovlev1'2, A.V. Bardushkin1'3
1National Research University of Electronic Technology, Moscow, Russia Institute of Nanotechnology of Microelectronics of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia LLC «Alphachip», Moscow, Russia
iglavr@mail.ru
Abstract: Porous plastics are used in various fields of industry, including radio-and electrotechnical fields. They are characterized by good heat- and sound isolating, dielectric and mechanical properties as well as by resistance to effect of various external factors during operation. The problem of estimation of effective permittivity of foam-polymer materials with a large volume fraction of pores, in particular, polyepoxide foam materials, has been considered. Two methods for solving it, both based on the matrix have been proposed. In the first method the matrix is considered as a polyepoxide binder, and the cavities filled with gas are taken as inclusions. In the second method the polyepoxide walls, separating cavities, are taken as inclusions, and gas filling cavities is considered as a matrix. To obtain the formulas for calculation, both methods use a generalized singular approximation of the theory of random fields. Based on the obtained expressions, the model calculations of the effective permittivity of a mac-roscopically isotropic foam material with a polymer binder based on E-20 and the cavities filled with freon, depending on the apparent density of the material, have been made. The calculations in the generalized singular approximations have been carried out for two of its variants: when the matrix was considered as a comparison medium; and, also by the self-consistent method. In the calculations using the second method two variants of the shape of the cells of the material have been considered: a weakly leaked or heavily leaked polyhedron. The calculated dependences obtained by all methods have shown the qualitative compliance with the experimental data.
Keywords: effective permittivity; foam polymer material; matrix composite; inclusion; generalized singular approximation; self-consistent method
For citation: Lavrov I.V., Bardushkin V.V., Yakovlev V.B., Bardushkin A.V. Prediction of effective permittivity of foam-polymer materials. Proc. Univ. Electronics, 2021, vol. 26, no. 2, pp. 115-122. DOI: 10.24151/1561-5405-2021-26-2-115-122
Funding: the study has been supported by the Russian Foundation for Basic Research (grant 20-08-00155-a).
Введение. Пористые (газонаполненные) пластмассы находят широкое применение в различных отраслях промышленности: авиакосмической, машиностроении, судостроении, строительной, радио- и электротехнической и др. [1]. Это обусловлено их хорошими тепло- и звукоизолирующими, диэлектрическими и механическими свойствами, а также стойкостью к воздействию различных внешних факторов в процессе эксплуатации [2]. Пористые пластмассы можно разделить на два класса: пенопласты и сферопластики (или синтактные материалы). К пенопластам относят газонаполненные полимеры, полученные вспениванием и последующим отверждением жидкой или пластично-вязкой композиции [1]. Сферопластики - это композиционные материалы с полимерной или кремнийорганической матрицей, в которую погружены полые шаровые включения [3, 4]. В сферопластиках форма полостей определяется формой оболочки включений, которая близка к сферической, в то время как в пенопластах полости могут иметь сложную, нередко геометрически неправильную форму, причем часть полостей могут быть соединены между собой. Размер и форма полостей, их объемная доля в пенопласте, а также доля сообщающихся между собой полостей зависят от процессов вспенивания и отверждения при производстве материала, в свою очередь определяющихся химическим составом вспениваемой композиции и внешними условиями, в которых эти процессы протекают [2].
В настоящей работе предложены два подхода для модельного расчета эффективной диэлектрической проницаемости пенопласта с полиэпоксидным связующим (пенополи-эпоксид), основанные на обобщенном сингулярном приближении [5, 6]. Для описания пенополиэпоксида использована модель матричного композита. В первом подходе матрица - полиэпоксидное связующее, а полости, заполненные газом, принимаются за включения. Во втором - за включения принимаются полиэпоксидные стенки, разделяющие полости, а в качестве матрицы рассматривается газ, заполняющий полости.
Постановка задачи и модельные расчетные выражения для диэлектрической проницаемости пенополиэпоксида. Пусть имеется образец объемом V статистически однородного композита, к границе £ которого приложено однородное электрическое поле напряженностью Е0. Композит считается состоящим из однородной диэлектрической матрицы с погруженными в нее неоднородными включениями нескольких видов; диэлектрические проницаемости матрицы и включений считаются известными скалярными величинами. Тензор £* эффективной диэлектрической проницаемости данного образца определяется как оператор, связывающий средние по объему образца векторы электрической индукции и напряженности электрического поля: = £ * (Е^ .
Для вычисления £* рассмотрены две краевые задачи для электростатического потенциала ф(г) : в образце данного композита, являющегося неоднородной средой; в образце однородного тела сравнения такой же формы и размеров, как и образец компози-
*
та [6-8]. В результате для вычисления £ в обобщенном сингулярном приближении [7] получаем выражение
£* =(е(г)(I -g£'(r))-1)((I -g£'(r)у1)"1, (1)
где £'(г) = £(г) - £с - разность между тензором диэлектрической проницаемости образца композита в текущей точке и параметром тела сравнения; g - тензор, связанный с конкретным зерном неоднородности (матрицу также можно считать состоящей из отдельных зерен).
Компоненты тензора g в случае изотропной среды сравнения ( £с = 8 е I) могут быть вычислены по формуле [7]
Е, =-(8с)-1 Щ, г,] = 1,2,3, (2)
где Ц - геометрические факторы эллипсоида [9] (для сферических зерен
ц = ц = Ц = 1/з).
Усреднение в (1) проводится по всем зернам неоднородности образца материала, включая зерна, составляющие матрицу.
Введем тензор X (г), связанный с конкретным включением, по формуле
Х(т) = ( I - g£'(r) )-1, (3)
тогда (1) можно записать в виде
£* =( £(т)Х(г))( Х(т)) 1. (4)
Для первой модели, в которой поры принимаются за включения, а перегородки -за матрицу, формула (4) принимает вид
£* =( (1 - /)£(т) X(т) + /(£(ги) Х(гп)) )( (1 - /)Х(т) + /(Х(гп)) )-1, (5)
где £(т), X(т) - тензоры, связанные с частицами матрицы; £(гп), X(гп) - тензоры, относящиеся к порам; / - полная объемная доля пор в материале. Угловые скобки в (5) означают усреднение по всем порам в материале. В частности, если все поры имеют одинаковую форму и ориентацию, угловые скобки в (5) можно не использовать.
Формула (5) применима и ко второй модели, в которой роль матрицы играют поры, а роль включений - перегородки между ними. Использование второй модели можно считать оправданным при выполнении двух условий: при большой объемной доле пор и существенной доле сообщающихся между собой полостей. Считается, что ячейка пенопласта имеет форму частично «вытекшего» многогранника [1], т.е. некоторая часть полимерного связующего в результате действия сил поверхностного натяжения из стенок перетекает в ребра многогранника. Для простоты многогранник считаем прямоугольным параллелепипедом. Его стенки моделируются тремя видами сжатых эллипсоидов, у которых одна полуось намного меньше двух других, а ребра - тремя видами вытянутых сфероидов. Распределение полимерного связующего между стенками и ребрами регулируется относительной объемной долей аг ребер среди включений всех видов; при аг = 0 и аг = 1 имеем предельные случаи невытекшего и полностью вытекшего многогранника соответственно. Если все ячейки имеют одинаковую форму и ориентацию, то формулу (5) можно переписать в виде
(
£ =
f £(m)X(m) + (1 - f) £2
(1 -ar )£ f « X(') +a r ^ f(r) X(r)
i=1 i=1
Л
X
f
f X(m) + (1 - f )
Дт) + (1 - /) (1 -аг )£/^Х(х) +аг ^/(г)Х(г)
V г'=1 г'=1 J У
где /(4), /); /= 1,2,3 - относительные объемные доли видов включений, моделирую-
-1
(6)
щих стенки и ребра соответственно (условия нормировки для них:
3 3
2 ^) = 1' 2 (Г) = 1)' ^(^' ^^ 1 = 1,2,3 - тензоры соответствующих видов включе-
г=1 г=1
ний, определяемые выражением (3); е2 - тензор диэлектрической проницаемости полимера, составляющего стенки и ребра.
Результаты модельных расчетов. Проведены расчеты эффективной диэлектрической проницаемости макроскопически изотропного пенопласта с полимерным связующим на основе ЭД-20 ( е2 « 3,8 [10]) и полостями, заполненными фреоном ( «1), в зависимости от кажущейся (средней по объему) плотности материала, которая вычисляется по формуле
(р) = / Р1 + (1" / )Р2,
3 3
где р « 3 кг/м - плотность фреона [11]; р2 ~ 1250 кг/м - плотность полимерного связующего [10].
Результаты расчетов, полученные различными методами, приведены на рисунке.
1,55
о 2 и ее Я К X о с.
1,5
1,45
1,4
1,35
к
а -
03
я
а
о
•е-•е-
<Т>
1,3
1,25
1,2
1,15
1,1
1 1 ^
3 5 ^ Г ____ ¡JS^^ v1 X 7
^ 6
......
i i
100 120 140 160 180 200
Плотность, кг/м
220
3
240
260
280
300
Зависимости эффективной диэлектрической проницаемости пенопласта на основе отвержденной ЭД-20 с порами, заполненными фреоном, от кажущейся плотности материала, полученные по первой модели (1 - приближение Максвелла - Гарнетта; 2 - метод самосогласования; 3 - асимметричное уравнение Бруггемана) и по второй модели (4-7). Кривые 4, 5 получены для слабовытекшего многогранника (ar = 0,1); 6, 7 - для сильновытекшего многогранника (ar = 0,8);
4, 6 - обобщенные приближения Максвелла - Гарнетта; 5, 7 - метод самосогласования
Dependencies of the effective permittivity of a polyepoxide foam material based on a solidified ED-20 with pores filled with freon, depending on the apparent density of the material, obtained from the first model (1 - Maxwell - Garnett approximation; 2 - self-consistent method; 3 - asymmetrical Bruggeman's equation) and from the second model (4-7). Curves 4 and 5 were obtained from a model of weakly leaked polyhedron (ar = 0,1), 6 and 7 obtained from a model of heavily leaked polyhedron (ar = 0,8); curves 4 and 6 obtained using the Maxwell - Garnett approximation, curves 5 and 7 - using self-consistent method
Расчеты проведены на основе полученных модельных выражений (5) и (6) в обобщенном сингулярном приближении при параметре среды сравнения, равном параметру матрицы (данный вариант эквивалентен обобщенному приближению Максвелла -Гарнетта [6, 8]), и методом самосогласования ( s c = s * ). На основе второй модели расчеты проведены для двух вариантов формы ячейки пенопласта - слабовытекшего (аг = 0,1) или сильновытекшего (аг = 0,8) многогранника. Также эффективная характеристика вычислялась по асимметричному уравнению Бруггемана [6, 12]:
1 *
i *l V/3 1 Si "S in\ (8/82 j = ï T --. (7)
1 - f El-82
Приведенные на рисунке зависимости показывают качественное соответствие экспериментальным данным [2]. Для конкретного материала лучшее количественное соответствие может дать какой-то определенный метод. В частности, диэлектрическая проницаемость пенопласта ПЭ-2Т при изменении кажущейся плотности материала от 80 до 250 кг/м3 меняется в пределах 1,12-1,40. Наилучшее соответствие для него показывают зависимости 3 (по асимметричному уравнению Бруггемана (7)), 4 и 5 (вторая модель, случай слабовытекшего многогранника). Следует отметить, что при расчете по второй модели значения 8*, полученные для формы ячеек в виде слабовытекшего многогранника, выше, чем для формы ячеек в виде сильновытекшего многогранника.
Заключение. С помощью предложенных подходов к прогнозированию диэлектрической проницаемости пенополиэпоксидного материала, основанных на обобщенном сингулярном приближении, получены модельные расчетные выражения (5) и (6).
Проведенные модельные расчеты эффективной диэлектрической проницаемости пенопласта на основе отвержденной ЭД-20 с порами, заполненными фреоном, показывают качественное соответствие полученных результатов экспериментальным.
Литература
1. Чухланов В.Ю., Панов Ю.Т., Синявин А.В., Ермолаева Е.В. Газонаполненные пластмассы. Владимир: Изд-во Владим. гос. ун-та, 2008. 152 с.
2. Берлин А.А., Шутов Ф.А. Пенополимеры на основе реакционноспособных олигомеров. М.: Химия, 1978. 296 с.
3. Трофимов А.Н. Высокотехнологичные эпоксидные связующие, полимерные композиты и инновационные технологии получения радиопрозрачных изделий специального назначения из конструкционных стеклопластиков : дис. ... д-ра техн. наук. М., 2018. 305 с.
4. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценки диэлектрической проницаемости сферо-пластика // Радиооптика. МГТУ им. Н.Э. Баумана: электрон. журн. 2016. № 3. С. 29-46.
5. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. 399 с.
6. Бардушкин В.В., Лавров И.В., Яковлев В.Б., Яковлева Е.Н. Моделирование диэлектрических свойств поликристаллов и композитов // Оборонный комплекс - научно-техническому прогрессу России. 2013. № 1. С. 58-65.
7. Фокин А.Г. О границах для эффективной диэлектрической проницаемости неоднородных материалов // ЖТФ. 1973. Т. 43. Вып. 1. С. 71-77.
8. Завгородняя М.И., Лавров И.В., Фокин А.Г. Аналитический подход к вычислению эффективных диэлектрических характеристик гетерогенных текстурированных материалов со случайной формой включений // Изв. вузов. Электроника. 2014. № 5. С. 3-14.
9. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. М.: Мир, 1986. 660 с.
10. Чернин И.З., Смехов Ф.М., Жердев Ю.В. Эпоксидные полимеры и композиции. М.: Химия, 1982. 232 с.
11. Химическая энциклопедия: в 5 т. / гл. ред. Н.С. Зефиров. М.: Большая российская энциклопедия, 1998. Т. 5. 784 с.
12. Bruggeman D.A.G. Berechnung verschiedener physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen. I. Dielektrizitätskonstanten und Leitfähigkeiten der Mischkörper aus isotropen Substanzen // Ann. Physik. 1935. B. 24. S. 636-664.
Поступила в редакцию 09.11.2020 г.; после доработки 09.11.2020 г.; принята к публикации 08.02.2021 г.
Лавров Игорь Викторович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики № 2 Национального исследовательского университета «МИЭТ» (Россия, 124498, г. Москва, г. Зеленоград, пл. Шокина, 1), iglavr@mail.ru
Бардушкин Владимир Валентинович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики № 2 Национального исследовательского университета «МИЭТ» (Россия, 124498, г. Москва, г. Зеленоград, пл. Шокина, 1), bardushkin@mail.ru
Яковлев Виктор Борисович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики № 2 Национального исследовательского университета «МИЭТ» (Россия, 124498, г. Москва, г. Зеленоград, пл. Шокина, 1), главный научный сотрудник, начальник отдела Института нанотехнологий микроэлектроники Российской академии наук (Россия, 115487, г. Москва, ул. Нагатинская, 16а, стр. 11), yakvb@mail.ru
Бардушкин Андрей Владимирович - инженер-электроник кафедры высшей математики № 2 Национального исследовательского университета «МИЭТ» (Россия, 124498, г. Москва, г. Зеленоград, пл. Шокина, 1), инженер ООО «Альфачип» (Россия, 124498, г. Москва, г. Зеленоград, пл. Шокина, 1, стр. 8), i170k@yandex.ru
References
1. Chukhlanov V.Yu., Panov Yu.T., Sinyavin A.V., Yermolayeva E.V. Gas-Jilted plastics. Vladimir, Vladimir State Univ. Publ., 2008. 152 p. (In Russian).
2. Berlin А.А., Shutov F.A. Foam-polymers on the base of reaction-able oligomers. Moscow, Chemistry Publ., 1978. 296 p. (In Russian).
3. Trofimov A.N. High-tech epoxy binders, polymer composites and innovative technologies for the production of special-purpose radio-transparent products from structural fiberglass. Diss. Doct. Tech. Sci. Moscow, 2018. 305 p. (In Russian).
4. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savelyeva I.Yu. The spheroplastic permittivity estimates. Radiooptika. MGTU im. N.E. Baumana. Elektronnyy zhurnal = Radiooptics. Electronic journan of Bauman MSTU, 2016, no. 3, pp. 29-46. (In Russian).
5. Shermergor T.D. Micromechanics of inhomogeneous medium. Moscow, Science Publ., 1977, 399 p. (In Russian).
6. Bardushkin V.V., Lavrov I.V., Yakovlev V.B., Yakovleva E.N. Simulation of dielectric properties of polycrystals and composites. Oboronnyy kompleks - nauchno-tekhnicheskomu progressu Rossii = Defense industry achievements - Russian scientific and technical progress, 2013, no.1, pp. 58-65. (In Russian).
7. Fokin A.G. On bounds for the effective permittivity of inhomogeneous materials. Soviet Physics: Technical Physics, 1973, vol. 18, p. 44.
8. Zavgorodnyaya M.I., Lavrov I.V., Fokin A.G. Analytical approach to calculating the effective dielectric characteristics of heterogeneous textured materials with randomly shaped inclusions. Semiconductors, 2015, vol. 49, no. 13, pp. 1718-1726.
9. Bohren C.F., Huffman D.R. Absorption and scattering of light by small particles. Weinheim, Wiley-VCH Publ., 1998. 544 p.
10. Chernin I.Z., Smekhov F.M., Zherdev Yu.V. Epoxy polymers and compositions. Moscow, Chemistry Publ., 1982. 232 p. (In Russian).
11. Chemical Encyclopedia: in 5 v.: Vol. 5. Ed. by. N.S. Zefirov. Moscow, Bol'shaya rossiyskaya Entsiklopediya, 1998. 784 p. (In Russian).
12. Bruggeman D. A. G. Calculation of various physical constants of heterogeneous substances. I. Dielectric constants and conductivities of the mixture of isotropic substances. Ann. Physics, 1935, vol. 24. pp. 636-664. (in German).
Received 09.11.2020; Revised 09.11.2020; Accepted 08.02.2021. Information about the authors:
Igor V. Lavrov - Cand. Sci. (Phys.-Math.), Assoc. Prof. of the High Mathematics-2 Department, National Research University of Electronic Technology (Russia, 124498, Moscow, Zelenograd, Shokin sq., 1), iglavr@mail.ru
Vladimir V. Bardushkin - Dr. Sci. (Phys.-Math.), Prof. of the High Mathematics-2 Department, National Research University of Electronic Technology (Russia, 124498, Moscow, Zelenograd, Shokin sq., 1), bardushkin@mail.ru
Victor B. Yakovlev - Dr. Sci. (Phys.-Math.), Prof. of the High Mathematics-2 Department, National Research University of Electronic Technology (Russia, 124498, Moscow, Zelenograd, Shokin sq., 1), Chief Researcher, Head of Department, Institute of Nano-technology of Microelectronics of the Russian Academy of Sciences (Russia, 115487, Moscow, Nagatinskaya st., 16a, bld. 11), yakvb@mail.ru
Andrey V. Bardushkin - Hardware Engineer of the High Mathematics-2 Department, National Research University of Electronic Technology (Russia, 124498, Moscow, Zelenograd, Shokin sq., 1), Engineer, LLC «Alphachip» (Russia, 124498, Moscow, Zelenograd, Shokin sq., 1, bld. 8), i170k@yandex.ru
Уважаемые авторы и читатели!
Вышел в свет журнал
SEMICONDUCTORS
Vol. 54, No. 13,2020. - ISSN PRINT: 1063-7826, ISSN ONLINE: 1090-6479, в котором опубликованы избранные статьи
журнала «Известия высших учебных заведений. Электроника». http://pleiades.online http://link.springer.com
