АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ВЫЧИСЛЕНИЮ ЭФФЕКТИВНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ГЕТЕРОГЕННЫХ ТЕКСТУРИРОВАННЫХ МАТЕРИАЛОВ С ВКЛЮЧЕНИЯМИ СЛУЧАЙНОЙ ФОРМЫ Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕРИАЛЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ

УДК 537.226

Аналитический подход к вычислению эффективных диэлектрических характеристик гетерогенных текстурированных материалов с включениями случайной формы

1 2 2 М.И. Завгородняя , И.В. Лавров , А.Г. Фокин

1 Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» 2Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Получены аналитические выражения для вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости гетерогенной среды матричного типа с включениями случайной эллипсоидальной формы, являющейся малым отклонением от средней сфероидальной формы. Ориентации включений вероятностно распределены, для их учета применяются представления группы вращений. Показано, что разработанный метод есть обобщение приближения Максвелла-Гарнетта на данный тип среды. На основе метода смоделированы частотные диэлектрические свойства пористого кремния в диапазоне 103-108 Гц.

Ключевые слова: гетерогенный материал; композит; тензор эффективной диэлектрической проницаемости; текстура; ориентация; случайная форма; эллипсоид; приближение Максвелла-Гарнетта.

Гетерогенные материалы, т.е. неоднородные материалы, локальные физические характеристики которых являются кусочно-постоянными функциями пространственных координат, играют важную роль в науке и технике. Например, в электронике широкое применение находят пористые кремний и углерод, тонкие поликристаллические и композитные пленки различного функционального назначения. Во многих приложениях важно поведение таких материалов в переменных электромагнитных полях, определяющееся при условии малости масштаба неоднородности такого материала в сравнении с параметром неоднородности поля его эффективной диэлектрической проницаемостью. Это обусловливает стабильный интерес исследователей к задаче ее вычисления. В свою очередь, эффективная диэлектрическая проницаемость гетерогенного материала зависит не только от диэлектрических свойств его компонентов и их объемных долей в нем, но и от структуры, которую они образуют.

Важные составляющие структуры - текстура формы и кристаллографическая текстура, проявлениями которой является анизотропия эффективных свойств материала. Наиболее эффективный подход, способный органично учитывать текстуру материала, связан с введением однородного тела сравнения, в котором наряду с задачей для исходной гетерогенной среды рассматривается аналогичная задача для тела сравнения [1-5]. Затем путем некоторых преобразований и допущений приходят к тому или иному приближению, например к обобщенному сингулярному приближению [2], получившему также широкое

© М.И. Завгородняя, И.В. Лавров, А.Г. Фокин, 2014

применение для вычисления эффективных упругих модулей гетерогенных сред [3].

В работах [6-9] даны вычисления эффективных диэлектрических характеристик текстурированных композитов. В [6-7] рассмотрены матричные композиты с осевой текстурой, включения в которых сфероидальные изотропные [6] или сферические дву-осные анизотропные [7]. В [8] предложен метод учета ориентаций эллипсоидальных изотропных включений, использующий представления группы SO(3) и позволяющий кардинально продвинуться в получении выражений для эффективных характеристик композита при любом виде текстуры. В [9, 10] данный метод обобщен на случай анизотропных эллипсоидальных включений при условии совпадения главных осей тензоров диэлектрической проницаемости включений с осями эллипсоидов.

Цель настоящей работы - получение аналитических выражений для компонент тензора эффективной диэлектрической проницаемости текстурированного матричного композита с включениями, форма которых случайная эллипсоидальная и является малым отклонением от сфероидальной формы. Фундаментальный вариант учета случайности формы в рамках эллипсоидальной предложен в [11]. Однако его реализация требует очень ресурсоемкой процедуры: вычисления двойных интегралов от величин, которые сами выражаются через эллиптические интегралы. В [12] рассматривается композит со случайной сфероидальной формой включений, отношение полуосей которых равномерно распределено в некотором диапазоне.

Постановка задачи и ее решение в обобщенном приближении Максвелла-Гарнетта. Рассмотрим статистически однородный образец двухкомпонентного композита объемом V, состоящий из однородной изотропной матрицы и погруженных в нее эллипсоидальных анизотропных включений. Объемная доля d включений невысокая. Предполагается, что главные оси тензоров диэлектрической проницаемости включений совпадают с осями соответствующих эллипсоидов. Включения ориентированы по вероятностному закону и имеют случайную эллипсоидальную форму, являющуюся малым отклонением от сфероидальной. Форма включения и его ориентация считаются независимыми друг от друга. Пусть к границе S данного образца приложено постоянное электрическое поле напряженностью Ео. Тензор диэлектрической проницаемости среды s(r) есть случайная кусочно-постоянная функция координат:

Гег е ,

e(r) = { --(1)

{г,, r eVk, k = 1, N,

где ет - диэлектрическая проницаемость матрицы; Vm - область, занимаемая ею; I - единичный тензор; гк и Vk - тензор диэлектрической проницаемости k -го включения и область, занимаемая им, соответственно; N - число включений в образце.

От уравнений электростатики div D = 4л:р, rot E = 0 с учетом материального уравнения D = гЕ приходим к краевой задаче для потенциала ф(г) в данной среде ( E = -Уф ):

V • г(г)Уф(г) = —4лр(r), фS = -(Eo • r), (2)

где p(r) - объемная плотность заряда.

Ставится задача вычислить тензор ге эффективной диэлектрической проницаемости композита, посредством которого связаны средние значения векторов электрической индукции и напряженности электрического поля: = г^(e) . Введем однородное тело сравнения, имеющее такие же размеры, форму, распределение плотности зарядов, что и образец композита [1-5]. Представим ф(г) и г^) в виде ф(г) = фс(r) + ф'(г) ,

е(г) = ес + е'(г), индекс «с» относится к телу сравнения. Для тела сравнения формулируется задача, аналогичная (2):

V-8сУфс(г) = -4л:р(г), Ф^ =-(Е0 • г). (3)

Вычитая (3) из (2), получаем краевую задачу:

V • е^ф'(г) = -V • 8'(г^ф(г), Ф^ = 0 . (4)

Вводя функцию Грина 0(г, г) задачи (4) условиями

V • 8сVG(г, г!) = -5(г - г!), 0(г, г!) |ч= 0 , решение задачи (4) при V ^ да записывается в виде свертки [1, 2, 5]:

ф'(г) = |0(г - г^ • е'^ф^)^ .

После некоторых преобразований для вычисления ее в обобщенном сингулярном приближении [5] получаем выражение

ее = (е(г)(1 - g е'(г))-1} ((I - g е'(г))-1}-1, (5)

где g - тензор, связанный с конкретным зерном неоднородности (матрицу также можно считать состоящей из отдельных зерен) и принимающий постоянное значение внутри него, а его компоненты вычисляются по формуле [1, 5]

g1J = ^0(^/8,

здесь п. - J -я компонента внешней единичной нормали к 8'. Интегрирование ведется

по поверхности 8' данного зерна неоднородности.

Для матричной среды логично в качестве среды сравнения взять именно матрицу, т.е. принять ес = 8тI. При этом компоненты тензора эллипсоидального включения в его собственной системе могут быть записаны в виде [1]

g1J =-(8т )-1 Ц 8j, 1, ^ = 1,2,3, где Ц - геометрические факторы эллипсоида ( а1з а2, а3 - его полуоси) [11]:

_ а1а2 аз 7_й^_ , о ^

Ц = 2 J 2 Г 2 2 2 Ц2 , 1 = 1 2, 3 .

2 о(а1 + д)[(а1 + д)(а2 + д)(аз + я)]

В данном варианте выбора тела сравнения обобщенное сингулярное приближение приводит к обобщению приближения Максвелла-Гарнетта [5], а (5) примет вид

ее = [(1 - й)8т1 + й(Кк)]• [(1 - й)1 + 4Xк)]-1 . (6)

Здесь введены тензоры, связанные с конкретным включением:

Хк =(1 - §к (ек 8т1))-1, Кк = е кХк , к = 1 N .

Тензор Хк имеет ясный физический смысл - он связывает напряженности поля Ек внутри одиночного эллипсоидального включения и приложенного однородного поля Ет в бесконечной матрице: Ек = XкЕт [11]. Далее с целью упрощения выражений ин-

декс к, привязанный к номеру включения, будем опускать. Главные компоненты тензоров X и к вычисляются по следующим формулам (8)- - главные значения тензора £ ):

X) =8т (8^ + (88) -8т))"1, к) =8) X) , ] = 1,2,3 . (7)

Усреднение тензоров X и к в (6) проводится по всем включениям образца. В данном случае это усреднение по всем ориентациям и всем формам включений. В предположении, что форма и ориентация включения независимы, усреднение проводится последовательно по ориентациям и по формам включений:

w=<Ш,- к=Н>/•

где (•) - усреднение по формам; (-)о - усреднение по ориентациям включений.

Усреднение по ориентациям включений. Предположим, что форма включений фиксирована. Введем систему координат xyz, связанную с образцом композита, а с каждым включением свяжем систему координат главных осей его эллипсоида. Тогда ориентация включения g = g(у, 0, ф) в системе xyz ( у, 0, ф - углы Эйлера) есть поворот от xyz к . Объемная доля dV/V кристаллитов, ориентации которых принадлежат элементу объема угловых параметров d3ю = [у;у + dy]®[0;0 + ^0]®[ф;ф + dф]• равна

dV¡V = F (у, 0, ф) sin 0 dy d0 dф,

где F (у, 0, ф) - функция распределения включений по ориентациям (ФРО) [13]. Тензоры X, к в системе xyz усредняются по формулам

(X) o = J XF(g)dg, (к) o = J к F(g)dg,

SO(3) SO(3)

здесь интеграл по группе SO(3) имеет вид

J (•) dg = J J J (•) sin 0dyd0dф .

SO(3) 0 0 0

С помощью теории представлений группы вращений получены следующие выражения для усредненных по ориентациям компонент тензоров X и к в системе xyz [9] (нумерация индексов l, j = 1,2,3 компонент тензоров в системе xyz подразумевает соответствие x1 = x, x2 = y, x3 = z ):

a j)a = A + (-1) j+1 ¿ «S J dgF(g) [t\s (g) + Ti (g) + (-1)j T¿ (g)], j = 1, 2;

s=—2

SO(3)

a3^o = A + ^ Ёй s J dgF (g )To2s (g),

s=—2 SO(3) (8)

¿ as J dgF(g)[t2s (g) — T—22,s (g)];

2

/o ^ s , ^ v¿,s(g) — T—2,s(

s=—2 SO(3)

(aj3)Q = (—i)j—1¿aS JdgF(g)[Т—21,х(g) + (—1)jT¿(g)], j = 1,2,

s=—2 SO(3)

где А = а! +а 2 + а3; а1}-, а- ,а 'т (¡,- = 1, 2, 3, т = —2,.. .,2) суть ^ , Я ' , Я т , если вычисляются (х^ , или к-, к ' j, к т, если вычисляются ^к- ^ . Величины ~ т , к 'т , т = —2, .,2, определяются по формулам

|~—2 = = (Я1 — Я2)/2, ~0 = (2Я3 — — ^Д/6, 1 =~1 = О, [к—2 = к 2 = (к1— к 2 V2, к0 = (2к3— к1— к 2 ¡»А/6, к—1 = к1 = 0;

(§) = (у, 0, ф), ¡ = 0, 1,.; т, 5 = — ¡,1 - обобщенные сферические функции [14]. Если форма включений случайная, выражения (8) следует усреднить также и по форме включений. В предположении, что ориентация включения и его форма независимы, после усреднения по форме включений выражения (8) принимают вид

=(^/3+(-1)j+1 X(s;)/ J«g)^(g)+Tis(g)+(-1)Tl(g)], j = 1,2.

s=-2 SO(3)

2

((азз)0 ) = (^ /3 + VV3 X (S s ^ JdgF(g)T2s (g) ;

s=-2 SO(3)

2

12 _ '

(Ыa)f = ■ X Ю/ idgF^ks(g)-T-2,s(g)]; (10)

s=-2 SO(3)

((a J3)0) = (-■)j-1 ¿(S S)/ J dgF(g) H,s (g) + (-1) jTl (g)], j = 1,2.

s=-2 so(3)

Формулы (10) удобны для применения, так как часто ФРО записывают в виде ряда

х l

Фурье по обобщенным сферическим функциям [13]: F(g) = X XCLTL(g)•

l=0 m,n=-1

В этом случае для усредненных компонент тензоров X и к получаются выражения [10], содержащие коэффициенты Фурье функции распределения F(g) только веса 2,

т.е. С2тя, m,n = —2,...,2, которые могут быть определены экспериментально методами

рентгено- или нейтронографического исследования.

Рассмотрим подробно специальный вид распределения ориентаций включений -центральное нормальное распределение (ЦНР) с одним параметром Р. ЦНР является частным случаем часто используемых при описании текстур нормальных распределений на группе SO(3) - предельных распределений, к которым стремятся распределения ориентаций тела при случайных вращательных блужданиях [13]. При ЦНР разложение ФРО по обобщенным сферическим функциям имеет вид [13]

Iю 2 1 -

F (Р, g) =-±2 X (2l + 1КР/(/+1) XTL (g) . (11)

/=0 m=—/

Параметр Р связан с разбросом в ориентациях включений: (cos 0) = e~2p , ^sin2 0 = 2(1 — е~бр )/3. При ЦНР ориентаций включений для компонент se в системе xyz получаем

(Se ) j =

3s m + r [(K)f + (3к j)f -(K)f )e-6P]

3 + r[<D)f + (3Xj) -<D)f)e"6P2]

, j = 1,2,3; (s e )j = 0, l * j, (12)

где D = X1 + X2 + X3, K = к1 + к 2 + к3 .

Усреднение по формам включений. Пусть величина одной полуоси у всех включений фиксирована: а3 = с = fixe , а две другие случайным образом отклоняются от некоторого среднего значения, равного а , т.е. (а^ = (а2) = а. Тогда форма произвольного включения задается случайным вектором с компонентами, равными относительным отклонениям e, е2 полуосей a, a от их средних значений: ej = (аj — а)/а, j = 1,2,

причем (e^ = ^e2^ = 0. Будем считать, что дисперсии величин e, e2 малые: ej= g j2 <<1, j = 1,2, а также, что el и e2 независимы, поэтому (e1e2) = 0 . Таким

образом, средняя форма всех включений - это сфероид с полуосями а, а, с.

Как видно из формул (9), (10), для усреднения компонент тензоров X и к в системе xyz по всем включениям нужно вычислить средние значения главных компонент

тензоров X и к по форме, т.е. (X^к'^ j = 1,2,3. Поскольку влияние формы

включений на X ', к ' сказывается посредством геометрических факторов эллипсоида

L,L, L, разложим их по степеням e, e2 до 2-го порядка включительно:

0 2 2 Lj (а1, а2, с) = L + Л L., Л L. « ^7le1 + j2 + 57le1+ B/2e2 + C,.e1e2, j = 1,2,3, (13)

L = L (а,а,с), А;1 = а

71

dL ■ (а, а, с) dL ■ (а, а, с)

--, А2 = а- j

а 2 д 2 L. (а, а, с) а 2 5 2L. (а, а, с)

-, В.2 =

j1 2 да12 Вычисляя, имеем

2 да

да

2 д 2Lj (а, ^ с)

С, = а

да1 да2

, j = 1,2,3.

а 2 с

А11 = А22 = OTJ2 Та А12 = А21 = ~2 (J2 а J3),

2

2

А31 = А32 = ^^ (— а2 *~2 X

В11 = В22 = 15а('с-]4 — 9а4с J3 , В12 = В21 = -3а4с(а2 J4 — J3 X В31 = В32 = 3а4с(а2 ~3 — ЛХ

(14)

где

dq

J* -Ь:,,\*lr ^

dq

0 (а2 + q) * (с2 + q)12 0 (а2 + q)* (с2 + q) Приведем выражения для этих интегралов.

зо

1. При а > с. Средняя форма - сжатый сфероид, эксцентриситет е = -у/1 — с2/а2 .

~ ((1 — е2)—12 — е-1 агссо^1 — е21, • = (е_1агссо^1 — е2 — V 1 — е2^ ,

1 3 2 а 3е2

• = "ТТ

2 3 2 а3е2

а е

(3 — е 2)(1 — е2)—12 — 3е —1 агссо^/1—"е

1 Г 3

2а V I 2

•4 =

е

1 Г15

• =—| 3агссо^1 — е2 —[ 3е + е3 У1 — е2 |,

24а7еб V е

15агссовлА - е2 - (8е4 + 10е2 + 15)лЯ

- е

• =

а 7 л/1—7

— бл.

2. При а < с . Средняя форма - вытянутый сфероид, эксцентриситет е = у] 1 — а2/с2 .

~ 2(1 — е2)3/2 ( 1 1 + е|

• 3 2 | —1 + ^ 1п1-|

а е2 V 2е 1 — е^

л/1—

• 2 = " 3 2 а3е2

1—

1 — е2 1 + е

1п

2е 1 — е

•2 =

• 3 =

(1 — е2)32

(

а5е4

(1 — е 2)52

2 31 — е2, 1 + еЛ

3 — 2е2---1п-

2 е 1—е

4а5еб

(1 — е2)2 1 — е2

7 <3,1 + е

+ 5 +— е 1п-

2 1 — е

•4 =

(1 — е2)1'2 Г 8

24а7е8

(1 — е2)3 (1 — е2)2 1 — е

34 59 15 1+е

- +-- — 33--е 1п-

2 1 — е

22

•3 =

1

2лЯ—

- — .

3. При а = с. Средняя форма - сфера радиуса с . • = •= — „ ,

п п 1 (п — 1/2)а2п—1

п = 2,3, 4.

Используя (13), разложим (7) по степеням е, е2 до 2-го порядка включительно:

Х- - X',0[1 + д, (—А,1 — А,2)(е1 + е2) + (д,2А2 — + (д,2А,22 — д,В,2>22 +

+ (2д, А,1 А,2 — С, )е1е2], , = 1,2,3,

1 , О

гг

8т + 0(8 ', — 8т )

д, =

8' —8 т

8т + (8' —8 т )

Усредняя (15) по форме, с учетом (7) имеем

,«<[1 + г,а12 + ^аД , =8,(х,}/, , = иД = д,2А,12 — д,В,ь у, = д,2А,22 — д,В,2.

(15)

(16)

(17)

(18)

Результаты моделирования частотных диэлектрических характеристик пористого кремния и их обсуждение. По формулам (12), (16)-(18) рассчитывались частотные диэлектрические характеристики пористого кремния с волокнистой или слои-

3 8

стой структурой в системе ху2 в диапазоне частот 10-10 Гц. Формально непрерывной средой в таком материале является кремний, но в силу малой объемной его доли в материале он рассматривался как включения, а матрицей считался воздух. Пористый кремний с волокнистой структурой моделировался включениями случайной эллипсоидальной формы с небольшим разбросом вокруг средней сильно вытянутой сфероидальной формы. Материал со слоистой структурой моделировался включениями с малым отклонением от средней сильно сжатой сфероидальной формы. Ориентации включений

2

2

2

2

7

а

считались распределенными по закону ЦНР с ФРО вида (11) при различных р. При отсутствии разброса в ориентациях включений их полуоси а, а, аз параллельны осям х, у, х соответственно. Связующие перегородки между волокнами или слоями в материале не учитывались, для этого требуется более сложная модель.

Цель моделирования - исследование влияния средней формы включений, разбросов по ориентациям и по формам включений на диэлектрические характеристики пористого кремния. Зависимость диэлектрической проницаемости кремния от частоты электромагнитного поля на низких частотах имеет вид 8(ш) = 85+ г 4тса5/ш, где

—3 —1 —1

а^ = 0,435 • 10 Ом • м — статическая проводимость кремния; 8^ = 11,7 — статическая диэлектрическая проницаемость [15]. Некоторые результаты вычислений представлены на рис.1—5.

Приведенные на рис.1 и 2 частотные диэлектрические характеристики пористого кремния при фиксированных форме и ориентации включений показывают, что характеристики главных компонент (8е)п и (8е )33 тензора £е сильно отличаются друг от друга. Для пористого кремния с волокнистой структурой (см. рис.1) действительная и мнимая части компоненты (8е )33 значительно превышают по величине соответствующие части компоненты (8е )и. В свою очередь, Яе(8е )33 (рис.1,б) и 1ш(8е )33 (рис.1,г) зависят от отношения полуосей а:Ъ:с. С ростом отношения с:а они увеличиваются. Действительная (рис.1,а) и мнимая (рис.1,в) части компоненты (8е)п также зависят от отношения с:а, но эта зависимость носит противоположный характер. Частотные характеристики 1ш(8е )11 и 1ш(8е )33 имеют максимумы, величина и положение которых зависит от отношения с: а. Для модели

Рис.1. Частотные зависимости действительной (а) и мнимой (в) частей компоненты (8е)11 и действительной (б) и мнимой (г) частей компоненты (8е)33 модели пористого кремния со сфероидальной вытянутой формой включений при различных отношениях полуосей а:Ъ:с. Разбросы в ориентациях и форме включений отсутствуют, объемная доля включений 0,1

Рис.2. Частотные зависимости действительной (а) и мнимой (в) частей компоненты (ее)ц и действительной (б) и мнимой (г) частей компоненты (ее)33 модели пористого кремния со сфероидальной сжатой формой включений при различных отношениях полуосей a:b:c. Разбросы в ориентациях и форме включений отсутствуют, объемная доля включений равна 0,1

пористого кремния со слоистой структурой (см. рис.2) наблюдаются аналогичные зависимости (se)u и (se)33 от отношения c:a, только в данном случае (sе)п имеет б0льшие

значения, чем (s е )33.

Из приведенных на рис.3 зависимостей для модели пористого кремния с волокнистой структурой видно, что при появлении разброса в ориентациях включений «чистые» компоненты тензора sе, соответствующие случаю жестко ориентированных включений, начинают перемешиваться. Так, в зависимости Im(se)п появляется максимум, соответствующий Im(se)33, растущий по мере увеличения разброса Р в ориентациях включений (рис.3,б). Изменение зависимостей Re(se)33 и Im(se)33 при увеличении Р гораздо менее заметно (рис.3,в). Это объясняется тем, что «чистые» компоненты Re(se)33 и Im(se)33 намного превосходят по величине Re(se)п и Im(se)п. При появлении разброса по формам (см. рис.4) обе части компонент (se)u и (se)33 модели пористого кремния с волокнистой структурой слегка увеличиваются, при этом максимумы мнимой части немного смещаются, что особенно заметно для Im(se )33 (рис.4,г). Аналогичные изменения наблюдаются и при моделировании системы со слоистой структурой.

Следует отметить, что во всех случаях (см. рис.1-4) компоненты (se)u и (se)22 имеют одинаковые характеристики. Это, во-первых, следствие того, что средняя форма включений сфероидальная, во-вторых, при распределении ориентаций вида ЦНР (11) координатные оси х, y, z равноправны, в-третьих, во всех случаях среднеквадратиче-ские отклонения полуосей включений принимались равными: ^ = ст2 = о.

Яеезз-

ReE] ] 1.23 1,22 1,21 1,2 1.19 1.18

abc= 1:1:20

J3 = О

er = 0,25 с = 0,15 g = 0

а\Ь с = 1:1:20

ß = 0

-•• а = 0.25

а - 0.15

— а = 0

ю4

10

ling! j

0,02

0,016 0,012 0,008 0,004 0

,5 106 a

107 v, Гц

a:h:c= 1:1:20 = 1:1:20.

■ ß = 0 У v. if it П \

...... с - 0,25

-- а = 0,15

- (7-0

1тб

104

105

lO1'

v, Гц

Рис.4. Частотные зависимости действительной (а) и мнимой (в) частей компоненты (8е)11 и действительной (б) и мнимой (г) частей компоненты (8е)33 модели пористого кремния с вытянутой формой включений со средним отношением полуосей 1:1:20 при различных разбросах а1 = а2 = а в формах включений. Разброс в ориентациях отсутствует, объемная

доля включений 0,1

Представленные на рис.5 частотные зависимости 1ш(ве)п и 1ш(ве)22 для случая ^ = 0 ^ а2 = 0,3 немного отличаются друг от друга, причем 1ш(ве)и > 1ш(ве )22, несмотря на то, что полуось а фиксирована, а случайному изменению подвержена полуось а. Этот феномен большего влияния на 1ш(ве )11 случайного изменения полуоси а имеет простую физическую трактовку: пусть ^ = 0, а2 > 0, а = а, (а2) = а . Ограничиваясь в разложении (13) геометрических факторов членами второго порядка, имеем четное распределение относительного отклонения е2 полуоси а2, поэтому объемная доля включений, имеющих полуось а2 = а + 8, будет равна объемной доле включений с а2 = а — 8 при любом допустимом 8 > 0. Сравним отношения большей из полуосей а и а к меньшей в первом и во втором случаях:

Рис.5. Частотные зависимости мнимой части компонент (ее)ц (сплошные кривые) и (ее)22 (штриховые кривые) модели пористого кремния со случайной вытянутой формой включений со средним отношением полуосей 1:1:20 при различных разбросах р в ориентациях включений. Распределение ориентаций вида ЦНР, разбросы в величинах полуосей включений Ст1 = 0, ст2 = 0,3, объемная доля включений равна 0,1

ил

V а1 л

а + 8

<

а

а

а

V а2 ^ а — 8

т.е. относительная «вытянутость» включении в сторону полуоси а во втором случае больше, чем в сторону полуоси а в первом случае, а относительная «сжатость» в сторону полуоси а в первом случае меньше, чем в сторону полуоси а во втором случае, что в совокупности обусловливает большее значение для 1ш(ве )п.

Таким образом, тензор эффективной диэлектрической проницаемости ее гетерогенного текстурированного материала матричного типа с включениями случайной эллипсоидальной формы вычисляется по формуле (6). Здесь средние значения компонент тензоров X и к в системе хуг, связанной с текстурой материала, при произвольном распределении ориентаций включений находятся по формулам (10), (14), (16)—(18). В случае центрального нормального распределения на группе БО(3) компоненты ге вычисляются по формулам (12).

Предложенный в работе метод может быть использован для прогнозирования диэлектрических свойств гетерогенных систем в переменном электромагнитном поле, что может найти применение при создании материалов с желаемыми физическими свойствами, а также для развития методов анализа результатов диэлектрической спектроскопии, например, в геофизике и в смежных областях. Построенная в настоящей работе модель гетерогенного текстурированного материала может быть использована как базовая при разработке усложненных моделей, более детально отражающих структуру исследуемых материалов.

Важное достоинство разработанного метода - его низкая вычислительная ресурсо-емкость с точки зрения времени и объема памяти. Следует, однако, отметить, что данный метод не может быть применен для исследования оптических свойств композитов с металлическими включениями случайной формы, поскольку вблизи плазмонного резонанса в формуле (15) член, по которому ведется разложение, становится неприемлемо большим.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 13-08-00672-а, № 14-08-00654-а).

Литература

1. Фокин А.Г. Диэлектрическая проницаемость смесей // ЖТФ. - 1971. - Т. 41. - Вып. 6. - С. 1073-1079.

2. Фокин А.Г. О границах для эффективной диэлектрической проницаемости неоднородных материалов // ЖТФ. - 1973. - Т. 43. - Вып. 1. - С. 71-77.

3. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. - М.: Наука, 1977. - 399 с.

4. Моделирование частотной дисперсии эффективных диэлектрических характеристик композиционных материалов / В.Б. Яковлев, В.В. Бардушкин, И.В. Лавров и др. // Изв. вузов. Электроника. -2013. - № 3 (101). - С. 7-15.

5. Об объединении методов оценки эффективных диэлектрических характеристик гетерогенных сред на основе обобщенного сингулярного приближения / В.И. Колесников, В.Б. Яковлев, В.В. Бардушкин и др. // ДАН. - 2013. - Т. 452. - № 1. - С. 27-31.

6. Giordano S. Order and disorder in heterogeneous material microstructure: Electric and elastic characterization of dispersions of pseudo-oriented spheroids // Int. J. Eng. Sci. - 2005. - Vol. 43. - P. 1033-1058.

7. Giordano S. Equivalent permittivity tensor in anisotropic random media // J. Electrost. - 2006. -Vol. 64. - P. 655-663.

8. Иванов Е.Н., Лавров И.В. Теория диэлектрической проницаемости композиционных материалов с текстурой. Ч. 1 // Оборонный комплекс - научно-техническому прогрессу России. - 2007. - № 1. - С. 73-78.

9. Лавров И.В. Диэлектрическая проницаемость композиционных материалов с текстурой: эллипсоидальные анизотропные кристаллиты // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2009. - №1. - С. 52-58.

10. Лавров И. Диэлектрические и проводящие свойства неоднородных сред с текстурой. -Saarbrücken: LAP Lambert Academic Publishing, 2011. - 168 c.

11. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. - М.: Мир, 1986. -660 с.

12. Protsenko I.E., Zaimidoroga O.A., Samoilov V.N. Heterogeneous medium as a filter of electromagnetic radiation // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. - 2007. - Vol. 9. - P. 363-368.

13. БоровковМ.В., Савелова Т.И. Нормальные распределения на SO(3). - М.: МИФИ, 2002. - 96 с.

14. Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. -М.: ГИФМЛ, 1958. - 294 с.

15. Физические величины: справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.3. Мейлихова. - М.: Энерго-атомиздат, 1991. - 1232 с.

Статья поступила 25 марта 2014 г.

Завгородняя Марина Игоревна - магистрант факультета экспериментальной и теоретической физики НИЯУ МИФИ. Область научных интересов: теоретические методы исследования физических свойств неоднородных сред.

Лавров Игорь Викторович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики-2 МИЭТ. Область научных интересов: теоретические методы исследования физических свойств неоднородных сред. E-mail: iglavr@mail.ru

Фокин Александр Георгиевич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ. Область научных интересов: теоретическая физика.