МАТЕРИАЛЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ ELECTRONIC ENGINEERING MATERIALS
УДК 537.226
Методы учета случайности формы включений при вычислении эффективных диэлектрических характеристик гетерогенных текстурированных материалов
1 2 М.И. Завгородняя , И.В. Лавров
1 Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» 2Национальный исследовательский университет «МИЭТ»
Methods of Accounting of Randomness of Inclusions' Form in Calculation of Effective Dielectric Characteristics of the Heterogeneous Textured Materials
1 2 M.I. Zavgorodnyaya , I.V. Lavrov
1National Research Nuclear University MEPhI, Moscow National Research University of Electronic Technology, Moscow
Рассмотрены два метода учета случайности формы включений для вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости тек-стурированной гетерогенной среды матричного типа с включениями случайной эллипсоидальной формы: аналитический и метод моделирования среды с несколькими видами включений. Методы основаны на обобщенной модели Максвелла-Гарнетта. Для учета распределения ориентаций включений применены представления группы вращений. Проведено сравнение результатов вычисления этими методами эффективных диэлектрических характеристик моделей пористого кремния в переменном электромагнитном поле в диапазоне частот 103-108 Гц.
Ключевые слова: гетерогенный материал; композит; тензор эффективной диэлектрической проницаемости; текстура; ориентация; случайная эллипсоидальная форма; приближение Максвелла-Гарнетта.
Two methods of the accounting of randomness of inclusions' form for calculation of effective permittivity tensor of the textured heterogeneous medium of matrix type with inclusions of a casual ellipsoidal form have been offered: an analytical method and a method of modeling of the medium with several types of inclusions. Both methods are constructed on the basis of the generalized Maxwell-Garnett's model, representations of the rotation group are applied to the accounting of inclusions' orientations' distribution. The results of calcula-
© М.И. Завгородняя, И.В. Лавров, 2015
tion of effective dielectric characteristics of porous silicon models in the frequency range of 103-108 Hz produced by these two methods have been compared.
Keywords: heterogeneous; composite; effective permittivity tensor; texture; orientation; casual form; ellipsoid; Maxwell-Garnett approach.
Введение. Задача вычисления эффективных физических характеристик гетерогенных материалов уже полтора века интересует исследователей, несмотря на большое количество работ по этой тематике. Данный факт, во-первых, объясняется тем, что гетерогенные материалы - композиты, нанокомпозиты, поликристаллы и пленки из них, а также различные пористые структуры - широко используются в науке и технике. Во-вторых, литосфера Земли также является гетерогенной средой и прогнозирование свойств гетерогенных материалов в зависимости от их состава и структуры имеет важное значение для геофизики (разведка полезных ископаемых, предсказание землетрясений и извержений вулканов). В-третьих, многообразие таких материалов настолько велико, а их структура настолько сложна, что не существует универсального метода для решения данной задачи, в одинаковой степени подходящего для гетерогенных материалов всех типов. Фундаментальный обзор видов гетерогенных материалов и методов определения их эффективных свойств приведен в [1]. Обзор методов вычислений эффективных характеристик неоднородных сред можно найти также в [2].
Большинство гетерогенных материалов текстурированные, что проявляется в анизотропии их макроскопических свойств. Причины возникновения текстуры различны. Например, при создании искусственных материалов из кристаллитов специально выстраивают структуры с выделенными направлениями, в природных материалах текстура образуется под воздействием внешних напряжений и полей. Процесс формирования текстуры в поликристаллическом материале смоделирован в работе [3]. Оценка характеристик текстурированных материалов сопряжена со значительными проблемами как вследствие вычислительных сложностей учета ориентаций зерен неоднородности, так и из-за недостаточной точности существующих методов исследования текстуры реальных материалов. Примерами аналитического подхода к учету текстуры в поликристаллических материалах являются работы [4-6], в материалах матричного типа - работы [7-10].
Один из видов текстуры - текстура формы - связан с преимущественной ориентацией кристаллитов, если они имеют несферическую форму. В то же время учет самой формы кристаллитов является чрезвычайно сложной задачей. В большинстве случаев предполагается, что кристаллиты имеют правильную геометрическую форму: эллипсоидальную, цилиндрическую и т.д. Однако даже при создании материалов с определенной фиксированной формой кристаллитов (включений) при современном уровне развития технологий невозможно добиться идеальной формы у всех кристаллитов. Для более адекватного прогнозирования свойств гетерогенных материалов необходимо создавать модели, учитывающие статистический разброс форм кристаллитов. В большинстве работ, где учитывается случайность формы кристаллитов, варьируются геометрические параметры, определяющие размеры кристаллитов в пределах выбранной правильной геометрической формы. В частности, если кристаллиты сфероидальные, варьируется по некоторому статистическому закону так называемое аспектное соотношение, т.е. отношение полуосей сфероида, а затем проводится усреднение путем интегрирования по данному параметру с учетом плотности его распределения. Например, в [11] принято, что аспектное соотношение распределено равномерно на некотором отрезке, а в [12] - имеет гауссово распределение с заданными средним и дисперсией.
Цель настоящей работы - сравнение двух методов вычисления компонент тензора эффективной диэлектрической проницаемости текстурированного матричного композита с включениями случайной эллипсоидальной формы с малым отклонением от сфероидальной. Первый метод - аналитический, в нем используется разложение геометрических факторов эллипсоида в ряд по степеням относительных отклонений полуосей эллипсоида [13]. Второй метод - моделирование, где модель Максвелла-Гарнетта обобщается на случай матричной среды с несколькими видами включений (кристаллитов). При этом непрерывное распределение относительных отклонений полуосей эллипсоидов аппроксимируется дискретным [14]. Сравнение методов проводится по результатам моделирования эффективных диэлектрических характеристик пористого кремния в переменном электромагнитном поле в диапазоне частот 1 кГц - 100 МГц.
Постановка задачи вычисления эффективной диэлектрической проницаемости матричной гетерогенной среды и ее решение в обобщенном приближении Максвелла-Гарнетта. Пусть имеется макроскопически однородный образец гетерогенного материала объемом V, состоящий из однородной изотропной матрицы с анизотропными включениями одного типа с точки зрения их физических характеристик. Суммарная объемная доля включений равна d. Главные оси тензоров диэлектрической проницаемости включений предполагаются совпадающими с осями соответствующих эллипсоидов. Ориентации включений распределены по некоторому вероятностному закону, форма включений - случайная эллипсоидальная. Ориентация включения и его форма считаются независимыми друг от друга. Пусть к границе S данного образца приложено постоянное электрическое поле E0. Тензор диэлектрической проницаемости материала s(r) является случайной кусочно-постоянной функцией координат:
Ге J, г ,
e(r) = <! --(1)
Is,, r e V, k = 1, N,
где еm - диэлектрическая проницаемость матрицы; Vm - объем, занимаемый матрицей; I - единичный тензор 2-го ранга; гк, Vk - тензор диэлектрической проницаемости k-го включения и его объем соответственно; N - число включений в образце.
Уравнения электростатики div D = 4лр, rot E = 0 и материальное уравнение D = sE приводят к краевой задаче для потенциала ф(г) в данной среде ( E = -Уф ):
V • 8(r)Уф(г) = -4л:р(r), фs = -(Ео • r), (2)
где p(r) - объемная плотность заряда.
Ставится задача вычислить тензор эффективной диэлектрической проницаемости гетерогенного материала se, связывающий средние значения векторов электрической
индукции и напряженности электрического поля: (D) = se(Е).
В обобщенном приближении Максвелла-Гарнетта для se получено выражение [9]
8е =[(1 - d )emI + d{ к к) ][(1 - d)I + d^)]-1, (3)
где введены тензоры Хк , кк, связанные с конкретным включением:
Ч =[i + (em)-1 L к (8 к-em1^ Кк = s{kk, к = 1N, здесь L к - тензор геометрических факторов эллипсоида.
Для упрощения выражений индекс к, привязанный к номеру включения, далее опустим. В силу совпадения главных осей тензора £ с осями эллипсоида главные значения тензоров к и к вычисляются по формулам (в ' - главные значения тензора £ ):
х' =вт (8И + ь. (в '-ви г1, к. =в' х., .=1,2,3, (4)
где Ь - главные значения тензора Ь (—,—,-з - полуоси эллипсоида):
т , ч аам иа „ _ _
Ь] (а1, а 2, -3) = -1-2-3|—---^---щ-, . = 1,2,3. (5)
2 о(-.2 + а)[(-12 + а)(-22 + а)(-з2+а)]
Усреднение тензоров к и к в (3) проводится по всем включениям образца. В данном случае это усреднение по всем ориентациям и всем формам включений. Предполагая, что форма и ориентация включения независимы, усреднение можно проводить последовательно по ориентациям и по формам включений:
("> = {(к)\, (к) = «к)„)
о1/ > ' <о!/'
где (•) - усреднение по формам; - усреднение по ориентациям включений.
Усреднение по ориентациям включений. Пусть система координат хуг связана с образцом композита. С каждым включением свяжем систему осей его эллипсоида, тогда ориентация включения £' = £'(у', 0 ', ф') в системе хуг ( у ', 0 ', ф ' - углы Эйлера) -это поворот от хуг к . Усреднение тензоров к и к по ориентациям включений в системе хуг проводится по формулам:
(к) о = | ', (к) о = | к ',
Ю(3) 80(3)
где Г (у', 0', ф ') - функция распределения включений по ориентациям (ФРО) [15]; интеграл по группе SO(3) имеет вид |(•)' = Ц |(Обш0'ёуё0' ёф'.
80(3) 0 0 0
Усредненные по ориентациям компоненты тензоров к и к в системе хуг вычислены в [9] и после усреднения по формам принимают вид (нумерация индексов I,. = 1, 2, 3 компонент тензоров в системе хуг соответствует х = х, х2 = у, х3 = г) [13]:
((.) = (4//3 + (-1).+1 2(йIТ(£')[Т-22,х(£') + Т1 (£') + (-1У\123Го2^(£')], . = 1,2
?=-2 80(3)
2
(Ыо), = А//3 + 2 (а\)г | ё£'Г(£')То1 (£'),
о' / - 1
«=-2 80(3)
(6)
-^2 п-,2
{ЫX =' (а|Ф ' )[т2.5(£ ')-т—2,8(£')],
«=-2 80(3)
((а.3)о} = (-/).-1 ]Т(а\)г Iф'Г(£ ') [Т-21,«(£ ') + (-1).Т12«(£ ')], . = 1, 2,
«=-2
80(3)
где А = а' + а' + а'; аг., а', а'т (¡, ] = 1, 2, 3, ш = -2,... ,2) суть Хц, X', , если вычисляются ((X¡^ ^ , или к1}., к', к'и, если вычисляются ^^к¡¡^ ^ , определяемые формулами:
|Х-2 =~2 = (Х1 -Х2У2, Х0 = (2Х3 ~-; =~'= 0,
|к-2 = К2 = (к; -к2)/2, к0 = (2к3-к;-к2)Д/6, к-! = к; = 0;
TL(g) = T¡„s(V,0',ф'), l = 0,1,...; m,s = -l,l - обобщенные сферические функции [16].
Рассмотрим осесимметричное распределение ориентаций при дополнительном условии независимости от угла ф' (0' - угол между осями z и й ), т.е. с ФРО вида
F (g(V, 0', ф')) = (Bv2)-1f (0'). (8)
V 2
Одномерная плотность f (0') удовлетворяет условию нормировки J f (0') sin 0'd0' = 1.
0
Тогда для компонент тензора ^в системе xyz имеем выражения:
'((*п>X = ((*2^X = Ы)f 2}fЬ + /i)/4+ <*3}f(1 -AV2,
Jf
«U X = (<M z +<*-2) z Ь - 7i)/2 + <K 3} z7i'
(9)
где
V 2
/j =J cos2 0 '/(0')sin 0'd0'. (10)
0
Для компонент тензора (^(к}^ имеют место аналогичные выражения. Подставляя
полученные формулы в (3), найдем выражения для компонент тензора se в системе xyz для распределения ориентаций вида (8):
,ч , 4 _ 4(1 -d)sm + dкрz + ](! + 7i) + 2kQz(1 -7)) lSe)l! ^)22 4(1 -d) + d([(z +(V2)Z](1 + 7i) + 2*3>z(1 -Ii)) ' / Ч 2(1 -d)Sm + dfe<)z + ](1 -7) + 2«)z7i) . .
lSe)33 " 2(1 -d) + dK)z +(v2)z](1 -7i) + 2*3>z7i) ' h '
(11)
В качестве модели осесимметричного распределения рассматривается распределение рэлеевского типа с одномерной плотностью:
1 1 Г tg2 0'^ V
/(0') = ""2 -^f, 0<0'<V, (12)
5 cos30' °"2
2s j
2'
где параметр 52 играет роль величины разброса в ориентациях осей £ включений, причем ^©'^д/^2 5, 0') = 252, 0'] = ^^52 [10].
<
Методы усреднения по формам включений. Форма включений принимается случайной эллипсоидальной. Средней формой считается сфероидальная с отношением полуосей a : a : c. Величина третьей полуоси a3 У всех включений фиксирована:
a3 = c = fixe , а полуоси a и a2 случайно отклоняются от среднего значения, равного a, т.е. (a) = (a2) = a. В этом случае форма каждого включения задается случайным вектором, компоненты которого - относительные отклонения el, e2 полуосей a, a2 от их средних значений: ej = (aj — a)/a, j = 1,2. Очевидно, что (e) = (e2) = 0 . Дисперсии ве-
личин е, е2 считаются малыми: ^ у = а7 «1, 7 = 1,2; также считается, что е и е2
независимы, поэтому (ее2) = 0.
Как видно из (6) и (9), для усреднения компонент тензоров X и к в системе хуг по всем включениям нужно вычислить средние значения главных компонент тензоров X и к по форме, т.е. ^Х'^ к') , 7 = 1, 2,3. Рассмотрим и сравним два метода вычисления таких средних: аналитический метод и метод моделирования.
Аналитический метод учета случайности формы включений. Данный метод предложен в работе [13] и состоит в разложении геометрических факторов эллипсоида , , ^з, а затем величин Xк' ( 7 = 1, 2, 3 ) по степеням е, ^ до 2-го порядка включительно с последующим усреднением. В итоге для (X^к получены выражения:
(13)
где
j-О + + У^Л j j = 1,2,3
zj = 4i2 — qB^ yj = Ч22 — qBn,
1 t 0
=
8 j —8m
0 , , ч ' qj T 0 , , , j J
8m + Lj (8 j 8 m )
8m + lj (8 j 8 m )
L = L, (a, a, c).
(14)
(15)
a 2c
3
a 2c
1
a c ~ 1
A11 = A22 = J2 a cJ3, A12 = A21 = J2 a cJ3, A31 A32 „ J1 ,, a cJ2,
2 2 2 2 2 2
15 9 3 3 ~ ~
B„ = B22 = — a6cJ4 — 9a4cJ3, B12 = B21 = — a4c(a2J4 — J3), B31 = B32 = — a4c(a2/3 — J2), (16)
J. = J
dq
0 (a2 + q)" (c2 + q)12
12 , ■/" Î
dq
00 (a2 + q)" (c2 + q)3/2
Метод моделирования случайности формы включений. Метод учета случайности формы основан на моделировании гетерогенного материала с несколькими видами включений. Если материал содержит М видов включений, каждый со своими параметрами и распределением ориентаций, то тензор £е будет вычисляться по формуле, обобщающей (3) на этот случай [16]:
£ e =
(1 — Zdp)8mI+ Zdp(*p) • (1 — Edp)I + Edp(ip)
p=1
p=1
p=1
p=1
(17)
8
где индекс p показывает, что величина относится к данному виду включении, угловые скобки означают усреднение по всем включениям р-го вида.
В данном методе непрерывное распределение величин вг, аппроксимируется
дискретным распределением путем разбиения квадрата — 1 < гъ в2 < 1 на (2п +1)2 ячеек и задания каждой ячеИке относительной доли включении с отклонениями полуосеИ, лежащими внутри данной ячейки. При этом, если ячейка ( , к2) содержит относительную долю ^ к включений, принимается, что все они имеют относительные отклонения, равные координатам центра ячейки, т.е.
в1 = 2^/(2п + 1), в2 = 2^ /(2П + 1). (18)
Сумма относительных долей включений по всем ячейкам равна 1, т.е.
п п
2 2 dklk1 = 1. Пусть суммарная объемная доля всех включений равна d, тогда фор-
^ =— П k2 = — П
мула (17) может быть применена для данной модели в виде [14]
—1
(1 — d)г„I + d 2 2dkl,h(ккф
2
o
(1 — + d 2 2dklл1{
k =— п^ =—
2
o
(19)
здесь к 1 2 и "к1' 2 - тензоры включений с относительными отклонениями полуосей (18).
Усреднение в (19) проводится по ориентациям данного типа включений. Если все виды включений имеют распределение ориентаций с ФРО вида (8), то усредненные по
ориентациям тензоры (кодноосные с главными значениями:
(л^'М =(4?) =((л; ^ + та^2 )(1+А)/4+(лз^о—II)/2'
1 / х (20)
л^ = ((л; ^ + ад^2 )(1—11)/2+(лз/1^211'
где (Л;)kl'k2' ^ = 1,2,3 - главные значения тензоров ккх'кг; I определяется формулой (10). Для компонент тензора (кимеют место аналогичные формулы.
\ / o
Сравнение результатов моделирования частотных диэлектрических характеристик пористого кремния, полученных двумя методами. По формулам (11), (13)—(16) (аналитический метод) и (19), (20) (метод моделирования материала с несколькими видами включений) рассчитывались частотные диэлектрические характеристики пористого кремния с волокнистой или слоистой структурой в системе xyz в диа-
3 8 „ и
пазоне частот 10-10 Гц. В силу малой объемной доли кремния в материале он рассматривался как включения, а матрицей считался воздух. Зависимость диэлектрической проницаемости кремния от частоты электромагнитного поля на низких частотах
имеет вид в(ш) = 8Ж+ i4тсстх/ш, где ст5 = 0,435-10—3 Ом—1 • м—1 - статическая проводимость кремния; = 11,7 - статическая диэлектрическая проницаемость [17]. Пористый кремний с волокнистой структурой моделировался включениями случайной эллипсоидальной формы с небольшим разбросом вокруг средней сильно вытянутой сфероидальной формы. Материал со слоистой структурой моделировался включениями с малым отклонением от средней сильно сжатой сфероидальной формы. Ориентации включений считались распределенными по осесимметричному закону с ФРО вида (8) с одномер-
п
п
п
п
^е =
ной плотностью (12) при различных величинах разброса 52. Распределение относительных отклонений е, е2 полуосей включений считалось нормальным с дисперсиями
а2, а22 . Связующие перегородки между волокнами или слоями в материале не учитывались.
Цель моделирования - сравнение результатов, полученных двумя методами, и оценка границ применимости аналитического метода в зависимости от дисперсий величин е, е2 и от параметров, характеризующих среднюю форму включений. Некоторые результаты вычислений приведены на рис. 1-4.
V, Гц V, Гц
в г
Рис.1. Частотные характеристики действительных (а, б) и мнимых (в, г) частей компонент (ее)11 (а, в) и (ее)зз (б, г) эффективной диэлектрической характеристики модели пористого кремния с волокнистой структурой при различных разбросах в формах включений: сплошные кривые - аналитический метод; штриховые - моделирование
Как можно видеть из графиков, представленных на рис. 1, 2, 4, при малых разбросах в формах включений (а, а2 ^ 0,08 ) аналитический метод и метод моделирования дают очень близкие результаты. При любых аспектных соотношениях средней формы включений относительная разность при вычислении эффективных диэлектрических характеристик в диапазоне частот 1 кГц - 100 МГц не превышает 0,1%. При увеличении разброса в формах расхождение в результатах, полученных разными методами, увеличивается. Это объясняется увеличением членов, по степеням которых ведется разложение в процедуре аналитического метода, следовательно, увеличивается остаток ряда, которым пренебрегают. Учитывая этот факт, а также то, что за счет увеличения количества ячеек, на которые разбивается область изменения относительных отклонений полуосей включений, метод моделирования может быть как угодно точным в пределах точности, обеспечиваемой квазистатическим приближением Максвел-ла-Гарнетта. Разность между результатами двух рассмотренных методов можно трактовать как погрешность аналитического метода.
Рис.2. Частотные зависимости относительной разности результатов аналитического метода и метода моделирования при вычислении действительных (а, в) и мнимых (б, г) частей компонент (е^п (сплошные кривые) и (е,,)33 (штриховые кривые) для моделей пористого кремния при
различных разбросах в формах включений
Рис. 3. Частотные зависимости относительной разности результатов аналитического метода и метода моделирования при вычислении действительных (а) и мнимых (б) частей компонент (е^п (сплошные кривые) и (е,,)33 (штриховые кривые) для моделей пористого кремния при различных аспектных соотношениях a:c средней формы включений
Одной из характерных особенностей представленных на рис. 2 и 3 частотных зависимостей является то, что наибольшее значение относительная погрешность аналитического метода имеет на низких частотах. Это объясняется тем, что диэлектрическая проницаемость кремния на низких частотах имеет очень большую мнимую часть: 1ш(е(ш)) = 4тсст8/ш, поскольку проводимость ож при использовании данной формулы
О 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 а, 0 0,04 0,08 0,12 0,16 а.
а б
Рис.4. Области на плоскости параметров сть ст2, в которых относительные отклонения действительных (а) и мнимых (б) частей компоненты (ее)ц эффективной диэлектрической проницаемости для модели пористого кремния с волокнистой структурой в диапазоне 1 кГц - 100 МГц, вычисленных аналитическим методом, не превышают 0,1 или 1%
берется в единицах системы СГС, т.е. значение 0,435 -10-3 Ом-1 • м-1 должно умножаться на (4тсе0)-1 « 9-109. Отсюда следует, что на низких частотах член, по которому ведется разложение в процедуре аналитического метода, стремится к своему максимальному значению (при фиксированных величинах разброса в формах). Следовательно, максимальное значение имеет и погрешность из-за пренебрежения остатком ряда.
Анализируя приведенные на рис.3 и 4 частотные зависимости, отметим, что относительная погрешность аналитического метода зависит от аспектного отношения а : с средней формы включений. Наибольшее различие в результатах имеет место при сильно вытянутой средней форме включений, т.е. при а: с < 1:20, причем мнимые части диэлектрических характеристик отличаются в большей степени, чем действительные.
Заключение. Для оценки влияния случайности формы включений на диэлектрические характеристики гетерогенных материалов в переменном электромагнитном поле можно использовать оба предложенных метода, каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки. Недостатком аналитического метода является рост его погрешности с увеличением разброса форм включений. Тем не менее при разбросе в формах сть ст2 < 0,14 относительная погрешность не превышает 1% в диапазоне 1 кГц - 100 МГц. Преимуществом аналитического метода является очень низкая вычислительная ресурсоемкость с точки зрения времени и объема требуемой памяти. В частности, при расчете характеристик материала с очень вытянутыми включениями метод моделирования требует в несколько сотен раз больше компьютерного времени, чем аналитический метод. Метод моделирования можно применять при любых геометрически допустимых разбросах в формах.
Рассмотренные методы могут быть применены при создании материалов с желаемыми физическими свойствами, а также в геофизике при анализе результатов диэлектрической спектроскопии. Также следует отметить, что в отличие от аналитического метод моделирования может быть применен для вычисления оптических характеристик композитов с диэлектрической матрицей и металлическими включениями случайной формы.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 13-08-00672-а, № 14-08-00654-а).
Литература
1. Milton G. The theory of composites. - Cambridge: Cambridge University Press, 2004. - 719 p.
2. Фокин А.Г. Макроскопическая проводимость случайно-неоднородных сред. Методы расчета // УФН. - 1996. - Т. 166. - № 10. - С. 1069-1093.
3. Энергетический подход при моделировании формирования текстуры в поликристаллах под влиянием внешних напряжений / В.И. Колесников, И.И. Чекасина, В.В. Бардушкин и др. // Вестник Южного научного центра РАН. - 2008. - Т. 4. - № 3. - С. 3-8.
4. Лавров И.В. Эффективная проводимость поликристаллической среды в случае слабой макроскопической анизотропии // Изв. вузов. Электроника. - 2012. - № 4. - С. 3-12.
5. Dias-Guilera A., Tremblay A.-M. S. Random mixtures with orientational order, and the anisotropic resistivity tensor of high-Tc superconductors // J. Appl. Phys. - 1991. - Vol. 69. - N 1. - P.379-383.
6. Lavrov I. V. Effective conductivity of a polycrystalline medium. Uniaxial texture and biaxial crystallites // Semiconductors. - 2011. - Vol. 45. - № 13. - P. 1621-1627.
7. Giordano S. Equivalent permittivity tensor in anisotropic random media // J. Electrost. - 2006. - Vol. 64. -P. 655-663.
8. Иванов Е.Н., Лавров И.В. Теория диэлектрической проницаемости композиционных материалов с текстурой. Ч. 1 // Оборонный комплекс - научно-техническому прогрессу России. - 2007. - №1. -С. 73-78.
9. Лавров И.В. Диэлектрическая проницаемость композиционных материалов с текстурой: эллипсоидальные анизотропные кристаллиты // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2009. - №1. - С. 52-58.
10. Лавров И.В., Завгородняя М.И. Оптические свойства текстурированных нанокомпозитов с металлическими эллипсоидальными включениями // Оборонный комплекс - научно-техническому прогрессу России. - 2013. - №3. - С. 48-55.
11. Protsenko I.E., Zaimidoroga O.A., Samoilov V.N. Heterogeneous medium as a filter of electromagnetic radiation // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. - 2007. - Vol.9. - P. 363-368.
12. Koledintseva M. Y., DuBroff R. E., Schwartz R. W., Drewniak J. L. Double statistical distribution of conductivity and aspect ratio of inclusions in dielectric mixtures at microwave frequencies // PIER. - 2007. -Vol. 77. - P. 193-214.
13. Завгородняя М.И., Лавров И.В., Фокин А.Г. Аналитический подход к вычислению эффективных диэлектрических характеристик гетерогенных текстурированных материалов со случайной формой включений // Изв. вузов. Электроника. - 2014. - №5. - С. 3-14.
14. Завгородняя М.И., Лавров И.В. Моделирование диэлектрических свойств текстурированных композитов со случайной формой включений // Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения: материалы междунар. науч.-техн. конф. «INTERMATIC - 2012» / Под ред. акад. РАН А.С. Сигова. - М. : МГТУ МИРЭА - ИРЭ РАН, 2012. - Ч. 2. - С. 13-16.
15. БоровковМ.В., Савелова Т.И. Нормальные распределения на SO(3). - М.: МИФИ, 2002. - 96 с.
16. Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. -М.: ГИФМЛ, 1958. - 294 с.
17. Физические величины: справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.3. Мейлихова. - М.: Энерго-атомиздат, 1991. - 1232 с.
Статья поступила 13 апреля 2015 г.
Завгородняя Марина Игоревна - магистрант факультета экспериментальной и теоретической физики Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ». Область научных интересов: теоретические методы исследования физических свойств неоднородных сред.
Лавров Игорь Викторович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики № 2 МИЭТ. Область научных интересов: теоретические методы исследования физических свойств неоднородных сред. E-mail: iglavr@mail.ru