CC BY
25
УДК 539.3
Влияние термоупругих характеристик компонентов, формы и ориентации неизометричных включений на средние напряжения в матричных структурах
В.И. Колесников1, В.В. Бардушкин2, А.И. Сорокин2, А.П. Сычев1,3, В.Б. Яковлев2
1 Ростовский государственный университет путей сообщения, Ростов-на-Дону, 344038, Россия 2 Национальный исследовательский университет «МИЭТ», Москва, 124498, Россия 3 Южный научный центр РАН, Ростов-на-Дону, 344006, Россия
В работе решается задача прогнозирования значений средних по неоднородному материалу (внешних) напряжений, возникающих в результате изменения локальных (внутренних) напряжений в элементах неоднородности двухкомпонентных матричных структур (композитов) с неизометричными включениями. Предполагается, что локальные напряжения вызваны различиями термических коэффициентов линейного расширения включений и матрицы. Полагается, что неизометричные включения имеют форму эллипсоидов вращения (диски, короткие волокна) и могут быть ориентированы своей главной полуосью в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Рассмотрены случаи армирования, когда эллипсоидальные включения ориентированы главными полуосями в направлениях осей x, y и z прямоугольной системы координат, только в направлениях x и y, а также только в направлении x. При построении математической модели используется понятие оператора концентрации напряжений (тензора четвертого ранга), связывающего средние по неоднородному материалу напряжения с их локальными значениями в пределах отдельного элемента неоднородности. Моделирование опирается на обобщенное сингулярное приближение теории случайных полей. Указанное приближение позволяет получить явное выражение для оператора концентрации, с помощью которого возможен анализ значений средних по неоднородному материалу напряжений. Получены расчетные соотношения для определения внешних напряжений в рассматриваемых матричных композитах. Соотношения позволяют учесть ряд факторов: термоупругие характеристики компонентов, концентрацию и ориентацию включений в матрице. Для композиционных структур на основе эпоксидного связующего ЭД-20 с неизометричными включениями из меди проведены численные модельные расчеты по определению средних напряжений в направлениях трех осей координатной системы.
Ключевые слова: композит, включение, матрица, термический коэффициент линейного расширения, средние напряжения, оператор концентрации напряжений, моделирование
Effect of thermoelastic characteristics of components, shape and orientation of non-isometric inclusions on average stresses in matrix structures
V.I. Kolesnikov1, V.V. Bardushkin2, A.I. Sorokin2, A.P. Sychev13, and V.B. Yakovlev2
1 Rostov State Transport University, Rostov-on-Don, 344038, Russia 2 National Research University of Electronic Technology MIET, Moscow, 124498, Russia 3 Southern Scientific Center of RAS, Rostov-on-Don, 344006, Russia
This paper is concerned with the prediction of average values of (external) stresses arising in a heterogeneous material due to changes of local (internal) stresses in heterogeneities of two-component matrix structures (composites) with non-isometric inclusions. The local stresses are assumed to arise due to differences in the linear thermal expansion coefficients of inclusions and the matrix. Non-isometric inclusions are shaped as ellipsoids of rotation (discs, short fibers) and their principal semiaxis can be oriented in three mutually perpendicular directions. The reinforcement cases are considered when the principal semiaxes of ellipsoidal inclusions are oriented along the x, y and z axis directions of a rectangular coordinate system, only in the x and y directions, and only in the x direction. A mathematical model is constructed using the idea of a stress concentration operator (fourth rank tensor) that relates average stresses over the heterogeneous material to their local values within an individual heterogeneity. Modeling is based on a generalized singular approximation of random field theory. This approximation provides an explicit expression for the concentration operator that can be used to analyze the average stress values over the heterogeneous material. Relations are derived for the determination of external stresses in the studied matrix composites. The relations allow taking into account such factors as the thermoelastic characteristics of components, concentration and orientation of inclusions in the matrix. Numerical simulation experiments on the determination of average stresses in the direction of three coordinate system axes were conducted for composite structures on the basis of epoxy binder ED-20 with non-isometric copper inclusions.
Keywords: composite, inclusion, matrix, thermal linear expansion coefficient, average stresses, stress concentration operator, simulation
© Колесников В.И., Бардушкин В.В., Сорокин А.И., Сычев А.П., Яковлев В.Б., 2016
1. Введение
Проблема прогнозирования влияния внешних эксплуатационных факторов (механических, температурных, электрических, магнитных и т.д.) на эффективные и локальные физико-механические характеристики неоднородных материалов традиционно привлекает внимание многих исследователей [1-7]. Однако не меньший интерес представляет обратная задача, а именно: как влияют внутренние изменения, происходящие в отдельных элементах неоднородности композита, на его средние (по материалу) характеристики, т.е. характеристики, наблюдаемые на границе макрообъема неоднородной среды. Эти внутренние изменения могут быть вызваны различными факторами. Одним их таких факторов может являться термодинамический фактор, обусловленный различием термических коэффициентов линейного расширения элементов неоднородности [2, 810]. Прогнозирование значений средних по материалу напряжений может быть важным при решении многих задач в таких областях знания, как трибоматериаловеде-ние, микро- и наноэлектроника и др. [2, 5, 11].
Актуальность подобной задачи в области электронной техники обусловлена проблемами, возникающими при многоуровневой металлизации интегральных схем. В этом направлении достигнут уровень субмикронных размеров. Металлические нити в интегральных схемах заключены в диэлектрическую матрицу. При пропускании тока наличие разницы в значениях термических коэффициентов линейного расширения элементов неоднородности может приводить к возникновению как внутренних, так и внешних (поверхностных) дефектов в материале (как правило, из-за разрушения диэлектрика). Появление подобных дефектов влечет выход из строя изделий [2, 9]. Кроме того, прогнозирование значений средних по материалу напряжений может быть использовано для решения важной проблемы прогнозирования температуры плавления металлических нитевидных нанокристаллов, заключенных в тугоплавкую матрицу пористого анодного оксида алюминия [10, 12].
взаимно перпендикулярных осей х, у и г лабораторной системы координат (рис. 1). Установлено, как изменяются эксплуатационные свойства модельных материалов при варьировании структуры, формы и концентрации армирующих элементов.
В настоящей работе решается задача определения и численного моделирования влияния внутренних изменений, происходящих в отдельных элементах неоднородности композита, на его средние по материалу напряжения. Рассматривается ситуация, когда эти изменения обусловлены различием термических коэффициентов линейного расширения включений и матрицы. Исследования указанных упругих свойств проводятся для двухкомпонентных матричных композитов с включениями эллипсоидальной формы, ориентированными в пространстве неоднородных материалов вдоль осей х, у и г системы координат (рис. 1). Рассматриваются случаи армирования, когда эллипсоидальные включения ориентированы главными полуосями в направлениях осей х, у и г прямоугольной системы координат, только в направлениях х и у, а также только в направлении х. Изучается изменение средних по материалу напряжений при варьировании структуры и формы неизометричных включений.
Известно, что локальные напряжения в предположении линейной зависимости флуктуаций от значений средних по материалу можно охарактеризовать безразмерным оператором концентрации напряжений К5 (г) (г — радиус-вектор случайной точки среды). Этот оператор является тензором четвертого ранга [1-3, 14-20], он связывает локальные значения тензора напряжений 5 у (г) с внешними (средними) по материалу напряжениями <сти (г)), I, у, к, I = 1,2,3:
5у(г) = К?И (Г)<5Н (Г)). (1)
Угловые скобки в выражении (1) обозначают, в силу выполнения гипотезы эргодичности, усреднение по объему материала; по повторяющимся индексам ведется суммирование [7].
2. Постановка задачи и построение модели
Технологии создания композитов с заданными свойствами довольно дорогостоящи, поэтому возникает необходимость в разработке методов моделирования структуры, подбора компонентов и прогнозирования их влияния на свойства проектируемых неоднородных материалов [2, 13]. Армирование указанных материалов часто производится включениями неизометричной формы (волокна, диски и т.п.), специальным образом ориентированными в пространстве композита. В работах [2, 13] проведены исследования эффективных (эксплуатационных) упругих свойств матричных композитов с включениями эллипсоидальной формы, ориентированными в пространстве указанных материалов вдоль трех
Рис. 1. Структура матричного композита с эллипсоидальными включениями, ориентированными в направлениях осей х,у и г
Для определения Ко (г) необходимо решать уравнения равновесия упругой неоднородной среды. Однако в общем случае получить соотношение для численных расчетов оператора концентрации напряжений не удается. Поэтому для вычисления Ко (г) используются различные приближения. Одним из таких приближений, учитывающим взаимодействия включений, является обобщенное сингулярное приближение теории случайных полей [7]. В его рамках используется только сингулярная составляющая тензора Грина уравнений равновесия, зависящая лишь от дельта-функции Дирака, а также вводится однородное тело сравнения, материальные константы которого входят в окончательные выражения для вычисления Ко (г). Физический смысл обобщенного сингулярного приближения заключается в предположении однородности полей напряжений и деформаций в пределах элемента неоднородности. В этом случае выражение для Ко (г) имеет следующий вид (индексы опущены) [2, 19-21]: Ко (г) = с(г)[1 - g(r)c' (Г)]-1 X
x<c(r)[I -g(r )c' (r)]-1>
1\-1
(2)
где I — единичный тензор четвертого ранга; с(г) — тензор модулей упругости, двойным штрихом определяется разность между величинами неоднородной среды и однородного тела сравнения, характеристики которого далее обозначаются верхним индексом с: с" (г) = с(г) - сс; g(r) — интеграл от сингулярной составляющей второй производной тензора Грина уравнений равновесия, являющийся тензором четвертого ранга.
Для вычисления компонент тензора g(r) необходимо вначале осуществить расчеты компонент аЛу тензора четвертого ранга А, а затем в аЛу по двум парам индексов (;', j и ^ I) провести операцию симметризации [7]. Компоненты аЛу тензора А вычисляются с помощью следующего соотношения:
= /пкпу (3)
a
ikij
4п
где dQ = sin 9 d6 dф — элемент телесного угла в сфери-
-1
ческои системе координат; ti¡ — элементы матрицы, обратной матрице T с элементами ti¡ = cCkynknj; nk и nj (к, j = 1,2,3) — компоненты вектора внешней нормали к поверхности включения. Для эллипсоидальных включений с главными полуосями ¡1, ¡2 и ¡3 компоненты вектора нормали определяются соотношениями
n1 = — sin 9 cos ф, n2 = —sin 9 sin ф, n3 = —cos 9.
l1 l2 l3
Из соотношений (2) и (3) видно, что оператор Kс (r) зависит только от материальных параметров среды и структуры композитного материала.
При выполнении условия эргодичности операция усреднения для некоторой случайной величины a(r) сводится к интегрированию по объему, для многоком-
понентного материала — к суммированию средних значений по объемам компонентов:
(a(r )>=£ vs (a, (r )>,
(4)
где и (г) — объемная концентрация компонента ,у-го типа и соответствующая этому компоненту случайная величина, £ = 1 [1-4, 7].
Положим дал ее, что компоненты матричного композита изотропны. Пусть (^ = 1,2,3) — объемные концентрации эллипсоидальных включений, где индекс 1 относится к включениям, ориентированным вдоль оси х, 2 — вдоль оси у, 3 — вдоль оси г. При этом с1 + с2 + с3 = = Сщ, ст = 1 - (здесь и далее индексы т и т относятся к включениям и матрице соответственно). В качестве параметров тела сравнения можно использовать упругие модули матрицы [4]. Тогда, с учетом (4), соотношение (2) для оператора концентрации Ко (г) во включении ^-го типа (я = 1,2,3) примет следующий вид:
KJ = Cs[I - gs (Cs - cm)]
-1 ,
E Vi^i[I - gi (ci - Cm)] - + VmCn i=1
-1
(5)
в матрице:
-1
Кт = ст [I - gi (с - Ст)] -1 + СтСт | . (6)
В формулах (5) и (6) (я = 1,2,3) — тензор g с компонентами, вычисляемыми по соотношению (3), при этом Й1, ё2 и §3 соответствуют включениям 1-го, 2-го и 3-го типов соответственно; и ст —тензоры модулей упругости включений ^-го типа и матрицы соответственно.
Для реальных неоднородных сред оператор Ко (г) описывает связь между приложенным внешним (стн (г)) и внутренним о у (г) напряжениями. Очевидно, что Ко (г) является невырожденным. Значит, можно с помощью тензора, обратного Ко (г), произвести расчет внешнего напряженного состояния композитного материала при изменении локальных напряжений.
В качестве условия, приводящего к изменению напряженного состояния композита, рассмотрим фактор температурного расширения включений и матрицы. В этом случае локальные значения напряжений имеют вид
оу(г) = суи(г )аи(г )АТ. Здесь аи (г) — компоненты тензора температурного расширения; АТ — изменение температуры. Для композитного материала с изотропными компонентами
а и(г) = а (г)8и, где а(г) — термический коэффициент линейного расширения, причем а(г) = ат для матрицы, а(г) = а;п для включения; 8И — символ Кронекера. Тогда для отдельного включения вклад его локального напряжен-
ного состояния в среднее напряженное состояние композита составит
<«Ш) = (К Гп)-1 = (К Гп)-1 Сп а,п ЛТ 5 к1.
Для отдельного бесконечно малого объема матрицы вклад его локального напряженного состояния в среднее напряженное состояние композита составит
<о т) = (К т)-1 о т = (К т)-1 с т а т ЛТ 5 И. Отсюда, учитывая (4), среднее напряжение, вызванное термическим расширением композита с изотропными компонентами, будет определяться следующим соотношением: <о) = Уп <о 1п ) + Vт<от)> или
<о) - (Ут(К Гп)-1 ст ат + Ут(К т)-1 Ст а т) ЛТ 5 к1. (7)
3. Проведение модельных расчетов
Рассмотрим двухкомпонентные композиты с неизо-метричными включениями из меди (модуль Юнга 125 ГПа, коэффициент Пуассона 0.28, плотность 8.93 г/см3, термический коэффициент линейного расширения 1.75 • 10-5 К-1 [22]). В качестве матрицы было выбрано эпоксидное связующее ЭД-20 (модуль Юнга 3.8 ГПа, коэффициент Пуассона 0.39, плотность 1.18 г/см3, температурный коэффициент линейного расширения 4 • 10-5 К-1 [22, 23]).
Будем считать, что неизометричные включения имеют одинаковую эллипсоидальную форму (11, 12 и /3 — главные полуоси этих эллипсоидов) и ориентированы в пространстве композита в направлениях осей х, у и г лабораторной системы координат. Причем /1 = Ь, /2 = = /3 = 1 для включений, ориентированных в направлении оси х; /2 = Ь, /1 = /3 = 1 для включений, ориентированных в направлении оси у, /3 = Ь, /1 = /2 = 1 для включений, ориентированных в направлении оси г.
Для проведения расчетов при операциях над тензорами использовали матричную форму записи [7]. При этом ненулевые элементы Су (г,у = 1,..., 6) симметрической матрицы тензора модулей упругости с для изотропного материала выражаются через модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона V следующим образом: = = = Е (1 -V)
С11 " С22 " С33 " (1 + v)(1 - 2v), = = = Е
С44 = С55 - С66 - 2(1 + ^ = = = Е V
С12 = С13 = С23 = (1 + v)(l-2 V).
Объемное содержание включений У1п полагалось равным 0.3, что по массе составляло приблизительно 75 %. Изменение температуры ЛТ считалось равным 40 К. Кроме того, полагалось, что при армировании вдоль х, у и г объемные содержания включений меди, ориентированных в направлении каждой из осей, равны 0.1, при армировании вдоль х и у концентрация вклю-
(ап), МПа
0 2 4 6 8 Ь
(с22)9 мПа 0.062 -
0.060 -0.0580.0560.054 ■]-.-.-.-.-
0 2 4 6 8 I
(а33), МПа_
0.0620.0600.0580.056-
0.054
Рис.2. Зависимости ненулевых компонент <о) от изменения длины Ь главной полуоси эллипсоидальных включений. Ориентация включений вдоль осей х, у и г (1), х и у (2), х (3)
чений меди, ориентированных в направлении каждой из осей, равна 0.15.
На рис. 2 представлены результаты численного моделирования зависимостей ненулевых компонент тензора <о) от изменения длины Ь главной полуоси эллипсоидальных включений, проведенных по соотношению (7).
4. Заключение
На основании проведенных исследований и расчетов можно заключить следующее.
1. В точке Ь -1 значения ненулевых компонент тензора средних напряжений равны, что обусловлено изо-
тропией физико-механических свойств нетекстуриро-ванных композитных материалов.
2. Для материалов, армированных неизометричны-ми включениями в направлениях x, y и z, значения компонент (стп ст22> и <°зз> совпадают (независимо от величины L).
3. Для материалов, армированных неизометричны-ми включениями в направлениях x и у, значения компонент и (ст22 > совпадают (независимо от величины L).
4. Для материалов, армированных неизометричны-ми включениями в направлениях x и у и армированных только в направлении x, значения компонент (ст33> практически одинаковы (независимо от величины L).
Таким образом, проведенные исследования показывают принципиальную возможность оценки влияния каждого (даже единичного) компонента матричной структуры на средние напряжения в материале. Причем возможно учитывать не только материал армирующего компонента, но и его форму и пространственное положение.
Исследования В.И. Колесникова, А.П. Сычева выполнены за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-29-00116) в Ростовском государственном университете путей сообщения.
Литература
1. Buryachenko V.A. Micromechanics of Heterogeneous Materials. - New
York: Springer, 2007. - 686 p.
2. Колесников В.И., Бардушкин В.В., Яковлев В.Б., Сычев А.П., Колес-
ников И.В. Микромеханика поликристаллов и композитов (напряженно-деформированное состояние и разрушение). - Ростов-на-Дону: Изд-во РГУПС, 2012. - 288 с.
3. Bohm H.J. A Short Introduction to Basic Aspects of Continuum Micro-
mechanics. - Vienna: Institute of Lightweight Design and Structural Biomechanics, Vienna University of Technology, 2013. - 160 p.
4. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Лещенко П.В. Прогнозирование эффективных свойств пьезоактивных композитных материалов. -Киев: Наукова думка, 1989. - 207 с.
5. Нанотехнологии в электронике. Вып. 3 / Под ред. Ю.А. Чаплыгина. - М.: Техносфера, 2015. - 480 с.
6. Анисимов И.И., Бочкарева С.А., Десятых В.И., Люкшин Б.А., Люк-
шин П.А., Матолыгина М.Ю., Смолянинова М.В. Эффективные деформационно-прочностные характеристики полимерной композиции с дисперсными включениями разных размеров // Физ. мезо-мех. - 2006. - Т. 9. - № 2. - С. 11-15.
7. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. - М.:
Наука, 1977. - 399 с.
8. Колесников В.И., Бардушкин В.В., Сычев А.П., Яковлев В.Б. Напря-
женное состояние композитных материалов в условиях воздейст-
вия термодинамических факторов // Наука Юга России. - 2005. -Т. 1. - №4. - С. 9-13.
9. Колесников В.И., Бардушкин В.В., Сычев А.П., Яковлев В.Б. Влияние микроструктуры и термоупругих характеристик компонентов на средние напряжения в волокнистых композитных материалах // Материалы, технологии, инструменты. - 2009. - Т. 14. - №2. -С. 12-15.
10. Шиляева Ю.И., Бардушкин В.В., Силибин М.В., Гаврилов С.А., Яковлев В.Б., Пятилова О.В. Влияние структуры и термоупругих свойств компонентов на средние напряжения в анодном оксиде алюминия с порами, заполненными металлическими нитевидными нанокристаллами// Неорганические материалы. - 2013. -Т. 49. - № 7. - С. 723-728.
11. Валеев А.С., Красников Г.Я. Технология изготовления внутрикристальных и межкристальных межсоединений современных СБИС (обзор, концепция развития) // Микроэлектроника. - 2015. -Т. 44. - №3. - С. 180-201.
12. Shilyaeva Yu.I., Bardushkin V.V., GavrilovS.A., SilibinM.V., Yakov-lev V.B., BorgardtN.I., VolkovR.L., Smirnov D.I., ZheludkevichM.L. Melting temperature of metal polycrystalline nanowires electrochemi-cally deposited into the pores of anodic aluminum oxide // Phys. Chem. Chem. Phys. - 2014. - V. 16(36). - P. 19394-19401.
13. Колесников В.И., Бардушкин В.В., Сычев А.П., Яковлев В.Б. Упругие свойства матричных композитов с неизометричными включениями // Изв. вузов Северо-Кавказского региона. Технические науки. - 2004. - № 1. - С. 67-70.
14. Кунин И.А., Соснина Э.Г. Концентрация напряжений на эллипсоидальной неоднородности в анизотропной среде // Прикладная математика и механика. - 1973. - Т. 37. - №2. - С. 306-315.
15. Laws N. The determination of stress and strain concentrations at an ellipsoidal inclusion in an anisotropic materials // J. Elasticity. -1977. - V. 7. - P. 91-97.
16. Победря Б.Е., Горбачев В.И. Концентрация напряжений и деформаций в композитах // Механика композитных материалов. -1984.- №2. - С. 207-214.
17. Маслов Б.П. Концентрация напряжений в изотропной матрице, армированной анизотропными включениями // Прикладная механика. - 1987. - Т. 23. - № 10. - С. 73-79.
18. Буряченко В.А., Липанов А.М. Концентрация напряжений на эллипсоидальных включениях и эффективные термоупругие свойства композитных материалов// Прикладная механика. - 1986. -Т. 22. - №11. - С. 105-111.
19. Yakovlev V.B. Local stress-strain conditions of textured polycrystals under high pressure // High Pressure Res. - 2000. - V. 17. - P. 375383.
20. Колесников В.И., Яковлев В.Б., Бардушкин В.В., Сычев А.П. О прогнозировании распределений локальных упругих полей в неоднородных средах на основе обобщенного сингулярного приближения // Наука Юга России. - 2015. - Т. 11. - № 3. - С. 11-17.
21. Колесников В.И., Бардушкин В.В., Сычев А.П., Яковлев В.Б. Объемная плотность энергии деформации в хаотически армированных полимерных композитах с антифрикционными дисперсными добавками // Физ. мезомех. - 2015. - Т. 18. - №4. - С. 105-110.
22. Физические величины: Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.
23. Лапицкий В.А., Крицук А.А. Физико-механические свойства эпоксидных полимеров и стеклопластиков. - Киев: Наукова думка, 1986. - 92 с.
Поступила в редакцию
__16.03.2016 г.
Сведения об авторах
Колесников Владимир Иванович, д.т.н., проф., акад. РАН, президент РГУПС, kvi@rgups.ru Бардушкин Владимир Валентинович, д.ф.-м.н., доц., проф. МИЭТ, bardushkin@mail.ru Сорокин Александр Игоревич, асп. МИЭТ, mr40in@gmail.com
Сычев Александр Павлович, к.ф.-м.н., доц., доц. РГУПС, зав. лаб. ЮНЦ РАН, alekc_sap@mail.ru Яковлев Виктор Борисович, д.ф.-м.н., проф. РАН, декан, проф. МИЭТ, yakovlev@miee.ru
