CC BY
25
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УДК 531.13; 004.942
А. А. ДОЗОРОВ, В. К. МАНЖОСОВ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВИБРОУДАРНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОМ ЗАКОНЕ ИЗМЕНЕНИЯ СИЛЫ
Рассмотрен процесс движения виброударной системы при различном характере изменения периодической пульсирующей силе и соударениях о жёсткие преграды. За эталон принята прямоугольная форма закона изменения силы, разгоняющей ударную массу. Представлены результаты моделирования движения системы при линейно возрастающей силе.
Ключевые слова: моделирование, предельные циклы движения, режимы движения ударной системы, ударная система.
Работа выполнена в рамках государственного задания №2014/ 232 Минобрнауки России
Применение в технических системах виброударных систем определяет необходимость изучения их движения, определения параметров системы, реализующих заданные технологические задачи [1]. В работе [2] рассмотрена модель виброударной системы (рис.1, а), представленной в виде движущегося вдоль оси х тела массой m, на которое действуют периодическая пульсирующая сила P(t) и усилие пружины жёсткостью с.
/ /
mj m с Л А У *
Г V V V \ f /
Т
T+L
т
74 л
а) б) в)
Рис. 1. Схема ударной системы с упругим элементом и ограничителями
При движении тела массой т вдоль оси х происходит его столкновение с ограничителями (левым и правым), положение которых определяется координатами XI и хп. Полагаем, что х - координата центра масс ударника; X - скорость ударника; t - время; ^ - длительность действия силы Р^ Т- период.
В работе [2] определены параметры системы, обеспечивающие периодические удары с заданной скоростью по правому ограничителю и реализующие требуемый закон движения ударной массы при кусочно-постоянном силовом воздействии (рис. 1, б). Однако кусочно-постоянное силовое воздействие можно отнести к идеальной ситуации, к которой необходимо стремиться, но реализовать для реальных систем сложно из-за их инерционности. Возникает необходимость располагать сведениями о том, как изменение силового воздействия (при сохранении импульса силы, длительности действия силы и периода) отразится на режиме движения ударной массы.
Рассмотрим модель виброударной системы при силовом воздействии в виде периодической функции Р(0, отличающейся от кусочно-постоянной (рис. 1, в).
Качественная диаграмма периодического режима движения ударной массы, который целесообразно реализовать, представлена на рис. 2. В начале действия силы Р(0 ударник находится у левого ограничителя (х = хп), и скорость ударника равна Х2 . Под действием силы Р(0 ударник, преодолевая силу упруго сжимаемой пружины, перемещается в направлении правого ограничителя. При t = ^
ударник достигает правого ограничителя (х = х1) и наносит удар со скоростью Х1 .
© Дозоров А. А., Манжосов В. К., 2014
7' T+H A 1 Щ. 2T У t
T 2 T+H 21*
mx = <
Рис. 2. Качественная диаграмма периодического режима движения ударной массы
Полагаем, что удар мгновенный, и скорость ударника после нанесения удара принимает значение Xj+ = -k1X- (где k1 - коэффициент восстановления скорости при ударе о правый ограничитель).
На интервале t1 < t < T сила P(t) = 0, и ударник перемещается к левому ограничителю под действием силы упруго сжатой пружины. В момент времени t = T ударник достигнет левого ограничителя (х = xn), имея перед столкновением с ним скорость X2 .
При столкновении с левым ограничителем (t = T) скорость ударника принимает значение X+ = k2X- (где k2 - коэффициент восстановления скорости при ударе о левый ограничитель). В этот момент на ударник вновь начинает действовать сила P(t). Далее процесс движения повторяется.
Движение ударной массы с учётом условий периодичности и условий соударения о жёсткие ограничители описывается уравнениями:
[P(t) - c(A + X), если (i - 1)T < t < (i - 1)T + tj, i = J, 2, 3, ..., [-c(A + x), если (i - 1)T + tJ < t < i ■ T, i = J, 2, 3, ...,
P(t) Ф const, A =A 0 -Xn, X = X:I, X = X+, если t e[(i- 1)T, i = J, 2, 3, ...], X = Xi, X = X-, если X- > 0, t e[(i - J)T + tb i = J, 2, 3, ...],
X = Xi, X = X+ = -kjX-, если X-> 0, t e [(i- 1)T + tj, i = 1, 2, 3, ...],
X = XII, X = X-, если X- < 0, t e [i ■ T, i = 1, 2, 3, ...],
X = Xn, X = X+ = -k2X2, если X2 < 0, t e [i ■ T, i = 1, 2, 3, ...],
где i - номер цикла; A - максимальная осадка пружины; А0 - осадка пружины при расположении ударной массы у левого ограничителя.
Так как движение ударной массы периодическое и повторяется на каждом цикле, достаточно рассмотреть это движение на первом цикле, когда i = 1. Определим периодическую функцию P(t), обеспечивающую заданные условия. Сила P(t), разгоняющая ударную массу m на промежутке времени
P (t)dt.
Для периодической пульсирующей силы Pi =const можно записать:
I = {04 Pdt=P ■ t|0=P ■ t1.
При постоянстве исходных параметров системы, обеспечивающих необходимый режим движения системы и нанесение удара по правому ограничителю с заданной скоростью, необходимо, чтобы импульс силы Р(г) был равен импульсу силы Рг за время г1. Тогда для периодической функции Р(г) можно записать:
£ P(t )dt=p ■ t1.
(1)
Рассмотрим случай, когда функция Р(г) линейная и описывается уравнениями:
г - (г - 1)Т
P (t) =
P1
t1
-, если (i - 1)T < t < (i - 1)T +11, i = 1, 2, 3, ...
(2)
0, если (i - 1)T +11 < t < i ■ T, i = 1, 2, 3, ...
о
Ч Т ТЩ
Рис. 3. Диаграмма периодической линейной функции р(,) Учитывая (1) и (2), при / = 1 получим:
= р.1| = =р.,
0 2 0 2
■р'= 2Рх.
Осуществлено моделирование движения виброударной системы при действии кусочно-постоянной силы р, диаграмма которой представлена на рис. 1, б, и силы Р(,), диаграмма которой представлена на рис. 3. Реализуем характеристики цикла, обеспечивающие периодический режим движения ударной массы, установленные в работе [1]: Р1 = 400 Н; Т = 0,038 с; = 0,012 с; к1= 0,2; к2 = 0,02; с = 1000 Н/м; х: = 0; хп = - 0,03 м. Результаты моделирования представлены на рис. 4.
|-о,оз " Ж м 0,000005 с11 с |зоюо Шаг Шаг 0 1 2 3 1
|[1 м/с 0,012 И. с Р М- цй&йа 1 1 1 1 1
1000 с. Н/м 0,03В Т СЯ |0,152000 КЙ Время Л 0,000000 0,000005 0,00001 0 0,000015 0,000020
0.03 ^ 1 м 0 ЖШ. м ¡-0,02997956 уМ Ш" -0,03000000 -0,03000000 -0,02999998 -0,0299999В -0.02999992
1 т. кг -0,03 Х2(лев). г- ,|0,02В70967 V. м/с 0,00000000 0,00200000 0,00100000 0,00600000 0,00800000
100 Р1 0,2 к1(пр) 0,00 Р^И р. И 100,00 100.00 100,00 100,00 100,00
|о 0,02 к2(лев) |-0.020136В6 Йм/сН а м/с"2 100,00000000 399,99999500 399,99996000 399,99995500 399,9999200
И удара,- с ; -пгззо Ш337395 0,050260 0,07
х удара, м о.оовооооо тщоооооо 0,00000000 -0,0: V вдар^руд^^
вперед ЧЛ'М'-1- 1.67553111 -1.33|®81§1 1,70253791 -1,3: уд. м/с
0после уд м/с ЙШЩб23 0,(Шб127£ -0,91050759 0,02 Ёв
Старт
V, X, Р
/
/ /
7 /
7 7!
/ 7
с
О 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Время
0,12 0,13 0,14 0,15
Рис. 4. Результаты моделирования: 1 - диаграмма скорости V ударной массы, ку = 1 м/с; 2 - диаграмма перемещения х, кх = 0,01 м; 3 - диаграмма силы Р1 при кР = 0,01 Н
После остановки процедуры расчёта отображаются диаграммы перемещения и скорости объекта, а также диаграмма силы Р(,). По оси абсцисс откладывается расчётное время ,, с. Значение скорости объекта определяется как V = ку ■ V, где ку - коэффициент, определяющий масштаб диаграммы скорости; V - числовое значение скорости на оси ординат.
Значение перемещения объекта определяется как х = кх ■ х , где кх - коэффициент, определяющий масштаб диаграммы перемещения; х - числовое значение перемещения на оси ординат. Значение силы Р(,) определяется как Р = крР , где кр - коэффициент, определяющий масштаб диаграммы силы р(,); р - числовое значение силы на оси ординат.
Результаты моделирования движения виброударной системы при действии линейной силы P(t), и тех же характеристиках цикла (кроме Р1 = 2р = 800 Н): Т = 0,038 с; г1 = 0,012 с; к1 = 0,2; к2= 0,02; с = 1000 Н/м; xI = 0; хп = - 0,03 м, представлены на рис. 5.
шш хо: м 0,000005 4}Н| 30400 Шаг Шаг 0 1 2 Ш А
0 уо; м/с ¡¡0.012: й,- с № цикла [У- цикла 1 1 1 1 1
юйШ р. Н/М Уш _ Ш: шп V с Время НЯИЙ одоойШ 0,000010 ¡0)00015 ЙШШШ
з.оз а _ Х1(прХ.м - 0,02751252'! Шй -о.озоооооо -о; изо о оиво -одзоооооо фзоооооо -ОЯЗОООООО
1 ГП КГ " ¡-0,0 Ж Х2.{лев), м : 1.31Э1ШЗ ' V, м/с аооооооой- 0,00000000 0,00000157 0,00000500 0,00001000
8оК Р1 , н ал а; (Я Р, н Р, Н 0,00; 0,33-: 0,37 1,00
0 ,Р2; Н 0,02 (л ев) 1- глыпьъг а, и/слг; а, Щр 0,00000000 О.бббббКВД РЭЭЭЭЭ08 13.3333327''
1 удара; е- 0.000005 0,01-1325 ШШ [ооЯ Удар о левый ограни
х удара м -о.озоиоооо 0,00000000 -0,03000000 0,00 V перед уд. м/с 0,00000000
М-перед уд м/с 0,00000000 -1.-25351 70-3:. ЕЙ , У.послё уд. м/с 0,00000000
^;ГиСЛЁ уд м/с 0,000000(10 -0.9-36732-73 Е~02533034 -о,з;
ыв
Старт Стоп | Е:-:м:[ | Выпои 1
Рис. 5. Результаты моделирования при действии линейно возрастающей силы Р(г): 1 - диаграмма скорости V ударной массы, ку = 1 м/с; 2 - диаграмма перемещения х, кх = 0,01 м;
3 - диаграмма силы P(t) при ^ = 0,01 Н (P1 = 800 Н)
Режим движения виброударной системы при действии линейной силы P(t) изменился по сравнению с предыдущим случаем, когда действовала кусочно-постоянная сила P1 (хотя импульс силы сохранён в обоих случаях). Удар о правый ограничитель наступает позже времени Поэтому, как видно из диаграммы, скорость после завершения действия силы P(t) падает.
При сохранении импульса силы, обеспечивающего одинаковые скорости ударной массы по завершении действия силы, следует обращать внимание на конечные перемещения ударной массы под действием силы P(t). Эти перемещения должны быть такими, чтобы удар по правому ограничителю был нанесён в момент, близкий к окончанию действия силы P(t).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бабицкий, В. И. Теория виброударных систем / В. И. Бабицкий. - М. : Наука, 1978. - 352 с.
2. Дозоров, А. А. Моделирование переходных процессов движения ударной системы при периодической пульсирующей силе и соударениях о жёсткие преграды / А. А. Дозоров, В. К. Манжосов // Автоматизация процессов управления. - 2012. - № 4(26). - С. 14-20.
Дозоров Алексей Александрович, аспирант кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ. Имеет статьи по анализу и моделированию процессов движения ударных механизмов. Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ. Имеет монографии и статьи в области динамики и синтеза механизмов.
