Моделирование колебаний системы твёрдых тел. Постановка задачи Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.14; 004.942 А. Ю. РОЖКОВ

МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ ТВЁРДЫХ ТЕЛ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрена задача моделирования движения механической системы, состоящей из двух твёрдых тел при их прямолинейном движении. Учитываются упругие связи и вязкое трение. Для реализации поставленной задачи создан программный продукт, численно решающий систему дифференциальных уравнений с возможностью визуально представлять результаты моделирования в табличной и графической формах, позволяющий оперативно получать результаты в различных режимах движения.

Ключевые слова: моделирование, механическая система, система с двумя степенями свободы, колебания, диаграммы движения

Рассматривается задача моделирования механической системы, состоящей из двух тел массами т1 и т2 при их прямолинейном движении (рис. 1). Модель механической системы с двумя и более степенями свободы, как правило, рассматривается в работах, связанных с представлениями основных положений теории колебаний [1, 2], решением прикладных задач продольного удара [3, 4] и других.

-^ЛМЛМЛЛЛЛЛг

-1 £>2

0777777777777777777777777777777777777777777777Л(7777777Г Рис. 1. Схема механической системы

Масса

связана с неподвижной стойкой через упругий элемент жесткостью с1 и элемент

вязкого трения с силой сопротивления Ъ1 Х1, пропорциональной скорости Х1 (Ъ1 - коэффициент пропорциональности). На массу т1 действует внешняя периодическая сила Р(?), где t - время.

Масса т2 связана с массой т1 через упругий элемент жесткостью с2 и элемент вязкого трения с силой сопротивления Ъ2 (( - Х1), пропорциональной разности скоростей (Х2 - Х1). Здесь Ъ2 -коэффициент пропорциональности.

Движение механической системы описывается дифференциальными уравнениями:

т 1 Х1 = — с1 х1 + с 2( х2 — х1) — Ъ1 Х1 + Ъ2( х2 — хс1) + Р (t) , (1)

2Х-2 — С2 (X2 Х-^ ^ Ъ2 (X2 ¿1) , (2)

с соответствующими начальными условиями:

при t — 0 Х1(0) — Х1,0, X (0) — Х^, х2 (0) — х2 0 , .¿1 (0) — Х1,0,

где х1 0, х2 0 - координаты, определяющие начальные положения масс т1 и т2; Х10, Х2 0 -начальные скорости масс т1 и т2 .

При анализе движения механической системы важно знать, как параметры системы и внешнее силовое воздействие влияют на скорости тел Х1 и Х2, а также на их линейные перемещения х1 и х2 относительно положения равновесия.

т

© Рожков А. Ю., 2016

Для реализации поставленной задачи на языке C# написан программный продукт, численно решающий систему дифференциальных уравнений с возможностью наглядно представлять результаты моделирования в табличной и графической формах, позволяющий оперативно получать результаты в интересующем пользователя режиме движения.

Пользователь имеет возможность задать параметры системы: массы m1 и m2, жёсткости пружин c1 и c2, коэффициенты диссипации b1 и b2, а также начальные условия движения: начальные координаты х10 и х2 0, начальные скорости Xx10 и Х2 0, амплитуду и период вынуждающей силы P(t).

Числовые значения, вводимые в соответствующие ячейки панели ввода исходных данных, имеют следующую размерность физических величин: массаm1 и m2- кг, жёсткость упругих элементов c1 и

c2 - Н/м, коэффициенты диссипации b1 и b2 - Н • с/м, начальные координаты x10 и x20 - м, начальные скорости Х10 и Х2 0 - м/с, сила Р - Н.

В процессе вычислений обеспечивается визуализация процесса движения масс, автоматизированное построение диаграмм движения: линейных перемещений тел Х1 и Х2;

скоростей Х1 и Х2, фазовых диаграмм v(x), формирование результатов численного расчёта в таблицу Excel.

Ниже представлены некоторые результаты наиболее характерных режимов движения. В случае, когда P(t), b1 и b2 равны нулю, наблюдается картина свободных колебаний. На рисунке

2 представлены диаграммы, показывающие перемещение тел при начальных координатах Х 0 = 0,1 м

и х2 0 = 0,1 м и равных жёсткостях упругих элементов.

Л

\ V2 / t^s__^ \ \

\ У \

\ V /

г А А Л

\ А

1" \ 11 \ У \/

\/ V V

Рис. 2. Диаграммы перемещений тел (1 - перемещение х1, 2 - перемещение х2)

Рис. 3. Диаграммы перемещений масс (1 - перемещение х1, 2 - перемещение х2)

Рис. 4. Фазовые диаграммы (1 - диаграмма хс1(х1) , 2 - диаграмма Х2(х2))

В случае, когда P(t) = 0, а коэффициенты b1 и b2 не равны нулю, наблюдается картина свободных затухающих колебаний. На рисунке 3 представлены диаграммы, показывающие перемещение тел при начальных координатах x10 = 0,1 м и x20 = 0,1 м и равных жёсткостях упругих элементов

(коэффициенты bl = 0,5 Нс/м; b2 = 0,5 Н • с/м).Заметны интенсивное уменьшение амплитуда колебаний и синхронизация движений первой и второй масс.

На рисунке 4 представлены воспроизводимые фазовые диаграммы движения тел при свободных затухающих колебаниях: диаграмма 1 - фазовая диаграмма Х1 (xt); диаграмма 2 - фазовая диаграмма

Х2 (Х2 ) .

При моделировании вынужденных колебаний в ячейки ввода исходных данных должны быть внесены параметры силового воздействия P(t) на массу m1: сила периодическая пульсирующая или гармоническая, максимальное значение силы,отношение периода силового воздействия Тр к периоду

T = 2п / yjc1 / mt . При пульсирующем силовом воздействии вводится отношение длительности

действия силы ta к периоду силы Тр.

Разработанные вычислительные процедуры позволяют в оперативном режиме анализировать информацию о свободных колебаниях без демпфирования, о свободных колебаниях с вязким демпфированием, о вынужденных колебаниях при пульсирующем силовом воздействии (без демпфирования или с вязким демпфированием), о вынужденных колебаниях при гармоническом силовом воздействии (без демпфирования или с вязким демпфированием).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. - М. : Наука, 1967. - 444 с.

2. Бабаков И. М. Теория колебаний. - М. : Наука, 1968. - 560 с.

3. Вельмисов П. А., Манжосов В. К. Математическое моделирование в задачах динамики виброударных и аэроупругих систем. - Ульяновск :УлГТУ, 2014. - 204 с.

4. Листрова К. С., Манжосов В. К. Моделирование продольного удара упругого стержня как механической системы с конечным числом степеней свободы // Известия Саратовского ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2011. - Т. 11, вып. 2. - С. 96-102.

Рожков Артём Юрьевич, аспирант, окончил факультет информационных систем и технологий Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи в области моделирования процессов движения виброударных систем. [e-mail: tpm@ulstu.ru].

Поступила 18.03.2016 г.