Синтез виброударной системы при периодическом силовом воздействии Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3 В. К. МАНЖОСОВ, О. Д. НОВИКОВА, Д. А. НОВИКОВ

СИНТЕЗ ВИБРОУДАРНОИ СИСТЕМЫ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ СИЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Рассмотрена модель виброударной системы при периодическом силовом воздействии па ударную массу. Осуществлено моделирование процесса движения ударной массы при соударениях о жёсткую преграду. Представлена процедура выбора параметров системы, реализующей требуемый режим двиэ/сения ударной массы.

Ключевые слова: виброударная система, движение виброударной системы, синтез виброударной системы, моделирование процесса движения.

При создании виброударных машин возникает необходимость построения закона движения ударной массы [1-3]. Рассмотрим виброударную систему, схема которой приведена на рис. 1. Масса т

движется вдоль оси д под действием периодической возбуждающей силы Р((), диаграмма которой представлена на рис. 1.

НО™

У'

/

в

и

74 и

Рис. 1. Схема виброударной системы и диаграмма силы РЩ Движение рассматриваемой виброударной системы описывается уравнениями:

[Ч' |р2,(п-1)Т+г, <(<п-Т,

(1)

начальные условия:

условия соударения

х({0)=х0, х((0)=х0, при х = хс, X >0,

х+ =- Я-х .

(2)

(3)

Уравнения (1) представим в виде

- А Л и,(и-0Т^'<(Л-1)Т + ,> . Р, , Р2

х-А, А-{ . \ А, =—; Л2 = — . (4)

А2,{п-\)Т + 1\<Кп-Т, т т

Рассмотрим первый цикл движения (и=1). Предположим, что 0</</,. Тогда А = А\. Решение дифференциального уравнения (4) имеет вид

1 2

*=*0 + Д(г-/0), х=х0+хй\1-10)+-А^-1ъ) . (5)

Решения (5) справедливы, если на интервале 0</</, не произошло соударения.

В этом случае наступает вторая фаза действия усилия (А - А2). На этом интервале времени

/,<Г<Т дг=лг(/,) + Л2 •(/-/,), лг=х(/]) + ^(/1)-(/-/,) + ^Л2(/-^1)2. (6)

В. К. Манжосов, О. Д. Новикова, Д. А. Новиков, 2008

Решения (6) справедливы, пока не произошло соударение.

Предположим, что удар произошёл на интервале 0</</,. Время первого удара обозначим /, ,

причём 0</с. </,. Координата массы совпадает в этот момент с положением ограничителя

Л' {‘с, ) = Хс ■

Предударная скорость массы равна из (5)

(*(0) =*0 + Д('с,-'о)- О)

Время первого удара /С] определим, решая уравнение (5) при Х — Хс и ^ = ? , если в первой фазе действия силы происходит /-й удар, то на интервале

*=И^)У+4 1 / \2 2 (*(/,))*

*=*с + (*(0) <<->',)+2А>{<-‘с,)2■ 1сГ1с,.,- Х-ТГ~• №

Время между двумя последовательными ударами пропорционально зависит от послеударной скорости предыдущего удара и оно также уменьшается в геометрической прогрессии. Координата ударной массы интенсивно стремится к хс_

Общее время таких соударений при числе соударений, стремящихся к бесконечности, конечно и определяется как сумма членов геометрической прогрессии и равно

2Л чч-

■ (9)

Если / < //, то многократный ударный режим движения ударной массы заканчивается ещё в пер-

^со

вой фазе действия силы Р^), и следует переходить к рассмотрению движения во второй фазе действия силы при следующих начальных условиях:

х(/,)=хс, х(Г,) = 0.

Если неравенство / < // не выполняется, то возникает необходимость определения конечного

ао

числа ударов массы об ограничитель до начала второй фазы действия силы Р(1). Число ударов у определится как

1п[1 - -1)]

]=----------^4----------+1. =-л •(%,))-. (Ю)

1п Я Л}

При режиме многократных ударов скорость каждого последующего удара интенсивно уменьшает-

па пг\

Х^/| I I V/

закону геометрической прогрессии, причём

(*(0)-=/г'.(х(,С1))-. (11)

Так как Я< 1, то К' 1 при увеличении / стремится к нулю. Если рассмотреть отношение

ИО)~ _

(ЛК))

= 7Г, (12)

то отношение скорости удара на / -м соударении к предударной скорости первого удара при достаточно большом числе соударений становится малой величиной.

Если задаться величиной этой малости £ и учитывать

ИО)-=|(*(0)'’ еели к‘"-е’ •(»)

О, если Я‘1<£,

то можно определить то минимальное число ударов, после которого можно считать практически, что ударная масса находится в покое у ограничителя, пока t<t\, т. е. не наступила вторая фаза действия

усилия Pit).

♦ J

Для этого рассмотрим равенство R =£, из которого

\пе ,

In Л

Если , то можно считать, что " =0 , x{jCi)~xc-> т- е- становятся известными на-

чальные условия для следующего этапа расчёта.

Удар па интервале /j <t <Т . Время первого удара обозначим , причём t]<tc < Т . Координата массы совпадает в этот момент с положением ограничителя x(/c. j = xc. Предударная скорость массы равна из (6)

(x(iC[ ))■ =*(/,) +4,-(/,,-ii). (15)

Время первого удара t во второй фазе действия усилия при Х = ХГ и t — tr

С| С СI

А

(16)

Предударная скорость массы при t=/ равна

* = *с.

(¿(/,))" =^Ч0-2А2(х(0-хс) , (х(/ )У =- R■ (х(/ ))-.

Скорость массы после удара в соответствии с равенством (2) равна

*=v ИОГ^-ИО)"- <|7>

Повторный удар во второй фазе действия усилия невозможен, так как из (17)

Поэтому далее расчёт производится по формулам (/ < / < ^):

*=(*('<,))*+М‘-‘*)’ х=)У)+\А1 {'-‘с,)2-

При / = Т скорость ударной массы и её координата примут значения

^ 1 ^ ¿(7>(4£!))Чл2-(Г-0, х(Т) = хс + (х(/„)) ■{Т-{с)+-А1{Т-1с) .

Далее начинается второй период движения. Значения координаты ударной массы х(Т) и её скорости х(Т) принимаются за начальные для следующего цикла, и процедура расчёта повторяется.

На рис. 2 представлены результаты моделирования (диаграммы положения х и скорости V ударной массы, время /) при выходе механической системы на установившийся режим движения.

Следует обратить внимание на то, что в установившемся режиме движения предударная скорость массы существенно ниже, чем на первом цикле движения. Это определяет важность исследования поведения системы от начала до выхода на установившийся режим движения.

X

м

-0.5

0,4

-0,3

0Л

•0,1

о

V. sа/с

О

0.05 0.1

f. с

0.15 0,2 0.25 0.3

0.05 0А

0.45 0.5

0.55

Рис. 2. Диаграммы положения х (диаграмма 1) и скорости V (диаграмма 2) ударной массы

при выходе системы на установившийся режим движения

Синтез закона движения. Поставим задачу построить закон движения х = х([) ударной массы т, совершающей прямолинейное движение вдоль оси х с соударениями об ограничитель (хс -

координата ограничителя) со скоростью V- под действием периодического силового воздействия Р(() с периодом Т с одним переключением силы за период в моменты времени (/,),.

Предполагается, что удар массы гп об ограничитель мгновенный, модель удара описывается равенством

у+=-*Х,

где V - скорость массы после удара; к}> - коэффициент восстановления скорости (0 < ку < 1). Предполагается, что сила Р(/) за период её действия имеет две фазы с постоянными по модулю

значениями сил Р] и Р2

Р(1)-Р„ (/„),</<(/,),; Р(1) = Р2, (/,),.</<(/„), +Т;

где (/„), = (/ - 1)Г - время начала периода действия силы; (О, - {к, \+к,'Т- время

переключения действия силы

, kt = - коэффициент (0 < kt <1); і -

номер периода силы

Периодический характер движения ударной массы описывается уравнением

*((tk),)=x((tH),.), Mh),)=)/),

где (ik)l - i Т — время окончания периода действия силы, х((/;Д) и *((/*),)- положение ударной массы в начале и в конце периода, х((/Д)их((/Д)~ скорость ударной массы в начале и в конце периода.

Энергия удара будет наибольшей, если в момент (/,), переключения силы P{t) масса m достигнет ограничителя и произведёт удар.

Определим закон движения ударной массы ffl при заданных начальных условиях х0 и Х0,

значении массы Ш, положении ограничителя Хс, предударной скорости V и коэффициенте

восстановления kv. Для решения задачи необходимо найти значения (/,); , Р] и Р2, v+, Т.

Из условий обеспечения периодичности движения, условий соударения следует, что

т_^2(хс-х0) | 2(х0-хс)

V +х.

о

v+ +х.

-)+а-w. /=1,2,...,

о

V + X

о

- ч *>

Л = м

(УУ-

2(х, - х„)

V ,1гц , Р> 2(Хс~Хо),

. , Ло</М;со +-----:---г-),

V

+

= — к.у

т х0 + V

.+

X, -V

г = т 2(хс ~хо)

Т-

х0+у

Ф

Например, при заданных начальных условиях -^о=0 и -^о=0, значении массы ҐП= 1 кг, положении ограничителя ^=0,05 м, предударной скорости V = 20 м/с и коэффициенте восстановления =0,25 будем иметь следующие характеристики цикла:

Я =

002-(*ьУ -

т

2(хс-х0)

= 400 Н, V* = — = -5 м/с, Т =

2(хс~хо) . 2(х„-хг)

+

V + X,

о

____о

У+ + X.

= 0,25 с,

о

р - т

x0-v

+

Т-

2(х -7У=25Н’ (О,- = 2(*с. - + 0- 1)Г = (0,05 + (;• -1) ■ 0,25) с.

V 4-Х

Х0 + У

На рис. 3 представлены результаты моделирования движения виброударной системы при реализации вычисленных характеристик цикла.

Обратим внимание, что процесс периодический, с одним соударением ударной массы о ограничитель с требуемой скоростью соударения.

У,ім/с Х,М 30

Диаграмма скорости

Диаграмма перемещений

0,05

0>25 0,30 0,50 0,55

Рис. 3. Диаграммы движения ударной массы

Могут быть и другие постановки задачи определения закона движения ударной массы, когда заданы другие параметры ударной системы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алимов, О. Д. Гидравлические виброударные системы / О. Д. Алимов, С. А. Басов. - М. : Наука, 1990. - 352 с.

2. Ашавский, А. М. Силовые импульсные системы / А. М. Ашавский, А. Я. Вольперт, В. С. Шейнбаум. - М.: Машиностроение, 1978. - 200 с.

3. Манжосов, В. К. Динамика и синтез электромагнитных генераторов силовых импульсов / В. К. Манжосов, Н. О. Лукутина, Т. О. Невенчанная. - Фрунзе : Илим, 1985. - 119 с.

@©©©©©вэ©©©©©©

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ.

Новикова Ольга Дмитриевна, доцент кафедры «Теоретическая и прикладная механика».

Новиков Дмитрий Александрович, аспирант УлГТУ.