CC BY
42
Функции А(у), А'(у), Ь(х), Ь'(х) принадлежат классу Гельдера; А(х), Ь(х) ^ 0 при х ^ 0;
1 /2
Ь(х) = о(вхр(7х)), 7 < — 1/2 при х ^ +го; (Л/2 — у) А(у) ^ 0 при у ^ Л/2.
Ядра Б(х,Ь), ©(х,£) непрерывно дифференцируемы в областях определения, ограничены в точке (0,0), допускают обращение в го порядка не выше 1/2 вблизи (0, Л), а вблизи (+го, 0) исчезают.
Система (53)-(54) является системой уравнений Фредгольма, безусловная разрешимость которой следует из единственности решения задачи Т.
Библиографический список
1. Архипов, Г.И. Лекции по математическому анализу / Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. -М.: Высш. шк., 1999. - 695 с.
2. Ильин, В.А. Основы математического анализа: в 2 ч. / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. - М.: Наука, 1982. - Ч. 1. - 616 с.
3. Франкль, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике / Ф.И. Франкль. - М.: Наука, 1973. - 712 с.
4. Зарубин, А.Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А.Н. Зарубин / Орел. гос. ун-т. - Орел, 1999. - 225 с.
5. Зарубин, А.Н. Интегродифференциально-разностные уравнения Вольтерра и интегральные преобразования /
УДК 004.942
МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЖИМОВ ДВИЖЕНИЯ УДАРНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ СИЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
В.К. Манжосов, Д.А. Новиков
Ульяновский государственный технический университет, кафедра теоретической и прикладной механики E-mail: [email protected], [email protected]
Разработана модель движения ударной системы при периодическом силовом воздействии с учетом возможных многократных ударов за период силового воздействия. Осуществлено моделирование режимов движения ударной системы. Сделан выбор параметров системы, реализующих требуемые характеристики движения.
Ключевые слова: удар, модель удара, движение ударной системы, многократный удар, ударный механизм.
ВВЕДЕНИЕ
А.Н. Зарубин // Современная математика и проблемы математического образования: Тр. Всерос. науч.-практ. конф. - Орел, 2009. - С. 48-49.
6. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Ма-ричев. - М.: Наука, 1981. - 799 с.
7. Диткин, В.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление / В.П. Диткин, А.П. Прудников.
- М.: Наука, 1974. - 544 с.
8. Маричев, О.И. Об уравнении смешанного типа с двумя линиями вырождения в несимметричной области / О.И. Маричев // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук.
- 1969. - № 6. - С. 74-80.
Impact System Motion Modes Simulation at Periodic Force Effect
V.K. Manzhosov, D.A. Novikov
Ulyanovsk State Technical University, Chair of Theoretical and Applied Mechanics E-mail: [email protected], [email protected]
A model of impact system motion at periodic force effect taking into account possible multiple impacts during the period of the force effect has been developed. Simulation of impact system motion modes has been carried out. Choice of system parameters realizing the required motion characteristics has been made.
Key words: impact, impact model, impact system motion, multiple impact, impact mechanism.
Удар — физический процесс, который часто используется в практической деятельности [1]. Технологии с использованием удара перспективны, они позволяют воздействовать на обрабатываемый объект с огромными усилиями [2, 3]. Реализация периодического удара осуществляется с использованием механизмов ударного действия [4]. При создании ударных механизмов возникает необходимость построения рациональных законов движения ударной массы [4, 5]. На режим движения ударной массы оказывает влияние множество факторов, к числу которых можно отнести силы, разгоняющие массу для нанесения удара и отводящие ее в исходное состояние, заданный период между ударами, время переключения сил, восстановление скорости ударника и другие. Эффективный анализ влияния этих факторов и построение требуемого режима движения ударной системы могут быть достигнуты при моделировании движения виброударной системы.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрена ударная система, схема которой приведена на рис. 1. Масса т движется вдоль оси х под действием периодической силы Р(Ь), диаграмма которой представлена на рис. 1.
Р(А) т
1 < х т Р
ь т Г+А 2Т А
1 хс у
Р
Рис. 1. Схема виброударной системы и диаграмма силы Р(Ь) Движение рассматриваемой виброударной системы описывается уравнениями:
т ■ ж = Р(Ь), ж(Ь0)= ж0, ж(Ь0)= ж0,
1>1, (п - 1)Т < Ь< (п - 1)Т + ¿1, Р (Ь) = ^ " п = 1, 2, 3,...
[Р2, (п - 1)Т + ¿1 < Ь<пТ,
при х = хс если ж- > 0, то ж + = - Лж
(1) (2) (3)
где ж0 — координата массы в начальный момент времени при Ь = Ь0, ж0 — скорость ударной массы в начальный момент времени, Р1, Р2 — силы, действующие на массу т в течение периода, Т — период силового воздействия, Ь1 — длительность действия силы Рь п — номер цикла силового воздействия, хс — координата ограничителя, ж- — скорость ударной массы перед столкновением с ограничителем, ж + — скорость ударной массы после столкновения с ограничителем, Л — коэффициент восстановления скорости при ударе.
2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ 2.1. Удар на интервале Ь0 < Ь < Ь1
Время первого удара обозначим ЬС1, причем Ь0 < ЬС1 < Ь1. Координата массы совпадает в этот момент с положением ограничителя ж(ЬС1) = жс. Используя теорему об изменении кинетической энергии материальной точки применительно к движению ударной массы, на интервале Ь0 < Ь < ЬС1 имеем
(4)
2 т(ж2 (Ь) — ж2 )= Р1(ж — ж0), ж(Ь) = ж 0 + 2А1 (ж — ж0), А1 = Р1.
В момент первого удара Ь = ЬС1, ж = жс. Так как предударная скорость массы по условию (3) является положительной величиной, то при Ь = ЬС1 из (4) для (ж(ЬС1))- оставляем знак «+»:
Ь = Ьс1, (жс(Ьс1)) = л/же0 - 2А1(ж0 - жс).
(5)
При интегрировании (1) до нанесения первого удара на интервале Ь0 < Ь < ЬС1 имеем ж(Ь) = ж0 + + А1 (Ь - Ь0). При Ь = ЬС1 получим значение (ж(ЬС1))-, равное
(ж(Ьс1)) = ж0 + А (Ьс1 - Ь0). Время первого удара ЬС1 определим, приравняв (5) и (6):
-же0 + \/ж2 - 2А1(ж0 - жс)
ЬС1 = Ь0 +
А1
(6)
(7)
Начальная скорость ж0 может быть как положительной (ж0 > 0), так и отрицательной (ж0 < 0) величиной. При ж0 < 0 из (7) следует, что время первого удара наступит позднее, чем при ж0 > 0. Скорость массы после удара при Ь = ЬС1 в соответствии с равенством (3) равна
Ь = ЬС1, (ж(ЬС1))+ = -Л(ж(ЬС1))-.
(8)
х
о
На первой фазе действия усилия на интервале Ьс1 < Ь < ¿1 скорость ударной массы и ее координата определяются равенствами:
¡¿ = (¡¿(¿01))+ + ^(Ь - ¿С1), х = хс + (¡¿(¿01))+(Ь - ¿С1 ) + 2А (Ь - ¿С1 )2. (9)
Удар массы об ограничитель может многократно повторяться на интервале Ьс1 < Ь < Ь1. Если в первой фазе действия силы в момент времени Ь = Ь0. происходит г-й удар, то на интервале ЬС1-1 < Ь < ЬС1
¡¿(Ь) = (¡¿(Ьс4_1))+ + А (Ь - Ьс;-1), ¡¿(Ь) — ¿С + (х(Ьс;-1))+(Ь - Ьс4_1 ) + 1 А (Ь - Ьс4_1 )2, (10)
где Ьс—1 — время нанесения (г - 1)-го удара, (¡¿(Ьс4_1))+ = -^(¡¿(Ьс4_1))- — скорость массы после нанесения (г - 1)-го удара, являющаяся начальной скоростью движения массы на интервале
ЬСi_l < Ь < Ьс^ •
В момент нанесения ¿-го удара при Ь = Ьс< масса соприкасается с ограничителем и ее координата ж(Ьс<) = ¿с. Тогда из (10)
¿с = ¿с + (¡¿(Ьс4_1 ))+(Ьс< - Ь^_1) + 1 ¿1(Ьс4 - Ьс<_1 )2, Ьа - Ьс,_1 = - ^еТ1)) . (11)
2 А.1
Время между двумя последовательными ударами пропорционально зависит от послеударной скорости предыдущего удара и оно уменьшается в геометрической прогрессии. Возникает явление «дребезга». Координата ударной массы интенсивно стремиться к хс.
Общее время таких соударений при числе соударений, стремящихся к бесконечности, конечно и определяется следующим образом:
2Я
Ьс- = Ьс1 + А (1 - Я)№1)) •
Если Ьс^ < Ь1, то многократный ударный режим движения ударной массы заканчивается еще в первой фазе действия силы Р(Ь) и следует переходить к рассмотрению движения во второй фазе действия силы при следующих начальных условиях: ¿(Ь1) = ¿с, ¿¿(Ь1) = 0.
Если неравенство Ьс^ < Ь1 не выполняется, то возникает необходимость определения конечного числа ударов массы об ограничитель до начала второй фазы действия силы Р(Ь). Число ударов ] определится как
1п[1 - (я - 1)] 2
' = ^—1пЯ—- + 1' = м й(¿(ícl))-.
При режиме многократных ударов скорость каждого последующего удара интенсивно уменьшается по закону геометрической прогрессии, причем (¿(Ьс4))- = Я'-1 (¡¿(Ьс1))-.
Так как Я < 1, то Я'-1 при увеличении г стремится к нулю. Если рассмотреть отношение (¡¿(Ьс))-/(¡¿(Ьс1))- = Я'-1, то отношение скорости удара на г-м соударении к предударной скорости первого удара при достаточно большом числе соударений становится малой величиной.
Если задаться величиной этой малости е и учитывать
(.(Ь ))- /(¡¿(Ьс4))-, если Я'-1 > е, (¡¿(Ьс4)) = <
[0, если Я'-1 < е,
то можно определить минимальное число ударов гшщ, после которого можно считать практически, что ударная масса находится в покое у ограничителя, пока Ь < Ь1, т.е. не наступила вторая фаза действия усилия Р(Ь):
1п е
¿шт — й ^ + 1.
1п Я
Если г > гшт, то можно считать, что (¡¿(Ьс<))- — 0, ¿(Ьс<) — ¿с, т.е. становятся известными начальные условия для следующего этапа расчета.
2.2. Удар на интервале ^ < г < Т
Если первый удар не произошел на интервале г0 < t < ¿1, то он может произойти на интервале ¿1 < t < Т, когда на массу действует сила Р2. Начальные условия для этого этапа движения таковы: = х(г1) < хс, х= ). Время первого удара обозначим ¿С1, причем ¿1 < ¿С1 < Т. Используя теорему об изменении кинетической энергии материальной точки применительно к движению ударной массы, на интервале ¿1 < г < ¿С1 имеем
1 Р
2т(х2(г) - хх2(г1)) = Р2(х - ж(*1)), х(г) = ±л/х2(*1) + 2А2(х - )), А = т• (12)
В момент первого удара г = ¿С1, х = хс. Тогда предударная скорость массы, будучи по условию (3) положительной величиной, из (12) равна
г = гС1, (х(гС1))- = л/х2(г!) + 2А2 (хс - «(¿1)) • (13)
При интегрировании (1) до нанесения первого удара на интервале ¿1 < г < ¿С1 имеем х(г) = хХ(г1) + + А2(г - г1). При г = гС1 получим значение (х(гС1))-, равное
(х(гС1))- = хх(г1) + А (гС1 - г1). (14)
Время первого удара гС1 во второй фазе действия усилия определим, приравняв (13) и (14),
, . + + лА2^) + 2А2(хс - Р2 (15)
гС1 = г1 +--1-5 а2 = -• (15)
А2 т
Чтобы произошел удар во второй фазе действия силы г1 < г < Т, подкоренное выражение должно удовлетворять неравенству
х2(г1) + 2А2(хс - х(г1)) > 0. (16)
Скорость массы после удара в соответствии с равенством (3) равна г = гС1, (х(гС1))+ = = -Я(х(гС1))-.
Рассмотрим возможность возникновения повторных ударов во второй фазе действия силы на интервале гС1 < г < Т. Аналогично, как и для (12), имеем
х(г) = ±л/ х2 (¿с1 ) + 2А2 (х - х(гС1)). (17)
В момент повторного удара г = гС2, х = хс. Тогда предударная скорость массы, будучи по условию (3) положительной величиной, из (17) равна
г = гС2, (ж(гС2))- = л/(х2 (гС1))+ + 2А2(хс - х(гС1)) • (18)
Так как ж(£С1) = жс, то (ж(гС2))- = -(ж(гС1))+ = я(х(гС1))-. При интегрировании (1) на интервале гС1 < г < гС2 имеем
х(г) = (х(гС1))+ + А (г - гС1 )•
Если А2 < 0, повторный удар во второй фазе действия силы невозможен, так как (ж(гС1))+ = = -Л(ж(гС1))- < 0, х(г) < 0, и ударная масса перемещается от ограничителя. В этом случае далее расчет производится по формулам (гС1 < г < г1):
х = (ж(гС1))+ + А2(г - ¿С1 ), х = хс + (хх(гС1 ))+(г - ^ ) + 2 А (г - ^ )2^ (19)
При г = Т скорость ударной массы и ее координата примут следующие значения:
х(Т) = (¿(гС1))+ + А (Т - гС1), х(Т) = хс + (х^))+(Т - ^) + 2 А (Т - гС1 )2 • 54 Научный отдел
Если А2 > 0, повторный удар во второй фазе действия силы возможен при условии, что время повторного удара Ь01 < Ь02 < Т, причем
Ь02 > *С1
+ 1 у1" = ьсл +
А^ А2
Если во второй фазе действия силы возникают многократные удары, то для ¿-го удара (при условии
¿0; < Т)
Ь0; > Ь0;_1 +
Ао
Время между двумя последовательными ударами пропорционально зависит от послеударной скорости предыдущего удара и оно уменьшается в геометрической прогрессии. Возникает явление «дребезга» во второй фазе действия силы. Координата ударной массы интенсивно стремиться к х0, а предударная скорость уменьшается по закону (х(Ь0;))- = И1-1 (х(Ь01))-.
Явление «дребезга» во второй фазе действия силы, возникающее при условии А2 > 0, явно нежелательно, так как в следующем периоде на интервале Т < Ь < Т + Ь1 начинается новая фаза силового воздействия на ударную массу (А1 > 0), и процесс периодических ударов может прекратиться.
Если начинается второй период движения, координата ударной массы х(Т) и ее скорость ж(Т) принимаются за начальные для следующего цикла и процедура расчета повторяется.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Осуществлено моделирование движения ударной массы при периодическом силовом воздействии с учетом возможных многократных ударов массы об ограничитель.
На рис. 2 представлены результаты моделирования (диаграммы положения х и скорости V ударной массы в зависимости от времени Ь) при следующих параметрах ударной системы: т = 1 кг, ¿о = -0.5 м, жо = 0 м/с, Т = 0.05 с, ¿1 = 0.035 с, И = 0.3, Р1 = 1000 Н, Ро = -500 Н.
X м -0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1 ,
0-1
V м/с|
30
Рис. 2. Диаграммы положения х и скорости V ударной массы при выходе системы на установившийся режим
движения
В установившемся режиме движения предударная скорость массы существенно ниже, чем на первых циклах движения. Кроме этого возникает явление «дребезга». Влияет на режим движения время переключения силы Р(Ь) со значения Р1 на значение Р2. На рис. 3 представлены диаграммы х = х(Ь), V = v(Ь) движения ударной массы и фазовые диаграммы V = v(x) при значениях времени переключения Ь1 = 0.025с (см. рис. 3, а) и Ь1 = 0.03с (см. рис. 3, б).
Параметры ударной системы: т = 1 кг, х0 = -0.5 м, v0 = 0 м/с, коэффициент И = 0.3; период Т = 0.05 с, Р1 = 1000 Н, Ро = -500 Н.
В обоих случаях режим движения существенно нестабильный. Возникают пропуски ударов, удар массы об ограничитель происходит с различной скоростью.
Построим закон движения х = х(Ь) ударной массы т, совершающей прямолинейное движение вдоль оси х с одним соударением об ограничитель за период (х0 — координата ограничителя) с заданной скоростью V- под действием периодического силового воздействия Р(Ь) с периодом Т с одним переключением силы за период в моменты времени (Ь1
X, м
-0,6
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0-
V, м/
25
20
15
10
5
О
-5
-10
-15
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45
а
■0,5--0,4--0,3--0,2--0,1"
X, м V,м/
-0,6 30
-0,5 25
-0,4 20
-0,3 15
-0,2 10
-0,1
0- 0 -5 -10 -15
V м/с
10
X, м
'^-10 —20 —30
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
б
■0,5--0,4--0,3--0,2--0,1"
Рис. 3. Диаграммы движения ударной массы х = х(Ь), V = г>(£) и фазовые диаграммы V = v(x) при различных значениях времени переключения ¿1
Предполагается, что удар массы т об ограничитель является мгновенным, модель удара описывается равенством г>+ = — Лг>-, где г>+ — скорость массы после удара, Я — коэффициент восстановления скорости (0 < Я < 1).
Предполагается, что сила Р(£) за период ее действия имеет две фазы с постоянными по модулю значениями сил Р1 и Р2: Р(£) = Рь (Ьн)г < £ < (^х)г, Р(£) = Р2, (¿1 < £ < (1н)г + Т, где ^н){, = (% — 1)Т — время начала периода действия силы, (£1= (Ьн),1 + кТ — время переключения действия силы, к = ((£1 )i — (£н)i)/T — коэффициент (0 < к < 1), % — номер периода действия силы.
Периодический характер движения ударной массы описывается равенствами х((£&)i) = х((£н х((£к)i) = х((£н^), где (£к)i = %Т — время окончания периода действия силы, х((£н^) и х((£к)i) — положение ударной массы в начале и конце периода, х((£ки х((£н)i) — скорость ударной массы в начале и конце периода соответственно.
Из условия 0 < кг < 1 следует, что начальная скорость х0 < Я^-.
Энергия удара будет наибольшей, если в момент переключения силы Р(£) масса т достигнет ограничителя и произведет удар. Этому условию соответствует равенство х((£н)i) = хс.
Определим закон движения ударной массы т при значении массы т, положении ограничителя хс, предударной скорости V-, коэффициенте восстановления Я, начальных условиях х0 и х0 (х0 < Яг>-). Для решения задачи необходимо найти значения (£4^, Р1 и Р2, v+, Т.
Из условий обеспечения периодичности движения, условий соударения следует, что
Т = 2(хс — хо) + 2(хо — хс)
V + х о Р1 = т
V+ + х о (V-)2 — (хо )2 2(хс — хо)
(¿1 ^ =
2(хс — хо)
V + х о
+ (% — 1)Т,
,+ —
= —Яv"
Р2 = т
х о — V
% = 1, 2,
+
Т—
2(хс-хо) х о
При начальных условиях хо = —0.5 м и хо = 0 м/с, значении массы т = 1 кг, положении ограничителя хс = 0, предударной скорости V- =20 м/c и коэффициенте восстановления Я = 0.3 будем иметь следующие характеристики цикла:
,+ —
= —Яv = —6 мД,
Т = 2(хс хо) + 2(хо ^ хс) = 0.05 + 0.166 = 0.216 с,
V + х о
v+ + х о
. = 2(—с Хо) + (г - 1)Т = (0.05 + (г - 1) ■ 0.216) с,
V + X 0
Р, = т )2 - (Х0)2 = 400 Н, 2(хс - хо)
Р2 = т
XX 0 — V
+
Т — 2(хс—хо)
х о+и-
г = 1, 2,..., = 36 Н.
На рис. 4 представлены результаты моделирования движения ударной системы при реализации вычисленных характеристик цикла. Процесс периодический, с одним соударением ударной массы об ограничитель и с требуемой скоростью соударения.
Х,м У,м!с
-0,6 30
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 о —
£ с
X м
25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15
£ с
о; 21 0 43
Рис. 4. Диаграммы движения ударной массы
Не возникает явления «дребезга», связанного с многократными ударами, с малой предударной скоростью, после нанесения основного удара. Фазовая диаграмма имеет четко выраженную характеристику с определенными значениями скорости ударной массы в зависимости от ее положения.
ВЫВОДЫ
При описании движения ударной массы под действием периодической силы возникает вероятность многократных ударов массы об ограничитель (явление «дребезга») в случае, если время переключения силы для отвода ударника от ограничителя запаздывает по отношению к моменту нанесения удара.
Моделирование движения ударной массы в процессе дребезга проблематично, так как этот процесс бесконечно ударный с интенсивным уменьшением предударной скорости и сокращением времени между двумя последовательными ударами. Решение этой проблемы найдено путем определения минимального числа последовательных ударов, превышение которого позволяет с заданным уровнем погрешности отсекать последующие малые перемещения ударника и определять начальные значения для следующего цикла движения.
Разработана процедура моделирования режимов движения ударной системы при периодическом силовом воздействии с учетом возможных многократных ударов за период силового воздействия.
Результаты моделирования показывают существенное влияние на движение ударной массы параметров виброударной системы. При неблагоприятных их значениях режим движения нестабильный. Возникают пропуски ударов, удар массы об ограничитель происходит с различной скоростью.
Предложенные расчетные зависимости позволяют определить параметры ударной системы, обеспечивающие заданные характеристики цикла.
Работа выполнена в рамках реализации Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (ГК № П 1122).
Библиографический список
1. Алимов, О.Д. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах / О.Д. Алимов, В.К. Манжо-сов, В.Э. Еремьянц. - М.: Наука, 1985. - 354 с.
2. Дворников, Л.Т.Продольный удар полукатеноидаль-ным бойком / Л.Т. Дворников, И.А. Жуков. - Новокузнецк, 2006. - 80 с.
3. Манжосов, В.К. Продольный удар / В.К. Манжосов;
Ульяновск. гос. тех. ун-т. - Ульяновск, 2007. - 358 с.
4. Алимов, О.Д. Гидравлические виброударные системы / О.Д. Алимов, С.А. Басов. - М.: Наука, 1990. -352 с.
5. Манжосов, В.К. Динамика и синтез кулачковых ударных механизмов / В.К. Манжосов; Ульяновск. гос. тех. ун-т. - Ульяновск, 2006. - 219 с.
