CC BY
29
ISSN 0321-2653 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2019. № 1
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1
УДК 539.42 DOI: 10.17213/0321-2653-2019-1-23-30
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ОТКЛИКА СИСТЕМЫ «ОСНОВАНИЕ - ФУНДАМЕНТ - ВЕРХНЕЕ СТРОЕНИЕ» ПРИ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБАХ КИНЕМАТИЧЕСКОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ
© 2019 г. П.П. Гайджуров, Н.А. Савельева, А.В. Сазонова
Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия
MODELING OF DYNAMIC RESPONSE OF THE SYSTEM «BASE - FOUNDATION - TOP STRUCTURE» IN VARIOUS WAYS KINEMATIC EXCITATION OF VIBRATIONS
P.P. Gaydzhurov, N.A. Savelyeva, A.V. Sazonova
Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia
Гайджуров Петр Павлович - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Техническая механика», Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: gpp- 161@yandex.ru
Савельева Нина Александровна - ассистент, кафедра «Техническая механика», Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: rgsu@rgsu.ru
Сазонова Алина Викторовна - магистрант, кафедра «Техническая механика», Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: rgsu@rgsu.ru
Gaydzhurov Peter Pavlovich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Department «Technical Mechanics», Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: gpp-161 @yandex.ru
Savelyeva Nina Alexandrovna - Assistant, Department «Technical Mechanics», Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: rgsu@rgsu.ru
Sazonova Alina Viktorovna - Undergraduate, Department «Technical Mechanics», Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: rgsu@rgsu.ru
С помощью языка APDL (ANSYS Parametric Design Language Guide), встроенного в программный комплекс ANSYS Mechanical, разработаны и верифицированы макросы для моделирования сейсмического воздействия на строительные системы типа «основание - фундамент - верхнее строение» в форме синтетических сейсмограмм и акселелограмм. Предлагаемое программное обеспечение апробировано при динамическом расчете пространственной рамно-связевой конструкции на внешнее кинематическое воздействие, представленное в виде трехкомпонентной акселелограммы.
Ключевые слова: метод конечных элементов; метод прямого интегрирования уравнения движения; алгоритм корректировки уравнения движения с учетом кинематических граничных условий; синтетические сейсмограммы и акселелограммы процедура верификации.
With the help of APDL language built into ANSYS Mechanical software package, macros for modeling of seismic impact on building systems of «base - foundation - upper structure» type in the form of synthetic seis-mograms and accelerograms are developed and verified. The proposed software has been tested in the dynamic calculation of the spatial frame-coupling structure on the external kinematical impact, presented in the form of a three-component accelerogram.
Keywords: finite element method; method of direct integration of the equation of motion; algorithm of correction of the equation of motion taking into account kinematic boundary conditions; synthetic seismograms and accelerograms; verification procedure.
Введение учетом сейсмических воздействий принимаемые
В соответствии с современными тенденци- расчетные модели должны отражать особенности ями в области проектирования многоэтажных динамического взаимодействия верхнего строения каркасных зданий на особое сочетание нагрузок с с грунтовым основанием. Как отмечается в работах
23
ISSN0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1
[1-3] применение пространственных моделей позволяет с большой точностью оценить влияние динамического воздействия на сооружение, но вместе с тем требует применения сложного математического и программного обеспечения, а также значительных вычислительных ресурсов.
В настоящее время в нашей стране проектирование зданий и сооружений в сейсмически активных районах по-прежнему осуществляется в условиях недостаточной разработанности инженерной методики численного моделирования динамического отклика строительной системы «основание - фундамент - верхнее строение». Поэтому разработка такой методики представляет собой актуальную научно-практическую задачу, сопряженную с усовершенствованием расчетных схем и соответствующих конечно-элементных моделей в сочетании с процедурой верификации. Кроме этого, апробированная методика численного анализа напряженно-деформированного состояния зданий и сооружений при сейсмическом воздействии может быть использована в качестве вычислительного ядра при разработке системы мониторинга состояния реальных строительных объектов.
В настоящей работе при выполнении верификационных исследований и апробации методики линейно упругого динамического анализа в пространственной постановке использовался программный комплекс ANSYS Mechanical, реализующий метод конечных элементов в форме метода перемещений. Пошаговое выполнение процедуры прямого интегрирования уравнения движения системы «основание - фундамент -верхнее строение» при различных способах кинематического возбуждения колебаний осуществлено на базе встроенного в комплекс ANSYS языка программирования APDL [4, 5]. Следует отметить, что модуль для динамических расчетов программного комплекса ANSYS ориентирован на опытных пользователей. В этой связи определенный интерес для «рядовых» расчетчиков представляет детализация процедуры задания динамического воздействия на строительные системы в форме сейсмограммы или акселелограммы.
Способы кинематического возбуждения колебаний
Уравнение движения механической системы в конечно-элементной формулировке представим в виде [6]
где [М], [С], [А] - матрицы масс, демпфирования и жесткости ансамбля конечных элементов размерностью щ х ng; [Ж"(0} , [Ж)} , [Ж(0) -векторы-столбцы соответственно узловых ускорений, скоростей, перемещений; {^0}, [Р ^)} -
векторы-столбцы заданных статических и динамических нагрузок в момент времени t. В дальнейшем полагаем, что матрицы [М] и [А] согласованные.
В дальнейшем рассмотрим кинематические способы возбуждения колебаний, заданные с помощью либо модельной сейсмограммы [Ж(?)}, либо с помощью модельной акселелограммы [Ж"(I)} . При таком способе задания динамического воздействия второе слагаемое правой части уравнения (1) [Р (})}=0 .
Рассмотрим способ возбуждения механических колебаний посредством модельной сейсмограммы. Функцию Ж (?) представим в виде [7]
Ж(t) = Ate ~х' sin(01),
(2)
где А - начальная амплитуда; % - коэффициент затухания; 9 - угловая частота внешнего воздействия; t - время. На рис. 1 приведен график гармонической непериодической функции Ж (?) при следующих параметрах: А = 0,01553 м; % = 0,7143; 9 = 5 с - 1.
Ж,м
0,006 0,004 0,002 0
-0,002 -0,004 -0,006
t, c
[ M ]{Ж ''(t)} + [ С ]{Ж '(t)} + [ K ]{Ж (t)} = = {F0} + {F (t)}
(1)
Рис. 1. График модельной сейсмограммы / Fig. 1. Model seismogram chart
Для учета заданных узловых смещений
{Ж (t)} выполняем корректировку матрицы [ K ]
и вектора-столбца {F0} на каждом временном
шаге. Для этого введем одномерные массивы [V] и [LV] размерностью nv, где nv - число заданных узловых смещений на tk временном шаге.
Массив [LV] предназначен для хранения в порядке возрастания номеров степеней свободы, в направлении которых заданы смещения. Таким
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1
образом, элемент V [ г ] является заданным узловым
смещением W■ в направлении ^ [ г ] -й степени
свободы на у-м временном шаге. Блок-схема алгоритма корректировки матрицы [ К ] и вектора-
столбца {^о } с учетом кинематических граничных условий приведена на рис. 2. На этом рисунке квадратные и фигурные скобки в обозначениях матрицы [К] и вектора-столбца {^0} опущены.
f0 [ j ]=F [ j ]-k [ Jm v [ i ]
менном шаге выполняем корректировку матрицы [M ] и соответственно вектора-столбца {F0} .
ij=i|
Да.
10 t, c
-0,1
-0,2
( Останов^
Рис. 2. Блок-схема алгоритма корректировки матрицы [K]
и вектора-столбца {F0} с учетом заданных узловых перемещений / Fig. 2. The block diagram of the algorithm of the adjustment matrix [K] and vector-column {F0} taking into account the specified nodal movements
В результате корректировки [ K ] с учетом {W(t)} внедиагональные строки и столбцы данной матрицы, соответствующие заданному смещению Wi (i =1, nv) , обнуляются, а элементы на
главной диагонали (Kii) остаются без изменений. При этом элементы вектора-столбца {Fq} при j Ф i (j=1, ng) преобразуем вычитанием произведения Kjj Wi, а элемент Fq i заменяем на произведение KiiWi . Отметим, что произведения Kji Wi в рассматриваемом случае представляют собой некоторые упругие реакции, вызванные узловыми перемещениями W i .
Для анализа кинематического воздействия, задаваемого с помощью модельной акселерограммы W"(t), дважды продифференцируем выражение (2). В результате получим
W'X = Ae -%t (%2 sin(01)t - 2%cos (01)01 -
- sin ( 01 )0 21 - 2%sin(01) + 2cos(01 )0. (3)
График функции (3) показан на рис. 3. По аналогии с предыдущим алгоритмом для учета заданных узловых ускорений {W "(t)} на каждом вре-
Рис. 3. График модельной акселелограммы / Fig. 3. Model accelerogram chart
Для этого также введем одномерные массивы [W] и [LW] размерностью nw, где nw - число заданных узловых ускорений на tk временном шаге. Алгоритм учета кинематических граничных условий в форме заданных узловых ускорений полностью соответствует алгоритму, приведенному на рис. 2, если в последнем произвести замену массивов [LV], [V] на массивы [LW], [W ], матрицы [ K ] на матрицу [M ] и параметра nv на параметр nw. В отличие от предыдущего алгоритма в данном случае произведения —Mjj W" представляют собой силы инерции.
Знак минус в произведении — Mjj Wj указывает
на то, что узловые силы инерции направлены противоположно соответствующим ускорениям.
Процедура верификации
Выполним верификационный расчет механической системы «основание - фундаментная плита - монолитный каркас» при различных законах кинематического возбуждения колебаний. Схема компоновки данной строительной системы показана на рис. 4. Высота первого этажа каркаса здания - 3 м, высота этажей со второго по пятый - 2,5 м. Колонны каркаса имеют квадратное поперечное сечение - 0,3x0,3 м. Толщина фундаментной плиты 0,7 м. Механические характеристики материалов: модуль упругости и коэффициент Пуассона фундаментной плиты и каркаса (железобетон) Еб = 3-104 МПа, va = 0,2; то же для массива основания - Еосн = 2,6 103 МПа, = 0,3. Удельный вес материала плиты и каркаса - рб = 2442 кг/м3. Вес основания не учитываем.
Для построения конечно-элементной модели системы «основание - фундаментная плита - монолитный каркас» используем следующие
ISSN0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1
3D конечные элементы программного комплекса ANSYS Mechanical: для основания и фундаментной плиты - 8-и узловой КЭ SOLID45, для межэтажных колонн - двухузловой балочный КЭ BEAM4, для плит перекрытий - 4-узловой пластинчатый КЭ SHELL63.
13,0
£Т_
if7
©-■TT
о о о <0
О © (3)
Рис. 4. Схема системы «основание - фундамент - верхнее строение» / Fig. 4. Scheme of the system «base-foundation-upper structure»
Выполним исследование динамического отклика строительной системы (рис. 4) на кинематическое воздействие, заданное в форме сейсмограммы (рис. 5, а) и форме акселелограммы (рис. 5, б).
na
Z
Жх (z,t)
0ШШШ/ШШШШ
Ж"(0,
nb
X
б
основания (рис. 5, а), а значения ускорений
_ п
Жх (£) равномерно распределены по подошве основания (рис. 5, б).
Для выполнения расчетов используем макросы на языке АРОЬ. Каждый макрос состоит из двух последовательных шагов. Независимо от способа возбуждения колебаний на первом шаге конечно-элементная модель нагружается только собственным весом и расчет на этом шаге выполняется без учета сил инерции. На втором этапе формируются внутренние шаги по временной координате с учетом заданных узловых перемещений или ускорений. Решение системы уравнений на втором шаге выполняем с учетом сил инерции.
При реализации процедуры прямого интегрирования уравнения движения (1) в форме метода Ньюмарка [6] шаг интегрирования по времени определяем по формуле
Л»= -±-,
6 л^!
где А,1 - значение технической частоты собственных колебаний основного тона, измеряемой в Гц. Выполнив модальный анализ, для рассматриваемой системы «основание - фундаментная плита - монолитный каркас» получим А,1 = 0,415 Гц.
Графики wx ~ £ и ы"х ~ £ при гармоническом возбуждении колебаний для точки па, расположенной в центре верхнего перекрытия (рис. 5, а), приведены на рис. 6.
Л' '
0,032 0,016 0
-0,016 -0,032
м
0
t, c
w", м/с2
Рис. 5. Схема расчета на заданную: а - сейсмограмму; б - акселелограмму / Fig. 5. Calculation scheme to a given: а - seismogram; б - accelerogram
Считаем, что в обоих случаях нижняя поверхность основания имеет жесткую заделку, а колебательный процесс осуществляется в плоскости X 0 Z. Причем кинематическое воздействие Wx (z, t) линейно изменяется по высоте
1,2 0,8 0,4 0
-0,4 -0,
0 2 4
Рис. 6. Графики wx ~ t и w"x / Fig. 6. The graphics wx ~ t and
6 8 t, с -1 для точки na при ns = 100 v"x ~ t to the point na if ns = 100
6000
6000
а
na
Z
2
4
6
8
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1
Отметим, что количество внутренних шагов т по временной координате назначается априори пользователем. Как показали расчеты, в рассматриваемом случае приемлемая точность достигается при т = 100. Дальнейшее увеличение величины т не вносит изменений в результаты расчета. Для сравнения на рис. 7 приведен график ~ I, полученный для точки, расположенной в
центре верхнего перекрытия, при т = 50. Как видно, более грубая дискретизация по временной координате приводит к существенному занижению амплитудных значений перемещений.
wx , м
v h
\
Л X г
Ii 1 у. i V \ 1
V V
0 2 4 6 8 t, c
0,048 0,032 0,016 0
-0,016 -0,032
Рис. 7. Графики wx ~ t для точки na при ns = 50 / Fig. 7. The graphics wx ~ t to the point na if ns = 50
Значение ускорения Wj, соответствующее
tj временному шагу, прикладываем к узлам подошвы основания с помощью следующей команды языка APDL:
d, nuga(i), accx, as,
где d - признак узлового граничного условия; nuga(i) - номер узла; accx - указатель вводимого параметра (ускорение в направлении глобальной оси Х); as - значение ускорения.
Расчетным путем установлено, что при расчете на модельную акселелограмму основание совершает возвратно-поступательные колебательные движения в плоскости X 0 Z без искажения формы. В этой связи наблюдается парадоксальный эффект, суть которого состоит в том, что несмотря на связи, наложенные на исследуемую конечно-элементную модель и препятствующие смещению ее как жесткого целого, имеет место «дрейф» модели вдоль оси Х. На рис. 8 показаны графики wx ~ t соответственно в точках na и nb, демонстрирующие эффект «дрейфа».
Здесь необходимо отметить, что связи, отвечающие за жесткую заделку подошвы основания, учитываются на этапе формирования матрицы [K], а последующая корректировка систе-
мы (1) с учетом кинематических граничных условий в форме заданной функции Ж'Х (/) осуществляется путем изменения структуры матрицы [М ] и вектора-столбца {Е0} на этапе численного интегрирования. , м
0,02 0
-0,02 -0,04 -0,06 -0,08 м
"" Л с
0
-0,02
10
-0,04
0
2
4
6
8
10 t,
б
Рис. 8. Графики wx ~ t точки na (а); график wx ~ t точки nb (б) / Fig. 8. The graphics wx ~ t point na (a); the graph wx ~ t to the point nb (б)
Для решения проблемы «дрейфа» использован оператор
ua(i) = ux(na) - ux(nb),
где ux(na), ux(nb) - функции языка APDL подстановки перемещений в узлах na и nb.
Визуализация результирующего графика w х ~ t в точке na, выполненная с помощью графического модуля системы Matlab, представлена на рис. 9.
График wX ~ t для точки na приведен на
рис. 9, б. Заметим, что эффект «дрейфа» при визуализации ускорения в точке na в постпроцессоре «Time Hist Postpro» не наблюдается.
Сравнивая графики wx ~ t и w"х ~ t, показанные на рис. 6 и рис. 9, приходим к выводу, что они идентичны. Это ожидаемое совпадение является следствием использования в качестве исходного закона возбуждения колебаний одной и той же модельной функции Wх (t) .
а
wx , м
c
ISSN0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1
wx , м 0,04--
0,02 0
-0,02 -0,04
0
10
t, c
0,50 0,25 0
-0,25 -0,50
Д
A
A
\ ,
-л Л \/ \ 1 v
\J /
1
0 2 4 6 8 10
t, с
б
W, м/c2^
• na \
\
\
\
W", м/с2
УШШШ/ШШ/ШШ
^ W", м/(
\ W" м/с2
Рис. 10. Схема расчета на трехкомпонентную акселелограмму / Fig. 10. The scheme is based on a ternary accelerogram
Таблица 1 / Table 1
Табличный ввод данных для расчета сейсмического воздействия / Tabular input data for the calculation of seismic influence
No, п/п t, с WX (t), м/с 2 Wy (t), м/с 2 W'Z (t), м/с 2
1 0,0000E+00 1,4851E-02 1,9563E-03 9,5491E-03
2 1,0000E-02 2,3868E-02 1,8932E-01 -2,0323E-02
3 2,0000E-02 1,7574E-02 5,4325E-03 9,5718E-03
4 3,0000E-02 1,9028E-02 6,4253E-03 9,4239E-03
5 4,0000E-02 2,0417E-02 7,3294E-03 9,2336E-03
6 5,0000E-02 2,1968E-02 8,3905E-03 9,1224E-03
5101 5,1000E+01 9,5807E-04 8,4976E-04 -7,5905E-05
Рис. 9. Результирующий график wx ~ t для точки na (а); график w"x ~ t точки na (б) / Fig. 9. The resulting graph wx ~ t point na (a); the graph w"x ~ t to the point na (б)
Пример расчета на сейсмическое воздействие
В практических динамических расчетах зданий и сооружений [8] принято внешнее кинематическое воздействие задавать в форме трех-компонентной акселелограммы W'x (t) , W'y (t),
W"2 (t) (рис. 10) для чего, как правило, используется табличный ввод данных (табл. 1).
На рис. 11 показаны графики функций Ж'Х (г) , Ж'У (г), Щ (г), из которых видно, что
основное кинематическое воздействие сосредоточено на временном интервале от 3 до 30 с. Отметим, что представленные на этих графиках функции Ж'Х (г) , (г), (г) соответствуют
сейсмическому воздействию интенсивностью 8 баллов.
W" м/с2
10
20
30
40
50
t, с
W" м/с2
10
20
30
40
50 U с
W, м/с2
"z
1,5 1,0 0,5 0
-0,5 -1,0 -1,5
si
10
20
30
40
50 U с
Рис. 11. Компонента акселелограммы: а - по оси X; б - по оси Y; в - по оси Z / Fig. 11. Component of the accelerogram: a - X-axis; б - Y-axis; в - Z-axis
2
4
6
8
а
w", м
x
0
а
0
б
0
в
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
Результаты конечно-элементного моделирования динамического отклика системы «основание - фундаментная плита - монолитный каркас» при заданном внешнем кинематическом воздействии в виде графиков компонент перемещения wx ~ t, wy ~ t, wz ~ t в точке na (рис. 10)
представлены соответственно на рис. 12. Общее время, затраченное на численное интегрирование уравнения движения на базе процессора Intel Core i5 с тактовой частотой 2,3 ГГц, для данного примера при общем числе шагов по временной координате ns =3000 составило 4,22 ч.
wx , м
t, С
а
wv, м 0,6 0,4
TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1
щий характер, а значение их максимальной амплитуды почти на порядок меньше значений w и w
x max y max •
Выводы
1. Приведены алгоритмы корректировки уравнения движения механической системы, с помощью которых моделируется сейсмическое воздействие на базе модельных сейсмограмм и акселелограмм.
2. С помощью языка APDL, встроенного в программный комплекс ANSYS Mechanical, разработаны макросы для расчета строительной системы «основание - фундамент - верхнее строение» при различных способах кинематического возбуждения колебаний. Представлен анализ результатов верификации разработанного программного модуля.
3. Выполнена апробация разработанного макроса при расчете на внешнее кинематическое воздействие, заданного в форме трехкомпонент-ной акселелограммы.
10
15
20
25
30
t, с
wz , м 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0
-0,02 -0,04 -0,06 -0,08 -0,10
0
10
15
20
25
30
Г, с
Рис. 12. Графики для точки na: а) wx ~ t, б) wy ~ t; в) wz ~ t / Fig. 12. The graphs to the point na: a) wx ~ t, б) wy ~ t, в) wz ~ t
5
Из графиков на рис. 12 видно, что амплитудные значения перемещений на уровне верхнего перекрытия при данной сейсмичности достигают значительных (запроектных) величин:
wx max = 0,39 м wy max = - 0,58 м. 7
На основании графика на рис. 12, в можно сделать вывод, что колебания в направлении оси 8 Z в точке na имеют ярко выраженный затухаю-
Мкртычев О.В., Юрьев Р.В. Моделирование случайных акселелограмм и нелинейный расчет строительных конструкций. М.: МГСУ. 2012. 87 с.
Мкртычев О.В., Джинчвелашвили Г.А. Проблемы учета нелинейностей в теории сейсмостойкости (гипотезы и заблуждения). М.: МГСУ. 2014. 192 с. Белостоцкий А.М., Дмитриев Д.С., Нгуен Тай Нанг Лыонг. Методика численного моделирования напряженно-деформированного состояния системы «основание - плотина - водохранилище» при сейсмических воздействиях. // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering / Международный журнал по расчету гражданских и строительных конструкций, 2016. Vol. 12. Issue 4. P. 80 - 86.
Басов К.А. ANSYS. Справочник пользователя. М.: ДМК Пресс. 2011. 640 с.
Madenci E., Guven I. The Finite Element Method and Applications in Engineering Using ANSYS, Springer, 2006. 686 p. Гайджуров П.П. Методы, алгоритмы и программы расчета стержневых систем на устойчивость и колебания: учеб. пособие / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасск: ЮРГТУ, 2010. 230 с.
Сейсмостойкое строительство зданий: учеб. пособие для вузов / Под ред. И.Л. Корчинского. М.: Высш. школа, 1971. 320 с.
СНиП II-7-81*. Строительство в сейсмических районах / Госстрой России. М.: ГУП ЦПП. 44 с.
0
5
б
5
в
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 1
References
1. Mkrtychev O.V., Yur'ev R.V. Modelirovanie sluchainykh akselelogramm i nelineinyi raschet stroitel'nykh konstruktsii [Modeling of random accelerograms and non-linear analysis of building structures] Moscow: MGSU, 2012, 87 p.
2. Mkrtychev O.V., Jinchvelashvili G.A. Problemy ucheta nelineinostei v teorii seismostoikosti (gipotezy i zabluzhdeniya) [The problems of accounting for nonlinearities in the theory of seismic stability (hypotheses and delusions)]. Moscow: MGSU, 2014, 192 p.
3. Belostotskii A.M., Dmitriev D.S., Nguen Tai Nang Lyong. Metodika chislennogo modelirovaniya napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya sistemy «osnovanie - plotina - vodokhranilishche» pri seismicheskikh vozdeistviyakh [Method of numerical simulation of the stress-strain state of the "base-dam-reservoir" system under seismic conditions]. Mezhdunarodnyi zhurnalpo raschetu grazhdanskikh i stroitel'nykh konstruktsii, 2016, Vol. 12, Issue 4, pp. 80 - 86. (In Russ.)
4. Basov K.A. ANSYS. Spravochnikpol'zovatelya [ANSYS. User reference]. Moscow: DMKPress, 2011, 640 p.
5. Madenci E., Guven I. The Finite Element Method and Applications in Engineering Using ANSYS, Springer, 2006, 686 p.
6. Gaidzhurov P.P. Metody, algoritmy i programmy rascheta sterzhnevykh sistem na ustoichivost' i kolebaniya: uchebnoe posobie [Methods, algorithms and programs of calculation of rod systems on stability and oscillations: a tutorial]. Novocherkassk: YuRG-TU, 2010, 230 p.
7. Korchinskii I.L. Seismostoikoe stroitel'stvo zdanii [Earthquake-resistant construction of buildings]. Moscow: Vysshaya shkola,
1971, 320 p.
8. SNiP II-7-81 *. Stroitel'stvo v seismicheskikh raionakh [SNIP II-7-81. Construction in seismic areas]. Moscow: GUP TsPP, 44 p.
Поступила в редакцию /Received 26 декабря 2018 г. /December 26, 2018
