Моделирование бифуркационных явлений в негладких динамических системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2010, том 53, №10_______________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 519.63

И.Д.Нуров, М.Ш.Халилова МОДЕЛИРОВАНИЕ БИФУРКАЦИОННЫХ ЯВЛЕНИЙ В НЕГЛАДКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

(Представлено членом- корреспондентом АН Республики Таджикистан З.ХРахмоновым 18.08.2010 г.)

Институт математики АН Республики Таджикистан

Исследуется задача о возникновении периодических колебаний малой амплитуды в негладких динамических системах, предлагается схема построения бифурцирующих решений в окрестности состояния равновесии. Использованы итерационные и операторные методы.

Ключевые слова: бифуркация - негладкие динамические системы - устойчивость - метод функцио-нализации параметров - итерация - нелинейные дифференциальные уравнения.

Важную для разнообразных приложений роль играют такие значения параметров, при изменении которых происходит «качественная перестройка» системы. Такие значения параметров обычно называют либо критическими, либо бифуркационными, либо точками ветвления. Классическими примерами задач, в которых наблюдается «качественная перестройка» системы при малых изменениях параметров, являются известная задача Эйлера о формах потери устойчивости упругих систем, задачи о возникновении волн, задачи Андронова - Хопфа [1] о рождении автоколебательных режимов из состояния равновесия при потере устойчивости этого состояния равновесия.

Введение и математическое описание задачи

Многие технические, физические, механические системы приводят к математическим моделям с негладкими, разрывными или неоднозначными нелинейностями. Таковыми являются модели систем, содержащих различные релейные нелинейности, нелинейности гистерезисного типа и так далее. А.А.Андронов впервые составил для лампового генератора нелинейное уравнение второго порядка. Исследовал случай, когда характеристика триода имеет особо простой вид, а именно, она равна нулю при отрицательных значениях аргумента и равна положительной константе при положительных значениях аргумента.

Изучению функционирования негладких или даже разрывных систем посвящена обширная литература (см.[1-3] и имеющуюся там библиографию.)

В работе [6] исследована динамическая система, в которой правая часть является непрерывной, но не дифференцируемой на некоторой гиперповерхности. Коэффициенты системы являлись постоянными.

Адрес для корреспондентции: Нуров Исхокбой Джумаевич. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АНРТ. E- mail: nid1@mail.ru

Предлагается схема построения бифурцирующих решений в системах с негладкими нелинейностями с переменными коэффициентами. Динамика исследуемого объекта описывается нелинейными системами вида

х' = ¥ (х,Я) (1)

с негладкой или даже разрывной в окрестности стационарного решения х=0 правой частью ¥(х, Я) . Результат, полученный в этой работе, фактически дополняет исследование [6].

Рассмотрим динамическую систему

х' = ¥(х).

Пусть ¥(0) = 0 . Система (1) будем называть гладкой, если существует шар Т(0,3) такой,

Г

что для любого х е Т(0,3) существует ¥ (х) -матрица Якоби, которая является непрерывной. Если система (1) при всех Я е £ (Я0 ,т0) является гладкой и при этом ¥ (х,Я) непрерывно зависит от Я , то теория для таких систем хорошо изучена. Исследуется система (1), для которой гладкость или непрерывность нарушается на некотором К-1-мерном многообразии П0, содержащем точку 0. Для

простоты будем считать, что многообразие представляет собой гиперплоскость П0 = {х : (х, Ь0 )= °}.

Все последующие построения могут быть проведены и для более общих видов многообразий. Предполагаем, что правая часть системы либо представима в виде

^х,Я) = |^(Х'Я)' (*А) > °'

[¥2(х,Я), (х,Ь°) < °,

где ¥ и ¥2 являются гладкими в окрестности х=0, либо определена только при (х, Ь0) > 0 или при

(хЬ0) < 0 .

Следует отметить, что бифуркация стационарных решений в основном происходит, как и в гладком случае, только требуется, чтобы векторы не лежали в гиперплоскости.

В работе (см. [5]) исследовано зависящее от скалярного параметра Я уравнение Льенара вида

х" + а (Я)х' + а (Я)х = /(х, х';Я), (2)

правая часть которого представима в виде

1 / (х, у; Я) = ¿1 (Я)/(х; Я) у + Ь2 (Я) | /( р; Я)йр.

0

Предполагалось, что коэффициенты а (Я), а2 (Я), Ь (Я), Ь2 (Я) непрерывны по Я , а

функция /(х,Я) непрерывна по совокупности аргументов, при этом /(0;Х) = 0. Следует отметить,

что нелинейная добавка в малой окрестности нуля удовлетворяла и следующему условию

/(х, Я) = о(]х|) |х| ^ 0. (3)

Решения уравнения (2) построены с помощью итерационной процедуры Ньютона - Канторовича

Уп+1 (0 = Уп (t) - Г„G СУп ) + W (Уп )J, (п = 0,1,2,. „), где y0 (t) = q sin , в областях вида

Q(5, q) = \y{t) є ^[0,1] : ||y{t) - q sin2flt||F < Sq\,

где -F[0,1] пространство функций x(t) є C[0,1], ряды Фурье которых сходятся абсолютно, при этом норма определяется равенством ||x(t )|| = ^ |x¿| и 0 <5 < 1/2 , q-малый положительный параметр.

Теперь перейдем к исследованию устойчивости бифурцирующих решений x(t) уравнения (2). Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

dz

— = А(Я)z + g(z,Á), Z = [zj, z2 J, (4)

где A =

0 1

- a2 (W) - a1 (W)

и g (z,W) =

0

_/(^ 2 2;Я)_

Система (4) и уравнение (2) эквивалентны в следующем смысле: гладкая функция х(^) является решением уравнения (2) тогда и только тогда, когда пара (х^), х'(1)) будет решением системы (4). Решение х(^) уравнения (2) называют устойчивым, если решение (х(?), х'^)) системы (4) устойчиво по Ляпунову.

Пусть х (/) - бифурцирующее решение уравнение (2), существующее при Я = Я и всех малых д > 0 . Определим число

Т

1 Т<? г -|

Ад = ~а1 (Яд ) + Ь1(Яд )— |/к(^>; Я №

Тд 0

Теорема 1. Если А < 0, то решение х (/) уравнения (2) орбитально асимптотический устойчиво. Если А > 0, то решение х (/) неустойчиво.

Здесь были использованы метод функционализации параметров и итерационный метод исследования операторных уравнений.

Задача 1. Каким будет поведение решения (2), если к его правой части прибавить негладкую функцию? Нам известна определенная теория при исследовании гладких нелинейностей в малой окрестности нуля типа (3). Сможем ли мы использовать вышеприведенную теорию?

Негладкость двумерных систем с малым возмущением

Теперь исследуем уравнение (2) в ином виде, то есть

х” + а (Я)х' + а2 (Я)х + с(Я)|х' - Я + р(х; Я) = 0. (5)

Пусть при некотором Я = Я0 коэффициенты уравнения (5) удовлетворяют следующим усло-

виям

а,

і(А) = с(А) = 0 а1(А) = С'(Л) * о, а2(А)> 0.

(6)

Теорема 2. Пусть выполнены условия (6). Пусть вектор х не лежит в гиперплоскости П0, то есть (х, Ь0 ~)ф 0, тогда А0 является точкой бифуркации стационарных решений.

Здесь функция (р(х, А) удовлетворяет условию (3) и (р(0, А) = 0.

Доказательство теоремы 2 проводится по аналогии проведенным в работе [5]. В частности, уравнение (5) перепишем в виде

| х' = У

[у’ = —£(А)у — а2 (А)х + Ас(А) — р(х; А)

где £(А) = а (А) + с(А) . Состоянием равновесия системы будут только а2 (А)х + р(х, А) = Ас(А) и

у = 0.

Проблема. Можно ли с помощью итерационной процедуры построить решение (5)? Нам известно, что прямая у = А делит плоскость х, x' на две части. Каким будет поведение решения в окрестности состояния равновесия вида а2 (А)х + р(х, А) = Ас(А) и у = 0 ?

Следовательно, матрица Якоби примет вид:

А

0

і

— а2(А) — £(А)

0 — л 1

— а2(А) — £(А) —И

= л2 +^(А)л + а2 (А)

, -да) ±4^(А) — 4а2(А)

и Лі,2 = -------

2

Соответственно при у < Я уравнение (5) примет вид:

{ х'=у

[У’ = (Я)у — а2 (Я)х — Ае(А) — р(х, А)

Состоянием равновесия системы будут только а (Я)х + р(х, Я) = —Яс(Я) и у = 0. Соответственно матрица Якоби примет вид:

0 1 — а2(А) — £(А)

и Л1,2

, \Ах—Л =

£А) ±уІ(—І(Л)г)— 4а,(А)

0 — л 1 —а2 (А) —£ (А) — л

где £ (А) = а1 (А) — с(А).

На рис. 1 и 2 приводится геометрическая картина плоскости, соответственно при у> Я и у< Я

2

, .У / У / / ' / / / / ' / / . / / / / / ,-■ У У / / У У У У / / . /' у- ✓ / У ' / / ' / / / / у' / * / / .■ / ✓ ' У / У У У / У У У ' У X

/ / } / У У У У / / /' / у у у у у у у / / /' ✓ / / г У У у У / У У У У / / / / / у '■ п

Рис. 1.

Рис. 2.

3. Пример: груз на транспортёре

В качестве примера рассмотрим задачу о моделировании движения груза на транспортёре (см. рис. 3.). Груз прикреплен пружиной к неподвижной стене. Лента транспортера движется с постоянной линейной скоростью ¥т .

Пусть к - жесткость пружины, ¥Р - величина сухого трения, параметр 8 характеризует вязкое трение. В соответствующих координатах движение груза описывается системой

К = — Е (*1, *2) + &2 + ^(*2)

т

где

Е (*і, *2) = ■

- ЕТР - к*, *2 > Ут Етр - к*, * < Ут

а є(*2) содержит нелинейные характеристики силы сопротивления, зависящие от квадрата или более высокой степени скорости груза. В этой модели гладкость правой части нарушается на прямой

*2 УТ '

Рис. 3. Груз на транспортёре.

4. Заключение

В двумерном случае гиперплоскость представляет собой обычную прямую, а прямая делит плоскость на две полуплоскости. Теорию, разработанную в работе [5], можно применить для исследования бифуркационных явлений для негладких динамических систем типа (5).

Поступило 25.08.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Андронов А.А., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Физматгиз, 1959, 913 с.

2. Филлипов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной частью. - Матем. сб., 1966, 51, РЖМат, 1960, 317 с.

3. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. - М.:Наука, 1994, 146 с.

4. Красносельский М.Ф., Покровский Системы с гистерезисом. - М. : Наука, 1983, 271 с.

5. Nurov I. and Yumagulov M. - Italian Journal of Pure and Applied Mathematics.,2003, №13, рр.71-81 (in Italian).

6. Leine R.I., Van Campen D.H. - European Journal of Mechanigs A/Solids 25, 2006, рр. 595-616.

7. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. - М.: Наука, 1975, 512 с.

И.Ч,.Нуров, М.Ш.Халилова

МОДЕЛСОЗИИ Х,ОДИСАХ,ОИ БИФУРКАТСИОНЙ ДАР СИСТЕМАМИ

ДИНАМИКИИ ГАЙРИСУФТА

Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Дар макола муаллифон хдлх,ои бифуркатсиониро дар нимфазох,ои махсус, ки шарти гайрисуфтагиро доранд, сохтаанд. Х,алх,ои номбурда дар наздикии долати оромии система ому-хта шудаанд. Методх,ои такрибй ва оператории ёфтани х,ал истифода бурда шудааст.

Калима^ои калиди: бифуркасия - системауои динамики гайрисуфта - гиперуамвори усули функси-оналкунии параметруо - итерасия, муодилауои дифференсиалии гайрихатти.

I.J.Nurov, M.Sh.Khalilova THE BIFURCATIONAL MODEL IN NON-SMOOTH DYNAMICAL SYSTEMS

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

The authors constructed in this article the solution’s bifurcation in non-smooth dynamical systems. There a research near the equilibrium of the systems using the numerical and operator methods.

Key words: bifurcation - non-smooth dynamical systems - stable - method of parameter of funkzionalization

- iteration - nonlinear differential equation.