CC BY
41
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №9-10_
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 519.63
М.К.Арабов, А.М.Гулов*, И.Д.Нуров* КОМПЬЮТЕРНАЯ ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ПОВЕДЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕГЛАДКОЙ
ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан, Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республика Таджикистан М.И.Илоловым 13.09.2014 г.)
Исследуется существование стационарных решений в негладких динамических системах. Фазовая плоскость разделена по секторам. Получены новые фазовые портреты. Установлено, что в зависимости от подбора условий решения негладкой системы устойчивы в целом.
Ключевые слова: негладкие динамические системы - численное исследование - фазовые портреты -устойчивость - нелинейные дифференциальные уравнения - сектора - особая точка.
Следует отметить, что одним из современных эффективных методов анализа различных данных является метод компьютерной визуализации этих данных, иначе - метод научной визуализации, который находит широкое применение как в теоретических, так и экспериментальных исследованиях.
В процессе исследования той или иной задачи не всегда удастся явно (аналитически) построить решение. Следовательно, приходится использовать приближённые [4] или компьютерные методы. На каком-то этапе исследования мы нуждаемся в определённой компьютерной подсказке.
С помощью компьютерных методов (с использованием стандартных пакетов) можно получить фазовый портрет изучаемой задачи. Получаемые фазовые портреты дают первоначальные оценки исследователю.
Настоящая работа посвящена исследованию кусочно-линейных уравнений второго порядка
вида:
у"+ ау'+ Ьу + с|у-\ = 0, (1)
где a, Ь, c - вещественные числа, а \ - скалярный параметр. Использован метод компьютерной визуализации для исследования уравнениия (1). Проведён полный анализ поведения траекторий уравнения (1) в окрестности стационарного решения [3] (особой точки) в зависимости от значений коэффициентов a, Ь, c и параметра X . Получены общие условия устойчивости в целом для состояний равновесия в зависимости от значения коэффициентов a, Ь, c и параметра \ .
Кусочно-линейное уравнение. Рассмотрим кусочно-линейное уравнение второго порядка типа (1).
Уравнение (1) "склеивается" из двух линейных уравнений
Адрес для корреспонденции: Арабов Муллошараф Курбонович. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected];
Гулов Акбар Мирзоевич, Нуров Исхок-бой Джумаевич. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Руда-ки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]; [email protected].
у"+ ау'+ (Ь + с)у - сЛ — 0, если у >Л (2)
и
у"+ ау'+ (Ь-с)у + сЛ = 0, если у <Л. (3)
В свою очередь уравнение (1) эквивалентно системе
х у — х2,
| х' — -ах2 - Ьх - с\х - Л, а уравнения (2) и (3) эквивалентны соответственно системам (5) и (6):
(4)
Х 1 — Х2 ,
х'2 — -ах2 - (Ь + с)х + сЛ, у > Л.
Х 1 — Х 2,
— -а^ -(Ь - с) х - сЛ, у < Л.
(5)
(6)
Стационарные решения (особые точки) кусочно-линейной системы (4) лежат на прямой (х ,0), X е К и определяются как решение уравнения
Ьх + с|х - Л — 0. (7)
Если Ь — с — 0, то вся прямая (х ,0), х е К состоит из особых точек системы (4), если же Ь Ф 0 и с — 0 или Ь — 0 и с Ф 0, то система (4) имеет единственную особую точку (0, 0) или (Л, 0) соответственно. Если Ь — с Ф 0, то уравнение (7) не имеет решения при Л > 0, имеет единственное решение х — Л / 2 при Л < 0 и имеет бесконечное множество (-■э, 0] решений при Л — 0. Аналогично, если Ь — -с Ф 0, то уравнение (7) не имеет решения при Л < 0, имеет единственное решение х — Л / 2 при Л > 0 и имеет бесконечное множество [0, +э) решений при Л — 0.
Подробно остановимся на изучении поведения траекторий кусочно-линейной системы (4). Обозначим через // и / корни характеристического уравнения
/2 + а/ + (Ь ± с) — 0, (8)
соответствующего системам (5) и (6), при Л — 0:
/ — -!{аа2 -4(Ь ±с)} , / — -^{а + а2 -4(Ь ±с)}.
В дальнейшем будем предполагать, что (Ь ± с) Ф 0 . Рассмотрим всевозможные случаи поведения траекторий системы (4) на фазовой плоскости [1]. Нижеприведённые случаи геометрически представляются на рис.1 в виде секторов.
х 2
Рис.1. Сектора.
Случай 1. (Ь ± с) < 0. Эти условия в терминах корней характеристического уравнения (8) означают, что числа ц*2 вещественны и ц*ц* < 0, ц- ц- < 0 . В этом случае особую точку кусочно-линейной системы (4) называют седлом (рис. 2).
у 8 6 0=2,4
4 2
-8 -6 -2 0 2 -2 \ 4 6 8 у*
-4
-6 -8
Рис.2. Седло.
Случай 2. тт{(Ь + с), (Ь - с)}< 0 < тах {(Ь + с), (Ь - с)}< —. Пусть для определённости
а2
тт{(Ь + с),(Ь - с)} = Ь - с, тах{(Ь + с),(Ь - с)} = Ь + с. Тогда (Ь - с) < 0 < (Ь + с) < —. Допол-
а2
нительно, если Ь * с < -4, а > 0, то это означает, что корни характеристического уравнения (8) вещественны и удовлетворяют условиям
Ц- < 0 < ц-> ц2 < ц* < о.
Траектории системы (4) при 1 ^ вдоль полупрямых х2 = ц-х, х < 0, х2 = ц*х, ^ = ц*х2, х > 0 приближаются к особой точке, а вдоль полупрямой х2 = ц- х, хг < 0 удаляются от этой точки. Все траектории, исходящие из точек сектора, образованного полупрямыми х2 = ц * х, X = ц*X , X > 0, остаются в этом секторе и определяются решением линейной системы (5). Анало-
2
гично, все траектории, исходящие из точек сектора, образованного полупрямыми х2 = ц2х,
х2 = ц2 х , X < 0, остаются в этом секторе и определяются решениями линейной системы (6).
В этом случае особую точку кусочно-линейной системы (4) назовём седло-узлом. Такая сложная особая точка в линейных системах не возникает.
Рис.3. Седло-узел.
а2 а2
Случай 3. Ь 2 с < 0 < < Ь + с или Ь + с < 0 <~< Ь 2 с . В первом случае корни ц~2 веще-
ственны, разного знака, а корни ц= а + ip — комплексны, а во втором случае наоборот: ц2 2 = а ± ip — комплексные, цвещественны, разного знака.
В этом случае индекс особой точки равен нулю (индекс Пуанкаре). Поэтому особая точка неустойчивая и она может исчезнуть при малых возмущениях.
Рис.4. Седло-фокус.
а2 ^2
Случай 4. 0 < Ь + с < — ,0 < Ь 2 с < —. В терминах корней характеристических уравнений
4 4
(8) эти условия эквивалентны тому, что все корни цвещественны и одного знака, противоположного знаку коэффициента а . Все полупрямые х2 = ц2х, х2 = ц^х , X > 0 X = ц2Х, х2 = ц2х2 , X < 0 являются траекториями систем (5), (6).
Траектории, проходящие через точки сектора, образованного этими полупрямыми, оставаясь в этих секторах, при t ^ да приближаются к особой точке, если а > 0 и удаляются от неё при а < 0.
В этом случае особую точку назовём узлом; устойчивым узлом при а > 0 и неустойчивым узлом, если а < 0.
Рис.5. Узел.
а2 а2
Случай 5. 0 < Ь - с < — < Ь + с или 0 < Ь + с Ь — с . Это означает, что либо ц—2 веще-
ственны, одного знака, а ц= а ± ip - комплексные числа, либо ц— 2 = а ± ip — комплексные, а ц вещественны и одного знака. Все траектории [2] при 1 ^ +х> приближаются к особой точке, если а > 0, и удаляются в бесконечность, если а < 0.
В этом случае особую точку назовём устойчивым узлом, если а > 0 и неустойчивым узлом, если а < 0.
Рис.6. Узел-фокус.
а2 а2
Случай 6. Ь + с > —, и Ь — с > — . Это означает, что корни ц — 2 и цхарактеристического
уравнения (8) комплексные. В этом случае особая точка называется фокусом: при а > 0 фокус является устойчивым, а при а < 0 фокус является неустойчивым.
Рис.7. Фокус.
Поступило 13.09.2014 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 560 с.
2. Nurov I., Yumagulov M. - Italian Journal of pure and applied mathematics, 2003, №13, pp.71-81.
3. Мухамадиев Э.М., Нуров И.Д., Халилова М.Ш. Предельные циклы кусочно-линейных дифференциальных уравнений второго порядка. - Уфимский математический журнал, 2013, т. 5, №4, с. 74-84.
4. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973.
МД.Арабов, А.М.Гулов*, И.^.Нуров*
ИНЪИКОСИ КОМПЮТЕРИИ РАВИШИ ХДЛХОИ СИСТЕМАИ ДИНАМИКИИ ГАЙРИСУФТА
Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон,
*Донишго%и миллии Тоцикистон
Дар макола мавчудияти хдлли статсионарии системаи динамикии гайрисуфта тадкик карда шудааст. Хдмвори фазавй ба секторхо чудо шудааст. Инчунин тасвирх,ои фазавии нав ба даст оварда шудааст. Вобаста аз интихоби аргументу устувории яклухти х,ал дар система муайян карда мешавад.
Калима^ои калиди: системауои динамикии гайрисуфта - тащицот^ои ададй - тасвируои фазавй - устуворй - муодилауои дифференсиалии гайрихаттй - секторхо - нуцтаи махсус.
M.K.Arabov, A.M.Gulov*, I.J.Nurov* THE COMPUTER PORTRAIT OF THE PROBLEM OF THE STUDY OF NON-SMOOTH DYNAMICAL SYSTEMS
A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,
Tajik National University
It is researched existing of stationary solution of non-smooth dynamical system. The phase plane is divided into sectors. Also has received a new phase portraits. Depending on selection of arguments is determined whole stability of the solution in the non-smooth system.
Key words: a non-smooth dynamic systems - numerical study - phase portraits - stability - the nonlinear differential equations - sectors - special point.
