Научная статья на тему 'Предельные циклы кусочно-линейных дифференциальных уравнений второго порядка'

Предельные циклы кусочно-линейных дифференциальных уравнений второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

155
16
Поделиться
Ключевые слова
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ / НЕГЛАДКОСТЬ / УСТОЙЧИВОСТЬ / ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ / ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Мухамадиев Эргашбой Мирзоевич, Нуров Исхокбой Джумаевич, Халилова Мохчехра Шавкатовна

Работа посвящена выявлению предельных циклов в окрестности состояний равновесий негладких динамических систем. Получены новые фазовые портреты, которые не наблюдаются в линейном случае. Использован метод сшивания решений из двух полуплоскостей. Наряду с использованием стандартных пакетов, построен новый пакет программ для численного построения фазовых портретов.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Мухамадиев Эргашбой Мирзоевич, Нуров Исхокбой Джумаевич, Халилова Мохчехра Шавкатовна,

Limiting cycles of piece-linear second order differential equations

The work is devoted to finding limiting cycles in a vicinity of equilibria of non-smooth dynamical systems. We obtain new phase portraits not appearing in a linear case. We employ the method of gluing solutions in two half-planes. Together with using standard packages, we develop a new program package for numerical construction of phase portraits

Текст научной работы на тему «Предельные циклы кусочно-линейных дифференциальных уравнений второго порядка»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 1 (2014). С. 84-93.

УДК 517.91

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Э.М. МУХАМАДИЕВ, И.Д. НУРОВ, М.Ш. ХАЛИЛОВА

Аннотация. Работа посвящена выявлению предельных циклов в окрестности состояний равновесий негладких динамических систем. Получены новые фазовые портреты, которые не наблюдаются в линейном случае. Использован метод сшивания решений из двух полуплоскостей. Наряду с использованием стандартных пакетов, построен новый пакет программ для численного построения фазовых портретов.

Ключевые слова: динамические системы, негладкость, устойчивость, фазовая плоскость, предельный цикл.

Mathematics Subject Classification: 37G15, 34С05

Негладкие эффекты имеют важное значение в различных разделах физики, механики, биологии, экономики и т.д. [1-7]. Функционирование системы с негладкими элементами, как правило, зависит от одного или нескольких параметров. Изменение каких-либо параметров может влиять на структуру решений в целом, или переводить систему из одного состояния в другое. Следует отметить, что модели негладких систем описываются посредством дифференциальных уравнений с негладкими, релейными или гистерезисными нелинейностями.

Задачи исследования предельных циклов в негладких динамических системах, как правило, достаточно сложны, и поэтому при их исследовании эффективным представляется применение численных методов. Следовательно, актуальными будут разработка программы и компьютерное моделирование поведения предельных циклов негладких (модельных и кусочно-линейных) динамических систем.

Настоящая работа посвящена исследованию общих кусочно-линейных уравнений второго порядка

у" + да/ + by + с\у' — Л| = 0, (1)

где а,Ь,с — вещественные числа, а А — скалярный параметр.

Отправным пунктом для авторов послужила работа [5], где исследовано конкретное кусочно-линейное дифференциальное уравнение второго порядка

!/" + ?/ + !/ +fl!/'-А| = 0, (2)

зависящее от параметра А. Уравнение (2) имеет единственную особую точку (состояние

равновесия)

у = — §IА|, г/ = о, УАея.

В работе [5] приведены анализ и сравнение фазовых портретов системы, соответствующей уравнению (2), и с помощью компьютерного моделирования установлено существование предельного цикла при определенных значениях параметра А.

Е.М. Mukhamsdiev, I.D. Nurov, М.Sh. Khalilova, Limiting cycles of piece-linear second

ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS.

© Мухамадиев Э.М., Нуров И.Д., Халилова М.Ш. 2013.

Поступила 1 июня 2013 г.

Ниже проведен полный анализ поведения траектории уравнения (1) при Л = 0 в зависимости от значений коэффициентов а,Ь,с и получены (теоремы 1 и 2) общие условия существования предельных циклов в зависимости от значения коэффициентов а,Ь,с и параметра Л.

Линейное уравнение. Сначала рассмотрим линейное уравнение, которое получается из уравнения (1) при с = О, А = 0:

у" + ау' + Ъу = 0. (3)

Фазовый портрет соответствующей системы

^2)

х'2 = —ах2 — bxi, ^ '

определяется корнями ¡ii и Ц2 характеристического уравнения

ц2 + ац + 6 = 0. (5)

Возможны следующие случаи (более подробно см., напр., [8]).

1. Числа ¡ii и Ц2 вещественны и разных знаков, что соответствует выполнению неравенства 6 < 0. Тогда траектории системы (4) (кроме идущих по прямым Х2 = l~iiX\, Х2 = /л2X1) похожи на гиперболы, и в этом случае особая точка называется седлом.

2. Числа ¡i\ и Ц2 вещественны и одного знака, причем ¡i\ > ¡12 (0 < 46 < а2). Тогда траектории системы сходны с дугами парабол, касающимися прямой Х2 = ^2X1 в точке (0,0), если ¡12 > 0 (а>0), или прямой Х2 = fiiXi, если ¡jl\ < 0 (а<0); полупрямые Х2 = Ц\Х1,Х2 = Ц2Х1 (х\ > 0 или Х\ < 0 ) тоже являются траекториями. В этом случае особая точка называется узлом (устойчивым узлом, если ¡II < 0, И неустойчивым узлом, если ¡12 > 0). Если 1^1 = 1^2 Ф 0, то особая точка называется вырожденным узлом. Вырожденный узел является устойчивым, если ¡i\ = Ц2 < 0 (46 = а2, а > 0), и неустойчивым, если ¡i\ = Ц2 > 0 (46 = а2, а < 0).

3. Числа fii = а + i/З и fj,2 = ol — i{3, [3 ф 0 комплексны (46 > а2, а = —а/2,

(3 = -\/4б" — а2/2). В этом случае траектории совершают бесконечно много оборотов вокруг

особой точки — начала координат. При а = 0 траектории-окружности и особая точка

называется центром, а при а ф 0 особая точка называется фокусом. Фокус устойчивый, если а < 0, и неустойчивый, если а > 0.

Кусочно-линейное уравнение. Рассмотрим кусочно-линейное уравнение второго порядка

у" + ау' + Ъу + с\у'\ = 0, (6)

где с ф 0. Уравнение (6) эквивалентно системе

%1 •^'2) /уч

х'2 = —ах 2 — Ъх\ — с\х21,

где Х\ = у, Х2 = у'- Если 6 ф 0, то система (7) имеет единственную особую точку (0,0).

Подробно остановимся на изучении поведения траектории кусочно-линейной системы (7)

в фазовой плоскости (х\,х2)- Мы выделим те особенности фазового портрета кусочнолинейных систем, которые не наблюдаются в линейных системах.

Уравнение (6) "склеивается" из линейных уравнений

у" + (а + с)у' + Ьу = 0, если у' > 0 (8)

у" + (а — с)уг + Ьу = 0, если у' ^ 0. (9)

Обозначим через ¡л^ и корни характеристического уравнения

/I2 + (а ± с)/1 + 6 = 0, (10)

и

соответствующего уравнениям (8) и (9):

1*1 = ~^{(а±с) - у/(а± с)2 - 461 , ¡12 = ~ {(а ± с) + у/(а ± с)2 - 4б|.

В дальнейшем будем предполагать, что 6^0. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1. Числа ¡л^ и ц2 вещественны, причем ¡л\1л2 < 0. Эти условия эквивалентны условию отрицательности коэффициента 6 : 6 < 0 и, следовательно, Ц1Ц2 = 6 < 0. Тогда траектории (кроме идущих по полупрямым х2 = /л^х\,х2 = /л^Хх, Х\ > 0 и х2 = Ц2Х\,Х2 = Ц2Х\, Х\ < 0) похожи на гиперболы и расположены в секторах, образованных лучами

х2 = = ßiXi и х2 = = ßiXi при Х\ > 0;

х2 = = ßiXi и х2 = = ß2Xi при х2 > 0;

х2 = = ß2Xi и х2 = = ß2 Х\ при Х\ < 0;

х2 = ß~[X\ и х2 = ß2X\ при х2 < 0.

В этом случае особую точку кусочно-линейной системы назовем седлом.

Случай 2. Числа ßf, ß2 вещественны и одного знака. Эти условия в терминах коэффициентов эквивалентны выполнению неравенств

0 < 46 ^ min {(а + с)2, (а — с)2} , |с| < \а\.

Если все числа ßf, ßf отрицательны (что соответствует условию а > 0), траектории системы (7) являются касающимися прямой Х2 = ß\x\ при х\ < 0 или прямой х2 = ß\xl при Х\ > 0 В точке (0,0); полупрямые Х2 = ßiX\, Х2 = ß2X\ ПРИ х1 < 0 и х2 = ß\X\, Х2 = ß2X\ ПРИ xi > 0 тоже являются траекториями системы (7). В этом

случае особую точку назовем узлом. Так как по всем траекториям происходит движение

к точке (0, 0) при t —> 00, то точка (0, 0) является устойчивым узлом.

Если все числа ßf, ß2 положительны (что соответствует условию а < 0), траектории системы (7) являются касающимися прямой х2 = ß2X\ при Х\ < 0 или прямой х2 = ß2xl при Х\ > 0 В точке (0,0); полупрямые Х2 = ß\X\, Х2 = ß2xl при Х\ > 0 и х2 = ß\X\, Х2 = ß2xi при Х\ < 0 тоже являются траекториями системы (7). Ив этом случае особую точку назовем узлом. Так как по всем траекториям происходит движение к точке (0, 0) при t —> —00, то точка (0, 0) является неустойчивым узлом.

Случай 3. Числа ß\,ß2 и ß~[,ß2 вещественны и ßiß2 > 0, ß~[ß2 > 0, ßlß~[ < 0. Эти условия в терминах коэффициентов эквивалентны выполнению неравенств

0 < 46 ^ min {(а + с)2, (а — с)2} , |а| < |с|.

Если ß\ > 0, то ß2 > 0, ßi < 0 и ß2 < 0 (что соответствует условию с < 0), все

траектории системы (7), проходящие из точек открытого сектора, образованного лучами х2 = ß\Xi И Х2 = ßiX\ (х2 = ßiXi и х2 = ßiXi) при X! > 0, являются касающимися прямой Х2 = ß2xl (х2 = ßlxl) В точке (0,0); полупрямые Х2 = ß\X\, Х2 = ß2xl и Х2 = ß\X\, х2 = ß2xi при Х\ > 0 тоже являются траекториями системы (7). Все траектории системы (7), проходящие из точек {х\,$),х1 > 0 ((xijO),^1 < 0), стремятся к точке (0,0) (неограниченно удаляются в бесконечность) при i -> ±00 и заполняют сектор между лучами х2 = ßixl и Х2 = ß2Xl, содержащийся В полуплоскости Х\ > 0 [Х2 = ß\x\ И Х2 = ß2 Х11 содержащий полуплоскость Х\ <0 ).

Если ß\ < 0, то ß2 < 0, ß~[ > 0 и ß2 > 0 (что соответствует условию с > 0).

Таким образом, нулевая особая точка содержит узловой сектор и эллиптический сектор.

Случай 4. Из двух пар чисел ß\2^i2 °дна пара — комплексные числа, а другая — вещественные числа. Эти условия в терминах коэффициентов эквивалентны выполнению неравенств

min {(а + с)2, (а — с)2} < 46 ^ max {(а + с)2, (а — с)2} .

Пусть [1^2 — комплексные, а — вещественные и положительные. Этому случаю соответствуют условия

(а — с)2 < 46 ^ (а + с)2, с < 0.

Тогда траектории, образованные полупрямыми #2 = ^Х\ и х2 = ¡-^х\ ПРИ ^1 :> 0) расположены в первой четверти, и вдоль всех траекторий, проходящих из точек сектора, образованного этими полупрямыми в первой четверти, происходит движение от точки (0, 0) при возрастании времени I. Все остальные траектории системы (7), отличные от особой ТОЧКИ, проходят через ТОЧКИ (#1,0), #1 > 0 ((#1,0), Х\ < 0), стремятся к точке (0,0) при I —> — оо и асимптотически приближаются к полупрямой х2 = ^Х\, Х\ > 0 в бесконечности при I —> +оо. Отметим, что при I —> —оо все ненулевые траектории, кроме #2 = 1-1^х1,х1 > 0, приближаются к точке (0,0), касаясь прямой х-2 = ¡-^х\, и при I —> +оо все ненулевые траектории, кроме #2 = 1-^х1-,х1 > 0) асимптотически приближаются к полупрямой #2 = 1-11 XI, Х\ > 0. В этом случае особую точку назовем неустойчивым полуузлом.

Если 1-1,12 — комплексные, а ¡¿I2 вещественные отрицательные, что соответствует условиям

(а — с)2 < 46 ^ (а + с)2, с > 0,

то траектории, образованные полупрямыми #2 = 1-^х1 и х2 = /¿2 х ь ПРИ #1 < 0, расположены во второй четверти, и вдоль всех траекторий, проходящих из точек сектора, образованного этими полупрямыми во второй четверти, происходит движение к точке (0, 0) при возрастании времени все остальные траектории системы (7), отличные от особой ТОЧКИ, проходят через ТОЧКИ (#1,0), #1 > 0 ((#1,0), #1 < 0), стремятся к точке (0,0) при I —> +оо и асимптотически приближаются к полупрямой #2 = ¡-^Х\, Х\ < 0 при I —> —оо. Аналогично выше приведенному случаю при I —> +оо все ненулевые траектории, кроме #2 = ^2~#1,#1 < 0, приближаются к точке (0,0), касаясь прямой #2 = ¡-^Х\, и при

I —> —оо все ненулевые траектории, кроме #2 = //.^# 1, # 1 < 0, асимптотически приближаются К полупрямой #2 = ^2~#1, #1 < 0. В этом случае особую точку назовем устойчивым

полуузлом.

Возможны еще следующие два случая, когда ^2 — комплексные, а ^,~[2 — вещественные положительные, что соответствуют условиям

(а + с)2 < 46 ^ (а — с)2, с > 0,

и когда ¿/,^2 — комплексные, а ^,~[2 — вещественные отрицательные, что соответствует условиям

(а + с)2 < 46 ^ (а — с)2, с < 0.

В этих случаях собственные лучи #2 = ¡-^Х\, х2 < 0 и #2 = ¡-^Х\, х2 < 0 системы (7) лежат соответственно в третьей и четвертой четвертях, и поведения траектории системы аналогичны рассмотренным выше случаям. Особая точка является соответственно неустойчивым и устойчивым полуузлом. Этому соответствует рис. 1.

Случай 5. Числа 2, ¡J>Г 2 — комплексные, что эквивалентно условию

46 > шах {(а + с)2, (а — с)2} ,

которое, в свою очередь, эквивалентно неравенству 46 > {\а\ + |с|}2. По коэффициентам

а, 6, с определим число

а с а — с

^ \/46 — (а + с)2 \/46 — (а — с)2

Ниже на рис. 2 приведена графическая иллюстрация

Рис. 2.

Лемма 1. Пуст.ъ коэффициенты удовлетворяют, неравенству 46 > {|а| + |с|}2. Тогда числа 'у и а либо одновременно равны нулю, либо имеют, одинаковый знак.

Доказательство. Если а = 0, то ясно, что 7 = 0. Обратно, пусть 7 = 0. Тогда имеет место равенство (а + с)2(46 — (а — с)2) = (а — с)2(46 — (а + с)2), из которого следует, что а = 0. Таким образом, 7 = 0 тогда и только тогда, когда а = 0. Следовательно, знаки чисел 7 и а при 46 > {\а\ + |с|}2 , а ф 0 не зависят от с. Но при с = 0 имеет место равенство sgni^f) = sgn(a). Лемма доказана.

Имеет место следующая

Лемма 2. Пуст.ъ числа ^2, ^Гг — комплексные. Тогда ненулевые траектории систе-

мы (7) совершают, бесконечно много оборот,ов вокруг особой тючки (0,0); при t, —> +00 приближаются к ней, если а > 0; удаляются от, нее если а < 0; являются замкнутыми, если а = 0. Этому соответствует рис. 3.

Доказательство. Общее решение уравнения (8) имеет вид

у(£) = ехр(а;+£) {С*! со^{(3+Ь) + С*2 вт(/3+^)} , где Сг, С2 — произвольные постоянные, а , а + с „, 1

-, /3+ = -у/А 6 — (а + с)2, = а+±/?+г.

2 2

Отсюда, для частного решения ?/+(£), удовлетворяющего начальным условия у+(0) = уо < О, у'+(0) = 0, имеем

У+{Ь) = ехр(о!+^) {/3+сов(/3+£) — ск+вт(/3+£)} .

и

Это решение удовлетворяет условиям

У+ (*) >0, О < * < ¿1 = = 0, у+(*1) > 0.

Аналогично проверяется, что функция

у-(г) = ехр ((х~ (Ь - ¿1)) {/3~ С08(/Г0 - ¿1)) - а- зт(/Г(* - ¿1))} ,

где

а“ =-----2“, = -\/4Ь - (а - с)2, = а" ± /Гг

является решением уравнения (9), и если £/-(¿1) > 0, то удовлетворяет условиям

у'-&) > о, ¿1 < * < ¿2 = к + ~^=, у'_(г2) = о, у-(г 1) < о.

Следовательно, если полагать £/-(¿1) = ^+(¿1), то функция

м = { 2/1 (*), если (К*<*1,

\ 2/2 (¿), если ¿1 ^ ^ ¿2

является решением уравнения (6) и удовлетворяет условиям

у(°) = У+(°)> 2/'(°) = ^(°) = °> у(*з) = у(0) ехр(-77г), у'(¿а) = уЦ*2) = 0.

Таким образом траектория (¿), (¿)) = (у(¿), ?/(£)) решения системы (7) за промежу-

ток времени [0, ¿2] совершает полный оборот вокруг особой точки (0,0) и возвращается на исходный луч (#1,0), Х\ < 0. При этом начальная точка (у+(0),0) переходит в точку ехр(—77г)(у+(0), 0). Отсюда и из леммы 1 следует утверждение леммы. Лемма доказана.

Из леммы 2 следует, что если выполнено условие 46 > {|а| + |с|} , то особая точка (0, 0) является фокусом при а ф 0 и центром при а = 0, причем фокус устойчивый, если а > 0 и неустойчивый, если а < 0; качественное поведение траектории не зависит от конкретного значения коэффициента с.

Предельные циклы кусочно-линейных уравнений, зависящих от параметра. Рассмотрим уравнение, зависящее от параметра, вида

у” + ау' + Ъу + с\у' - А| = 0, (11)

где а,Ь,с — вещественные числа, а А — скалярный параметр. Уравнение (11) эквивалентно системе

#1 #2; (12) х'2 = —ах 2 — Ьх 1 — с\х2 — А|.

Система (12) при Ъ ф 0 имеет единственную особую точку (—с|А|/Ь,0) , которая зависит от коэффициентов с, Ь и параметра А уравнения.

Нас интересует изменение фазового портрета системы (12) в зависимости от значений коэффициентов и параметра уравнения.

Лемма 3. Пуст,ъ коэффициенты уравнения удовлетворяют неравенствам:

(а — с)2 < 46 ^ (а + с)2. (13)

Тогда для любого X все решения системы (12) ограничены при t > 0, если а + с > 0 и при t < 0, если а + с < 0.

Доказательство. Пусть а + с > 0. Если некоторое решение x(t) = ^(¿)) системы (12) неограничено при t > 0, то существует последовательность ¿д., 0 < ¿д. < ifc+i,

Л: = 1,2,... такая, что ¿д. -> оо и |#(ifc)| оо при А: —> оо. Выберем числа тд. G [0, ¿д.] такие,

к(тд-)1 = max h(i)|.

Из неравенства |#(тд.)| > |#(£д-)| следует dk = ^(тд-)| сю и, следовательно, гд. —> оо при к —> оо. Функции

Mfc(i) = #(гд. + i)/4, -гд. ^ ^ 0

удовлетворяют условиям

М0)| = 1, |wfe(i)| ^ 1, -Гд. ^ i ^ 0

и являются решением системы

Г Ц = и2, (14)

| г//2 = —ащ — Ъщ — с\щ — А/с4|.

Пусть и* — предельная точка последовательности г/.д.(0). Тогда решение системы (7), удовлетворяющее начальному условию #(0) = и*, является ненулевым и ограниченным при t ^ 0. Но с другой стороны, в условиях леммы, согласно п. 4с. все решения системы неограничены при t ^ 0. Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения леммы для случая а + с > 0.

Аналогично рассматривается случай а + с < 0. Лемма доказана.

Лемма 4. Пуст.ъ коэффициенты уравнения удовлетворяют неравенствам:

(■а + с)2 < 46 ^ (а — с)2. (15)

Тогда для любого А все решения системы (12) ограничены при t > 0, если а — с > 0 и при

t < 0, если а — с < 0.

Доказательство аналогично доказательству леммы 2.

Теорема 1. Пуст.ъ коэффициенты уравнения удовлетворяют неравенствам:

min {(а + с)2, (а — с)2} < 46 ^ max {(а + с)2, (а — с)2} , |а| < |с|. (16)

Тогда для любого значения параметра X, удовлетворяющего условию асХ > 0, система

(12) имеет. предельный цикл.

Рис. 4 иллюстрирует утверждение теопемьт.

Доказательство. Пусть для определенности (а — с)2 < (а + с)2. Тогда условие (16) примет вид

{а — с)2 < 46 ^ (а + с)2, |а| < |с|. (17)

Отсюда следует, что знаки чисел а, с совпадают, и поэтому параметр удовлетворяет условию: Л > 0.

Особая точка (—сА/6, 0) системы (12) с некоторой окрестностью принадлежит полуплоскости Х‘2 < А, где система (12) является линейной неоднородной системой вида

[ *1 Х2, (18)

| х'2 = —Ъх\ — (а — с)х2 — сЛ. ^ '

Для корней характеристического уравнения линейной системы, соответствующей системе (18), имеем: 20^//= с — а.

Если с — а < 0, то согласно п. 3, особая точка (—сА/6, 0) является устойчивым фокусом, и все отличные от особой точки траектории системы (18), выходящие в момент времени

I = 0 из точек, принадлежащих достаточно малой окрестности особой точки, при I > 0 остаются в полуплоскости х2 < А и приближаются к точке (—сА/6, 0) при I —> оо.

Но с другой стороны, так как с2 — а2 = (с + а) (с — а) > 0, то (с + а) < 0. В силу леммы 3, все решения системы (12) ограничены при I < 0. В силу устойчивости особой точки (—сА/6, 0), она не может быть а'-предельной точкой этих траекторий. Отсюда, в силу теоремы Пуанкаре-Бендиксона (см., напр.,[9]), следует существование предельного цикла у системы (12).

Если с — а > 0, то заменой времени I на — I приходим к рассмотренному выше случаю.

Доказательство теоремы в случае, когда (а — с)2 > (а + с)2, проводится аналогично с использованием леммы 4. Теорема доказана.

Лемма 5. Пуст.ъ коэффициентм уравнения удовлетворяют, неравенст.вам:

46 > шах {(а + с)2, (а — с)2} , а / 0. (19)

Тогда для любого значения парамет.ра А все решения сист.емы (12) ограничены, при I > 0, если а > 0 и при 1^0, если а < 0.

Доказательство этой леммы проводится аналогично доказательству леммы 3 с использованием леммы 1.

Теорема 2. Пуст.ъ коэффициентм уравнения удовлетворяют, неравенст.вам (19). Тогда сист.ема (12) имеет, предельный цикл для любого А > 0, если а{с — а) > 0, и любого А < 0, если а(с + а) <0.

Иллюстрацией этой теоремы является рис. 5.

Доказательство. Пусть Л > 0 и а > 0. Условие а(с — а) > 0 эквивалентно выполнению неравенств с > а > 0. В этом случае особая точка (—сА/6, 0) системы (12) с некоторой окрестностью принадлежит полуплоскости х2 < гДе система (12) является линейной неоднородной системой (18).

Так как корни /х^2 характеристического уравнения линейной системы, соответствующей системе (18), удовлетворяют условию 2^1112 = с — а, то согласно п. 3, особая точка (—сА/Ь, 0) является неустойчивым фокусом, и все отличные от особой точки траектории системы (18), выходящие в момент времени £ = 0 из точек, принадлежащих достаточно малой окрестности особой точки, при £ ^ 0 остаются в полуплоскости х2 < А и приближаются к точке (—сА/Ь, 0) при £ —> —сю.

В силу леммы 5, все траектории системы (12) ограничены при £ > 0. В то же время особая точка (—сА/6,0) не может быть с^-предельной точкой этих траекторий. Отсюда, в силу теоремы Пуанкаре-Бендиксона (см., напр.,[9]), следует существование предельного цикла у системы (12).

Аналогично рассматривается случай, когда А<0иа>0,а + с<0.

Если а < 0, то заменой времени £ на —¿, приходим к рассмотренным выше случаям. Теорема доказана.

Представляет интерес изучение устойчивости или неустойчивости полученных предельных циклов.

Определение 1. Положение равновесия го = (—с|А|/6,0) системы (7) называется устойчивым, если для любого е > 0 существует 8 > 0 такое, что для всякого г, для которого ||г — го || < 8, решение </?(£, г) системы (7) с начальным условием (р(0,г) = г продолжается на всю полуось £ > 0 и удовлетворяет неравенству || </?(£, г) — го|| < е для всех £ > 0.

Определение 2. Предельным циклом называется замкнутая траектория [9], у которой существует окрестность, целиком заполненная траекториями, неограниченно приближающимися к этой замкнутой траектории при £ —> +сю или при £ —> —сю. Предельный цикл называется устойчивым, если все траектории приближаются к нему только при £ —> +сю, и вполне неустойчивым — если все траектории приближаются к нему при £ —> —сю.

Теорема 3. Пусть выполнены следующие условия

Тогда предельный цикл системы (7) является устойчивым при а>0 и вполне неустойчивым при а<0.

Теорема 4. Пусть выполнены следующие условия

Тогда предельный цикл системы (7) является устойчивым при 0 < а < —с и \ < 0, и неустойчивым при —с < а < 0 .

Теорема 5. В условиях теоремы 2 предельный цикл системы (7) является устойчивым при а > 0; и вполне неустойчивым при а < 0.

В рамках данной работы доказательства теорем (3 — 5) вытекают, в частности, из вышеприведенных случаев (1 — 5).

Численная реализация

Построен алгоритм и пакет программ аналитического и численного исследования предельных циклов, математические модели которых содержат модульные и кусочнолинейных нелинейности. Проведена программная реализация этого алгоритма для некоторых моделей, в частности для уравнений (6) и (11).

(а — с)2 < 46 ^ (а + с)2.

(20)

(а — с)2 < 46 ^ (а + с)2.

(21)

Разработанные алгоритмы являются новыми. Использован метод Рунге-Кутта четвертого порядка. Результаты, полученные посредством этого пакета, проиллюстрированы рисунками (1-5).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Матем. сборник. 1966. 51. РЖМат. 960. 317 с.

2. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Мет,оды и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. Наука, М. 1976. 496 с.

3. М. di Bernardo,Budd C., A.R. Champneys, P. KowalezykPiece-wise smooth dynamical system,. Appl. Math. Sei., vol. 103. London: Springer. 2008. 183 p.

4. Иванов А.П. Исследование разрывных бифуркаций в негладких динамических системах // Нелинейная динам. 2012. Т 8, № 2. С. 231-247.

5. R.I. Leine, D.H. Van Campen European Journal of Mechanigs A/Solids. 2006. 25. P. 595-616.

6. Каток A.B., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем. М.: МЦНМОб. 2005. 454 с.

7. Синай Я.Г. Теория фазовых переходов. М.: Наука. 1980. 207 с.

8. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. УРСС. М. 2004. 239 с.

9. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970. 720 с.

Эргашбой Мирзоевич Мухамадиев,

Вологодский государственный технический университет, ул. Ленина, 15,

160000, г.Вологда, Россия

E-mail: E-mail: emuhamadiev@rambler.ru

Исхокбой Джумаевич Нуров,

Российско-Таджикский(славянский)университет, ул. Мирзо-Турсун-заде, 30,

734025, г. Душанбе, Таджикистан E-mail: E-mail: nidl@mail.ru

Мохчехра Шавкатовна Халилова,

Институт математики Академии наук республики Таджикистан, ул. Айни 299/4,

734063, г. Душанбе,Таджикистан E-mail: E-mail: mshkh@inbox.ru