CC BY
41
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 1 (2014). С. 84-93.
УДК 517.91
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Э.М. МУХАМАДИЕВ, И.Д. НУРОВ, М.Ш. ХАЛИЛОВА
Аннотация. Работа посвящена выявлению предельных циклов в окрестности состояний равновесий негладких динамических систем. Получены новые фазовые портреты, которые не наблюдаются в линейном случае. Использован метод сшивания решений из двух полуплоскостей. Наряду с использованием стандартных пакетов, построен новый пакет программ для численного построения фазовых портретов.
Ключевые слова: динамические системы, негладкость, устойчивость, фазовая плоскость, предельный цикл.
Mathematics Subject Classification: 37G15, 34С05
Негладкие эффекты имеют важное значение в различных разделах физики, механики, биологии, экономики и т.д. [1-7]. Функционирование системы с негладкими элементами, как правило, зависит от одного или нескольких параметров. Изменение каких-либо параметров может влиять на структуру решений в целом, или переводить систему из одного состояния в другое. Следует отметить, что модели негладких систем описываются посредством дифференциальных уравнений с негладкими, релейными или гистерезисными нелинейностями.
Задачи исследования предельных циклов в негладких динамических системах, как правило, достаточно сложны, и поэтому при их исследовании эффективным представляется применение численных методов. Следовательно, актуальными будут разработка программы и компьютерное моделирование поведения предельных циклов негладких (модельных и кусочно-линейных) динамических систем.
Настоящая работа посвящена исследованию общих кусочно-линейных уравнений второго порядка
у" + да/ + by + с\у' — Л| = 0, (1)
где а,Ь,с — вещественные числа, а А — скалярный параметр.
Отправным пунктом для авторов послужила работа [5], где исследовано конкретное кусочно-линейное дифференциальное уравнение второго порядка
!/" + ?/ + !/ +fl!/'-А| = 0, (2)
зависящее от параметра А. Уравнение (2) имеет единственную особую точку (состояние
равновесия)
у = — §IА|, г/ = о, УАея.
В работе [5] приведены анализ и сравнение фазовых портретов системы, соответствующей уравнению (2), и с помощью компьютерного моделирования установлено существование предельного цикла при определенных значениях параметра А.
Е.М. Mukhamsdiev, I.D. Nurov, М.Sh. Khalilova, Limiting cycles of piece-linear second
ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS.
© Мухамадиев Э.М., Нуров И.Д., Халилова М.Ш. 2013.
Поступила 1 июня 2013 г.
Ниже проведен полный анализ поведения траектории уравнения (1) при Л = 0 в зависимости от значений коэффициентов а,Ь,с и получены (теоремы 1 и 2) общие условия существования предельных циклов в зависимости от значения коэффициентов а,Ь,с и параметра Л.
Линейное уравнение. Сначала рассмотрим линейное уравнение, которое получается из уравнения (1) при с = О, А = 0:
у" + ау' + Ъу = 0. (3)
Фазовый портрет соответствующей системы
^2)
х'2 = —ах2 — bxi, ^ '
определяется корнями ¡ii и Ц2 характеристического уравнения
ц2 + ац + 6 = 0. (5)
Возможны следующие случаи (более подробно см., напр., [8]).
1. Числа ¡ii и Ц2 вещественны и разных знаков, что соответствует выполнению неравенства 6 < 0. Тогда траектории системы (4) (кроме идущих по прямым Х2 = l~iiX\, Х2 = /л2X1) похожи на гиперболы, и в этом случае особая точка называется седлом.
2. Числа ¡i\ и Ц2 вещественны и одного знака, причем ¡i\ > ¡12 (0 < 46 < а2). Тогда траектории системы сходны с дугами парабол, касающимися прямой Х2 = ^2X1 в точке (0,0), если ¡12 > 0 (а>0), или прямой Х2 = fiiXi, если ¡jl\ < 0 (а<0); полупрямые Х2 = Ц\Х1,Х2 = Ц2Х1 (х\ > 0 или Х\ < 0 ) тоже являются траекториями. В этом случае особая точка называется узлом (устойчивым узлом, если ¡II < 0, И неустойчивым узлом, если ¡12 > 0). Если 1^1 = 1^2 Ф 0, то особая точка называется вырожденным узлом. Вырожденный узел является устойчивым, если ¡i\ = Ц2 < 0 (46 = а2, а > 0), и неустойчивым, если ¡i\ = Ц2 > 0 (46 = а2, а < 0).
3. Числа fii = а + i/З и fj,2 = ol — i{3, [3 ф 0 комплексны (46 > а2, а = —а/2,
(3 = -\/4б" — а2/2). В этом случае траектории совершают бесконечно много оборотов вокруг
особой точки — начала координат. При а = 0 траектории-окружности и особая точка
называется центром, а при а ф 0 особая точка называется фокусом. Фокус устойчивый, если а < 0, и неустойчивый, если а > 0.
Кусочно-линейное уравнение. Рассмотрим кусочно-линейное уравнение второго порядка
у" + ау' + Ъу + с\у'\ = 0, (6)
где с ф 0. Уравнение (6) эквивалентно системе
%1 •^'2) /уч
х'2 = —ах 2 — Ъх\ — с\х21,
где Х\ = у, Х2 = у'- Если 6 ф 0, то система (7) имеет единственную особую точку (0,0).
Подробно остановимся на изучении поведения траектории кусочно-линейной системы (7)
в фазовой плоскости (х\,х2)- Мы выделим те особенности фазового портрета кусочнолинейных систем, которые не наблюдаются в линейных системах.
Уравнение (6) "склеивается" из линейных уравнений
у" + (а + с)у' + Ьу = 0, если у' > 0 (8)
у" + (а — с)уг + Ьу = 0, если у' ^ 0. (9)
Обозначим через ¡л^ и корни характеристического уравнения
/I2 + (а ± с)/1 + 6 = 0, (10)
и
соответствующего уравнениям (8) и (9):
1*1 = ~^{(а±с) - у/(а± с)2 - 461 , ¡12 = ~ {(а ± с) + у/(а ± с)2 - 4б|.
В дальнейшем будем предполагать, что 6^0. Рассмотрим все возможные случаи.
Случай 1. Числа ¡л^ и ц2 вещественны, причем ¡л\1л2 < 0. Эти условия эквивалентны условию отрицательности коэффициента 6 : 6 < 0 и, следовательно, Ц1Ц2 = 6 < 0. Тогда траектории (кроме идущих по полупрямым х2 = /л^х\,х2 = /л^Хх, Х\ > 0 и х2 = Ц2Х\,Х2 = Ц2Х\, Х\ < 0) похожи на гиперболы и расположены в секторах, образованных лучами
х2 = = ßiXi и х2 = = ßiXi при Х\ > 0;
х2 = = ßiXi и х2 = = ß2Xi при х2 > 0;
х2 = = ß2Xi и х2 = = ß2 Х\ при Х\ < 0;
х2 = ß~[X\ и х2 = ß2X\ при х2 < 0.
В этом случае особую точку кусочно-линейной системы назовем седлом.
Случай 2. Числа ßf, ß2 вещественны и одного знака. Эти условия в терминах коэффициентов эквивалентны выполнению неравенств
0 < 46 ^ min {(а + с)2, (а — с)2} , |с| < \а\.
Если все числа ßf, ßf отрицательны (что соответствует условию а > 0), траектории системы (7) являются касающимися прямой Х2 = ß\x\ при х\ < 0 или прямой х2 = ß\xl при Х\ > 0 В точке (0,0); полупрямые Х2 = ßiX\, Х2 = ß2X\ ПРИ х1 < 0 и х2 = ß\X\, Х2 = ß2X\ ПРИ xi > 0 тоже являются траекториями системы (7). В этом
случае особую точку назовем узлом. Так как по всем траекториям происходит движение
к точке (0, 0) при t —> 00, то точка (0, 0) является устойчивым узлом.
Если все числа ßf, ß2 положительны (что соответствует условию а < 0), траектории системы (7) являются касающимися прямой х2 = ß2X\ при Х\ < 0 или прямой х2 = ß2xl при Х\ > 0 В точке (0,0); полупрямые Х2 = ß\X\, Х2 = ß2xl при Х\ > 0 и х2 = ß\X\, Х2 = ß2xi при Х\ < 0 тоже являются траекториями системы (7). Ив этом случае особую точку назовем узлом. Так как по всем траекториям происходит движение к точке (0, 0) при t —> —00, то точка (0, 0) является неустойчивым узлом.
Случай 3. Числа ß\,ß2 и ß~[,ß2 вещественны и ßiß2 > 0, ß~[ß2 > 0, ßlß~[ < 0. Эти условия в терминах коэффициентов эквивалентны выполнению неравенств
0 < 46 ^ min {(а + с)2, (а — с)2} , |а| < |с|.
Если ß\ > 0, то ß2 > 0, ßi < 0 и ß2 < 0 (что соответствует условию с < 0), все
траектории системы (7), проходящие из точек открытого сектора, образованного лучами х2 = ß\Xi И Х2 = ßiX\ (х2 = ßiXi и х2 = ßiXi) при X! > 0, являются касающимися прямой Х2 = ß2xl (х2 = ßlxl) В точке (0,0); полупрямые Х2 = ß\X\, Х2 = ß2xl и Х2 = ß\X\, х2 = ß2xi при Х\ > 0 тоже являются траекториями системы (7). Все траектории системы (7), проходящие из точек {х\,$),х1 > 0 ((xijO),^1 < 0), стремятся к точке (0,0) (неограниченно удаляются в бесконечность) при i -> ±00 и заполняют сектор между лучами х2 = ßixl и Х2 = ß2Xl, содержащийся В полуплоскости Х\ > 0 [Х2 = ß\x\ И Х2 = ß2 Х11 содержащий полуплоскость Х\ <0 ).
Если ß\ < 0, то ß2 < 0, ß~[ > 0 и ß2 > 0 (что соответствует условию с > 0).
Таким образом, нулевая особая точка содержит узловой сектор и эллиптический сектор.
Случай 4. Из двух пар чисел ß\2^i2 °дна пара — комплексные числа, а другая — вещественные числа. Эти условия в терминах коэффициентов эквивалентны выполнению неравенств
min {(а + с)2, (а — с)2} < 46 ^ max {(а + с)2, (а — с)2} .
Пусть [1^2 — комплексные, а — вещественные и положительные. Этому случаю соответствуют условия
(а — с)2 < 46 ^ (а + с)2, с < 0.
Тогда траектории, образованные полупрямыми #2 = ^Х\ и х2 = ¡-^х\ ПРИ ^1 :> 0) расположены в первой четверти, и вдоль всех траекторий, проходящих из точек сектора, образованного этими полупрямыми в первой четверти, происходит движение от точки (0, 0) при возрастании времени I. Все остальные траектории системы (7), отличные от особой ТОЧКИ, проходят через ТОЧКИ (#1,0), #1 > 0 ((#1,0), Х\ < 0), стремятся к точке (0,0) при I —> — оо и асимптотически приближаются к полупрямой х2 = ^Х\, Х\ > 0 в бесконечности при I —> +оо. Отметим, что при I —> —оо все ненулевые траектории, кроме #2 = 1-1^х1,х1 > 0, приближаются к точке (0,0), касаясь прямой х-2 = ¡-^х\, и при I —> +оо все ненулевые траектории, кроме #2 = 1-^х1-,х1 > 0) асимптотически приближаются к полупрямой #2 = 1-11 XI, Х\ > 0. В этом случае особую точку назовем неустойчивым полуузлом.
Если 1-1,12 — комплексные, а ¡¿I2 вещественные отрицательные, что соответствует условиям
(а — с)2 < 46 ^ (а + с)2, с > 0,
то траектории, образованные полупрямыми #2 = 1-^х1 и х2 = /¿2 х ь ПРИ #1 < 0, расположены во второй четверти, и вдоль всех траекторий, проходящих из точек сектора, образованного этими полупрямыми во второй четверти, происходит движение к точке (0, 0) при возрастании времени все остальные траектории системы (7), отличные от особой ТОЧКИ, проходят через ТОЧКИ (#1,0), #1 > 0 ((#1,0), #1 < 0), стремятся к точке (0,0) при I —> +оо и асимптотически приближаются к полупрямой #2 = ¡-^Х\, Х\ < 0 при I —> —оо. Аналогично выше приведенному случаю при I —> +оо все ненулевые траектории, кроме #2 = ^2~#1,#1 < 0, приближаются к точке (0,0), касаясь прямой #2 = ¡-^Х\, и при
I —> —оо все ненулевые траектории, кроме #2 = //.^# 1, # 1 < 0, асимптотически приближаются К полупрямой #2 = ^2~#1, #1 < 0. В этом случае особую точку назовем устойчивым
полуузлом.
Возможны еще следующие два случая, когда ^2 — комплексные, а ^,~[2 — вещественные положительные, что соответствуют условиям
(а + с)2 < 46 ^ (а — с)2, с > 0,
и когда ¿/,^2 — комплексные, а ^,~[2 — вещественные отрицательные, что соответствует условиям
(а + с)2 < 46 ^ (а — с)2, с < 0.
В этих случаях собственные лучи #2 = ¡-^Х\, х2 < 0 и #2 = ¡-^Х\, х2 < 0 системы (7) лежат соответственно в третьей и четвертой четвертях, и поведения траектории системы аналогичны рассмотренным выше случаям. Особая точка является соответственно неустойчивым и устойчивым полуузлом. Этому соответствует рис. 1.
Случай 5. Числа 2, ¡J>Г 2 — комплексные, что эквивалентно условию
46 > шах {(а + с)2, (а — с)2} ,
которое, в свою очередь, эквивалентно неравенству 46 > {\а\ + |с|}2. По коэффициентам
а, 6, с определим число
а с а — с
^ \/46 — (а + с)2 \/46 — (а — с)2
Ниже на рис. 2 приведена графическая иллюстрация
Рис. 2.
Лемма 1. Пуст.ъ коэффициенты удовлетворяют, неравенству 46 > {|а| + |с|}2. Тогда числа 'у и а либо одновременно равны нулю, либо имеют, одинаковый знак.
Доказательство. Если а = 0, то ясно, что 7 = 0. Обратно, пусть 7 = 0. Тогда имеет место равенство (а + с)2(46 — (а — с)2) = (а — с)2(46 — (а + с)2), из которого следует, что а = 0. Таким образом, 7 = 0 тогда и только тогда, когда а = 0. Следовательно, знаки чисел 7 и а при 46 > {\а\ + |с|}2 , а ф 0 не зависят от с. Но при с = 0 имеет место равенство sgni^f) = sgn(a). Лемма доказана.
Имеет место следующая
Лемма 2. Пуст.ъ числа ^2, ^Гг — комплексные. Тогда ненулевые траектории систе-
мы (7) совершают, бесконечно много оборот,ов вокруг особой тючки (0,0); при t, —> +00 приближаются к ней, если а > 0; удаляются от, нее если а < 0; являются замкнутыми, если а = 0. Этому соответствует рис. 3.
Доказательство. Общее решение уравнения (8) имеет вид
у(£) = ехр(а;+£) {С*! со^{(3+Ь) + С*2 вт(/3+^)} , где Сг, С2 — произвольные постоянные, а , а + с „, 1
-, /3+ = -у/А 6 — (а + с)2, = а+±/?+г.
2 2
Отсюда, для частного решения ?/+(£), удовлетворяющего начальным условия у+(0) = уо < О, у'+(0) = 0, имеем
У+{Ь) = ехр(о!+^) {/3+сов(/3+£) — ск+вт(/3+£)} .
и
Это решение удовлетворяет условиям
У+ (*) >0, О < * < ¿1 = = 0, у+(*1) > 0.
Аналогично проверяется, что функция
у-(г) = ехр ((х~ (Ь - ¿1)) {/3~ С08(/Г0 - ¿1)) - а- зт(/Г(* - ¿1))} ,
где
а“ =-----2“, = -\/4Ь - (а - с)2, = а" ± /Гг
является решением уравнения (9), и если £/-(¿1) > 0, то удовлетворяет условиям
у'-&) > о, ¿1 < * < ¿2 = к + ~^=, у'_(г2) = о, у-(г 1) < о.
Следовательно, если полагать £/-(¿1) = ^+(¿1), то функция
м = { 2/1 (*), если (К*<*1,
\ 2/2 (¿), если ¿1 ^ ^ ¿2
является решением уравнения (6) и удовлетворяет условиям
у(°) = У+(°)> 2/'(°) = ^(°) = °> у(*з) = у(0) ехр(-77г), у'(¿а) = уЦ*2) = 0.
Таким образом траектория (¿), (¿)) = (у(¿), ?/(£)) решения системы (7) за промежу-
ток времени [0, ¿2] совершает полный оборот вокруг особой точки (0,0) и возвращается на исходный луч (#1,0), Х\ < 0. При этом начальная точка (у+(0),0) переходит в точку ехр(—77г)(у+(0), 0). Отсюда и из леммы 1 следует утверждение леммы. Лемма доказана.
Из леммы 2 следует, что если выполнено условие 46 > {|а| + |с|} , то особая точка (0, 0) является фокусом при а ф 0 и центром при а = 0, причем фокус устойчивый, если а > 0 и неустойчивый, если а < 0; качественное поведение траектории не зависит от конкретного значения коэффициента с.
Предельные циклы кусочно-линейных уравнений, зависящих от параметра. Рассмотрим уравнение, зависящее от параметра, вида
у” + ау' + Ъу + с\у' - А| = 0, (11)
где а,Ь,с — вещественные числа, а А — скалярный параметр. Уравнение (11) эквивалентно системе
#1 #2; (12) х'2 = —ах 2 — Ьх 1 — с\х2 — А|.
Система (12) при Ъ ф 0 имеет единственную особую точку (—с|А|/Ь,0) , которая зависит от коэффициентов с, Ь и параметра А уравнения.
Нас интересует изменение фазового портрета системы (12) в зависимости от значений коэффициентов и параметра уравнения.
Лемма 3. Пуст,ъ коэффициенты уравнения удовлетворяют неравенствам:
(а — с)2 < 46 ^ (а + с)2. (13)
Тогда для любого X все решения системы (12) ограничены при t > 0, если а + с > 0 и при t < 0, если а + с < 0.
Доказательство. Пусть а + с > 0. Если некоторое решение x(t) = ^(¿)) системы (12) неограничено при t > 0, то существует последовательность ¿д., 0 < ¿д. < ifc+i,
Л: = 1,2,... такая, что ¿д. -> оо и |#(ifc)| оо при А: —> оо. Выберем числа тд. G [0, ¿д.] такие,
к(тд-)1 = max h(i)|.
Из неравенства |#(тд.)| > |#(£д-)| следует dk = ^(тд-)| сю и, следовательно, гд. —> оо при к —> оо. Функции
Mfc(i) = #(гд. + i)/4, -гд. ^ ^ 0
удовлетворяют условиям
М0)| = 1, |wfe(i)| ^ 1, -Гд. ^ i ^ 0
и являются решением системы
Г Ц = и2, (14)
| г//2 = —ащ — Ъщ — с\щ — А/с4|.
Пусть и* — предельная точка последовательности г/.д.(0). Тогда решение системы (7), удовлетворяющее начальному условию #(0) = и*, является ненулевым и ограниченным при t ^ 0. Но с другой стороны, в условиях леммы, согласно п. 4с. все решения системы неограничены при t ^ 0. Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения леммы для случая а + с > 0.
Аналогично рассматривается случай а + с < 0. Лемма доказана.
Лемма 4. Пуст.ъ коэффициенты уравнения удовлетворяют неравенствам:
(■а + с)2 < 46 ^ (а — с)2. (15)
Тогда для любого А все решения системы (12) ограничены при t > 0, если а — с > 0 и при
t < 0, если а — с < 0.
Доказательство аналогично доказательству леммы 2.
Теорема 1. Пуст.ъ коэффициенты уравнения удовлетворяют неравенствам:
min {(а + с)2, (а — с)2} < 46 ^ max {(а + с)2, (а — с)2} , |а| < |с|. (16)
Тогда для любого значения параметра X, удовлетворяющего условию асХ > 0, система
(12) имеет. предельный цикл.
Рис. 4 иллюстрирует утверждение теопемьт.
Доказательство. Пусть для определенности (а — с)2 < (а + с)2. Тогда условие (16) примет вид
{а — с)2 < 46 ^ (а + с)2, |а| < |с|. (17)
Отсюда следует, что знаки чисел а, с совпадают, и поэтому параметр удовлетворяет условию: Л > 0.
Особая точка (—сА/6, 0) системы (12) с некоторой окрестностью принадлежит полуплоскости Х‘2 < А, где система (12) является линейной неоднородной системой вида
[ *1 Х2, (18)
| х'2 = —Ъх\ — (а — с)х2 — сЛ. ^ '
Для корней характеристического уравнения линейной системы, соответствующей системе (18), имеем: 20^//= с — а.
Если с — а < 0, то согласно п. 3, особая точка (—сА/6, 0) является устойчивым фокусом, и все отличные от особой точки траектории системы (18), выходящие в момент времени
I = 0 из точек, принадлежащих достаточно малой окрестности особой точки, при I > 0 остаются в полуплоскости х2 < А и приближаются к точке (—сА/6, 0) при I —> оо.
Но с другой стороны, так как с2 — а2 = (с + а) (с — а) > 0, то (с + а) < 0. В силу леммы 3, все решения системы (12) ограничены при I < 0. В силу устойчивости особой точки (—сА/6, 0), она не может быть а'-предельной точкой этих траекторий. Отсюда, в силу теоремы Пуанкаре-Бендиксона (см., напр.,[9]), следует существование предельного цикла у системы (12).
Если с — а > 0, то заменой времени I на — I приходим к рассмотренному выше случаю.
Доказательство теоремы в случае, когда (а — с)2 > (а + с)2, проводится аналогично с использованием леммы 4. Теорема доказана.
Лемма 5. Пуст.ъ коэффициентм уравнения удовлетворяют, неравенст.вам:
46 > шах {(а + с)2, (а — с)2} , а / 0. (19)
Тогда для любого значения парамет.ра А все решения сист.емы (12) ограничены, при I > 0, если а > 0 и при 1^0, если а < 0.
Доказательство этой леммы проводится аналогично доказательству леммы 3 с использованием леммы 1.
Теорема 2. Пуст.ъ коэффициентм уравнения удовлетворяют, неравенст.вам (19). Тогда сист.ема (12) имеет, предельный цикл для любого А > 0, если а{с — а) > 0, и любого А < 0, если а(с + а) <0.
Иллюстрацией этой теоремы является рис. 5.
Доказательство. Пусть Л > 0 и а > 0. Условие а(с — а) > 0 эквивалентно выполнению неравенств с > а > 0. В этом случае особая точка (—сА/6, 0) системы (12) с некоторой окрестностью принадлежит полуплоскости х2 < гДе система (12) является линейной неоднородной системой (18).
Так как корни /х^2 характеристического уравнения линейной системы, соответствующей системе (18), удовлетворяют условию 2^1112 = с — а, то согласно п. 3, особая точка (—сА/Ь, 0) является неустойчивым фокусом, и все отличные от особой точки траектории системы (18), выходящие в момент времени £ = 0 из точек, принадлежащих достаточно малой окрестности особой точки, при £ ^ 0 остаются в полуплоскости х2 < А и приближаются к точке (—сА/Ь, 0) при £ —> —сю.
В силу леммы 5, все траектории системы (12) ограничены при £ > 0. В то же время особая точка (—сА/6,0) не может быть с^-предельной точкой этих траекторий. Отсюда, в силу теоремы Пуанкаре-Бендиксона (см., напр.,[9]), следует существование предельного цикла у системы (12).
Аналогично рассматривается случай, когда А<0иа>0,а + с<0.
Если а < 0, то заменой времени £ на —¿, приходим к рассмотренным выше случаям. Теорема доказана.
Представляет интерес изучение устойчивости или неустойчивости полученных предельных циклов.
Определение 1. Положение равновесия го = (—с|А|/6,0) системы (7) называется устойчивым, если для любого е > 0 существует 8 > 0 такое, что для всякого г, для которого ||г — го || < 8, решение </?(£, г) системы (7) с начальным условием (р(0,г) = г продолжается на всю полуось £ > 0 и удовлетворяет неравенству || </?(£, г) — го|| < е для всех £ > 0.
Определение 2. Предельным циклом называется замкнутая траектория [9], у которой существует окрестность, целиком заполненная траекториями, неограниченно приближающимися к этой замкнутой траектории при £ —> +сю или при £ —> —сю. Предельный цикл называется устойчивым, если все траектории приближаются к нему только при £ —> +сю, и вполне неустойчивым — если все траектории приближаются к нему при £ —> —сю.
Теорема 3. Пусть выполнены следующие условия
Тогда предельный цикл системы (7) является устойчивым при а>0 и вполне неустойчивым при а<0.
Теорема 4. Пусть выполнены следующие условия
Тогда предельный цикл системы (7) является устойчивым при 0 < а < —с и \ < 0, и неустойчивым при —с < а < 0 .
Теорема 5. В условиях теоремы 2 предельный цикл системы (7) является устойчивым при а > 0; и вполне неустойчивым при а < 0.
В рамках данной работы доказательства теорем (3 — 5) вытекают, в частности, из вышеприведенных случаев (1 — 5).
Численная реализация
Построен алгоритм и пакет программ аналитического и численного исследования предельных циклов, математические модели которых содержат модульные и кусочнолинейных нелинейности. Проведена программная реализация этого алгоритма для некоторых моделей, в частности для уравнений (6) и (11).
(а — с)2 < 46 ^ (а + с)2.
(20)
(а — с)2 < 46 ^ (а + с)2.
(21)
Разработанные алгоритмы являются новыми. Использован метод Рунге-Кутта четвертого порядка. Результаты, полученные посредством этого пакета, проиллюстрированы рисунками (1-5).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Матем. сборник. 1966. 51. РЖМат. 960. 317 с.
2. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Мет,оды и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. Наука, М. 1976. 496 с.
3. М. di Bernardo,Budd C., A.R. Champneys, P. KowalezykPiece-wise smooth dynamical system,. Appl. Math. Sei., vol. 103. London: Springer. 2008. 183 p.
4. Иванов А.П. Исследование разрывных бифуркаций в негладких динамических системах // Нелинейная динам. 2012. Т 8, № 2. С. 231-247.
5. R.I. Leine, D.H. Van Campen European Journal of Mechanigs A/Solids. 2006. 25. P. 595-616.
6. Каток A.B., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем. М.: МЦНМОб. 2005. 454 с.
7. Синай Я.Г. Теория фазовых переходов. М.: Наука. 1980. 207 с.
8. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. УРСС. М. 2004. 239 с.
9. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970. 720 с.
Эргашбой Мирзоевич Мухамадиев,
Вологодский государственный технический университет, ул. Ленина, 15,
160000, г.Вологда, Россия
E-mail: E-mail: [email protected]
Исхокбой Джумаевич Нуров,
Российско-Таджикский(славянский)университет, ул. Мирзо-Турсун-заде, 30,
734025, г. Душанбе, Таджикистан E-mail: E-mail: [email protected]
Мохчехра Шавкатовна Халилова,
Институт математики Академии наук республики Таджикистан, ул. Айни 299/4,
734063, г. Душанбе,Таджикистан E-mail: E-mail: [email protected]
