Бифуркационный анализ и синергетическое управление системой «Валовой продукт - трудовой ресурс» Текст научной статьи по специальности «Математика»

т ельност и иредприя т ия.

А. В. Братищев, М. И. Журавлева

БИФУРКАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ И СИНЕРГЕТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМОЙ «ВАЛОВОЙ ПРОДУКТ — ТРУДОВОЙ РЕСУРС»

Аннотация

Объектом исследования в данной работе является неравновесная экономическая система «валовой продукт — трудовой ресурс». Проведен ее полный бифуркационный анализ, определяющий асимптотическое поведение траекторий. Определяются допустимые точки притяжения в фазовом пространстве системы при скалярном синергети-ческом управлении.

Ключевые слова

Динамическая система, пространство параметров, бифуркационная поверхность, траектория, фазовый портрет, синергетическое управление.

2015 № 2 (50) Вестник Ростовского государственного экономического университета (РИНХ)

A. V. Bratishchev, M. I. Zhuravliova

BIFURCATION ANALYSIS AND SYNERGETIC CONTROL WITH SYSTEM «GROSS NATIONAL PRODUCT — LABOR RESOURCE»

Annotation

The research object in this paper is a non-equilibrium economic system «gross national product — labor resource". The asymptotic behavior of trajectories is evaluated with help of complete bifurcation analysis. We define valid attraction points in the phase space of the system under scalar synergetic control.

Keywords

Dynamic system, the parameter space, bifurcation surface, trajectory, phase portrait, synergetic control.

В монографии [1] и статье [2] исследование неравновесных экономических систем проводится методам теории бифуркаций. В первых трех пунктах настоящей статьи проведен полный бифуркационный анализ неравновесной экономической системы «валовой продукт — трудовой ресурс» с помощью математической модели [1]:

/

xt -

V

к+1

x-yy + axy-Py

2

yt - -цу + sxy

. (1)

Здесь х() ( у() ) — величина валового продукта (трудового ресурса) в + кх(1)

момент времени 1; у 7 — непроизводительные расходы системы в едини-

1 х (Г )

цу времени; ^ — потеря валового продукта с долговечностью т из-за его физического износа и морального ста-

ГУ (1)

рения; — потеря валового про-

ах(г) у(г) дукта из-за простоев; —

прирост валового продукта в единицу

времени, обусловленный вовлечением в

Г г

S2 — (Х2 , y2 ) : —

1

b2 2a4

аъ\

процесс производства трудового ресур-

ру(г )2

са и созданной стоимости; —

расход валового продукта на проведение организационных взаимодействий работников материального производ-£х(г) у(г)

ства; \ \ / — прирост трудового ресурса пропорционально его наличному количеству и достигнутому уровню

валового продукта; () — выбывание трудового ресурса из сферы производственной деятельности в единицу времени благодаря выходу на пенсионное обеспечение, из-за болезни и т. д.

С целью проведения полного бифуркационного анализа системы [3] переобозначим единообразно коэффициенты автономной системы (1):

X' = -а^ - а2у + а3ху - а4у2

Уг —-bi У + b2 xy

. (2)

а, b.

По условию параметры г' ] положительны. Как и в [1] положения равновесия автономной системы (1) бу-

= (0,0)

дут равны

а

4a1a4b1

\\

JJ

<

5*3 — (Х3,уъ) .-

1

Ъ ' 2ал

Ъ1а3

По теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению [3] 51 является устойчивым узлом при допустимых значениях параметров.

Линеаризуем систему (2) в

окрестности положений равновесия

-"2,3

а — -а +

а,

2а.

а

\\

Ь1аз V Ь2

а

4ааЬ

/у

Коэффициенты характеристического Я2 -аЯ + А:— ёе<ЯЕ - А)

многочлена

матрицы А линеаризации равны соответственно

^ - а ±

Ь1а3

V Ъ2

-а

4ааЪ

А —±Ъ

2а„

азЪ1

л2

а,,

4ааЪ

Ъ1аз V Ъ2

2

а

4а1а4Ъ1 — 0

Ъ

Методом от противного доказывается, что первый из них никогда не обращается в нуль. То есть положения

равновесия 52,3 не могут быть

нейтральными. Второй равен нулю тогда и только тогда, когда

(Ъ1а3 - а2Ъ2 )2 = 4а1а4Ъ1Ъ2 . (3)

Это равенство является условием кратности положения равновесия. Как уравнение в положительном октанте шестимерного пространства параметров системы (2) оно задает бифуркационную поверхность: 2

ь.— .— (а, а, а, а, Ъ, ъ2 ). (Ъа3 - аЪ )2 — 4а1а4ъ1ъ2 |

Последняя делит октант на две грубые ячейки

С + :— :— (ах, а, а, а, Ъ, Ъ ): (Ъа - а2Ъ2 )2 > 4а1а4Ъ1Ъ21

о -

:— :— (ах, а, а, а, Ъ, Ъ ): (Ъа - аЪ )2 < 4а1а4Ъ1Ъ21

Для точек первой из них система (2) имеет три положения равновесия, а

^ — (0,0)

для второй только одно 1 4 у .Таким образом, бифуркационная диаграмма точек поверхности (3) составлена из двух подмножеств соответственно

из областей

о + и о -

1. Исследуем характер положений

5 — (х, у ), / — 2,3 т-г равновесия 1 у ^^ ' . Пусть

Ъ1а3

а е 0 . В случае Ъ2

а2 > 0

явля-

ется неустойчивым узлом, а 3 — седлом, причем оба они лежат в первой четверти фазовой плоскости. В случае

Ъ1а3

1 ■ - а < о

ъ

2

52 является седлом, а 53

— устойчивым узлом, и оба положения равновесия лежат в четвертой четверти фазовой плоскости.

1

5

2

Пусть а е ^ . Кратное положение

равновесия

г Ь азЬ- а^2 Л

5 = 52,3 =

V Ъ2

2а4Ь2 у

является

седло-узлом с одним узловым сектором и двумя седловыми [3, с. 92]. При

Ъ\а3

Ъ

> а

2

его узловой сектор неустой-

Ъ1а3

Ъ

< ап

чив, а при 2 устойчив.

2. Для исследования поведения неограниченных траекторий на беско-

(±да,0)

нечности и в окрестности точек сделаем в системе (2) замену перемен-1 V

х = -, у = -

ных и и . Она преобразует траектории этой системы в траектории системы

г 2,2 , 2

и, = а1и + а2и V - а3их + а4их V\ = (а1 - Ъ1) их + а2т + Ъ2v - а3х +

(4)

и наоборот. В частности, лежащие на бесконечности траектории — в траектории на оси ОУ, а точки 4 ' — в точку (0,0).

Система (4) имеет три положения равновесия

а3 ± ^а^ - 4а4Ъ;

= (0,0), 5° = (0, х2,з):=

а3 - 4аЪ > 0

4Ъ2

2а,

и одно, если

если

2

а3 - 4а4Ъ2 < 0

Согласно теореме 2 [3, с. 92] точка

50

1 имеет характер седло-узла. При этом узловой сектор неустойчив и является

(+да,0) гт

окрестностью точки . Переходя

к старым переменным, заключаем, что при

1 у(0

х(г) =

и(г)

х(г)

г ^ -да = ) ^ 0

Два седловых сектора составляют

(-да,0)

окрестность точки , причем

первая из двух траекторий системы (2)

I := (-да, 01, 12 :[0, +да) 1 4 ' 1 ' 7 является се-

паратрисой этой точки.

Для установления характера особых

5'

„0 2,3

точек можно воспользоваться критерием Пуанкаре [3, а 115]. При этом по-

-.0

= (0, х2)

ложение равновесия "2 у"' 27 оказы-

5? = (0, Х3) вается седлом, а 3 4 37 — устойчивым узлом. Переходя к старым переменным, заключаем, что неограниченные траектории системы (2) при г ^ стягиваются к следующему направлению

у(г) , а3-Уа32 - 4а4Ъ2

х(г) ^ +да,

х(г)

2ал

V

х = — и

С помощью замены переменных 1

у:

и

устанавливается, что

траектории системы (2) не стягиваются

(0, ±да)

к точкам

В случае положение

г

а

4а4Ъ2 = 0

кратное равновесия

о

о

5 = 5 2,3 =

0, а3

2а

4 У

является седло-узлом, при этом узловой сектор устойчив. Поэтому неограниченные траектории первой четверти при

стя-

гиваются

х(г) ^ +да,

к

у (г)

направлению

а~.

2ал

х(г) 2а4 .

3. Проследим, например, топологическую динамику фазового портрета системы при переходе параметра из об-

Г+

ласти & через бифуркационную поверхность Ь в область & в предполо-

л

а, - 4а Ъ < 0 жении 3 4 2 . В этом случае на

бесконечности имеется одна особая

точка — седло-узел 1 , все неограниченные траектории фазового простран-

ства притягиваются к узлу

51 — (0,0)

и

при

г ^ -да

удовлетворяют условиям:

х(г) ^да, ^0 х(г)

а) пусть а е 0 , то есть грубая система (2) имеет три конечных положения равновесия: устойчивый узел 51 — (0,0)

неустойчивый

52 —

А

V Ъ2

, У 2

и

узел

седло

Рисунок 1 — Фазовый портрет системы (2) в случае а е 0

53 —

А

V Ъ2

, У3

, У3 < У 2

. В этом случае ограниченные траектории начинаются в

5 2 —

узле

V Ъ2

, У 2

у, оканчиваются в узле

51 — (0, 0) . Они заполняют область,

ограниченную двумя выходящими из

/

5з —

Л

У 3

^ 2 у и оканчивающимися в 5 —(0,0)

1 сепаратрисами.

Рисунок 2 — Фазовый портрет системы (2) в случае а е ь

Сепаратрисы образуют каркас фазового пространства, разбиваемого на 3

области притяжения узла 51 . Соответствующий фазовый портрет представлен на рисунке 1.

б) пусть а е ь , то есть система (2) имеет в конечной плоскости один 5 —(0,0)

устойчивый узел 1 и один сед-

5 —

Г Ъ1 а3Ъ1 - а2Ъ2Л

V Ъ2

2а4Ъ2

у

Ограни-

ло-узел

ченные траектории заполняют клетку, ограниченную двумя выходящими из 5

5

и оканчивающимися в

сепаратриса-

ми. Сепаратрисы образуют каркас фазового пространства, разбиваемого так же

на 3 области притяжения узла 51 . Соответствующий фазовый портрет представлен на рисунке 2.

в) пусть а е 0 , то есть грубая система (2) имеет одно конечное положе-

5 —(0,0) о ния равновесия 1 . В этом слу-

чае все траектории фазового пространства неограниченные, и фазовый портрет имеет одну клетку. Соответствующий фазовый портрет представлен на рисунке 3.

Рисунок 3 — Фазовый портрет системы (2) в случае а е 0

Вывод. При переходе параметра а из ячейки 0 через бифуркационную поверхность ь в ячейку 0 устойчивый

узел

и седло

5,

сливаются в седло-

узел 5 для точки а на поверхности, и затем последний исчезает.

4. С экономической точки зрения рассматриваемая модель неудовлетворительна, поскольку при любом начальном соотношении между рассматриваемыми экономическими показателями с течением времени обе эти величины или стремятся к нулю или неограниченно возрастают, что в действительности невозможно. Более того, траектории могут выходить за пределы первой четверти, и

х( — —а.х - а2У + азХУ - а4У

тогда теряется экономический смысл. Применим метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР) [4] для формирования желаемого устойчивого положения равновесии системы.

Сначала будем управлять скоростью трудового ресурса по выводу траекторий на прямую вида у — их + уу + w — 0 , где агрегированная переменная У( х, У ) должна удовлетворять дифференциальному уравнению Т • уХ х(г), У(г)) + у( х(г), у(г)) — 0 на траекториях системы. Уравнение скалярного регулятора имеет вид

Уг

— - — (-^х - а2У+ахУ - аУ2) —~ (их+уу+w)

у4 ' уТ

Поэтому желаемые положения равновесия должны быть решениями системы уравнений

а3ху - аАУ2 - ах - а2у — 0 их + уу + w — 0

Первое из уравнений задает гиперболу с центром

аа + 2а а а

хп — —-—^ > 0, у0 — — > 0

а

а

а

Одна из ее асимптот У — — — го-

ризонтальная, а вторая — наклонная

а3 / ч У - Уо х - хо)

4 [5]. Одна из ветвей

целиком лежит в первой четверти, а вторая вне ее и проходит через начало координат.

5

2

<

Условие устойчивости положения

равновесия (х с, у) системы управле-Ъх + Ъ2у0 + с _ а (а2а3

ния имеет вид

+ аа )

х0 хс

аз( хс

< 0 ^ хс < х0

А условие х„ > хЛ

неустойчивости —

0 . Поэтому все точки левой ветви, включая (0,0), являются устойчивыми узлами системы управления, а все точки ветви из первой четверти являются седлами. Это значит, что с помощью класса агрегированных переменных

Ш = их + ху +

можно синтезировать управление, стягивающее траектории системы (2) только к точке (0,0).

Систему управления по перемен-

„ х(г) ной

х' = -ахх - а2у + а3ху - аАу2 + и (х, у) У[=-\х + Ъ2ху

- х0) .

удобно проектировать с помощью агрегированной переменной вида

x, у) х У + Г. Система имеет вид

х =-Ъ1х + Ъ2х -1 (х - у + г) у =-Ъ1х + Ъ2 хУ . (5)

Желаемые положения равновесия должны быть решениями системы урав-

-Ъгх + Ъ2ху = 0

I х- у + у = 0 нений и лежать в пер-

вой четверти. Поэтому они находятся на двух лучах:

¡1 := {О,у): * = 0,у >0}, ¡2 := \ (*,у): х >0,у =

Ъ1

Условие устойчивости положения равновесия (хс, Ус) из этого мно-

жества должно удовлетворять неравенству [6]:

Ъ1

-Ъ1 + Ъ2хс + Ъ2ус = Ъ2(хс + ус ) - Ъ1 < 0 ^ хс + ус <7^

Сопоставляя последнее неравенство с лучами, заключаем, что точка

(хс:, Ус) будет устойчивым узлом для

х = 0

системы управления, если с ,

Л

0^ Ъ.

ус = г\ „ ,

. При этом все траектории будут стягиваться к этой точке.

ВЫВОД 1 Синергетическое скалярное управление системой (2) по стягиванию траекторий в точку с помощью агрегированной функции

щ(х, у) = х- у + Г

возможно только по

х(г)

переменной . При этом точка при-

¡:= {О, у):* ^ 0, у = 2},

тяжения

Ге

0,

2 У

Ъ2 .

связана с параметром (х с, ус) = (0,г)

формулой Полученный результат может быть проверен вычислительным экспериментом на S-модели [7] системы управления (5). Выберем для опреде-

Ъ = 2, Ъ = 1, Т = 3 п

ленности 1 ' 2 ' . Систе-

ма управления (5) конкретизируется так:

х,

г = -2х + ху -1 (х - у + г)

¡2

у = -2х + ху Две ее горизонтальные траектории {(х, у): х > 0, у = 2}

<

делят фазовое пространство на два подпространства траекторий. Поэтому траектории верхней полуплоскости ни при каких значениях параметра у не будут стягиваться к точкам полуинтервала

0

b

'b.

— [0,2 )с ОУ 2 у . Это под-

тверждает рассчитанное поле направлений системы на рисунке 4.

Рисунок 4 — Поле направлений системы (5) в случае ^ е [0' bi/b )

Рисунок 5 — Поле направлений

bj b2)

системы (5) в случае ' L и

Из него видно, что траектории нижней полуплоскости притягиваются к

(х , у ) — (0,1.5) „ точке 4 4 ' ' . Но уже при

у — 2.1 траектории нижней полуплоскости не притягиваются к какой-либо точке, как видно из соответствующего поля направления на рисунке 5.

ВЫВОД 2 Ценность проведенного полного бифуркационного исследования заключается в том, что для любой траектории можно численно охаракте-

ризовать ее асимптотическое поведение. С экономической точки зрения это означает знание численного соотношении с течением времени между величинами валового продукта и трудового ресурса.

Компьютерное моделирование проведено средствами пакета прикладных программ MatLab и его графического инструмента Simulink. Рисунки выполнены авторами в среде Windows.

Библиографический список

1. Милованов, В. П. Неравновесные социально-экономические системы: синергетика и самоорганизация. — М. : УРСС, 2001.

2. Журавлева, М. И., Лапина, П. А. Динамическая неравновесная модель обмена потребительскими стоимостями // Вестник Ростовского государственного экономического университета (РИНХ). — 2013. — № 3. — С. 132-138.

3. Баутин, Н. Н., Леонтович, Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. — М. : Мир, 1990.

4. Колесников, А. А. Синергетиче-ские методы управления сложными системами. Теория системного синтеза. — М. : URSS, 2005.

5. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М. : Наука, 1968.

6. Братищев, А. В. Условие устойчивости нульмерного многообразия при синергетическом управлении [Электронный ресурс] // Современные проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — V : тезисы конференции. — Ростов н/Д, 2015. — С. 167. — Режим доступа : http://www.karapetyants.sfedu.ru/conf.

7. Братищев, А. В. Руководство к работе с пакетами MATLAB и SIMULINK. Элементы проектирования и анализа : учеб. пособие. — Ростов н/Д : изд. центр ДГТУ, 2012.

Bibliographic list

1. Milovanov, V. P. Synergetics and selforganization: Social-economical system. — M., 2001.

2. Zhuravliova, M. I., Lapina, P. A. Dynamical nonquilibrium model of exchange of use value // Vestnik of Rostov State University of Economics (RINH). — 2013. — № 3. — P. 132-138.

3. Bautin, N. N., Leontovich, E. A. Methods and rules for the qualitative study of dynamical systems in the plane. — M. : Nauka, 1990.

4. Kolesnikov, A. A. Synergistic methods of complex systems control. Theory of system synthesis. — M. : Editorial URSS, 2005.

5. Korn, G. Mathematical handbook for scientists and engineers. — M. : Nauka, 1968.

6. Bratishchev, A. V. The Stability condition of the zero-dimensional manifold under synergic control [Electronic resource] // Modern problems of the theory of operators and harmonic analysis and their applications — V : abstracts of the conference. — Rostov-on-Don, 2015. — P. 167. — URL : http://www.karapetyants. sfedu.ru/conf.

7. Bratishchev, A. V.Guide to MatLab and Simulink. Elements of design and analysis. — Rostov-on-Don : Pub. DSTU center, 2012.