CC BY
23
сумме лесенки для подматрицы А, образованной пересечением строк и1, ..., м^ и столбцов vl, ..., У| | (каждая лесенка может быть естественным образом отождествлена с сопоставлением дочерних вершин, и наоборот). В строках 10-13 проверяется возможность изменить поддерево Р[и] с помощью набора допустимых преобразований, так чтобы оно могло быть вложено с сохранением корня в поддерево Т [у]. После этого минимальный вес вложения сохраняется в ячейке А [и, у].
Теорема 1 Алгоритм 3 имеет сложность О^.Щ + Мв |р|).
Доказательство. Внутри цикла 02-16, с учетом леммы 2, сложность составит:
О
£ 1 + Б1 +lvllMl+iVG)
= O^LJ\ + \LJ\\P\
+
+(l PI -l)(l Lj I -l)+1PI Ne)= 0(l L},11PI +1PI Ng).
Слагаемое \v\\u\ соответствует решению задачи о минимальной сумме лесенки, а NG - поиску пересечения множеств преобразований и выбору минимального по весу преобразования.
Суммируя сложность всех используемых алгоритмов, мы получаем, что для предобработки библиотеки нам требуется время o(^j \Lj\ ^. \G'\) и для каждого запроса пользователя требуется время o(\P\ NG) на предобработку запроса и o(\P\Xj Lj\ + \PNg Nl) на поиск минимального вложения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ахо, А. Построение и анализ вычислительных алгоритмов [Текст]/А. Ахо, Дж. Хопкрофт, Дж. Ульман-М.:-Мир, 1979.
2. Кнут, Д.Е. Искусство программирования [Текст]/Д.Е. Кнут//Основные алгоритмы; 3-е изд. -Ви-льямс.-2000. -Т. 1.
3. Bille, P. Tree Edit Distance, Alignment Distance and Inclusion [Текст]/ P. Bille//IT University Technical Report Series.-2003.
4. Chawathe, S.S. Representing and Querying Changes in Semistructured Data [Текст]/8.8. Chawathe, S. Abiteboul, J. Widom//Proc. of the 14th International Conf. on Data Engineering (ICDE'98).-1998. -P. 4-13.
5. Dublish, P. Some comments on the subtree isomorphism problem for ordered trees [Текст]/Р. Dublish// Information Proc. Letters.-1990.-Vol. 36.-P. 273-275.
6. Grossi, R. A note on the subtree isomorphism for ordered trees and related problems [TeKCT]/R. Grossi// Information Proc. Letters.-1991.-Vol. 39.-P. 81-84.
7. Kovacs, L. Approximate Subtree Search for Labeled Trees with Small Depth Value [TeKCT]/L. Kovacs, T. Repasi, E. Baksa-Varga//Proc. of SAMI 2005.-P. 303-311.
8. Shasha, D. ATreeGrep: Approximate Searching in Unordered Trees [TeKCT]/D. Shasha, J. T.-L. Wang, H. Shan [et al.]//SSDBM '02: Proc. of the 14th International Conf. on Scientific and Statistical Database Management.-2002.-P. 89-98.
9. Su, H. Automating the Transformation of XML Documents [TeKCT]/H. Su, H. Kuno, E.A. Rundensteiner// Proc. of the 3rd International Workshop on Web Information and Data Management (WIDM'01).-2001. -P. 68-75.
УДК 519.86
Б.И. Мызникова, Т.П. Васильева
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГРАДОФОРМИРОВАНИЯ: ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ПОДХОД
Город - это сложная открытая система, в которой взаимодействие подсистем при благоприятных условиях стимулирует процветание занимаемой территории. Но с течением времени сложившаяся инфраструктура, эффективность функционирования экономики, качество окружающей среды, уровень жизни населения претер-
певают изменения, что, при отсутствии контроля за нарастающими проблемами организации урбанизированной территории, может привести к ее стагнации и упадку, либо к возникновению хаотических режимов эволюции городской системы.
Явлениям, сопровождающим развитие современных территориальных образований, посвящен
ряд теоретических исследований [2, 5, 6]. Монография [2] раскрывает принципиально новые возможности, связанные с математическим моделированием процессов в экономических системах на базе синергетического подхода. В [6] обоснована целесообразность применения методологии самоорганизации для анализа проблем урбанизации, особенно остро проявившихся в конце прошлого века. Авторами [5] предложен метод активного регулирования параметров городской динамической системы после потери устойчивости равновесного режима, что способствует стабилизации ее траектории.
В настоящей статье представлены результаты изучения проблемы градоформирования на основе синергетического подхода. Использована детерминированная нелинейная динамическая модель и методы качественной теории динамических систем. По данным вычислительных экспериментов построены бифуркационные диаграммы состояний системы, ее фазовые портреты в проекциях на плоскости переменных модели и указаны области значений параметров, где система демонстрирует различные динамические режимы. Дана интерпретация результатов моделирования на основе реальных данных социально-экономического развития Пермского края за 2005 г., зафиксированных Госкомстатом Российской Федерации [7].
Постановка задачи и описание математической модели
Рассмотрим городскую систему. Ее локационные характеристики выразим следующими тремя переменными: Х(?) - объем выпуска продукции, производимой на территории города; У(?) - численность населения; 2(?) - средние цены на первичном рынке жилья.
Первые два показателя являются ключевыми при сравнительном анализе привлекательности территориального образования. Динамика третьего показателя, на наш взгляд, также позволяет оценить перспективы развития территории, поскольку сравнительно резкое падение среднего уровня цен на первичном рынке жилья может свидетельствовать о снижении благосостояния населения и депрессивном характере экономики города, а взлет цен может служить индикатором предстоящего оттока жителей, в основном молодежи, в места с более доступным жильем.
Предположим, что продукция городской промышленности идет на удовлетворение потребительских нужд населения или экспортируется.
Развитие городской системы описывается динамической моделью [2], представляющей собой систему трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, дополненную соответствующими начальными
= а. (а У - а X),
условиями:
dX
й?
< йУ
й?
й2
й?
-= с 1( с 2 X - с 3 У)-с 4 X 2, (1)
?1 • ХУ - й2 • 2.
где а, с, й, - положительные числа.
/ к
Модель (1) содержит девять параметров: I + ] + к = 9, I = 1,3; ] = 1,4; к = 1,2.
Коэффициент а2 характеризует номинированный на душу населения спрос на продукцию, производимую в рассматриваемом городе. Параметр а3 интерпретируется как уровень предложения продукции внутри города. В соответствии с принятыми определениями, а2 У выражает общий спрос жителей на выпускаемую продукцию, а3 X - общий поток произведенной продукции на городской рынок. Таким образом, первое уравнение системы (1) показывает, что скорость изменения производства городской продукции пропорциональна избытку спроса: если спрос превышает предложение, то производство имеет тенденцию к расширению, и наоборот. Параметр а1 имеет смысл скорости установления. Цена на жилье в данной модели не влияет на уровень производства.
Второе уравнение модели описывает изменение численности городского населения. Коэффициент с2 интерпретируется как спрос на труд со стороны фирм для производства единицы продукции. Следовательно, с2 X - это общий спрос на данный ресурс на городском рынке труда. Параметр с3 задает отношение численности городских жителей, занятых в экономике города или находящихся в поиске работы, к общей численности городского населения. Слагаемое с3 У характеризует общую величину предложения на
городском рынке труда, а разность с2X- с3 У описывает избыток спроса на труд в городе и, следовательно, определяет направление миграции. На уровень миграции влияет также уровень цен на жилье, т. к. люди стараются выбирать для проживания местности с невысокой стоимостью жилья. Член с4XX описывает это обстоятельство.
Третье уравнение системы (1) построено с учетом предположения о том, что при очень высоком уровне цен на рынке жилья дальнейшее увеличение цены весьма затруднительно, а при низком уровне дальнейшее снижение тормозится.
Введем новые переменные с помощью преобразования масштаба по формулам:
Iн = С 1 С 3 I ,
х (Г) =
С \
V й 1 У
г \
у (t) =
V й 1 У
й 1 • X (t)
й 1 • а 2 У (t)
(2)
с 4 а 2 X (t)
г (t) = ■
а з с 1 с 3
В последующих выкладках индекс «Н» у временной координаты опущен.
В новых переменных система обыкновенных дифференциальных уравнений (1) приобретает вид:
йх
-ах + ау,
Л
41 ¿г dг dt
— гх—у — хг, = ху-Ъг.
(3)
Задача (3) содержит три безразмерных параметра:
а =
г =
Ъ =
(4)
Автономная система уравнений (3) идентична потоковой модели, известной под названием триплета Лоренца, полученной и численно исследованной в [4]. Тот факт, что модель Лоренца применима для описания эволюции систем различной природы, подтверждает возможность единого подхода к изучению социальных и естественнонаучных проблем, обусловленных согласованным
взаимодействием элементов сложных открытых нелинейных систем.
Исследование модели градоформирования
Приведем результаты качественного исследования модели, позволяющего представить развитие городской системы без получения точной формы зависимости показателей ее состояния от времени. Качественный анализ динамической системы подразумевает изучение ее аттракторов [1]. К ним относятся неподвижные точки (отвечающие сбалансированным, уравновешенным состояниям), периодические решения (описывающие циклическое изменение показателей), странные аттракторы (ограниченные области в фазовом пространстве, заполненные неустойчивыми траекториями, по которым происходят случайные блуждания фазовой точки). В данной статье качественный анализ выполнен для линеаризации модели (3) в предположении малости отклонений фазовых переменных от состояния равновесия системы. Обсудим результаты качественного исследования.
При изменении параметра г в интервале 0 < г < 1 система имеет единственное состояние равновесия, расположенное в начале координат 0(0, 0, 0). При г > 1 система имеет три состояния равновесия в точках
0(0, 0, 0); А^ Ь (г - 1) ^ Ь (г - 1), г - 1 );
А 2 (-4 Ь (г - 1),-д/ Ь (г - 1), г - 1).
Исследование характера найденных неподвижных точек и их устойчивости показывает, что в промежутке [4о - (о + 1)2]/(4о) < г < 1 состояние равновесия 0(0, 0, 0) является устойчивым узлом, а при г > 1 эта неподвижная точка демонстрирует характер седла. Особые точки А1 и А2 в интервале значений 1 < г < о(о + Ь + 3)/(о - Ь - 1) являются устойчивыми фокусами, а в диапазоне г > о(о + Ь + 3)/(о - Ь - 1) - неустойчивыми фокусами.
Таким образом, параметр г , характеризующий отношение спроса на труд и выпускаемую продукцию к предложению этих факторов, является бифуркационным: при сколь угодно малом превышении этим параметром указанных критических значений появляются альтернативные решения, и система переходит в качественно новые состояния.
В случае конечных возмущений общее решение системы нелинейных дифференциальных
уравнений (3) в аналитическом виде получить не удается. Ее частные решения найдены численно, методом Рунге-Кутты IV порядка [3], с помощью вычислительной системы MathCAD.
Зафиксируем значения параметров b = 8/3 и о = 10, а значения параметра r будем плавно изменять и регистрировать устанавливающееся в счете состояние системы (3). Метод исследования эволюции с помощью анализа фазовых траекторий динамической системы был введен Л.И. Мандельштамом и А.А. Андроновым [1] и с тех пор активно используется при исследовании различных динамических явлений и процессов.
Как показывают результаты численного моделирования, эволюция состояний системы проходит через следующие этапы
1. При изменении параметра r в интервале 0 < r <1 переменные x(t), y (t), z(t) с течением времени стремятся к состоянию равновесия O (0, 0, 0). На рис. 1 а представлен трехмерный фазовый портрет системы (3) в пространстве (x, y, z) при значении параметра r = 0,1. Траектория системы начинается в точке M0(10, 10, 10). Рис. 1 б иллюстрирует поведение функции x (t).
2. Первая бифуркация происходит при переходе параметра r через критическое значение r = 1. В диапазоне значений 1 < r < 13,92 система имеет три состояния равновесия в точках O, A A2; причем точка O является седлом, имеющим двумерное устойчивое инвариантное многообразие и две выходящие траектории Г1 и Г2. Одна из них, для определенности Г1, стремится к устойчивому состоянию равновесия A1, а другая Г2 - к устойчивому фокусу A2. Перестройка фазового портрета показана на рис. 1 в, г при значении параметра r = 11. Сепаратрисы Г1 и Г2 проходят через неустойчивую точку и разделяют фазовое пространство на области с различным поведением. Данный режим обозначается S1.
3. При последующем увеличении параметра r переход через значение r = 13,92 сопровождается появлением из каждой петли сепаратрисы седло-вого периодического движения L1 и L2 соответственно. В интервале значений 13,92 < r < 24,06 траектория Г1 стремится к состоянию равновесия A а другая траектория Г2 - к состоянию A1 A1. Данное поведение представлено на рис. 1 д, е, при r = 16. При этом фазовая траектория переходит в часть пространства, где характеристики принимают отрицательные значения, что лишает полученные результаты очевидного экономического
смысла. Этот режим обозначается S2.
4. Значение параметра г = 24,06 соответствует следующей бифуркации. При переходе г через это значение траектории Г1 и Г2 стремятся к седловым периодическим движениям Ь и Ь2 соответственно, что показано на рис. 1 ж, з. Седловая динамика проявляется в том, что для одних начальных условий движения Ь1 и Ь2 устойчивы, а для других -нет. Описанный режим обозначается S3.
5. Если значение бифуркационного параметра превышает величину
a(a + fc + 3)
г = -
а-ь-1
(5)
в данном случае г = 24,7368, то возникает новый динамический режим развития системы, обозначаемый S4, фазовый портрет которого, называемый странным аттрактором, изображен на рис. 1 и, к при г = 27. При этом траектория хаотическим образом блуждает из полупространства, соответствующего значениям х > 0, в полупространство х < 0 и обратно, формируя две почти плоских, перепутанных сложным образом, спирали. Причина подобного поведения системы заключается в необычайной чувствительности решения к изменению начальных условий. Даже незначительно отличающиеся начальные условия со временем приводят к различным конечным состояниям системы. Это значит, в частности, что в указанном диапазоне значений параметра г горизонт прогноза динамики города очень мал. Однако подчеркнем, что в случае странного аттрактора имеется строгая предсказуемость в смысле детерминированности закона эволюции: решение системы уравнений (3), как и для регулярных аттракторов, подчиняется теореме единственности и однозначно воспроизводится при фиксированных начальных условиях.
Построение бифуркационных диаграмм
Бифуркационная диаграмма представляет собой сводную карту найденных численно динамических режимов системы (3). Границы их существования 11 - I изображены на рис. 2 а на плоскости параметров (г, о) при фиксированном значении параметра Ь = 8/3, характеризующего отношение коэффициентов влияния текущего значения цен на рынке жилья и текущей численности населения на скорости их изменения.
Для построения граничных кривых были произведены разрезы на плоскости (г, о) так, что при
а)
м« •
*
\ и 5Л / *
До/
И .¿О
б)
10 20 3 0 40
Мо
&. \
ш >,7. ■'V
-и-
д)
г)
10 20 30 -И)
о ¿г' '
аз-
* ■Ш 4 {
Л*
» Л» м. •
9 И
Ю 20 УО
ж)
и)
10 М 30 40
Рис. 1. Фазовые портреты системы в трехмерном пространстве переменных модели и виды зависимостей х(/) Использованы обозначения Д<'>, Д<2>, Д<3> для функций х, у, z соответственно; Д<°> - для координаты /
а)
/I
77"
/4
75 7з*
Рис. 2. Бифуркационные диаграммы на плоскости параметров (г, о) при фиксированном значении параметра:
а - Ь = 8/3 и б - Ь = 5
заданном значении параметра г увеличивали значения параметра о до значения, соответствующего качественной перестройке режима развития системы. При переходе через бифуркационную кривую 11 режим S1 сменяется режимом S2.
Например, при г = 20 система находится в состоянии S1 в промежутке значений ое [0; 4,13110074]. При о ~ 4,131008 система переходит в состояние S2. Этот переход наглядно демонстрируют рис. 3 а, б. Новый режим S2 существует при значениях параметра ое [4,1311008; 28,3425691]. При о ~ 28,3425692 система переходит из состояния S2 обратно в состояние S1. Причем, с ростом г, по мере приближения к граничной кривой I траектории Г1 и Г2 будут стремиться к седловым периодическим движениям Ь2 и Ь1 соответственно (режим S3).
Внутри области, ограниченной кривой I единственным притягивающим многообразием является аттрактор Лоренца (состояние S4).
При увеличении параметра г число состояний, в которых может находиться система, возрастает. Так, например, при г = 40 диапазон значений параметра ое [4,16700; 4,16766] соответствует состоянию S3, а в промежутке ое [4,116766; 46,628604] реализуется состояние S4. Эту ситуацию иллюстрируют рис. 3 в, г, д.
Опишем методику построения граничных кривых, соответствующих различным видам петель сепаратрис седла О. На рис. 4 а представлен вид петли сепаратрисы, существующий в границах линии /1. При переходе через эту границу происходит смена состояний S1 и S2 и каждая из сепаратрис Г1 и Г2 становится двояко-асимптотической к седлу О.
Следующим из рассмотренных типов сепаратрис являются траектории зарождающегося аттрактора Лоренца при переходе через граничную кривую I. Соответствующая область значений параметров (г, о) находится справа от линии I
На рис. 4 б изображен вид петли, полученный при значениях параметров г = 57,33 и о = 12. Кривая 14, задающая границы существования петли указанного вида, рассчитана продвижением вдоль разрезов на плоскости параметров (г, о). Более сложное динамическое поведение системы приводит к появлению петли сепаратрисы, вид которой приведен на рис. 4 в.
Рассмотрим режимы развития системы в пределах представленной на рис. 2 а границы 13, которая описывается уравнением (5). При значениях параметров (г, о), соответствующих области между кривыми 12 и 13, в фазовом пространстве существуют три предельных множества: аттрактор Лоренца и состояния равновесия А1 и А2. Границей области притяжения аттрактора Лоренца являются устойчивые многообразия периодических движений Ь1 и Ь 2. При приближении к кривой I з периодические движения Ь1 и Ь 2 стягиваются к состояниям равновесия А1 и А2, при переходе через 13 неподвижные точки А1 и А2 теряют устойчивость, что приводит к жесткому режиму возникновения стохастичности.
Для изучения влияния параметра Ь на динамику системы зафиксируем значение Ь = 5 и будем плавно повышать значение параметра г . После появления состояний равновесия А1, А2, являющихся устойчивыми узлами, рост значений параметра г приводит к бифуркации Хопфа,
100
50
1
I /
■
40 ТО О 20 40
Рис. 3. Проекции фазового портрета системы на плоскость (у, ¿). При г = 20: а - о = 4,1311007; б - о = 4,1311008. При г = 40: в - о = 4,16700; г - о = 4,16766; д - о = 4,16767
к зарождению режима предельного цикла, когда показатели состояния системы совершают регулярные колебания около некоторых средних значений. По мере дальнейшего увеличения г динамика фазовых переменных соответствует режиму детерминированного хаоса.
Границы существования различных режимов сведены в бифуркационную диаграмму, представ-
ленную на рис. 2 б. Приближение к граничной кривой I соответствует формированию режима регулярных колебаний фазовых переменных. При переходе через кривую I возникает аттрактор Лоренца. При этом значения, принимаемые переменной у , выходят за пределы области допустимых значений.
Определим диапазон значений параметров,
100 У]
¡4 /
-ЗС ш 1 Л.
0 30
Рис. 4. Фазовые портреты системы: а - на плоскости (х, ¿) при Ь = 8/3, о = 10, г = 13,92; б - трехмерный фазовый портрет при Ь = 8/3, о = 12, г = 57,33; в - трехмерный фазовый портрет при Ь = 8/3, о = 25, г = 94; г - на плоскости (х, ¿) при Ь = 5, о = 20, г = 122,6
соответствующий допустимому множеству. Численные результаты дают кривую к на рис. 2 б. Кривые I и к разбивают плоскость параметров (г, о) на три области. С точки зрения экономической целесообразности, представляет интерес набор значений параметров, характерных для установления режима устойчивого фокуса. График кривой, отделяющей область существования у системы (3) петель сепаратрис седла О, приведен на рис. 2 б с обозначением к1 (соответствующий фазовый портрет представлен на рис. 4 г). Кривая, описываемая уравнением (5), при переходе через которую фокусы А и А2 теряют устойчивость, на рис. 2 б обозначена к3.
Интерпретация результатов моделирования на реальных данных
Для демонстрации возможностей рассмотренной модели применим описанную методику к анализу реальной ситуации, характерной для социально-экономического развития Пермского края за 2005 г. Рассмотрим следующие социально-экономические показатели, публикуемые Госкомстатом [7]: X - объем валового регионального продукта (ВРП); У - численность населения региона; 2 - средние цены на первичном рынке жилья. Федеральной службой государственной статистики были зафиксированы следующие значения переменных: X = 0,3389157 ■ 106 млн руб., У = 0,27480 ■ 104 тыс. человек, 2 = 0,019408 ■ 106 млн руб. за кв. м площади.
Определим параметры модели. Для первого уравнения в качестве параметра а2, характеризующего спрос на продукцию, производимую в регионе, будем рассматривать значение фактического конечного потребления домашних хозяйств на территории региона в текущих рыночных ценах, которое равно 207 690,4 млн руб. В расчете на одного жителя Пермского края данный параметр а2 = 0,75579. Определим значение параметра а3, характеризующего уровень предложения продукции внутри региона, как отношение величины, равной объему валового регионального продукта минус валовое накопление основного капитала минус объем экспорта плюс объем импорта, к полному объему ВРП. Госкомстатом зафиксированы следующие значения: объем экспорта в страны дальнего зарубежья - 2 565,7 млн долл. США, в страны СНГ - 415 млн долл. США, объем импорта из стран дальнего зарубежья - 247,4 млн долл.,
из стран СНГ - 73,1 млн долл США. В пересчете по среднему курсу доллара США за 2005 г., установленному Центральным банком России равным 28,314 руб. [8], полный объем экспорта (включая страны дальнего зарубежья и страны СНГ) равен 84 395,54 млн руб., полный объем импорта 9 074,64 млн руб. Валовое накопление основного капитала равно 59 078,6 млн руб.
В итоге внутри региона остается продукции на 204 516,20 млнруб., следовательно, а3 = 0,60344 . Параметр а1, имеющий смысл скорости установления объема ВРП, определим исходя из динамики ВРП за 2004-2006 гг. По данным ГКС, объем ВРП за 2004 и 2006 гг. равен 266 325,9 млн руб. и 383 770,1 млн руб. соответственно. За три года среднее изменение ВРП составляет 58 722 млн руб. Следовательно, а1 = 18,5.
Определим параметры второго уравнения, описывающего динамику изменения численности населения. Параметр с2 вычислим как отношение суммы среднегодовой численности занятых в экономике (1 318,9 тыс. человек) и потребности в работниках, заявленной организациями в органы государственной службы занятости (8 745 человек), к полному объему ВРП. Тогда с2 = 0,391733. Коэффициент с3 выражает уровень предложения труда в регионе, поэтому определим его как отношение суммы среднегодовой численности занятых в экономике и численности зарегистрированных безработных (21,6 тыс. человек) к общей численности населения. Отсюда с3 = 0,487809 Значения коэффициента с1, имеющего смысл скорости установления численности населения, и с4, определяющего влияние цены жилья на текущее значение численности, находим исходя из динамики численности населения за период с 2004 по 2006 г.. В 2004 г. было зафиксировано 2770 тыс. человек, а в 2006 г. - 2731 тыс. человек Анализируя изменение численности населения за три года, значения коэффициентов оказываются равными с1 = 0,816; с4 = 0,0795.
Рассмотрим третье уравнение, выражающее скорость изменения уровня цен на первичном рынке жилья. Коэффициент влияния объема ВРП и численности населения на цены жилья йх и коэффициент влияния цены жилья на ее текущее значение определяем согласно динамике цен на первичном рынке жилья за 2004-2006 гг. В 2004 г. были установлены цены 15 189,7 руб./м2, в 2006 г. - 29 236,2 руб./м2. С учетом средней величины прироста цены жилья за три года получим: = 0,49 и ^ = 1,99.
Найденные значения параметров модели дают следующие значения безразмерных критериев (4): о = 28,05; г = 1,006; Ь = 5.
При указанных значениях параметров система (3) с течением времени сходится к равновесному решению с координатами А(х*, у*, /"):
х* = 0,170018; у* = 0,170018; г* = 0,00578. (6)
Обозначим положение точки А(х*, у*, г") на бифуркационной диаграмме (рис. 2 б). Эта точка попадает в область, соответствующую, по результатам качественного анализа, состоянию устойчивого фокуса.
Реальные величины переменных, определенные по данным [7], после преобразования (2) принимают значения х = 0,168048; у = 0,170656; г = 0,00485, которые удовлетворительно согласуются с результатами моделирования (6).
Математическое моделирование градоформи-рования, выполненное в данной статье, подтвердило возможность изучения процесса с помощью детерминированной динамической системы. Построенные по результатам расчетов бифуркационные диаграммы состояний и фазовые портреты в проекциях на плоскости различных динамических переменных дают возможность прогнозировать значения искомых показателей при изменении параметров задачи. Знание динамики фазовых переменных позволяет изучить сложную структуру окрестности критических точек и дать описание асимптотического поведения системы. Интерпретация уравнений использованной модели в контексте проблем городского производства и миграции населения позволяет применить полученные результаты для объяснения феномена развития городов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андронов, А.А. Качественная теория динамических систем второго порядка [Текст]/А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон [и др.].-М.: Наука, 1966.
2. Занг, В.Б. Синергетическая экономика [Текст]/ В.Б. Занг.-М.: Мир, 1999.
3. Калиткин, Н.Н. Численные методы [Текст]/ Н.Н. Калиткин.-М.: Наука, 1978.
4. Lorenz, E.N. Deterministic Nonperiodic Flow [Текст]/Е.М Lorenz//Journal of the Atmospheric Sciences. -1963.-№ 20.-P. 130-141.
5. Haag, G. Active Stabilization of a Chaotic
Urban System [TeKCT]/G. Haag, Т. Hagel, Т. Sigg// Discrete Dynamics in Nature and Society.-1997.-N° 1. -P. 127-134.
6. Haken, H. A synergetic approach to the self-organization of cities and settlements [Текст]/Н. Haken, J. Portugali//Environment and Planning B. -1995. -№ 22. -P. 35-46.
7. [Электронный ресурс] http://www.gks.ru/ doc_2005/region/soc-pok.zip
8. [Электронный pecypc]http://www.cbr.ru/currency_ base/dynamics.aspx
УДК 621.43
Ю.Д. Шевцов
К ВОПРОСУ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМ СМАЗКИ ДВИГАТЕЛЕЙ ДЭС КАК ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Для широкого круга вопросов исследование динамики течения жидкости в системе смазки как в пневмогидравлической системе, может быть ограничено решением линейных и линеаризованных уравнений. Кроме того, если рассматривать устройства системы смазки как элементы с сосредоточенными параметрами [1], то процессы в них могут быть описаны обыкновенными диффе-
ренциальными уравнениями. Такой подход к описанию указанных устройств, в т. ч. и элементов очистки, достаточно обоснован, поскольку наибольшие частоты их в системах смазки составляют десятки герц, а размеры элементов редко превышают один метр.
Построение моделей элементов системы смазки предлагается осуществлять по следующей методике, изложенной в [2]:
