CC BY
59
■----------ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА
№ 2(20) 2009 -
М. В. Андреева
Модели управления финансовыми и производственными ресурсами предприятия1
Развитие реального сектора экономики играет сегодня решающую роль для обеспечения стабильного развития всей экономической системы нашей страны. С позиции государства поддержка предприятий реального сектора должна обрести статус одной из приоритетных задач в рамках политики по преодолению кризиса. Именно поэтому особую актуальность в современных условиях приобретает задача оптимального управления инвестициями в основной капитал и оборотные средства промышленных предприятий.
Особое значение для разработки оптимальной инвестиционной стратегии фирмы, функционирующей в реальном секторе экономики, имеет задача управления оборотным капиталом предприятия с целью обеспечения наиболее рациональной структуры запасов материальных ресурсов производства. В данной статье приведен вариант решения данной задачи с привлечением динамической производственной модели, которая задает технологическую последовательность операций производственного процесса, объем производственных ресурсов, потребность рынка в конечной продукции. Оптимизация распределения оборотного капитала, используемого для закупки материальных ресурсов, достигается за счет структуризации соответствующего финансового потока.
Динамическая модель управления финансовыми и производственными ресурсами предприятия
Рассмотрим задачу динамического управления финансовыми средствами предприятия, поступающими с целью закупки материальных ресурсов производства. С этой целью будем использовать следующую математическую модель.
Пусть бизнес-процесс производства продукции представляет собой совокупность операций, выполняемых в строго определенной
последовательности. На вход производственной системы динамически поступают финансовые ресурсы (17), расходуемые на закупку сырья и материалов, необходимых для выпуска всего объема производимой продукции. Для того чтобы произвести продукцию вида / (/ = 1,2,..., т), необходимо провести обработку исходного материально-сырьевого потока на /V, последовательных операциях. Графически эта схема может быть представлена в виде и-сети следующего вида (рис. 1).
т
т
им
-и и
2,1 -И 2,2 -►
-+МД
Н 2,«Л—►
т, 1 -м т, 2 -►
Рис. 1. Схема производственного цикла
Здесь 17,-(?) — поток финансовых ресурсов, поступающих на вход производственной системы по /-му виду производимой продукции (/= 1, 2, ..., т) в момент времени t. При этом предположим, что все финансовые ресурсы расходуются на приобретение материаль-но-сырьевых ресурсов, необходимых для производства продукции в данном периоде. Обработка исходного сырья и материалов проходит
1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (Проект № 07-06-00196).
78
№2(20)2009
в заданной технологическом последовательности с использованием производственных ресурсов (станков, механизмов, оборудования, специалистов). Объем производственных ресурсов, имеющихся на предприятии, а также запас материально-сырьевых ресурсов на начало производственного цикла задан вектором с = (с,, ..., ск). В процессе производства предприятие может осуществлять закупки ма-териально-сырьевых ресурсов, а также производить наем дополнительной рабочей силы в объемах, необходимых для производства планируемого количества продукции. В то же время считается, что количество станков и оборудования, имеющегося на предприятии, остается постоянным в течение всего периода планирования.
Для того чтобы обеспечить единичную производительность на операции} по /-му виду выпускаемой продукции (обозначим ее О,у), необходимо выделить на эту операцию объем ресурсов, заданный вектором а,у = («1 Если же необходимо обеспечить производительность <7,7 на операции О,у, то соответственно объем ресурсов должен быть равен
Все затраты на изготовление готовой продукции по степени их зависимости от объема производства целесообразно подразделять на переменные, годовой размер которых изменяется прямо пропорционально объему выпуска продукции, и постоянные, размер которых не зависит от величины объема производства.
Пусть известны 1Р — постоянные затраты
производства;а, Р<< — переменные
к= 17=1
затраты на выпуск одной единицы продукции вида ¿г с/, — цена реализации единицы продукции вида / (/ = 1,2,..., т).
Тогда для того чтобы задать производственную программу, которая давала бы наибольшую валовую прибыль, необходимо максимизировать целевую функцию:
т
гь/я^т-
>тах,
(1)
где <§,= с/, — а, — прибыль от реализации продукции вида / (/ = 1,2,..., т).
Причем констатируется, что:
• прибыль, получаемая от реализации каждого вида продукции, измеряется в одних и тех же единицах;
• прибыль, получаемая от реализации любого вида продукции, не зависит от того, какое количество ресурса было выделено по другим видам продукции;
• общая прибыль состоит из прибылей по отдельным видам продукции;
• q! (?)— производительность (интенсивность выхода готовой продукции) на последней операции по /-му виду выпускаемой продукции в момент времени р
• [О, Т] — период планирования.
При этом должны быть выполнены ограничения на объем используемых ресурсов в каждый момент времени, ограничения на объем финансовых средств, затрачиваемых на покупку материально-сырьевых ресурсов, и балансовые ограничения на объем обработки на каждой операции О,у (см. формулы (2)—(6)).
I т I
¡Б +£/*/* (2)
У1е[0,Т],к = \2,...,К;
к=1
\/Г<Е[0,7"]; / = 1,2,...,т;
(3)
(4)
[0,7"]; / = 1,2,...,т;у" = 1,2,...,^;
т т
/д^^Лк/д^Л+^т (5)
/ = 1,2,...,т; у = 1,2,...,Л/,,
т /V,-
где = к. — затраты ресурса к
/=1 7=1
на производство всего объема продукции предприятия в момент времени р а * — затраты ресурса к на обработку одной единицы продукции вида / на операции у;
q!j{t) — объем обработки материально-сырьевых ресурсов по продукции вида / на операции} в момент времени р
79
№2(20)2009
Сц — запас ресурса вида к, имеющийся на предприятии на начало производственного цикла;
(?) — объем закупок ресурса вида к, необходимого для производства заданного объема продукции вида / в момент времени ?; [Зк — цена закупки единицы ресурса вида к; и, (?) — поток финансовых ресурсов, поступающих на вход производственной системы по /-му виду производимой продукции в момент времени ?;
Ц, (0)— объем незавершенного производства на операции } по производству продукции вида / в момент времени ? = 0, т. е. на начало производственного цикла.
Кроме того, если заданы ограничения на спрос и объем заказа по каждому виду продукции,™ появится еще одна группа ограничений вида:
Ь„(?)<ц!Л (?)<Ь2!(?), [О,Г], V /€ [1,т], (6)
где £>,, (?) — объем заказа на продукцию вида / в момент времени ?;
¿>2/(?) — объем спроса на продукцию вида / в момент времени ?.
Решением задачи (1)—(6) является множество производительностей %(?) и множество объемов закупок материально-сырьевых ресурсов гД?) (/ = 1,2,..., т-,)= 1,2,..., /V,; к = 1,2,..., К; ? = 1,2,..., Г), не нарушающих ограничений (2)— (6) и максимизирующих целевую функцию (1).
Таким образом, модель (1)—(6) позволяет определить вариант организации производственного процесса на предприятии, т. е. оптимальные:
• план производства продукции;
• набор производительностей на каждой операции;
• объем закупок материально-сырьевых ресурсов в каждый момент времени в рамках периода планирования;
• вариант распределения финансовых ресурсов, поступающих по каждому виду продукции.
В таком виде задача может быть решена с использованием методов теории оптимального управления.
На практике динамика поступления финансовых ресурсов, таких как средства, полученные от реализации продукции, внереализационные доходы предприятия, кредитные средства, заданная в задаче (1)—(6) непрерывными функциями времени 1У,(?),..., 1Ут(?), определяется дискретными моментами времени (день, час). Так, для оптимизации процесса закупок материально-сырьевых ресурсов предприятию, как правило, достаточно знать дату (реже время) поступления финансовых средств.
Учитывая данный факт, а также принимая во внимание относительную сложность решения задачи (1)—(6) в общем виде, перейдем к дискретной модели управления финансовыми и производственными ресурсами предприятия. Далее будем полагать, что финансовые средства поступают на вход производственной системы ежедневно в объемах и! (/ = 1, 2, ..., т; ? = 1,2,..., Г), где Т— число дней в периоде планирования. Тогда задача оптимизации производственной программы с учетом ранее введенных обозначений может быть описана следующим образом:
т Т
ЕЕ6/ <л,; -тах; /=1 (=1
( т (
Т = 1
= 1 Т = 1
?=1,2,...,Г, /с = 1,2,...,/(;
к=1
?=1,2,...,Г; / = 1,2,..., /77;
а'. <а', " ¡1 — '
(7)
(8)
(9) (Ю)
? = 1,2,...,Г; / = 1,2,.,.,т;] = -\,2,...,М,;
• 1Л.:(0), (11)
(=1 (=1
/ = 1,2,..., т;} = 1,2,..., Л/,;
Ь\;<Я]М <ЬЪ, (12)
? = 1,2,...,Г; / = 1,2,...,/77.
Рассмотрим особенности практического применения полученной динамической задачи управления финансовыми и производственными ресурсами предприятия. Используем
80
ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА ___________
------- № 2(20) 2009
Таблица 7
Нормы затрат ресурсов и оборудования на каждой операции
Затраты ресурсов на обработку единицы продукции Операция Токарный станок, ч Фрезерный станок Сверлильная установка Труд, чел./ч Лакокрасочные материалы, л Древесина, куб.м Крепежные материалы, шт.
Столы 1 0,53 0,00 0,00 0,70 0,0 0,63 0
2 0,00 0,33 0,00 0,60 0,0 0,17 0
3 0,00 0,00 0,12 0,20 5,0 0,00 0
4 0,00 0,00 0,00 0,38 0,0 0,00 40
Стулья 1 0,28 0,00 0,00 0,36 0,0 0,35 0
2 0,00 0,00 0,07 0,24 1,2 0,00 0
3 0,00 0,00 0,00 0,17 0,0 0,00 15
задачу (7)—(12) в целях планирования деятельности мебельной фабрики, занимающейся производством двух видов продукции — столов и стульев. Зададим горизонт планирования, равный пяти месяцам, при этом в качестве шага планирования будем использовать период, равный одному месяцу.
Предположим, что для производства столов и стульев мебельная фабрика будет использовать три вида оборудования: токарные, фрезерные станки и сверлильные установки, а также пять видов ресурсов производства: древесину, лакокрасочные материалы, крепежные материалы (винты, шурупы) и труд рабочих основного производства. Пусть при этом технологический процесс производства столов предполагает последовательную обработку исходного сырья на четырех последовательных операциях, а технологический процесс производства стульев — обработку сырья на трех последовательных операциях. Нормы затрат ресурсов и оборудования на каждой операции по производству столов и стульев приведены в табл. 1. Объем незавершенного производства на каждой операции на начало периода планирования приведен в табл. 2.
В табл. 3 показан объем финансовых средств, поступающих на вход производственной системы в каждом периоде времени по каждому виду продукции; в табл.4 — объем запасов всех необходимых ресурсов производства
на начало периода планирования, а также стоимость использования единицы ресурса каждого вида (для незакупаемых ресурсов, таких как станки и оборудование) или стоимость закупки дополнительной единицы ресурса (для закупаемых в процессе производства ма-териально-сырьевых ресурсов).
Таблица 2
Объем незавершенного производства на каждой операции, шт.
Изделие Операция Объем
1 0
Столы 2 40
3 28
4 11
1 0
Стулья 2 23
3 50
Таблица 3
Финансовые потоки по каждому виду продукции
Продук- Период
ция 1 2 3 4 5
Столы 20 000 130 000 50 000 40 000 20 800
Стулья 10 000 60 000 30 000 10 000 30 700
81
№2(20)2009
Таблица 4
Объем запасов на начало периода и цены закупок ресурсов каждого вида
Незакупаемые ресурсы Закупаемые ресурсы
Токарный станок, ч Фрезерный станок, ч Сверлильное оборудование, ч Труд, чел ,1ч Лакокрасочные материалы, л Древесина, куб.м Крепежные материалы, шт.
Запас 676,5 665,5 811,8 1560 150 80 125
Стоимость, руб. 1,35 1,70 0,21 99 140 350 1,5
В табл. 5 приведен ожидаемый объем спроса на продукцию мебельной фабрики в каждый период времени. Пусть также известно, что объем заказа соответствует производству 30 столов и 45 стульев ежемесячно.
Таблица 5
Спрос на продукцию мебельной фабрики, шт.
Известно также, что ожидаемая рыночная цена столов составляет 1950 руб. за шт., стульев — 750 руб. за шт. Переменные затраты фабрики на производство одного стола и одного стула составляют 1227,43 руб. и 389,62 руб. соответственно.
С учетом приведенных исходных данных было получено решение задачи управления фи-
нансовыми и производственными ресурсами мебельной фабрики, приведенное в табл. б, 7.
Таким образом, в оптимальный план производства мебельной фабрики на 5 месяцев входит выпуск 150 столов и 91 б стульев.
При этом план закупок материально-сырье-вых ресурсов, обеспечивающий выполнение оптимального плана производства продукции мебельной фабрики выглядит следующим образом.
Объем прибыли фирмы за весь срок планирования, равный пяти месяцам, от реализации оптимальной программы производства продукции и закупок ресурсов составит 438 491 руб. При этом введенное ограничение (9) позволяет утверждать, что затраты финансовых средств, необходимые для выполнения описанных выше оптимальных программ производства продукции и использования ресурсов, не превысят ожидаемых финансовых потоков, поступающих на вход производственной системы.
Таблица б
Про- Период
дукция 1 2 3 4 5
Столы 10 000 5000 15 000 5000 1000
Стулья 7000 3500 17 000 7000 700
Набор оптимальных производительностей на каждой операции по производству столов и стульев, шт.
Продукция Операция Период
1 2 3 4 5
Столы 1 20,0 30,0 7,0 13,0 1,0
2 20,0 30,0 30,0 30,0 1,0
3 20,0 30,0 30,0 30,0 29,0
4 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0
Стулья 1 149,0 316,0 295,0 84,0 0,0
2 150,0 316,0 313,0 87,0 0,0
3 150,0 316,0 313,0 87,0 50,0
82
План закупок производственных ресурсов в каждый из периодов
№2(20)2009
Таблица 7
Продукция Труд, чел./ч Лакокрасочные Древесина, куб. м Крепежные
материалы, л материалы, шт.
Период 1
Столы 1,00 71,00 18,00 2422,00
Стулья 0,00 59,00 0,00 927,00
ИТОГО 1,00 130,00 18,00 3349,00
Период 2
Столы 0,00 805,00 36,00 3054,00
Стулья 0,00 210,00 74,00 3133,00
ИТОГО 0,00 1015,00 110,00 6187,00
Период 3
Столы 0,00 131,00 77,00 3085,00
Стулья 0,00 0,00 73,00 2881,00
ИТОГО 0,00 131,00 150,00 5966,00
Период 4
Столы 0,00 253,00 0,00 2971,00
Стулья 0,00 56,00 1,00 1164,00
итого 0,00 309,00 1,00 4135,00
Период 5
Столы 0,00 0,00 0,00 0,00
Стулья 0,00 0,00 0,00 0,00
итого 0,00 0,00 0,00 0,00
ВСЕГО 1,00 1585,00 279,00 19 637,00
Стохастическая задача управления финансовыми и производственными ресурсами предприятия на минимум риска
Основной особенностью модели, описанной в предыдущем разделе, является предположение о детерминированном характере финансовых потоков, поступающих на вход производственной системы по продукции вида / в момент времени I.
Втоже время в реальных условиях деятельности производственной фирмы нельзя полностью исключать риск случайных колебаний суммы денежных средств, поступающих на счета фирмы. Источниками таких колебаний может стать изменение экономических условий, таких как колебания цен на продукцию фирмы;
инфляция; изменение уровня рыночных процентных ставок по долгосрочным и краткосрочным заимствованиям. Помимо этого, причиной неопределенности будущих входящих потоков платежей может стать реализация риска неисполнения заказчиками своих обязательств по оплате приобретенной продукции, а также риск появления брака и незапланированных расходов на транспортировку и послепродажное обслуживание произведенной продукции.
Таким образом, для еще большего приближения модели производственной системы к реальным условиям деятельности фирмы можно предположить, что объем денежных средств 1/,(г) — это дискретный марковский случайный процесс. Таким образом, предпола-
V 83
№2(20)2009
гается, что объем финансовых средств, поступающих на вход производственной системы в момент времени t* по продукции вида /', представляет собой случайную величину, принимающую значения L/,(f*), U2(t*),..., L/,(f*) с вероятностями рьр2,..., Pi соответственно.
В данном случае случайные колебания объема финансовых ресурсов, поступающих на вход производственной системы в моменты времени t = 1,2,..., Т приводят к возникновению риска отклонения фактического объема выпуска продукции от оптимальной производственной программы, т. е. к риску недопроизводства или перепроизводства продукции. Риск недопроизводства продукции состоит в возможности потери части прибыли фирмы, а риск перепроизводства может привести к возникновению дополнительных затрат на хранение нереализованной продукции.
Поскольку возможный объем производства продукции фирмы ограничивается объемом закупок материально-сырьевых ресурсов, целью фирмы в условиях неопределенности входящих финансовых потоков станет минимизация риска значительных отклонений объема закупок ресурсов от их оптимальной величины.
Воспринимая данную задачу как задачу формирования оптимального портфеля закупок производственных ресурсов в Т временных периодах и пользуясь подходами теории Марковица, запишем задачу в следующей форме:
Т Kim
ЕЕ E(0',J2 4,(0+
•2VVU.-И: cov
>min;
=1,f = 1,2,...,7~; / = 1,2,...,т;
к=1
Т m
ЕЕ<7/л -8/ >Ро;
(13)
(14)
(15)
Es;<c0k + £E^r^f=i2.....т' (16)
(3*
к = 1,2,..., К;
Я1<<
ij+1'
f = 1,2,..T;/ = 1,2,...,m;y = 1,2,...,/V,;
yiq:; . ■ V:(0),
(17)
(18)
у = 1,2,..., /V,; / = 1,2,.,.,m;
К,<я]л <Ь1„
(19)
f = 1,2,...,7"; / = 1,2,.,.,m,
84
где (И к — доля денежных средств и,({), поступивших на вход производственной системы в момент времени ? по продукции вида /', направляемая на покупку ресурса к; а2и (?) — дисперсия случайной суммы денежных средств поступающей на вход производственной системы в фиксированный момент времени г*; соу,у — ковариация случайных сумм денежных средств и (/¡('Г*), / / у, поступающих на вход производственной системы в фиксированный момент времени г* по двум несовпадающим видам продукции / и у,
Р0 — минимально допустимый объем прибыли фирмы от реализации произведенной продукции;
т Л/,-
$ к =ЕЕа!/ ~Яц — затраты ресурса к на
/=1 7=1
производство всего объема продукции предприятия с начала периода планирования и до момента времени р
— объем обработки материально-сырь-евых ресурсов по продукции вида / на операции } с начала периода планирования и до момента времени р а* — затраты ресурса к на обработку одной единицы продукции вида / на операции у;
Сц — запас ресурса вида к, имеющийся на предприятии на начало производственного цикла;
и! — неслучайная функция от времени, представляющая собой математическое ожидание случайного потока финансовых ресурсов, поступающих на вход производственной системы по /-му виду производимой продукции;.
[Зк — цена закупки единицы ресурса вида к; ЦДО) — объем незавершенного производства на операции } по производству продукции вида / в момент времени ? = 0, т. е. на начало производственного цикла.
Ограничение (15) данной задачи устанавливает минимально допустимый уровень прибыли фирмы от реализации продукции в соответствии с оптимальным планом производства.
Для нахождения решения задач (13)—(19) будем использовать исходные данные, приведенные в предыдущем разделе в табл. 1,2,4 и 5. П ред п ол ожи м та кже, что минимальнодо пусти-мый объем прибыли фирмы за весь срок планирования составит 400 тыс. руб.
Пусть известны следующие числовые характеристики случайных финансовых потоков,
^ № 2(20) 2009
поступающих на вход моделируемой производственной системы (табл. 8-10).
Решением полученной оптимизационной задачи на минимум риска мебельной фабрики является оптимальный набор производительно-стей на каждой операции по производству продукции, приведенный в табл. 11, а также набор значений Щ4 к — долей денежных средств U¡(t), посгупающих на вход производственной системы в каждый момент времени по каждому виду продукции, и направляемых на покупку матери-ально-производственных ресурсов (табл. 12).
Таблица 8
Средние финансовые потоки
Средние финансовые потоки Период
1 2 3 4 5
Столы 20 000 130 000 50 000 40 000 20 800
Стулья 10 000 60 000 30 000 10 000 30 700
Дисперсии финансовых потоков Таблица 9
Дисперсии Период
1 2 3 4 5
Столы 51 840 000 1 953 640 000 72 250 000 368 640 000 91 546 624
Стулья 5 290 000 302 760 000 60 840 000 15 210 000 96 510 976
Таблица 10
Ковариации финансовых потоков
Ковариация
1 7 617 600,00
2 446 066 400,00
3 21 216 000,00
4 50 169 600,00
5 40 418 293,76
Таблица 77
Набор оптимальных производительностей на каждой операции по производству столов и стульев
№2(20)2009
Окончание табл. 11
Продукция Операция Период
1 2 3 4 5
2 45,8 90,8 43,2 90,8 40,0
3 45,8 90,8 43,2 90,8 68,0
4 45,8 90,8 43,2 90,8 79,0
Стулья 1 85,9 93,9 70,2 93,4 5,2
2 85,9 93,9 93,2 93,4 5,2
3 85,9 93,9 93,2 93,4 55,2
Таблица 12
Оптимальный набор значений параметров 6
Лакокрасочные материалы, л Древесина, куб. м Крепежные материалы, шт. Итого
Период 1
Столы 0,00 0,79 0,00 0,21 1,00
Стулья 0,00 0,96 0,00 0,04 1,00
Период 2
Столы 0,00 0,65 0,22 0,14 1,00
Стулья 0,00 0,89 0,07 0,04 1,00
Период 3
Столы 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00
Стулья 0,00 0,83 0,09 0,08 1,00
Период 4
Столы 0,00 0,85 0,09 0,06 1,00
Стулья 0,00 0,78 0,11 0,11 1,00
Период 5
Столы 0,00 0,85 0,15 0,00 1,00
Стулья 0,00 1,00 0,00 0,00 1,00
Оптимальный набор значений параметров 6 задает структуру случайных денежных потоков, поступающих на предприятие, и позволяет путем несложных преобразований перейти к оптимальной структуре затрат финансовых ресурсов на приобретение сырья и материалов, необходимых для реализации производственной программы.
Особенности решения задач управления деятельностью предприятий с использованием современных программных средств
На практике абсолютное большинство задач управления деятельностью предприятия принадлежит к классу оптимизационных. Это
связано с тем, что основной целью финансового и производственного менеджмента является определение оптимальных, т. е. наиболее выгодных в имеющихся условиях, программ производства продукции, закупки ресурсов, распределения нагрузки оборудования, подбора и оплаты персонала.
При этом, сравнивая модели, приведенные в предыдущих разделах настоящей статьи, можно убедиться в том, что конкретный вид оптимизационной модели управления может в значительной степени варьироваться в зависимости от рода деятельности исследуемого предприятия, необходимой степени детализации описания производственного и организационного процесса при планировании, а также доступности технических и программных средств, способных обеспечить решение поставленной задачи. Так, приведенная в первом разделе задача (7)—(12) представляет собой динамическую задачу линейного программирования, а задача (13)—(19) принадлежит к классам задач квадратичного программирования и стохастических.
В зависимости от типа оптимизационных задач управления деятельностью предприятия варьируются и прикладные методы оптимизации: методы линейного программирования (наиболее популярным среди которыхяв-ляется симплекс-метод); методы нелинейного программирования (градиентные методы, а также методы прямого перебора и случайного поиска); методы решения задач многокритериальной оптимизации (метод Парето) и др.
Одним из наиболее простых и доступных на сегодняшний день инструментов для решения широкого круга оптимизационных задач является надстройка Поиск решения (Solver) для Microsoft Excel2. Надстройка Поиск решения позволяет решать линейные, нелинейные, а также целочисленные задачи за счет реализованных в ней алгоритмов нелинейной оптимизации: метода Ньютона и метода градиентов. В первом случае поиск оптимального ре-
^ № 2(20) 2009
шения сводится к перебору всех возможных значений целевой функции и всех переменных задачи с последующим выбором наилучшего значения по заданному критерию (минимизации, максимизации или равенства заданному значению). Данный алгоритм предполагает значительные затраты вычислительных ресурсов и обладает высокой точностью лишь в случае небольшой размерности задачи, содержащей несколько неизвестных и небольшую систему ограничений. Второй метод реализует более эффективный с точки зрения затрат памяти, но менее быстрый алгоритм направленного поиска, заключающегося в последовательном переборе возможных значений целевой функции по принципу уменьшения «ошибки» — разности между текущим значением и заданным критерием.
Для нахождения решения описанных в данной статье оптимизационных задач с использованием Поиска решения (например, в Microsoft Office Excel 2003) необходимо:
• в произвольном порядке ввести в ячейки рабочего листа систему ограничений;
• задать неизвестные переменные (в так называемых Изменяемых ячейках/ Changing cells), оставив их значения на первом этапе равными нулю;
• определить так называемую Целевую ячейку (Target Cell), в которую ввести формулу целевой функции задачи.
При этом необходимым условием для реализации поиска решения является связанность целевой ячейки и ячеек ограничений, т. е. присутствие ссылок на одни и те же изменяемые ячейки как в целевой функции, так и в ограничениях. Ограничения можно задать в виде равенств и нестрогих неравенств. На изменяемые ячейки можно наложить дополнительные ограничения неотрицательности и/или целочисленности, тогда искомое решение будет найдено в области положительных и/или целых чисел.
Изменять условия поиска можно через пункт меню Параметры {Options), доступный
2 Для установки данной надстройки достаточно выбрать в пункте меню Сервис (Tools) Microsoft Excel команду Надстройки (Add-lns), а затем необходимый пункт из списка доступных надстроек, либо указать диск и папку, в которой содержится файл надстройки Solver.xla (как правило, это папка Library\Solver).
87
№2(20)2009
§
I g-
TS
Ol g"
a
i &
QJ
o. a
€ %
S
«o g
о
«0
о g-
a
a
g
S %
a
■a. S
1
СО «
I
a
S
о §
в окне Поиска решений, задавая следующие опции:
• максимальное время поиска — не может превышать 32 767 с;
• предельное число итераций — еще один способ ограничения времени поиска путем задания максимального числа итераций. По умолчанию задается равным 100 итерациям;
• допустимое отклонение — задается в процентах только для задач с целочисленными ограничениями. Поиск решения в таких задачах сначала находит оптимальное нецелочисленное решение, а потом пытается найти ближайшую целочисленную точку, решение в которой отличалось бы от оптимального не более, чем на указанное данным параметром количество процентов;
• сходимость — когда относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций становится меньше определенного числа (дробь из интервала от 0 до 1), поиск прекращается;
• показывать результаты итераций — этот флажок позволяет включить пошаговый процесс поиска, показывая на экране результаты каждой итерации.
Надстройка Поиск решения (Solver) для Microsoft Excel является очень популярным сегодня инструментом решения оптимизационных задач за счет своей доступности и универсальности. Однако, если производимые вычисления ложатся в основу принятия важных управленческих решений: формирования тактических и стратегических планов производства и реализации продукции,инвестиционного проектирования деятельности компании, управления портфельными инвестициями, — точность и надежность данного инструмента становится явно недостаточной. Оборотной стороной универсальности заложенных в надстройке алгоритмов становится невозможность в необходимом объеме учитывать особенности каждой конкретной оптимизационной модели. В довольно часто встречающихся случаях отсутствия оптимального решения или наличия бесконечного множества решений Поискреше-
ния не позволит использовать табличный или графический симплекс-метод линейного программирования, решить задачу многокритериальной оптимизации, комбинировать полученный результат с экспертной оценкой.
Для иллюстрации особенностей практического применения изложенных в данной статье оптимизационных задач был выбран пример управления деятельностью мебельной фабрики, выпускающей всего два вида продукции, с горизонтом планирования пять месяцев. Численные решения, приведенные в первом и втором разделах статьи были получены с использованием надстройки Поиск решения, однако размерность даже такой задачи приводит к значительным затратам времени и оперативной памяти компьютера. В то же время, при планировании деятельности реального производства, речь будет идти о многократном увеличении размерности оптимизационных моделей.
Таким образом, можно сделать вывод, что данный инструмент хорошо подходит для проведения практических расчетов, когда важен лишь результат решения, а не сам процесс достижения оптимума. В противном случае надстройку Поиск решения для Ms Excel целесообразно использовать для проверки результатов решения, полученного с использованием иных алгоритмов.
Другим широкодоступным и популярным как в нашей стране, так и в мире программным средством, позволяющим решать оптимизационные и иные математические задачи, является продукт канадской компании Maplesoft — математическое windows-приложение Maple. Современные версии Maple3 представляют собой мощные вычислительные системы, предназначенные для выполнения сложных вычислений как аналитическими, так и численными методами. В перечень возможностей этого продукта включены, например, вычисление пределов, интегралов, решение алгебраических (в том числе трансцендентных) систем уравнений и неравенств, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в ча-
3 Последняя на сегодняшний день 12-я версия математического пакета Maple была выпущена компанией Maplesoft в мае 2008 года.
88
№2(20)2009
стных производных, решение задач теории вероятностей и математической статистики, теории оптимизации, а также задач финансовой математики. Главным достоинством системы Maple является высокая скорость вычислений, достигаемая за счет использования широкого круга встроенных функций, а также точность, возможность производить операции с корнями и дробными числами без приведения их к десятичному виду, что позволяет избегать ошибок округления.
Рассмотрим краткое описание алгоритма решения представленных в данной статье оптимизационных задач управления финансовыми и производственными ресурсами предприятия с использованием математического пакета Maple.
• Первым этапом на пути к получению численного решения задач является ввод в программу исходных данных. В нашем случае это задание количества месяцев в периоде планирования, количества ресурсов и производимых продуктов, а также количества операций по обработке каждого вида продукции:
> Т:=5 — число месяцев в периоде планирования;
> т:=2 — количество видов производимой продукции. 1 — столы, 2 — стулья;
> К:=7 — количество ресурсов (токарный станок, фрезерный станок, сверлильная установка, труд, лакокрасочные материалы, древесина, крепежные материалы) ;
> N:= proc(productionType) — упрощенная функция, возвращающая количество операций по обработке для определенного вида продукта;
> if productionType = 1 then return 4 end if; при производстве столов выполняется
4 операции;
> if productionType = 2 then return 3 end if; при производстве стульев — 3 операции;
> end proc.
Данные о затратах ресурсов на обработку единицы продукции на каждом шаге производства, стоимости закупки и объеме запасов каждого вида используемых ресурсов, объе-
мах незавершенного производства, денежных потоков и спроса на продукцию предприятия, приведенные в табл. 1-5 первого раздела данной статьи, достаточно громоздки. Их целесообразно представить в виде массивов Alpha, Beta, С0, V,Uv\B соответственно:
> alpha_arr:=array[1. . m, 1..4, 1..K];
> alpha_arr[1, 1, 1] :=0.53 ; ... ; alpha_arr[2, 3, 7] :=15 ;
> beta_arr:=array[1. . К] ;
> beta_arr[1] :=1.3 5 ; ... ; beta_arr[7] :=1.5 ;
> Co_arr:=array[1..K];
> Co_arr[1] :=676.5 ; . . . ; Co_arr[7] := 125;
> V_arr:= array[l..m, 1..4];
> V_arr[1,1] :=0; ... ; V_arr [2,3] : =5 0;
> U_arr:= aray[l..m];
> Ul_arr: =array ( [20 000, 13 0 000, 50 000, 40 000, 20 800]);
> U2_arr:=array([10 000, 60 000, 30 000, 10 000, 30 700]);
> bl_arr:=array[1..m];
> b2_arr:=array[1..m];
> b2_l_arr:=array([10 000, 50 000, 15 000, 5000, 1000] ) ;
> b2_2_arr:=array([7000, 3500, 17 000, 7000, 700]).
• Задаем целевую функцию. Например, для задачи (7)—(12) в следующей форме:
> targetFunction_n:=proc()
sum(sum(sigma(tf_i)*q[tf_i, 4, tf_t],
tf_t = l. -T) , tf_i = 1..m)
end proc.
• На следующем этапе расписываем последовательно все ограничения задачи, соответствующие формулам (8)—(12):
> fogrl_ll:=S[1,1] < =С(1) + (zlll + z211) ;
> fogrl_75:=S[7,1] + S[7,2] + S[7,3] + + S[7,4] + S[7,5] < =C(7) + (zl71 +
+ zl72 + z173 + z17 4 + zl75 + z271 + + Z272+ Z273+ z2 74 + z275);
> fogr2_ll:=zlll*beta(1) + zl21*beta(2) + + z13l*beta(3) + zl41*beta(4) +
+ z15l*beta(5) + zl61*beta(6) +
89
№2(20)2009
z17l*beta(7) < =U_arr[l](1)
z225*beta(2;
4) + 6) +
5);
§
I §■
та
QJ §■
a ¡
&
QJ
Si. a
€ %
s
«о §
та о
«о
о &
а
а
§
§ %
а
■е. §
1 СО
I
а
5
та
о §
> fogr2_25:=z215*beta(l) + + z2 3 5 *beta(3) + z245*beta + z2 5 5 *beta(5) + z265*beta + z2 7 5 *beta(7) < =U_arr[2]
> fogr3_lll:= qlll < =ql21
> fogr3_225:= q225 < =q235
> fogr4_ll:= qlll + qll2 + + ql13 + qll4 +
+ ql15 < = V_arr[1, 1] ;
> :Еодг4_23: = q2 31 + q2 3 2 + + q2 33 + q234 + q2 35
< = q221 + q222 + q223 + q224 + + q225 + У_агг[2, 3] ;
> fogr5_ll:= Ь(1,1, 1) < = д141;
> :Ё одг5_52:= Ь(1, 1, 5) < = д245;
> :Ё одг6_11: = д141 < = Ъ (2 , 1, 1);
> :Ёодг6_52 : = д245 < = Ь(2, 1, 5).
• Определенные ранее ограничения необходимо объединить в систему, задающую пространство допустимых значений, на котором будет найден максимум целевой функции:
> fogr: = [fogr1_11,
fogr6_52]
• После проведения всех указанных выше действий оптимальное решение задачи (7)—(12), представляющей собой задачу линейного программирования, может быть найдено с использованием библиотеки Simplex, например, следующим образом:
> with(simplex) ;
> res:=maximize(targetFunction, fogr, NONNEGATIVE).
• Для задачи (13)—(19) целесообразно использовать библиотеку оптимизации:
> with(Optimization):
> LPSolve(targetFunction, fogr, assume = nonnegative, maximize).
Таким образом, рассмотренные в данной статье модели управления финансовыми и производственными ресурсами предприятия могут быть решены с использованием различных программных средств, обеспечивающих различный уровень точности и скорости вычислений в зависимости от конкретных целей, преследуемых руководством предприятия, а также его технических возможностей.
Адекватное управление инвестиционной политикой предприятия приобретает в современных условиях особенное значение. Как правило, эффект инвестиционных решений влияет на многие показатели работы предприятия в течение нескольких лет. В частности, приобретение дорогого оборудования связано с иммобилизацией финансовых ресурсов на длительное время, и, следовательно, ошибочное решение в отношении необходимости его приобретения может иметь серьезные последствия, поэтому крупные инвестиции должны быть тщательно обоснованы. В условиях нестабильности экономической системы, высокой стоимости заемных ресурсов, конкуренции со стороны российских и зарубежных промышленных производителей применение математических методов моделирования производственной и инвестиционной деятельности фирмы, а также современных программных средств является необходимым условием выживания бизнеса.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ввнтцвль Е. С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология: учеб. пособие для вузов. М.: Дрофа, 2007.
2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2003.
3. Мищенко А. В., Косорукое О. А. Исследование операций. М.: Экзамен, 2003.
4. Сдвижков О. А. Математика на компьютере: Maple 8. М.: СОЛОН-Пресс, 2003.
5. Сток Д., Ламберт Д. Стратегическое управление логистикой. М.: Инфра-М, 2005.
6. Официальный сайт компании Maplesoft (http:/www.maplesoft.com).
90
