CC BY
29
Рамазанов С.К. Модели оптимизации инвестиционных проектов в условиях риска / С.К. Рамазанов // Управлшня проектами та розвиток виробництва: Зб.наук.пр. -Луганськ: вид-во СНУ iм. В.Даля, 2003. - № 3(7).- а 124-130._
УДК 35.075:330.4
C.K. Рамазанов
МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ В УСЛОВИЯХ РИСКА
Рассмотрены две модели оптимизации эффективности и оценок риска при принятия инвестиционных решений в условиях стохастической неопределенности. Впервые предложен подход применение метода линейного оценивания динамического риска с ограничением на основе фильтра Калмана-Бьюси. Ист. 4.
Ключевые слова: неопределенность, риск, инвестиционный проект, функция полезности, оптимизация, динамический риск, оценка, фильтр Калмана-Бьюси.
C.K. Рамазанов
МОДЕЛ1 ОПТИМ1ЗАЦП 1НВЕСТИЦ1ЙНИХ ПРОЕКТ1В В УМОВАХ РИЗИКУ
Розглянуто двi моделi оптимiзацií ефективност i оцЫок ризику при прийнятт Ывестицмних рiшень в умовах стохастичноí невизначеностк Вперше запропонований пiдхiд вживання методу лУйного оцiнювання динамiчного ризику з обмеженням на основi фiльтру Калмана-Бьюск Дж. 4.
S.K. Ramazanov
OPTIMIZATION OF MODELS OF INVESTMENT PROJECTS IN THE RISK CONDITIONS
Two models of optimization of efficiency and risk estimations are considered at acceptance of investment decisions in the conditions of stochastic vagueness. Approach is the first offered application of method of linear evaluation of dynamic risk with limitation on the basis of the Kalmana-Byusi filter.
Введение и общая постановка проблемы. Во многих задачах финансово-экономической сферы, в частности, в задачах маркетинга, менеджмента, финансово-банковских операций, инвестиций в различные проекты и др. возникает необходимость принятия решений(ПР). Проблема ПР осложняется тем, что ее приходиться решать в условиях неопределенности (УН). Неопределенность может носить различный характер. Неопределенными могут быть осознанные действия противоборствующих стороны, направленные на уменьшение эффективности принимаемых противником решений. Например, конкурирующие на одном рынке фирмы осуществляют действия, приводящие к реализации своих интересов и препятствующие в этом конкурентам. Неопределенность может относиться к ситуации риска, в которой сторона, принимающая решение, в состоянии установить не только все возможные результаты всех решений, но и вероятности их появления. В ситуации, когда известны все последствия всевозможных решений, но неизвестны их
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2003, № 3(7)
1
вероятности, т.е. неизвестны вероятности возможных состояний окружающей среды, решения приходиться принимать в условиях полной неопределенности. Наконец, неопределенностью может обладать цель решаемой задачи, когда показатель эффективности решения характеризуется единственным числом и не всегда отражает достаточно полную картину. При выборе решения в УН всегда присутствует фактор действия наудачу без обоснованной уверенности в успехе, т.е. выбор решения в УН всегда сопряжен с риском. Он неизбежно присутствует в различных хозяйственных операциях (коммерческий риск), в выполнении предприятием определенного заказа ( производственный риск), в выполнении фирмой финансовых обязательств перед инвестором (кредитный риск), в решении купить акции или др. ценные бумаги, т.е. в формировании инвестиционно-финансового портфеля (инвестиционный риск), в решениях поместить деньги в банк (финансовый риск) и др.[1].
Модели эколого-экономического управления (ЭЭУ), учитывающие влияние стохастических воздействий, должна отражать степень, с которой эти экзогенные силы могут повлиять на конечные результаты моделирования, Если результаты моделирования решающим образом зависят от экзогенных стохастических воздействий и в малой степени испытывают влияние взаимодействия экономических переменных, модель не представляет интереса. С другой стороны, если учет стохастических эффектов оказывает малозаметное влияние на качественные результаты, то стохастические факторы могут быть полностью исключены из анализа. Однако флуктуации могут играть решающую роль в развитии экономики, даже если развитие определяется детерминированными механизмами. Влиянием флуктуаций на детерминированное развитие нельзя пренебречь в случае, если детерминированные уравнения рассматриваются вблизи критических точек.
Данный взгляд на моделирование эколого-экономического управления не нашел должного отражения в научных публикациях.
Цель работы состоит в разработке новых подходов к оптимизации эффективности и оценки риска при принятии инвестиционных решений, базирующихся на методе линейного оценивания динамического риска.
Основная часть. Для ПР в условиях стохастической неопределенности, т.е. при случайности исходной информации критерий оптимальности можно определить следующим образом.
Пусть эффективность системы оценивается функцией полезности (ФП) U(х,t), где x - вектор состояния системы, а t - вектор состояния внешней среды (ВС), х е D - множество допустимых решений (состояний). Если наблюдение над состоянием t ВС выполнено до момента ПР, то решение должно быть выбрано в зависимости от t и наилучшим решением для данного t является решение следующей задачи[2]:
U(х, t)^ max , х е D , (1)
Решением задачи является х * (t) = Arg max U(х, t) при заданном t .
Если решение принимается до наблюдения над состоянием ВС (т.е. условие полной неопределенности), то оно может быть лишь детерминированным и, следовательно, не может быть решением задачи (1) при каждом значении t. В этом случае применяют известные детерминированные критерии выбора: Вальда, Сэвиджа, Гурвица , Лапласа и т.п.
2
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2003, № 3(7)
Если Е, принимает конечное множество значений ^2,-., ^т, с вероятностями р^,Р2,..., ит, то искомое решение необходимо найти как решение задачи
т
F(x)=ZPkU(x,^) ^max, x e D. (2)
к=1
Или, в общем случае, F(x) = M^{j(x,£) ^max, x e D , т.е.
максимизирует ожидаемое значение эффективности решения.
Конечно, возможны и другие критерии выбора решения. Например, можно максимизировать вероятность превышения некоторого заданного уровня эффекта, т.е. F(x) = P{j(x,Uq}^max, x e D, или минимизация
ситуации «банкротства» в виде F(x) = 1 - P{j(x, > Uq } ^min, x e D .
n
Постановка задачи. Пусть выделен некоторый объем капитала К = ^Kj
i=1
для инвестирования ряда проектов(мероприятий): Щ,П2,..., Пп , а ву,в2,..., en ,
соответствующие им эффективности (доходности), причем они представляют собой случайные величины со следующими вероятностными характеристиками:
2 2 2
ту,т2,..., тп - среднее ожидаемое значение дохода; 01,а2,..., оп - их среднеквадратическое отклонение (СКО), Vj = cov[ei,еj J - коэффициенты вариации, т. е. оценки взаимовлияния, i, j = 1,2,..., n .
n n
Заметим, что vu = о;- . Тогда rng = ^x^-, Оо = ^ ^VjXjXj, где
i=1 i=1 j=1
Xj = Ki / К, то = M{ео }, 0°° = M{ео - то )° }
ео = Zxiei, cov(ei,еj)=Mfo -тУ(еj -mj)} i=1
.2 '
Пусть и {то, а° | - функция полезности принятия решения
I 2 \ О
х = х,хд,..., хп ) В частности, и{т0,ад)= ат0 + Ьад, а > 0, Ь < 0. и задача ПР имеет вид: и {то, ао )~
"2 тах.
х
При этом значения пары коэффициентов a и Ь задаются лицом, принимающего решение и этот выбор зависит от его знаний и психологии.
Итак, задачу оптимизации инвестиционного проектирования в дискретном случае можно представить в следующих трех вариантах:
о
1) тд ^ max, о о ^ min, ^ Xi = 1, Xi > 0; {xi} {Xi}
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2003, № 3(7)
3
2) mq ^ max, g? < g?, ^ xi = 1, xi > 0 ;
3) mq > mq, g q ^ min, ^ Xi = 1, Xi > 0.
Решение этих задач осуществляются методом множителей Лагранжа или его модифицированным вариантом[3].
Динамический (непрерывный) случай. Рассмотрим теперь векторный процесс риска e(t) (напр., эффективность, леверидж, процесс прибыли и др.) как динамический риск, который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению вида:
è(t)= F(t)è(t)+G(t)w(t)+u(t) ,
а наблюдения за ним как векторный случайный процесс z(t) вида:
z(t) = H (t)è(t) + v(t).
Здесь w(t) и v(t) - случайные внешние возмущения (нормальные "белые шумы") с нулевыми средними и ковариационными матрицами
cov[w(t), w(s)] = Q(t)5(t - s),
cov[v(t), v(s)] = R(t)5(t - s)
,Д / VI для всех t и s,
cov[w(t ), v(s )] = 0,
а u(t) - вектор управления риском e(t).
Векторы e, u, w, v, z имеют размерности (n x l), (nx 1), (p x l), (r x l), (r x l), соответственно. Матрицы F, G, H имеют размерности (n x n), (n x p), (n x r) соответственно. Предполагается, что Q и R - симметричные непрерывно -дифференцируемые матрицы, имеющие размерности (p x p) и (rx r). Предполагается также, что матрицы F, G, H, Q и R уже идентифицированы.
Пусть наблюдения {z(s)} ведутся на интервале 0 < s < t. Требуется найти
t
оценку вектора (риска) e(t) в виде y(t) = JA (t, s)z(s)ds, так чтобы
0
минимизировать E(è — y ) (è — y)] при ограничениях
E
y?
< а^ (), 2 = 1,п, где а^ ) - заданные функции ограничений на риск.
Решение данной задачи без учета ограничений можно получить, используя известный фильтр Калмана-Бьюси. Пусть q(t) обозначает оптимальную линейную оценку e(t) без учета ограничений, а у© обозначает оптимальную оценку с учетом ограничений. Очевидно,
у^) = д(Г), если (^)]< а2 ^), 2 = 2,п (3) Поскольку у и q являются линейными оценками по z, то
4
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2003, № 3(7)
у (г) = | с (г, 5)у(5)й5, г > о
о
где С матрица размерности (п х п). Тогда из (1) вытекает, что
С(г, 5) = Щ - я), если Е у2 {г) < а2 (г), / = 1,
где I - единичная матрица.
Введем множители Лагранжа X/ (г), / = 1,п, так чтобы:
- Хг- (г)=о, / = 1,2,..., п уг при Е у}(г) < а}(г),
- X/ (г) > о, в остальных случаях. Рассмотрим следующее выражение:
п,
/ =:
где Л(г) = (г)) и А = й/а^О2 (г))
Тгасе Е[(е - у)(е - у У ]+ Л(г )Е[ууТ ]- а)} (5)
Таким образом, задача сводится к определению такого вектора у©, который минимизирует и, причем у© определяется равенством (4).
Справедливо следующее утверждение. Если д© минимизирует
функционал Ттасе\Е[е - у)(е - УТ]} то у(г) = [/ + Л(г)]_1д(0 минимизирует функционал и. Доказательство. Перепишем (5) в виде
/ =:
Тгасе\Е\ееТ ]- Е\уеТ ]- Е\еуТ ]+ Е
уу
+ ЛЕ
уу
-ла!
Используя равенство (2), получаем
/ (с) = Ттасе\ Е
ее
} С(г, я)Е[у(я)еТ (г )]& -1 ЕЩдТ (я)^ (г,
г г 1
+ [/ + Л]ЦС(г, я)Е[у(я)уТ(я')]с(г,я'Цйяз&'-ЛА } оо
Необходимое условие минимума данного функционала имеет вид /(с) = о, где &/(с) обозначает вариацию функционала и(с) для произвольно малой вариации 5С. Итак,
+
о
о
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2003, № 3(7)
5
0 = 5/(с) = Тгасв\ -1 5С(г, яЩд^е1 (г)]& -1Е
Ф )ЧТ (я)
5СТ ( г, +
о
г г
+ [/+ЛЩ 5С(г, 8Щ(8)дТ (я') 1_оо
,Т (г, я) + С(г, я)Ед(я)дТ (/)
5С(г,
Поскольку q(t) известна, т.е. является оценкой Калмана-Бьюси, то
Е(е(г) - д( г)]дТ(я))= 0, я < г или Е Учитывая (6) и (4), получим
е( г)дТ (я) = Е д( г)дТ (я)
(6)
0 =
Тгасе\\{1 + Л(г)]Е [у( г)д
(я)
- Е
д(г)дТ (я)
5СТ ( г,
15С( г, ^[дО^( г)]^ + [I + Л(г)]{ 5С (г, я) Е
о
д(я) УТ ( г)
]& }
о
Используя свойства операций транспонирования и вычисления следа имеем, что
о = Ттасе\ 2
>|(/ + Л(г)]Е
у( г)чТ (я)
- Е
д( г)дТ (я)])5СТ (г, я)^.
о
Поскольку 5С произвольная вариация, то необходимое условие минимума /(с) принимает вид
о = [I + Л(г)]Е[у(г)/(я)]- Е[д(г)дТ (я)
(7)
Подставляя в (7) у© из (4), получаем далее
Е
д( г)дТ (я)
= [I + Л(г)]| С (г, э')Е д( г)дТ (я')]^^'.
(8)
Таким образом, из (8) следует, что
С (г, я) = [1+л( г)]-15(г - я).
Подставляя (9) в (4) имеем окончательно
у(г) = [1+Л(г)]-1 д(г).
(9)
(10)
г
г
о
о
о
6
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2003, № 3(7)
Нетрудно убедиться, что оценка у©, определяемая соотношением (10), именно минимизирует функционал и(с). Действительно, подставив (10) в (5), получаем
/ = Тгасе ЕееТ -(/ + Л)-1 едТ -(/ + Л)-1 деТ + (/ + Л)-1 ддТ - ЛА },
/ = Тгасе\/ + л
|/ + Л)-1 Е [(е - д)е - дТ)]+ / -(/ + Л)-1 ]е [ееТ ]- ла}
(11)
Поскольку оценка д© является условным средним вектором е©, то она, очевидно, минимизирует выражение (11). Итак, можно выписать уравнение оптимального линейного фильтра, учитывающего ограничения:
йд(г) йг
= [^ (г) - ад) н (г )]у(г) + ад (г),
К(г) = Жг )НТ (г) л ":(г),
жо) = есу[е(о), е(о)],
(12) (13)
®=+ЖО^ (0 - Р:(0НТ (0Л>)НШ0+ОДШ^ (г), (14) й
(15)
Р\ ( г) = соу[е - д, е - у], Т1(г) = д\
(16)
(17)
^ = ^(г)Т1(0+Т1 (г)^Т (0+Р1(г)НТ (г)Л"1(/)Н(г)Р1(г),Т1(о) = о. (18)
или
у (г) = [/ + Л(г)] у(г),
у (г) = уг (г)/(1 + Хг (г)), / = 1, п, Множители X/ (г) могут быть получены следующим образом:
1) [ : Е[у2(г)]< а2(г)} Хг-(г) = о,
2) в остальных случаях
X/ (г) = (Е[у2(г)
/а2(г))12 -1 = ((Т!). /а2)2
-1.
(19)
(20)
(21)
(22)
Таким образом, чтобы получить оценку у© динамического риска е(1), нужно вначале выписать оценки (12)-(19). Затем следует получить Л(г) согласно (21),
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2003, № 3(7)
7
(22) и тогда у© определяется из (20). Оценку вектора управления ^^ теперь можно получить, используя известную теорему разделения из теории оптимального стохастического управления[4].
Выводы и перспективы. Результаты данной работы можно обобщить для случая нечеткой и смешанной исходной информации. Отметим также, что рассмотренный выше подход можно обобщить для случая ограничений для ■Т
выражения E
ЛИТЕРАТУРА
1. Шапкин А.С. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций: Монография. - М.: Издательско-торговая корпорация " Дашков и К0 ", 2003. - 544с.
2. Ястремский А.И. Стохастические модели математической экономики. - К.: Вища шк., 1983. - 127с.
3. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа: Пер. с.англ. -М.: Радио и связь, 1987. - 400с.
4. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. Под ред. К.Т. Леондеса. - М.: Мир, 1980. - 408с.
Стаття надмшла до редакцп 20.06.2003 р.
8
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2003, № 3(7)
