CC BY
31
УДК 682.5.015
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
С.Н. Герасин, профессор, д.т.н., Н.А. Матийченко, аспирант,
ХНУРЭ
Аннотация. Рассмотрена задача оценивания параметров выходного сигнала дискретной линейной динамической системы. Для ее решения строится оценка автокорреляционной функции системы и функции спектральной плотности.
Ключевые слова: автокорреляционная функция (АФК), стохастическая динамическая система, оценка параметров выходного сигнала, информационная матрица Фишера.
ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ ВИХІДНОГО СИГНАЛУ СТОХАСТИЧНОЇ ЛІНІЙНОЇ СИСТЕМИ НА ОСНОВІ КОРЕЛЯЦІЙНОЇ ФУНКЦІЇ
С.М. Герасін, професор, д.т.н., M^. Матійченко, аспірант,
ХНУРЕ
Анотація. Розглянуто задачу оцінювання параметрів вихідного сигналу дискретної лінійної динамічної системи. Для її рішення будується оцінка автокореляційної функції системи та функції спектральної щільності.
Ключові слова: автокореляційна функція (АФК), стохастична динамічна система, оцінка параметрів вихідного сигналу, інформаційна матриця Фішера.
EVALUATION OF STOCHASTIC LINEAR SYSTEM INPUT SIGNAL PARAMETERS BASED ON CORRELATIONAL FUNCTION
S. Gerasin, professor, dr. eng. sc., N. Matiichenko, post-graduate student,
KhNURE
Abstract. This article considers the task of evaluating output signal parameters of a discrete linear dynamic system. The estimation of autocorrelation and spectral density functions are build to solve the task.
Key words: autocorrelation function (AFC), stochastic dynamical systems, parameter estimation of the input signal, the Fisher information matrix.
Введение
Характерной особенностью стохастических моделей динамических систем управления является то, что случайные помехи, как правило, входят в них в виде шума измерителя; эта особенность сильно отражается на процессе построения модели по экспериментальным данным. Определение оценок переменных состояния и параметров, а также их
статистических характеристик представляет собой важную и трудно решаемую задачу. В данной статье получены решения некоторых частных задач указанного типа.
Постановка задачи
Пусть дискретная динамическая система описывается в виде линейных дискретных уравнений динамики и измерителя
х^ +1) = Ф(0,1 +1,0 х(0 + G(9, t +1, t )и^),
х(0) = 0, (1)
у^ +1) = Н • х^ +1) + v(t +1). (2)
Здесь х - «-мерный вектор переменных состояния системы, и - г-мерный входных сигналов, у - т-мерный вектор наблюдения, v(t +1) - белая гауссовская последовательность с нулевым средним и положительно определенной ковариацией.
Пусть мы находимся в рамках описания системы в виде линейной дискретной модели в пространстве состояний (1), (2), без учета помех динамики и нулевом начальном состоянии. Для дальнейших рассуждений х^), и(0 , у($) - переменные состояния динамики системы стохастического управления с интенсивностью помехи о1 (входа системы) и наблюдения (выхода измерителя) соответственно; ошибка измерителя предполагается белой гауссовской, с характеристиками
(0, с2); N - число дискретных наблюдений.
Требуется уточнить оценку параметра 9 из (1), (2). Пусть для стохастической системы оценка 0 - некоторая МНК-оценка для 9ист. Точность оценки 9 в процедуре идентификации можно охарактеризовать детерминантом нормализованной ковариационной матрицы относительно оценки 0 с помощью соотношения
^ N V. (3)
Когда N ^ да, требуется определить автокорреляционную функцию (АКФ) стационарной, эргодической входной последовательности {и (г), 1 = 0,1,2,..., N -1}, которая
минимизирует функционал (3) объекта при ограничении мощности помехи и мощности
2^2 2^2 входного сигнала с, < с , си <си , где
22
су, си - помехи измерителя и входного
22
сигнала, с , си - допустимые мощности. Методика решения задачи
Исходные соотношения в динамическом описании объекта сведем к зависимости типа регрессии
х (t ) = ! ^-1 • а • и ^ - ]) (4)
1=1
или, подставив (4) в (2), получим
У(0 = ХН • ^;-1 • О • и^ - у) + v(t), t = 1, N . (5)
1=1
Обозначим постоянные множители перед элементарными переменными управления через переменные gj, т.е.
g] = Н • ^;-1 • О, у = .
Тогда соотношение (5) запишется в виде
t ______________________
Уг =Е g] • Щ-1 + vt, t = 1N . (6)
У=1
В соотношении (6) и(, у являются наблюдаемыми входом и выходом соответственно, vt - белая гауссовская шумовая последовательность с нулевым средним и дисперсией с2. Теперь предположим, что неизвестные импульсы gj могут быть представлены в следующем виде:
g] = Еа • g (к), (7)
к=1
где g 1к), к = 1,2,...,п являются известными импульсами некоторых простых соотношений; а = (а1,а2,...,ап)Т ; Т - обозначает операцию транспонирования. Для линейной системы (6) МНК - оценки неизвестных
параметров есть величины а = (<31,<32,...,а«)Т . Точность в процедуре идентификации формально задается в виде (3) с учетом ^ < с2, с2 < си . При этом ковариационная матрица ошибки связана с МНК - оценкой а и имеет вид
VN =с2 • Е(xN • XN )-1, (8)
где Е - оператор усреднения, XN есть матрица размера (п*Л), для которого (к, t)-й элемент имеет вид
хк°^(к)-им , t = Щ к = 1,2,..., п . (9)
1=1
Обозначая N •Vv = ^]-1, имеем в соответствии с (8)
Решение данной задачи позволяет получить оптимальную АКФ ги*(5) входного процесса.
^ =-^~• Е(хТ • XN) . (10)
с, • N 7
Во-первых, требуется определить выражение для элементов (Жк1; к,I = 1,2,...,«) матрицы в соотношении (10). Используя (7), мы можем записать
„(N) = 1
1
<• N
Г
ЕII
х{1 >• х^ )| =
с2 • N
• Е
N t
>р • Ut-р •
\
II g Р1
V t=1 р=1
1 Е )gi:NI и,- „и,_т | . (11)
с2 •N V t=1 т=1 ” Ь
Для N ^ да относительно эргодической и стационарной входной последовательности из (11) мы получим
2
N с
л
) = 11пда::т •Е II g^) • ) • г(и) (5) , (12)
V р=1 т=1
где ги (5), (5 = р - т), с^ являются нормализованной АКФ и вариацией исходного процесса соответственно. Пусть
11т wN = ^-1, тогда мы имеем
N ^да
det w =
и
_2
V Cv
• п • det £,,
(13)
где (к, I) -й элемент Нк1 матрицы Н есть
^ да да / \ \ ^
^ = Е IIgр>• £>• Г,(5) . (14)
V р=1 т=1 |
Пусть мы находимся в рамках постановки задачи планирования входного сигнала, когда система описывается соотношениями (1), (2). Для оценивания параметров 9 будем использовать критерий D-оптимальности
3 = аеш,
где М - информационная матрица Фишера, которая выражается следующим образом:
М = -Е
д2 Ь
(16)
где Ь - так называемая функция правдоподобия [2]; Е {•} - оператор усреднения по пространству выборок при приближенно заданной оценке параметров 9.
Если поделить М на число опытов, то получим нормированную информационную матрицу плана, которая при соблюдении условия некоррелированности откликов во времени играет в процедуре планирования эксперимента роль М {в} плана в [2].
В [1] показано, что только представление соотношений (1), (2) в форме уравнений дискретного фильтра Калмана идентифицируемо. Такое обобщение мы вправе сделать, исходя из однозначного взаимоперехода между дискретной и непрерывной моделью. Исходя из этого, оценку предсказания по Калману-Бьюси-Острему [2] определим в виде
х(,) = Е [ х(, ) | у (1),..., у (, -1) ]; (17)
у(,) = (Н • Р • НТ + К) 2 • (у(,) - Н • х(,)); (18)
В результате всех вышеприведенных рассуждений, задача оптимизации состоит в том, чтобы найти АКФ входного процесса, которая максимизирует (13), или иначе формально это можно записать в виде
тах det £,,
ги ( 5)
(15)
для с^ = ги (0) = с2, связанной с ограничени-
2^2 2^2 ем а < с , с < си .
Р=
(19)
Тогда соотношения для модели динамики (1) и измерителя (2) с учетом (17), (18) можно записать в виде
х (, +1) = Ф • х (,) + О • и (,) + К •у(,), (20)
у(,) = Н • х(Ь) + I•Y(t), (21)
,=1
V
где !=(Н-Р-НТ + к)-2. (22)
Выражение (23) с учетом (27) запишется как у(, ) = I-1• (у (,)- Н-х (,)). (23)
Далее
К = Ф •РН •I-1; (24 а)
Р = Ф • Р^ ФТ - К •К1 + Г ГТ . (24 б) Дальше получим
2п • х(п) - К • у(п) = Ф • х(п) + О •и(п); (25)
У(n) = H-x(n) + Z-y(n) ,
(26)
где
N N л
n =--------1
2 2
- j-n-
= cos
2-п-n
N
j- sin
2-п-n
N
x ( n )= X
N 1
“I—1 2-п -k - n
^ - j—гт-
N
Здесь х (п) обозначает компоненту ряда Фу, ч „ 2^п•п
рье для х (,) с частотой —N— и, соответственно, для других переменных. Из (25) и (26) следует
у(п) = Н •(2п1 - Ф) 1П •и (п) +
+ [н•(^ -Ф)-1 •К + ! ]• У(п) =
= Т^(п,9)• и(п) + Т2 (2п,9)•у(п) , (27)
где Т (^,9) = Н •(^1 -Ф)-1 •О; (28)
Т2 (гп,9) = Н • (^1 - Ф)-1 •К + Е. (29)
Логарифм функции правдоподобия Ь (9) может быть записан как
N N-1
Ь (9) =---Re I у * (п )^у (п ) -N х
2
n=0
N
хlog|У |-у-log(2-п).
Элементы информационной матрицы Фишера определяются из выражения
Mij = - Ет\е
дL (е)
де, -де,
ij
i, j = 1, m, (30)
е=ео
где математическое ожидание берется относительно пространства наблюдений (выборок) У(,) = {у(,); , = 0, Щ и 90, которое является априорной оценкой параметра 9. Из (30) имеем
dL n
----= - N-Re У
де, n=0
Y * ( n )
dY ( n )
де
- N-tr
У
де
Теперь получим соотношение для второй производной от функции правдоподобия
д2 L
■ = - N - Re У
де,-де, n
ду * ( n ) ду( n )
N
- N- Re У у * ( n )
N
де,
д2у(n)
де, -де, , j
де
+
(
+N-tr
У
- N-tr
У
д^-у-1 -дУ
де,. де,.
д2 У
де,-де,
г j /
Выводы
В статье получен метод решения задачи активной идентификации во временной области на основе оптимизации автокорреляционной функции (АКФ) входного сигнала. Для частного представления модели динамики, например, в виде регрессионной модели, поставлена и предложена методика решения задачи активной идентификации на основе оптимизации АКФ.
Литература
1. Kailath R.K. An innovation approach to least-
squares estimation // IEEE Trans. Automatic Control. Dec. - 1968. - Vol. 13. - №6. - P. 645-655.
2. Эйкхофф П. Основы идентификации сис-
тем управления. - М.: Мир, 1975. - 684 с.
Рецензент: О.П. Алексеев, профессор, д.т.н., ХНАДУ.
Статья поступила в редакцию 1 сентября 2009 р.
N
n=
e
n=
2
k
2
