CC BY
27
переменные. Например, если в X2 входят переменные X12, X2 2, X3 2, то соответствующее тождество может иметь вид
Y = V (X j2, X 22, X 3), где Y - известное или вычисляемое значение, например, константа: V-функция, связывающая переменные Xj 2, X2 2, X3 2.
Смешанный обмен включает одновременно включает первый и второй тип .
Наличие системы обмена, библиотек объектов позволяет создавать значительные по размерам физические системы, которые исследуются на основе компьютерного моделирования без значительных затрат ручного труда. А это в свою
,
.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гузик В.Ф., Золотовский В.E.,Третьяков B.C. Система моделирования объектов промышленной энергетики. - М.: Наука - производству, №1, 1999.
2. . ., . ., . .
структурных моделях // Сборник научных трудов “Компьютерные технологии в инженерной и управленческой деятельности”. - Тага нрог: Изд-во ТРТУ, 1999.
3. Guzik V.Ph., Zolotovsky V.E., Chernukhin Y.V., Tretyakov S.V., DougalR.A. Structural Modeling for Simulation of Power Electronic Systems. “The 7th workshop on computers in power electronics” IEEE, Blacksburg, Virginia, 2000.
4. Гузик В.Ф., Золотовский B.E., Чернухин Ю.В. Структурное моделирование силовых систем. - Таганрог: Известия ТРТУ, № 1, 2001.
5. МарчукГМ. Методы вычислительной математики. - H.: Наука, 1973. - 350 с.
В.И. Финаев, С.Б. Мальков
МОДЕЛИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАНЯТОСТИ ВТОРИЧНЫХ СЕТЕЙ
СВЯЗИ
Степень интенсивности эксплуатации каналов связи в сетях - важный пока, -
ний в практике проектирования вторичных сетей, т.к. прибыль от эксплуатации вторичной сети образуется в процессе использования каналов для работы с сооб-
.
количественную оценку степени интенсивности использования каналов связи, т.к. процесс обслуживания требований в СМО идентичен процессам выполнения операций с сообщениями в сети.
, -
ным портом и задержки при передачи сообщений абонента не происходит. На
рис.1 показано образование периода занятости. Ц - поток i-ro канала связи; tf -
время занятости сети передачей сообщений.
ІШ
ІШ
Пз(0
-о
Пп(0
-о
-о
о-
-О
-о
о-
->
->
Рис.1. Образование периода занятости
В сети не существует очередь сообщений каждого отдельного абонента и вероятность возникновения двух и более сообщений на интервале времени равном равна нулю. Функция распределения периода занятости сети определится функцией распределения времени передач, и будет зависеть от числа радиально подключенных каналов связи. Период занятости сети определится как функция суммы случайных величин - периодов занятости отдельных Ьых каналов, распределенных по законам передач соответствующих потоков сообщений, а плотность распределения периода занятости определится как п-кратная свертка плотности распределения времени передач В^) [1].
_
Если функции распределения времени передач В,(1) = 1 _ е р‘, то преобра--
Р,(0 =
1
1 + Р1з
а характеристическая функция плотности распределения периода
занятости для системы с п параллельными каналами имеет вид
п„оо=Ир,(8):
і
П і+Р1*
(1)
При условии, что распределения времени передач сообщений одинаковы с математическим ожиданием рь плотность распределения периода занятости параметра времени I для сети с п радиальными каналами определится обратным преобразованием от выражения (1) и будет иметь вид:
Пп(0 =
іп
(2)
(Р1)пГ(п)
где (п) - п.
Характеристическая функция Эрланговского распределения времени пере-
1
-. При условии, что распре де-
дач сообщений порядка г имеет вид в (+) =.
‘ (1 + Р1*)г
ления времени передач сообщений по всем каналам одинаковы и имеют математическое ожидание рь плотность распределения периода занятости действительного параметра времени в этом случае определится формулой:
пп№ =
(РХПпг)
_
_л
(3)
t
t
t
При невыполнении условия одного вида распределения времени передач сообщений по всем каналам одинаковы и равного математической ожидание в1 плотности распределения периода занятости действительного параметра времени 1 определить аналитически невозможно.
Можно взять интеграл от плотности распределения периода занятости (2) и получить функцию распределения периода занятости при экспоненциальном распределении времени передач, которая будет иметь вид:
.^.п та ^.к+п
п (1) =---------У (_1)к--------к---------- (4)
(Р^ТХп)“! ' к!(в1 )к (п + к)
Интеграл от плотности распределения периода занятости (3) позволит получить функцию распределения периода занятости при Эрланговском распределении :
^.пг та +к + П
п (1) = —1---------У (_1)к--------1—г-------- (5)
^ (РХГХпг)^ ' к!(Р1)к+пг(пг + к)
, -
ходятся в зависимости от длительности передач и от числа радиальных каналов сети передачи дискретной информации.
При постоянном времени передач сообщений для определения функции распределения периода занятости можно воспользоваться формулами (3-5), взяв значения г>5-8. Поток сообщений в этом случае обладает значительным последействием и приближается с большой степенью к детерминированному.
Рассмотрим вариант определение периода занятости в сети при последовательных спорадических операциях с сообщениями. Примером является структура сети с общей шиной. Сообщение, поступающее в свободный канал, принимается немедленно на обработку. Если канал занят обслуживанием ранее поступивших
сообщений, то сообщение становится в общую очередь. Для данного случая веро-
ятностный процесс обработки и передачи сообщений в сети аппроксимируется вероятностным процессом одноканальной СМО.
Характеристическая функция распределения периода занятости определится [2] :
я;(5)=Р[5+а+аР(5)]. (6)
, -
ре делится распределением в(0 = 1 _ е Р1, плотность распределения периода занятости имеет вид [2]:
"С’=^1!#_(<' <7)
где 11(1) - функция Бесселя первого рода.
При постоянной длительности передач функция распределения периода занятости имеет вид [2]:
Гвд = |1е-<еп>п1, (8)
где [х] - целая часть х.
Рассмотрим определение периода занятости в сети при приоритетной пере. -ность промежутка времени, начинающегося с момента начала операции над сообщением любого приоритета, заставшим сеть свободной, до момента окончания
операций в сети с сообщениями любых приоритетов. В работе [3] для СМО с приоритетами приведена теорема, определяющая характеристическую функцию периода занятости и некоторые моменты распределения. Согласно [3] характеристическая функция периода занятости для систем с к приоритетами определится формулой:
огс(з) = ]Г а,Р, (з + о- отф),
і=1
где а1=а1+а,2+...+аь 1=1,2,_,к, а0=0, ст=стк. Характеристическая функция (9)
определяет период занятости для сетей с абсолютным и относительным приорите-
1
і2_
тами. При ВС*) = в(0 = 1 -е р1 Ф°РмУла (6) примет вид «п(«)-л(«)(ц+ст)-а[л(«)] =ц,
обратное преобразование которой будет иметь вид:
п (<Л = У (-1)пГ" (р! + 1)П(^*)П+2д 1 . (10)
11к(‘) = У ] "“0( 1)Сп+4-2 (п + 2] -1)!
При постоянной длительности передач равной р1 формула распределения периода занятости примет вид:
Пк(0 = (Р|РП)"~' • (11)
п=1 "!
Рассмотрим определение периода занятости при эрланговском распределении времени передачи. Исследование распределения периода занятости для данного случая полезны, так как человеческий фактор вносит последействие в формирование длин сообщений. При пуассоновском входном потоке сообщений и времени
,
В( ) = г у- 2 -,, , то для определения функции распределения периода занято-
0 (г - 1)!е У
сти действительного параметра времени подставим разложение ^ ап8_" в
"=0
многочлен п(з) =------- -----1--------- для разных г.
[1 + Р(* + а-ап(*))]г
При г=2 коэффициенты аП имеют вид: а1=0; а2 = С[ -1-; а3 = С2(1 + р) -1;
Н1 Г1
а4 = С3(1+р)2в-; а5 = (-С4(1 + р)3 + 2р)-1; а6 = (С5(1 + р)4 -2^(1 + р))-1Г;
Рх в1 Р1
а7 = (-С6(1 + р)5 -2С4(1 + р)2); а8 = (С7(1 + р)6 -2С4(1 + р)3 + Тр2)-1 И ^Д.
Г1 в1
После преобразований функция распределения периода занятости действительного параметра * определите я формулой:
год = £(-1)1+1 £ ^=в")-С3--12(1+р)""31+1-Ц. (12)
1=1 1 "=31 -1 Р1 "!
г=3 -
лить функцию распределения периода занятости параметра *:
п(*) = -£^ £ (:вП)-С4--12(1+р)П-41+1-^. (13)
1=1 1 "=41-1 Р1 "•
(12) (13), -
, г:
П(Х) = ^(-1)г+! С‘<г+1>~2 £ (_П_е;1г_+11)‘"2(1 + р)”-(г+1)1+1-^-. (14)
1=1 1 п=(г+1)1-1 Р1 п!
Рассмотрим определение времени ожидания поступающих сообщений. В работе [1] приводится определение периода свободного состояния системы, т.е. ожидания поступления требований. Для организации эффективного функционирования вторичной сети передачи дискретной информации данная оценка важна, т.к. прибыль от использования арендуемых каналов связи в данные отрезки времени не , . определить У! - первый момент распределения времени ожидания сетью поступающих сообщений от абонентов. Рассмотрим определение величины ух для потоков однородных сообщений. Будем рассматривать сеть как требование поступившее на обслуживание, а распределение времени передач сообщений В(х), как распределение периода занятости. Характеристическая функция распределения времени задержки для пуассоновского потока определится формулой [2]:
Ф00 = (1-р>8 , (15)
8 -ап +0,0^)
где Р(8) - ,
распределение начальных точек периода занятости аппроксимируется распределением Пуассона с интенсивностью а,.
Определим интенсивность потока передач ап через интенсив ность потока соа В(х) :
^ л
ап = а[1 - ^ | (ах)ке-аМВ(х). (16)
к=1 к! 0
Для экспоненциального распределения длительности передач л(з) из (16) оп-:
П(8) =-------------------------------------------------------1- . (17)
1 + [«+ а-ап(«)]р1
При ап=а, подставив уравнение (17) в уравнение характеристической функции времени ожидания (15), получим
ф(8) = (1 - р)82 + (1 - р)(а + (1 / р, )8 + а(1 - р)8п(8). (18)
82 + (8 / Р1 - а*я(з) - а2л(*) - а2
Получить функцию распределения действительного параметра времени от выражения (18) невозможно, но можно найти моменты этого распределения.
Представим функцию (18) в виде разложения в ряд Ф(8) = 8 п. Представим
п=0
функцию п(8) также в виде ряда п(8) = X ап8 п, где коэффициенты ап определены
п=0
как моменты [2]. Подставив р азложения Ф(з) и п(8) в уравнение (18), после ряда
1 — Р и 1 — 2р
преобразований получим значения коэффициентов: Ь0=0; Ь1 = -2ар; Ь2 = и
. . -
:
„ = (1 -Р)Р1 . „ _ (1 - 2Р)Р2 (19)
71 = 2р2 ; 72 2р4 ( )
При значениях р<0,4 а„«а и полученное значение первого момента ух приемлемо для инженерных расчетов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Финаев В.И. Период занятости и время задержки сообщений в системах передачи информации с последействием//Сб. «Методы построения алгоритмических моделей сложных систем». - Таганрог: ТРТИ, 1976.
2. Климов ГЛ. Стохастические системы обслуживания. - М.: Наука, 1966. - 243 с.
3. Гнеденко Б.В., Даниелян Э.Л., Димитров Б.Н. Приоритетные системы обслуживания. -М.: МГУ, 1973. - 326 с.
АЛ. Шабельников
ПРОБЛЕМЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ЗАДАЧАХ АВТОМАТИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ *
Рассмотрим задачу математической обработки результатов наблюдений, возникающую в автоматизированных системах управления технологическими процессами на железнодорожном транспорте (АСУТП), в частности, в комплексе горочном микропроцессорном (КГМ-РИИЖТ), предназначенном для управления
.
Система автоматизированного управления процессом роспуска составов на сортировочной горке включает в себя задачу управления тормозной позицией с целью регулирования скоростей скатывания отцепов. Тормозные позиции посредством изменения ступени торможения Ст и времени торможения т обеспечивает необходимые изменения скорости АУ и энергетической высоты АЭ отцепа, т.е. его . , вектором (Ст, г), необходимо знать зависимости изменения величин скорости и энергетической высоты от управляющих воздействий тормозных позиций:
или А • 2 = и, (1)
~АУ~ і еч чГ1 чГ1 ~сТ
АЭ т
^ -1 21 22 _
где 2 = с 1 , и = ~АУ~
_ т _АЭ_
Так как изменение скорости и энергетической высоты взаимосвязаны, уравнения в определенном смысле зависимы, что приводит к плохой обусловленности матрицы А (близости к нулю ее определителя). Поэтому вычисление интересующих нас значений Ст и т по известным значениям АУ и АЭ с использованием обратного оператора А'1 может быть неустойчиво.
Приведем численный пример аналогичной некорректно поставленной задачи. Пусть система алгебраических уравнений задается оператором
"0,65 0,85"
А =
0,36 0,44
* Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 04-01-00277
