Применение методов теории систем массового обслуживания для исследования однородных переключений в энергосистемах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.В. Заргарян, А.А. Кузьминов ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ОДНОРОДНЫХ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЙ В ЭНЕРГОСИСТЕМАХ

Стохастические процессы приема, передачи и обработки потоков сообщений в энергетических системах требуют анализа возможных задержек для анализа своевременности принимаемых решений службами диспетчеров, а также срабатываний систем автоматической защиты и систем управления переключениями потоков электроэнергии.

Математические модели для расчета трафика в сетях передачи дискретной информации разрабатываются, как правило, с применением математического аппарата систем массового обслуживания (СМО) [1 - 3]. Основным критерием, позволяющим определить возможные задержки при передаче информации, является время доставки сообщения, которое складывается из времени передачи сообщения и времени его задержки из-за занятости канала.

Рассмотрим, какие из этих критериев могут быть применены для анализа потоков командной информации в энергосистемах. Потоки командной информации в терминах СМО будем рассматривать как поток однородных событий, а под событием понимается сообщение, которое поступает в систему передачи информации и подлежит передаче по каналам связи либо к диспетчерскому пункту, либо к исполнительным органам команд управления.

Приведенные в работе [4] исследования реальных потоков телемеханической информации на предприятиях «Ростовэнерго» и «ЮЗЭС» в г. Таганроге позволяют сделать предположения о пуассоновском и эрланговском характерах распределений потоков сообщений. Определим время задержки сообщений при последовательном выполнении операций с сообщениями, которые представляются сигналами одно- и многоэлементными, а также описываются законами Пуассона или распределениями Эрланга.

Рассматривается вероятностный процесс функционирования многоканальной системы передачи информации, в которой осуществляется передача и обработка сообщений последовательными одноэлементными сигналами с циклической синхронизацией, при этом любой сигнал сг- еС из множества С допускается избирание сообщения т по своему временному каналу si еЯ из множества Я

Операции с сообщениями осуществляются следующим образом. Сообщение, поступившее в систему от одного из абонентских пунктов, примется к передаче сразу в том случае, если в этот момент времени имеется разрешающий сигнал от распределительного (управляющего) устройства. Назовем это событие свободным состоянием системы. Время задержки сообщений, поступивших позже рассматриваемого момента не больше или равно длительности цикла операций. За один цикл операций передаются все поступившие сообщения, и время цикла операций не зависит от числа поступивших сообщений. Дисциплина с операциями не отличается от дисциплины обслуживания в СМО с групповым обслуживанием требований.

Загрузка системы может быть выражена через вероятность занятого состояния [2] и определится формулой

р^1) = 1-е^",)', (1)

где Х^) - интенсивность потока сообщений; /1 - среднестатистическая длительность операции по передаче и обработке сообщения.

Время цикла операций определим распределением В(X) случайных, независящих друг от друга и от потока сообщений, положительных и равнораспределенных величин {хп}, время прихода сообщений по каждому каналу определяется распределением величин ^п}, где 0<4<42<Лз ■■■, причем моменты ^п} распределены по закону Пуассона. В общем случае процесс Пуассона стационарный, однако, при некоторых допущениях исследуется также нестационарный пуассоновский процесс.

Задача определения времени ожидания приводит к марковскому процессу в том случае, если время обслуживания распределено экспоненциально, однако, если время обслуживания не определяется экспоненциальным распределением, то процесс может быть сведен к типу марковского, если расширить понятие пространства состояний и характеризовать процесс единственным состоянием -действительным числом, непрерывной переменной, временем задержки сообщения.

Рассматривается стохастический пуассоновский процесс с момента t>0 с плотностью распределения Х^), где Х- действительная неотрицательная функция параметра t. В(х)=Р(хп<Х) - распределение продолжительностей времени передач. Полагается, что В(х) определено так же, как и х(^, В(0)=0.

Обозначим через w(t) продолжительность задержки сообщения, прибывшего в момент t. Если сообщение прибыло в момент разрешения передачи от распределительного устройства, то w(t)=0, аналогично w(t)=0 при t=0 и отсутствии сообщений в системе.

Если при t=0 система передает сообщение и при этом в ней находятся сообщения ожидающие передачу, то примем w(0)=Wo. Если ^п} и обозначает последовательность передач (хп) и последовательность моментов прибытия сообщений от источников ^п}, то w(t) совершает скачок т^п (п=1,2, ...) в моменты tn, а в интервалах tn-tn-l w(t) изменяется с угловым коэффициентом - 1. w(0)=w0 и, если ^^^п-1, to = 0, то

Ы$-Р^п), w(tn)>t-tn

™ и) = < (2)

\о w(tn) < t-tn

при t=tn

w(tn) = w(tn-0) + Пп . (3)

Если ^п} определяется законом Пуассона и tn независимая величина, то

w(t) описывается цепью Маркова, кроме того, если известна величина w(t) в данный момент, то это окончательно определит стохастическое поведение всей функции w(t).

В общем случае w(0)=Wo - произвольная величина, связанная с

распределением P(wo<X) = Wo(x), при Wo=0 Wo(x)=0, для х>0 W (х')=1.

Пусть Р^(^<Х) = '№@,х) есть вероятность того, что сообщение, поступившее в момент I, имеет время задержки меньшее либо равное х и Р(м@„-0)=х) = '№(Ъх) - есть вероятность того, что время задержки п-го сообщения, прибывшего в момент tn, самое большее равно х. Для этих условий определяются распределения Ш(1,х) и Жп(х), а также исследуются условия существования предельных распределений НтЖ(г,х), ИтЖп(х) , доказывается,

что при общих условиях эти предельные распределения существуют и согласуются друг с другом.

Функции W(t,x) независимой случайной величины Н’^) удовлетворяет следующее дифференциальное уравнение:

ШгХ- = [1- р() -p()W(t,0)[1-B(x)], (4)

Г х в

где производная в правой части справедлива при х>0, а в левой при х>0.

Распределение W(t,x) имеет скачок в нуле на величину W(t,0) и при х>0

является непрерывной для всех t. При условии W(0,t)=1 для х>0 равенство (4)

имеет аналогичное выражение W(t,x).

Если распределению W(t,x) удовлетворяет дифференциальное уравнение

ЕМ = [1. р(1)] ЕМ Жъмц . вт

^ х в

то преобразование Лапласа-Стилтьеса решения этого уравнения имеет вид

г

—и[1~ р(и)]т

Ф(і, s) = est[I-p(u)] j1- J esu[1~p(u)]W(ü, 0): P(u),

-(I-ß(s) + s(1-p(u))

du!

ßi

x

Если ß1= J xdB(x), lim a (t) = a , lim p(t) = p, а - положительная

0 t

постоянная, то предел распределения при p<1 limW(t,x) = W(x) существует, не зависит от первоначального распределения W0(x) и определяется равенствами:

W*(0)=1-p, (6)

,dW*(x) РТТГ*/„,Г1 пх П

(i-p)-—(x) = pW (0)[1-B(x)], (7)

dx ß1

если p=1, то limW(t,x) = i. Если lima (t) = a , p^1, limW(t,x) = W*(x) существует и не зависит от

t® Г t^x

Wo(x), то W(x) однозначно определяется преобразованием Лапласа-Стилтьеса

Ф(ь) = 1- p + JL[1-ß(s)]. (8)

ßis

Если для выбранной величины М(хп)=^1 р<1, то независимо от

начального распределения функции W0(x), распределение функции W(xn)

Н«

сходится к значению W (х).

x

При B(x) = 1 - e функция распределения времени задержки имеет вид

x

W(x) = 1- рев, а при постоянной длительности передач сообщений -

W(x) = 1- р + , где

Иг

Г^ 0<x<Рг; №)=^а { 0, X > 0! ■

Таким образом, приведенные выше формулы целесообразно использовать в виде критериальных оценок для исследования времени задержки при передаче сообщений.

Время передачи сообщений определяется исходя из длины сообщения и скорости модуляции в канале связи.

На время задержки сообщений может влиять также и состояние канала связи, определяемое из показателей помехоустойчивого приема переданного сигнала и корректирующей способности кода, однако, это уже другие исследования.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. МартинДж. Системный анализ передачи данных. В 2-х т. - М.: Мир, 1975.

2. КлимовГ.П. Стохастические системы обслуживания. - М.: Наука, 1966. - 243 с. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. -

М. - Сов. радио, 1971.

3. Финаев В.И. Разработка методов исследования структурной организации систем и сетей передачи дискретной информации. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. - Таганрог: Библиотека ТРТИ, 1979.

4. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. - М.: Наука, 1966. - 243 с.

Мажди Наср Аллах, В.И.Финаев

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ АДАПТИВНОЙ ОБУЧАЕМОЙ АВТОМАТНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Для состояний и выходных параметров объектов энергетических систем характерно наличие периодов, как стационарности, так и нестационарности, выявление которых осуществляется либо аппаратным путем, либо по данным статистического анализа.

Для периодов стационарности процессы смены состояний и выходные процессы являются медленно меняющимися процессами, т.е. относятся к процессам вида тренда.

При управлении объектами, относящимися к классу трудноформализуемых объектов, но отличающихся тем, что процессы на выходе этих объектов, а также