Определение времени поиска подвижного абонента при вызове в сети доступа с распределенным управлением Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

[email protected]

Электронный научный журнал «Век качества» ISSN 2500-1841 http: //www .agequal.ru 2015, № 4 http://www.agequal.ru/pdf/2015/AGE QUALITY 4 2015.pdf Ссылка для цитирования этой статьи:

Козинец А.В. Определение времени поиска подвижного абонента при вызове в сети доступа с распределенным управлением // Электронный научный журнал «Век качества». 2015. №4. С. 89113. Режим доступа: http://www.agequal.ru/pdf/2015/415007.pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. Яз. рус., англ.

УДК 004 + 654

Определение времени поиска подвижного абонента при вызове в сети

доступа с распределенным управлением.

Козинец Артур Валерьевич

заведующий лабораториями кафедры информационных систем Московский технический университет связи и информатики 125993, Москва, ул. Народного Ополчения, 32, каб.407

к(шпе1^ @ш1п с/2. ги

Аннотация. В статье рассмотрена задача поиска мобильного абонента при вызове в сети доступа с распределенным управлением. Построена модель открытой сети массового обслуживания (СеМО). При анализе работы отдельных систем массового обслуживания использована аппроксимация с отражением в нуле для каналов связи и с полупоглощением в нуле для процессоров поиска записи в базе данных о местоположении подвижного абонента. Выведены формулы для расчета среднего значения времени поиска мобильного абонента при вызове, а также среднеквадратического отклонения времени поиска.

Ключевые слова: поиск подвижных абонентов; база данных о местоположении; быстрый поиск; система массового обслуживания.

Теоретический анализ и практические измерения степени влияния на показатели производительности структурных составляющих интеллектуальной

сети показывают [1, 2, 3, 4], что фазы приема, обработки и передачи запросов на поиск подвижных абонентов вносят соизмеримый вклад в общую задержку при поиске подвижного абонента. Функционально-адекватной моделью интеллектуальной сети в части поиска подвижного абонента при вызове является открытая сеть массового обслуживания (СеМО). Иерархическая уровневая организация интеллектуальной сети и территориальная распределенность сети доступа определяют структуру открытой СеМО. Составными элементами открытой СеМО, моделирующей обработку запроса на поиск подвижного абонента в интеллектуальной сети, являются модели узлов интеллектуальной сети. Структурная схема узла управления интеллектуальной сети представлена на Рис. 1.

Верхний уровень управления

Нижний уровень управления

Рис. 1. Структурная схема узла управления интеллектуальной сети.

Разработано автором.

[email protected]

Рассмотрим состав и назначение блоков структурной схемы, а также порядок обработки запроса на поиск подвижного абонента. Блоки связи с нижним уровнем обеспечивают взаимодействие узла управления по каналам связи с контроллерами базовых станций (для узлов первого уровня) или узлами управления низлежащего уровня (для узлов уровней второго и выше). Блоки связи с верхним уровнем управления обеспечивают взаимодействие рассматриваемого узла управления по каналам связи с узлом управления следующего уровня. Процессорный блок осуществляет поиск записи, содержащей информацию о местоположении вызываемого подвижного абонента, в базе данных [1].

При вызове подвижного абонента формируется запрос на поиск вызываемого абонента и по каналу связи поступает на узел управления интеллектуальной сети. После получения запроса процессор поиска производит поиск записи, ассоциированной с вызываемым абонентом в базе данных. Если запись о местоположении вызываемого абонента находится в базе данных текущего узла управления, то после нахождения записи информация о местоположении вызываемого абонента передается к месту возникновения запроса, в противном случае - формируется запрос на поиск и передается на узел управления следующего уровня интеллектуальной сети.

Моделью узла управления для определения времени поиска подвижного абонента является открытая СеМО, состоящая из систем массового обслуживания (СМО), каждая из которых моделирует соответствующую фазу обработки запроса на поиск подвижного абонента. Модель узла управления интеллектуальной сети представлена на Рис. 2.

Рис. 2. Модель узла управления для определения времени поиска подвижного абонента. Разработано автором.

СМО с неограниченным накопителем моделирует прием по каналам связи запросов на поиск подвижных абонентов, осуществляемую блоками связи с нижним уровнем управления. Процедуру поиска записи в базе данных, содержащей информацию о местоположении вызываемого подвижного абонента, осуществляемую процессорным блоком, моделирует СМО с неограниченным накопителем S2. СМО с неограниченным накопителем S3 моделирует передачу по каналам связи результатов поиска подвижного абонента, осуществляемую блоками связи с нижним уровнем управления. В модели узла отсутствуют системы, моделирующие передачу запросов на поиск подвижных абонентов на узел управления следующего уровня и прием результатов обработки этих запросов, осуществляемые блоками связи со следующим уровнем управления, так как задержка при передаче и приеме

[email protected]

учитывается в модели узла следующего уровня системами 5 и 53 соответственно.

Составными элементами открытой СеМО, которая моделирует интеллектуальную сеть, являются модели узлов управления интеллектуальной сети. Для двухуровневой интеллектуальной сети с тремя узлами управления на первом уровне и одним узлом на втором структура однородной открытой СеМО будет содержать три элемента, моделирующих узлы первого уровня. На вход каждого из них поступают соответствующие потоки запросов на установление соединения, т.е. запросов поиска подвижных абонентов. Определенная часть запросов после элементов, моделирующих узлы первого уровня, выбывает из системы. Оставшаяся же часть попадает с выходов этих трех элементов на вход четвертого, моделирующего работу единственного узла управления второго уровня интеллектуальной сети. Это та часть запросов на поиск подвижных абонентов, которые нуждаются в обслуживании на втором уровне интеллектуальной сети. С выхода этого элемента запросы распределяются на входы трех элементов, моделирующих узлы первого уровня.

Интеллектуальная сеть централизованной системы поиска абонентов представляет собой частный случай распределенной сети с одним уровнем иерархии и одним узлом управления. Следовательно, модель такой сети будет состоять из одного единственного элемента, моделирующего обработку запроса на поиск подвижного абонента в одном единственном узле управления.

Анализ потоков и очередей в модели интеллектуальной сети сводится к анализу потоков и очередей в открытой СеМО, где каждый узел сети адекватно отображает процессы в зависимости от фазы обработки запроса в интеллектуальной сети. Узлы интеллектуальной сети представляются открытыми СеМО, в которых каждый элемент взаимодействует с другими элементами (канал связи, база данных о местоположении, процессор поиска, процессор обновления базы данных) в соответствующем для него режиме,

[email protected]

передавая сообщение в реальном масштабе времени с фиксированным верхним пределом задержки либо большими массивами (коммутация каналов), либо осуществляя передачу пульсирующим трафиком (коммутация пакетов).

Даже при отсутствии информации о функции плотности распределения вероятности интервалов времени между поступлением внешнего потока заявок в сеть и о функции плотности распределения вероятности времени обслуживания заявки в СМО, образующих сеть, возможно нахождение временных характеристик обслуживания заявки сетью массового обслуживания. Существуют аналитические формулы, позволяющие вести расчет временных характеристик пребывания заявки в такой СеМО на основе временных характеристик пребывания заявки в СМО, объединенных в сеть. Эти формулы справедливы только для стационарного режима работы сети и дисциплины обслуживания в порядке поступления. В этом случае необходимо знать:

- два момента распределения интервалов между поступлениями внешнего потока заявок в сеть;

- два момента распределения времени обслуживания заявки в каждом из узлов сети;

- распределение потока запросов между узлами (матрица вероятностей переходов заявок при обслуживании).

Среднее время пребывания заявки в открытой сети (то есть среднее время поиска подвижного абонента) для стационарного режима определяется как математическое ожидание интервала времени от момента входа заявки в сеть до

[email protected]

момента выхода из сети и не зависит от номера заявки. Среднее время Т пребывания заявки в открытой сети определяется по формуле [6]:

а1 - г-й элемент вектора коэффициентов передач; Т - среднее время пребывания заявки в г-й системе. Вектор коэффициентов передач определяется через матрицу вероятностей

I- единичная матрица.

Таким образом, расчет среднего времени пребывания заявки в открытой сети сводится к вычислению среднего времени пребывания заявки в системах, связанных в открытую сеть и, в конечном счете, к нахождению двух моментов входящего в каждую систему потока и двух моментов потока обслуживания каждой системы. Функциональная зависимость среднего времени пребывания заявки в системе от характеристик входящего потока и потока обслуживания будет рассмотрена ниже.

Вектор интенсивностей входящих в каждую систему потоков определяется по формуле [7]:

Квадрат коэффициента вариации интервалов времени между поступлениями заявок в каждый узел сети находится по формулам, определяющим прохождение потока через узел, при разделении потока после узла, при объединении потоков на входе узла [5].

к

T где

(1)

Л = Л0а = Л0(/- PT)-1P0

(3)

Дисперсия времени пребывания заявки в открытой сети (дисперсия времени поиска абонента) для стационарного режима определяется как второй центральный момент интервала времени от момента входа заявки в сеть до момента выхода из сети и не зависит от номера заявки. Дисперсия а2д времени

пребывания заявки в открытой сети определяется по формуле [6]:

С = £ + £ 5]соу(У, у)тт, где (4)

1=1 1=1 у=1

с2ф - дисперсия времени пребывания заявки в г-й системе, Т - среднее время пребывания заявки в г-й системе, а1 - элемент вектора коэффициентов передач, определяемый по (2), соу(1 I) - ковариации.

Ковариации вычисляются по следующей формуле:

(. Л Г «1(2у11 + 1 ,1= I где (5)

еоу(и) = ^ . ., где (5)

[а у +ау - а а 1 ,1ф J,

у1 - элемент матрицы коэффициентов.

Матрица коэффициентов определяется по формуле [6]:

У=(у!) = (1- РТР. (6)

Таким образом, расчет дисперсии времени пребывания заявки в открытой сети сводится к вычислению среднего и дисперсии времени пребывания заявки в системах, связанных в открытую сеть и, в конечном счете, к нахождению двух моментов входящего в каждую систему потока и двух моментов потока обслуживания каждой системы, определение которых дано выше. Функциональная зависимость дисперсии времени пребывания заявки в системе от характеристик входящего потока и потока обслуживания будет рассмотрена ниже.

Максимальное время пребывания заявки в открытой сети (то есть максимальное время поиска подвижного абонента) определяется как такое время пребывания заявки в сети т, превышение которого допустимо лишь для заданной ограниченной части г от общего числа обслуженных заявок. Это определение формально записывается через интегральную функцию распределения вероятностей времени пребывания заявки в сети:

г= т} = 1 -Ftя(tm). (7)

Таким образом, максимальное время пребывания заявки в открытой сети tm будет являться решением уравнения:

1 - Г-Fq(tm)= 0. (8)

Однако, форма кривой распределения вероятности времени пребывания заявки с сети Ft (¿) нам не известна. Нам известны только среднее значение Т и

дисперсия о] времени пребывания заявки в сети.

В ряде работ [5, 6, 7, 8] показано, что существенное влияние на показатели производительности сети оказывают лишь первые два момента распределения (среднее и дисперсия), а моменты высших порядков, определяющие собственно форму кривой распределения, оказывают незначительное влияние. В этой связи неизвестная функция распределения вероятности времени пребывания заявки в открытой СеМО может быть аппроксимирована функцией из класса двухпараметрических распределений вероятности [6] по двум моментам -среднему и дисперсии времени поиска.

Проведенный в работах [6, 7] анализ аппроксимации функции распределения вероятности показывает, что для распределений с различными значениями квадрата коэффициента вариации времени обслуживания С] = о] / Т

необходимо применение различных типов аппроксимирующих функций. Так, для распределений с С < 1 при заданных среднем Т и квадрате коэффициента

вариации С2 времени обслуживания можно однозначно определить

двухпараметрическую функцию для аппроксимации распределения вероятности времени обслуживания эрланговского типа (являющуюся частным случаем распределения Кокса С2) с производящей функцией моментов следующего вида

[7]:

m •

qW Л1 + s

Л.

J-1

V Л 2 + sj

где

(9)

Л = 1

Л 2 = 1

TW

TW -

+ ic]1-1)(1- 1)J !)/(!-1)

1 =

УС

1С

+1 если l/ С? - нецелое,

если

1/С

целое.

Решая задачу обращения (9), получим выражение для функции распределения вероятностей в виде:

F (t) =1 -

Л

1-1

-Л ,t

Л

1-2

\Л2 -Л1,

Л

2 k=0

Л

1-1-k

Л 2 - Л 1-

Z

(л^У

j=0 j!

(10)

Если С2 ^ 1, то при заданных среднем Тч и квадрате коэффициента

вариации С2 для аппроксимации распределения вероятности времени поиска

можно применить двухпараметрическую функцию гиперэкспоненциального типа н2 с производящей функцией моментов следующего вида [8]:

T 2(1 -v)2Tq

M(s)=o T +q —vT+q-' где

q 2y T + s 2(1 -q)VT + s

(11)

<P = -

1 -С1/(С+1)

2

2

1

2

Решая задачу обращения (11), получим выражение для функции распределения вероятностей в виде:

^ ()) = 1 -р е(2<р1 т]) - (1 - ср)е(2( т]) . (12)

Объединяя результаты (10) и (12) с учетом (8) получим общий вид системы трансцендентных уравнений аппроксимирующих интегральную функцию распределения вероятностей времени обработки запроса на поиск подвижного абонента:

( з Л з I-2

X 2 k=0

X -X

y Л 2 л 1 у

/ \ 1-1-k , { X Л k

2

yX2-X1У

■у \/L 2 i ^ J

J=0 J!

-r=0, c < 1, (13)

р е( Р ^т +(1 - р)е[ ^р)/ Фт - г= 0, С > 1.

Коэффициенты Х1, Х2, 1, р определяются через среднее значение Т и квадрат коэффициента вариации С времени поиска из выражений (9) и (11), г

выражается в относительных единицах.

При анализе потока обслуживания элементов сети, моделирующей систему поиска подвижных абонентов при вызове, установлено: функция распределения вероятностей независимых интервалов обслуживания не является экспоненциальной. Поэтому применение простейших потоков как моделей в сетевых СМО с процессами, не являющимися пуассоновскими, приводит к возникновению значительных погрешностей при расчетах показателей производительности анализируемой сетевой системы [6]. Следовательно, анализ вероятностно-временных характеристик поиска подвижного абонента необходимо производить на базе более сложных моделей, например, моделей второго порядка [5, 7].

При анализе вероятностно-временных характеристик поиска подвижного абонента применены асимптотические диффузионные модели второго порядка [6]. Для расчета показателей производительности СМО с накопителем неограниченной емкости на основе диффузионной аппроксимации необходимо

знать среднее значение 1/1 и квадрат коэффициента вариации С интервалов времени между поступлением заявок, а также среднее значение 1/¡л и квадрат коэффициента вариации С длительности обслуживания заявки в системе.

Используем диффузионную аппроксимацию для расчета показателей производительности однопотоковой однолинейной СМО с накопителем неограниченной емкости и порядком обслуживания в порядке поступления заявок. Пусть ц{щ), ((щ) дискретные случайные процессы с непрерывным временем, определяющие, соответственно, число заявок щ, ожидающих в буферном накопителе, и находящихся в системе (с учетом обслуживаемой заявки) в произвольный момент времени ).

Процессы \\{щ,) и ((щ)) связаны между собой следующим соотношением:

и(щ)) = (щ))-, (14)

где иХ - единичная функция Хэвисайда:

Г0, Х< 0, « = {1; х> 0'

Далее, пусть А(щ,)), ((щ,)) дискретные случайные процессы с непрерывным временем, определяющие, соответственно, число заявок, поступивших в систему и покинувших систему за произвольный интервал времени (0,)). Нетрудно видеть, что (щ), Ащ)), ((щ)) связаны между собой следующим образом:

((щ))= Ащ))-((щ)). (15)

Примем в качестве модели потока входящих заявок и потока обслуженных заявок простой процесс восстановления. Тогда интервалы времени между поступлением заявок в буферный накопитель ) и интервалы времени между обслуженными заявками будут взаимно независимые, неотрицательные,

одинаково распределенные случайные величины, средние значения и квадраты коэффициентов вариации соответственно равны 1/X, C, Vu, C

Процесс AwW,t) связан с процессом восстановления таким образом, что для любых t и n справедливо равенство:

P{Aw,t)< n} = pTn(w)> t}, (16)

где тп - момент наступления n-й заявки равен сумме n интервалов времени между поступлениями заявок:

Tn = ¿4. (17)

k=1

Опираясь на равенство (17), в [6] получено стационарное распределение A™,*) - приближенно нормальное с математическим ожиданием Xt и дисперсией XÛJ. Этот же результат применим к процессу c{w,t), который при больший нагрузке и большом t является приближенно нормальным с математическим ожиданием jut и дисперсией juC%t. Таким образом, при значениях нагрузки,

близких к единице и большим t, распределение процесса çQw,t) будет приближенно нормальное со средним значением [x-j)t и дисперсией (XC + uC)t. Средняя скорость изменения длинны очереди [MiQ(w,t)]/At и средняя скорость отклонения от этой величины [DÀQ(wt)]/At соответственно будут равны (x-j) и (XCa + uC). Для процесса çQw,t) возьмем в качестве аппроксимирующего непрерывный марковский процесс диффузионного типа x(wt), определяемый коэффициентом сноса в = X - u, коэффициентом диффузии а2 = XCa + uC и подходящими граничными условиями.

Поскольку процесс çQw,t) не может принимать отрицательных значений, то для аппроксимирующего процесса x(w,t) необходимо задать граничное условие, удерживающее его траекторию на неотрицательной полуоси. Этому требованию удовлетворяют два типа граничных условий - отражение и

полупоглощение на границе допустимых значений. В первом случае предполагается отсутствие периодов пребывания на границе. Во втором случае предполагается существование случайного интервала времени нахождения (задержки) на границе. Отражение соответствует случаю СМО, в которой отсутствуют периоды простоя (на пример канал связи). Полупоглощение -случай СМО, в которых существуют периоды простоя (на пример процессор поиска записи в базе данных). Имеет место теорема сходимости [6], из которой следует, что стационарное распределение числа заявок в рассматриваемой СМО может быть приближенно аппроксимировано стационарным распределением построенного таким образом диффузионного процесса, одномерная плотность которого р(х) может быть найдена из прямого дифференциального уравнения Колмогорова параболического типа.

Рассмотрим дифференциальные уравнения Колмогорова параболического типа и их решения, соответствующие различным вариантам граничных условий.

Для модели с отражением в нуле стационарное значение плотности распределения числа заявок в системе р(х) является решением дифференциального уравнения:

с граничным условием:

Нт

х-^0

1 „ d

2а dx

2—AX-ß PxX)

=0. (19)

Вывод уравнения (18) приведен в работе [6]. Решая систему дифференциальных уравнений (18) и (19) находим плотность распределения числа заявок в системе:

' Г 2|в \х

А ) 2 ß I

pyx) = -^exp

а

а2

ß < 0, 0 < x< ^. (20)

Из модели с отражением можно получить решение для модели с полупоглощением не прямым методом составления и решения дифференциального уравнения Колмогорова, а модификацией решения (20). Для этого число заявок в системе в стационарном состоянии представим случайной величиной смешанного типа, плотность которой равна сумме двух слагаемых, первое из которых определяет вероятность отсутствия заявки в системе (наличие задержки на границе), второе - непрерывное распределение числа заявок в состоянии занятости:

pPx) = (1 -p)ö(x) +

р

2 ß

а

exp

2 ß x

а

, ß <0, 0< x< да, где

(21)

3(х) - £-функция Дирака.

2

2

Для модели с полупоглощением в нуле стационарное значение плотности распределения числа заявок в системе р(х) является решением дифференциального уравнения:

1 dd d

-а 2 ~ту p(x) - ß— pkx) = -A Po8 (x-1), 2 dx dx

(22)

с граничными условиями:

lim

x—0

2 a2ixdx-ß pyX)

= Apo, где

(23)

lim p{x) = 0,

x—0

p0 - вероятность нахождения процесса в нуле; 1/1 - среднее значение экспоненциальной случайной величины времени задержки на границе.

Решение системы уравнений (22) и (23), удовлетворяющее условию непрерывности при x= 1, имеет вид:

pPx) = (l-p)s{X + Pi(x),

(24)

Pi (x) =

P

P

exp-

1 - exp 2|ß '

f n\r> I > 2ß x

a

-1

a

exp

2 ß x

a

0 < x < 1, ß< 0,

1 < x<^, ß< 0,

р0 = р{ХИ = 0} = 1 -р.

Аппроксимацию дискретного процесса числа заявок в системе непрерывным процессом можно рассматривать как в смысле

распределений плотности вероятности, так и в смысле моментов. Для случая аппроксимации в смысле распределений в качестве стационарного распределения числа заявок в СМО берем величины вероятностей нахождения п заявок в системе рп, определяемые по формуле:

и

Pn = p{Q{W = n} = p{x{w) e[n- 1,n]} = JpPx)dx, n= 1,2,...

(25)

n—1

2

2

2

Для модели аппроксимирующего диффузионного процесса с отражением,

после подстановки значений коэффициентов сноса в и диффузии а в (20) и

интегрирования, получим распределение в виде ряда:

Г 0, п = 0,

р = 1(1 -р)р п-1, П= 1,2,... ., (26)

р = exp

1 -Р

- 2- н

С + с2р

По известному распределению (формула 26) для модели с отражением

найдем среднее время пребывания заявки в системе:

т'[' (1 _/5)]+^ (27)

Так как стационарная вероятность отсутствия заявки р0 в системе для случая с полупоглощением равна (1 - р ), то выражение (26) корректируется с

ад

учетом нормировки ^ рп = 1. В результате получаем:

п=0

р Г (1 -Р ), п=0,

рп =1р (1 - р)р п-1, п= 1,2,... . (28)

Стационарное распределение рп числа заявок в СМО для модели аппроксимирующего диффузионного процесса с полупоглощением и модифицированным решением (21) совпадает со скорректированным решением (28) для случая модели с отражением.

Решение для случая аппроксимации диффузионным процессом с полупоглощением получается путем подстановки плотности распределения (24) в формулу (25).

Ряд распределения имеет вид:

(1 - Р ), п = 0,

Pn =

Р i1 + üb - ÄJ, n= 1 (29)

р 11 -¡nr(l-p)2P "1, n=2Д

Значение среднего времени пребывания заявки в СМО для стационарного режима определяется из ряда распределения вероятностей по формуле Литтла:

т = (1 . (30)

Для скорректированного приближения (28) получим приближенное выражение для времени пребывания заявки в системе:

т=(й) р+1" . (31)

В случае процесса с полупоглощением (29) приближенное выражение для времени пребывания заявки в системе будет равно:

1/"

T = fP (0,5 C2 + 0,5 с2р)+1 ß . (32)

1 - р

Можно, оставаясь в рамках непрерывной диффузионной аппроксимации положить, что моменты непрерывного процесса Х.и) приближенно равны моментам дискретного процесса (Хщ). В частности:

т = (| рх)^!* . (33)

Для аппроксимации в смысле моментов и скорректированной плотности путем подстановки выражения (21) в (33) получим приближенное выражение для среднего времени пребывания заявки в СМО:

T = -(0,5C5 + 0,5C>-(1 -p)) + 1/Л . (34)

1 -p

В случае процесса с полупоглощением (24) приближенное выражение для среднего времени пребывания заявки в системе будет равно:

V _ р

T = 7^(0,5^ + 0,5C>-0,5(1 -р)) +1/л . (35)

1 -р

Объединяя полученные выше результаты при различных методах аппроксимации процесса о( и, числа заявок в СМО непрерывным марковским процессом Хи*) с различными граничными условиями получим общий вид формулы расчета среднего значения времени пребывания запроса на поиск подвижного абонента в одном их элементов СеМО, являющейся моделью системы поиска подвижных абонентов при вызове.

Для однолинейной системы с рекуррентным поступлением заявок с известными средним значением 1/1 и квадратом коэффициента вариации С интервалов между заявками, и длительностью обслуживания с известными средним значением 1/_ и квадратом коэффициента вариации С решение для среднего значения времени пребывания заявки в системе в общем виде определяется по следующей формуле:

' У_

T =

1 - рр+Vл;

у р \ , где (36)

1И (0,5C;S + 0,5 Cp) - q-Ц л\ +1/Л

V-р

р = 1 _ - коэффициент нагрузки;

р = ехр - 2 ^ р2 - удельный коэффициент нагрузки;

С +

# = 0;0,5;1;0,5С2 - параметр, определяемый типом диффузионной аппроксимации полупоглощение или отражение, непрерывное или дискретное.

Рассмотрим теперь формулы для расчета дисперсии времени пребывания заявки в СМО с неограниченным накопителем при различных моделях аппроксимации потоков. Время пребывания в системе )д равно сумме двух

случайных величин - времени ожидания в очереди начала обслуживания у и времени обслуживания ): ) = гу +). Учитывая независимость времени

ожидания и времени обслуживания можно записать выражение для математического ожидания и дисперсии времени пребывания заявки в системе:

Т = %] = Т, +1/", (37)

< = 4)д] = °У + С V"2. (38)

Согласно основному результату теории систем при большой загрузке р = *" плотность распределения вероятности времени ожидания приближенно описывается распределением экспоненциального типа [6]. Тогда для определения а2у будем искать плотность распределения вероятности времени ожидания обслуживания ру() в классе показательных функций, которые удовлетворяют условию:

ад

Ту = \ фу))л, где (39)

0

Ту - найдено ранее по (37) с учетом (36) исходя из диффузионной аппроксимации.

В случае модели с отражением и модифицированным решением (31) выражение для плотности распределения вероятности будет иметь вид [6]:

ру()) = (1 -р )8() + р"{\-р) ехр[-"(1 -р )*], )> 0. (40)

В этом случае выполняется условие (39) и дисперсия времени ожидания будет равна:

2 1/Л

=

(1 -р)2

(2 -р)р. (41)

В случае модели с полупоглощением (32) выражение для плотности распределения вероятности будет иметь вид [6]:

рМ = _ (1 - р) ехр[- _ (1 - р )г], 1> 0, где (42)

2(1 -р)

P = 1 -

C + C2p

Дисперсия времени ожидания выражается через плотность распределения вероятности и будет равна:

= (о,5С2 + 0,5С>)2. (43)

(1 -р)

При аппроксимации в смысле моментов для скорректированного решения (34) плотность распределения вероятности будет иметь вид [6]:

р„(*) = (1 -р)^) + р_(1 -р)ехр[-_(1 -рЦ, ^ 0, (44)

В этом случае дисперсия времени ожидания равна:

= (0,5С + 0,5С»2 -1/_2. (45)

(1 -р)

В случае аппроксимации в смысле моментов и прямого решения (35) плотность распределения вероятности будет иметь вид [6]:

Рш(^) = (1 -р)^) + р_(1 -р) ехр[- _ (1 -р)(\, (> 0, (46)

При этом дисперсия времени ожидания равна:

(0,5С; + 0,5 С;р)2 -1/ц\ (47)

а' = 1»

(1 -Р)2

Таким образом, для однолинейной системы с рекуррентным поступлением заявок с известными средним значением 1/Л и квадратом коэффициента С вариации интервалов между заявками, и длительностью обслуживания с известными средним значением 1/ц и квадратом коэффициента вариации С решение для дисперсии времени пребывания заявки в системе в общем виде определяется по следующей формуле:

1 ц -(1 - р)Р+ С1/ц2;

(1 -Р)2

Г w 2 Л , где (48)

1 р

(1 -р) 2

(o,5C + 0,5C2р)2 - ~2 • Vр2 + CMр

~ = 0;0,5;1 - параметр, определяемый типом диффузионной аппроксимации полупоглощение или отражение, непрерывное или дискретное.

Необходимо особо подчеркнуть, что важную роль в минимизации ошибок аппроксимации играет выбор правильных характеристик аппроксимирующего процесса, а именно, граничных условий. Процесс с отражением в нуле хорошо моделирует поведение СМО, в которой отсутствуют периоды простоя. В нашем случае такими системами являются каналы связи. Процесс с полупоглощением в нуле хорошо моделирует поведение СМО, в которой существуют периоды простоя. В нашем случае такими системами являются процессоры поиска записи в базе данных на каждом узле интеллектуальной сети.

С помощью формул (36) и (48) можно рассчитать временные характеристики обработки запросов (среднее значение и дисперсию времени пребывания) в каждой из СМО, образующих открытую СеМО. Далее с помощью формул (1) и (4) найти среднее значение и дисперсию времени пребывания

[email protected]

заявки СеМО (времени поиска подвижного абонента при вызове), а из системы уравнений (13) найти максимальное время поиска для заданного числа абонентов. Расчет характеристик потока обслуживания (интенсивность и квадрат коэффициента вариации) для системы S2 приведен в [9], а для систем 5; и 53 будет описан в дальнейшем.

1. 3GPP TS 23.003 «Numbering, addressing and identification (Release 14) (version 14.1.0)». Valbonne, 2016.

2. CCITT. (Blue Book) Recommendation Series Q.1000. «Mobile Subscriber Search Order». Geneva, 1988.

3. Бонч-Бруевич А.М., Козинец А.В Выбор метода организации базы данных о местоположении подвижных абонентов», Деп. науч. раб. в ЦНТИ "Информсвязь", 1998г.

4. Пикчур Б.Д. «Логическая структура баз данных интеллектуальной сети», доклад на научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава / М.: МТУСИ, 1997г.

5. Воронцов Ю.А. О влиянии формы распределения вероятностей на показатели производительности систем и сетей массового обслуживания. / Тезисы докладов XVII-й Международной школы-семинара по вычислительным сетям. - М.: ВИНИТИ, 1992. - с. 140-144.

6. Воронцов Ю.А. Исследование и разработка методов расчета и оптимизации показателей производительности узлов коммутации и сетей передачи дискретной информации на базе ассимптотичеких моделей второго порядка. / Диссертация на соискание ученной степени доктора технических наук. - М.: МТУСИ, 1995.

Литература.

[email protected]

7. Воронцов Ю.А. Диффузионная аппроксимация смешанных неоднородных сетей массового обслуживания. / Тезисы докладов XII-й всесоюзной школы-семинара по вычислительным сетям. Ч. 2. - М.: ВИНИТИ, 1987. - с. 281-287.

8. Будущее сети мобильной связи 5G // Век качества. 2015. №2. С. 22-25

9. Козинец А.В. Расчет времени поиска информации о местоположении подвижного абонента в базе данных // Век качества. 2015. №3. С. ...

The mobile subscriber search time determination by a call on the access network

with distributed control

Kozinets Arthur Valerievich

Head of laboratories of the Department of information systems Moscow Technical University of Communications and Informatics #32, Narodnogo Opolcheniya street, Moscow, 123993, Russain Federation

kozinets@mtuci2. ru

Abstract. The article presents the solution of the problem of determining the time of the search the location information of the movable subscriber. The formulas for calculating the average values of search time location information of the movable subscriber in the database and standard deviation of search time location information of the movable subscriber in the database. It is noted that the square of the coefficient of variation of the time search record in the database depends on the number of records in the database.

Key words: search of mobile subscribers; location database; quick search.

REFERENCES

1. 3GPP TS 23.003 «Numbering, addressing and identification (Release 14) (version 14.1.0)». Valbonne, 2016.

2. CCITT. (Blue Book) Recommendation Series Q.1000. «Mobile Subscriber Search Order». Geneva, 1988.

3. Bonch-Bruevich A.M., Kozinets A.V Vybor metoda organizatsii bazy dannykh o mestopolozhenii podvizhnykh abonentov», Dep. nauch. rab. v TsNTI "Informsvyaz'", 1998g.

4. Pikchur B.D. «Logicheskaya struktura baz dannykh intellektual'noy seti», doklad na nauchno-prakticheskoy konferentsii professorsko-prepodavatel'skogo sostava / M.: MTUSI, 1997g.

5. Vorontsov Yu.A. O vliyanii formy raspredeleniya veroyatnostey na pokazateli proizvoditel'nosti sistem i setey massovogo obsluzhivaniya. / Tezisy dokladov XVII-y Mezhdunarodnoy shkoly-seminara po vychislitel'nym setyam. - M.: VINITI, 1992. - s. 140-144.

6. Vorontsov Yu.A. Issledovanie i razrabotka metodov rascheta i optimizatsii pokazateley proizvoditel'nosti uzlov kommutatsii i setey peredachi diskretnoy informatsii na baze assimptotichekikh modeley vtorogo poryadka. / Dissertatsiya na soiskanie uchennoy stepeni doktora tekhnicheskikh nauk. -M.: MTUSI, 1995.

7. Vorontsov Yu.A. Diffuzionnaya approksimatsiya smeshannykh neodnorodnykh setey massovogo obsluzhivaniya. / Tezisy dokladov XII-y vsesoyuznoy shkoly-seminara po vychislitel'nym setyam. Ch. 2. - M.: VINITI, 1987. - s. 281-287.

8. Budushchee seti mobil'noy svyazi 5G // Vek kachestva. 2015. №2. S. 22-25

9. Kozinets A.V. Raschet vremeni poiska informatsii o mestopolozhenii podvizhnogo abonenta v baze dannykh // Vek kachestva. 2015. №3. S. ...