CC BY
5
Феофилов Сергей Владимирович, д-р техн. наук, профессор, svfeofilov@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
COMPERATIVE ANALYSIS OF NEURAL NETWORK EMULATORS FOR NONLINEAR DYNAMIC OBJECTS
N.A. Bezzubov, S. V. Feofilov
The article presents a comparative analysis of neuroemulators of dynamic objects. A simulation has been carried out showing the successful solution of the problem of emulation of a nonlinear object using neural networks of back propagation and networks of radial basis functions, due to their universal approximation properties. The advantage of radial-basis function networks over a multilayer perceptron in terms of emulation of nonlinear dynamic objects is shown.
Key words: neural network control, neuroemulator, radial basis function neural network, back-propagation neural network, nonlinear dynamic object.
Bezzubov Nikita Andreevich, postgraduate, nikobezzubov@gmail.com, Russia, Tula, Tula State University,
Feofilov Sergey Vladimirovich, doctor of technical sciences, professor, svfeofilov@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 681.5
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-1-79-84
МОДЕЛЬ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
С.В. Ромадов, А.В. Козырь
Рассмотрены вопросы построения математической модели динамики гибкого летательного аппарата на основе уравнения Эйлера-Бернулли. Проведено компьютерное моделирование. Сделаны выводы о влиянии экспериментальных параметров и критериях, которым должна соответствовать система управления.
Ключевые слова: упругие колебания, модель Эйлера-Бернулли, поперечный изгиб, динамика полёта.
Упругое поведение гибких звеньев приводит к нежелательным колебаниям конструкции [1], что затрудняет разработку системы управления для таких систем. При неучёте упругих колебаний автомат стабилизации ЛА будет некорректно интерпретировать отклонение угла тангажа, которое на самом деле включает угол между касательной к изогнутой оси его корпуса в месте установки измерительного прибора и осью корпуса как жёсткого тела. Это означает, что упругие колебания будут оказывать влияние как на траекторию, так и на устойчивость движения.
Задача о движении ЛА под действием внешних сил в общей постановке является достаточно сложной. Упругие колебания корпуса ЛА происходят действием распределённых сил инерции и аэродинамических сил. Влияние последних на полёт ЛА и, соответственно, аэроупругость в данной работе учитывать не будем. Использовать будем расчётную модель в виде неоднородного упругого стержня, которая, как правило, удовлетворительно описывает деформации корпуса в целом [6].
Описание расчётной схемы. Поперечные деформации упругого стержня описывает уравнение Эйлера-Бернулли [5, 6]:
+ то (x)(((x, t) + (x - Хс )0(t)) - F(t) = 0, (1)
1 / ô 1 & 1 + h-
dt )dx 2
, .d 2 f (x, t) EJZ ( x) J\"
V & )
где х - координата точки на продольной оси тела, м; Е12(х) - изгибная жёсткость, Нм2;^хЛ) - прогиб, м; h - коэффициент диссипации, определяемый экспериментально [1, 6], с; т0(х) - погонная масса, кг/м; 9(/)
- угол поворота относительно центра тяжести, рад; хс - координата центра тяжести, м; F(t) - сила рулей, Н.
Выражение для силы F(t) в случае применения аэродинамических рулей можно представить в следующем приближённом виде [6]:
F 0 ) = Ч(У р.Св. р. (§в. р. )§в. р. 0 ),
где q(V) - скоростной напор, зависящий от скорости ЛА V, кг м/с2; Sв.р. - характерная площадь руля; 5в.р.
- угол поворота рулей, рад; Сар.(5ар.) - коэффициент, учитывающий форму рулей и зависящий от угла поворота рулей. В данной работе зависимость F(t) от скорости не учитывается.
79
Целесообразно для упрощения разбить ЛА на к участков длиной и с постоянными в их пределах парам етрами и т0/ [6]. Рассмотрим теперь уравнение (1) для некоторого /-го участка. Применим метод разделения переменных, положив f (х, г) = ф() [1]. После преобразований получим:
) + Ью 2 д(г) + ю 2 Я(г) )= -9(г) | т0 (х)( х - хс )ф( х)<^х + ¥ (г )ф( х р);
0
ф1Г (х) + р4ф( х) = 0. Где ю - собственная частота колебаний, рад/с; хр - координата установки рулей, м; р4 =
(2)
рЛ<<
- по-
I
стоянный коэффициент, м-4; ц = | то( х)ф2( х)^х - обобщённая масса [1, 6], кгм2.
0
На основании уравнения (2) прогиб представим в виде ряда
да
f (х г) = Ефп (х)Чп (г),
п=1
где фп(х) - п-я главная форма колебаний, м; дп(г) - обобщённая координата деформации по п-й главной форме. Каждой главной форме фп(х) при этом соответствует своё значение собственной частоты колебаний юп; Ж-ую главную форму колебаний для /-го участка в общем виде в соответствии с (6) можно выразить через тригонометрические и параболические функции или через функции Крылова [1], чем воспользуемся:
фп,/ (х) = С1пЛ (Рп,/х) + С2пТ (Рп,/х) + С3пи (Рп,/х) + С4п^ (Рп,/х), (3)
где Сп - постоянные коэффициенты; S(Pn х) - функции Крылова:
Л (рх) = 0.5(сй(рх) + ^(рх)), V (рх) = (1 / р)Л '(рх), и (рх) = (1 / р) V '(рх), Т (рх) = (1 / р)и '(рх). Рассматривая какую-либо главную форму колебаний, составим вектор формы и(х) из величин прогиба, угла поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы на /-м участке, и матрицу перехода через /-й участок Л^х) [6]:
и/ (х) = ( (х) f ;(х) ш^цх) Ш^Цх)).
(
Л/ (х) =
л (р/х)
Т (р/х)/р/ Л (р/х)
р/^(р/х) EJzPi2U(Pix) EJzPiV(Pix) Ш2р{3Т(р{х) EJzPi2U(Pix)
и(р/x)/(EJzPi2) V(Pix)/(EJzPlЪ)Л
T(Pix)/(EJzPi) U(Pix)/(EJzPi2) Л(р/х) Т(р/х)/р/ ру (р/х) ад х) ,
Матрица составлена таким образом, что вектор формы в точке любого /-го участка можно определить через вектор формы на входе в 1-й участок:
(
и /(х) = Л/(х) Для конца тела можно записать
/-1
Л
П Л (¡п)
^ п=1
к
и1(0) = Р( х,/)и1(0)
и(1) = П Лп (¡п )и1(0) = Б^(0)
п=1 .
Коэффициенты в / и частоту колебаний находят из следующего уравнения, гарантирующего неравенство нулю всех постоянных коэффициентов в выражении (3) [6]:
Д31 В32
Б = 3,1 3,2 = 0 Б4,1 Б4,2
Выражение для /-главной формы колебаний п-го участка фу(х) после упрощений будет иметь
вид:
(
ф/, п(х) = ф/(0)
Б3 1
Р1,1( х, п)Р1,2( х, п)
Л
Б-
3,2
где фг(0) - произвольное начальное значение 1-й формы колебаний.
Изложенный алгоритм определения форм колебаний наиболее удобен для реализации на компьютере.
Вывод уравнений динамики. Уравнения динамики можно получить с помощью уравнений Лагранжа второго рода. Вектор обобщённых координат упругого тела при учёте первой главной формы колебаний представим в виде:
5(г) = ( (г) уос (г) 9(г) д(г))Т,
где х0с(г) и у0с(г) - перемещения тела вдоль неподвижных осей х0 и уо соответственно, м; 9(г) - угол поворота тела (траектории) в плоскости х0у, рад; д(г) - обобщённая координата деформации по первой главной форме.
Кинетическая энергия упругого тела определяется выражением [5] К =1 тхос 2 + — ту ос 2 + — {рА(р 2(х,г))йХ,
2
2
2;
где p(x,t) - линия движения произвольной точки центральной оси тела относительно центра тяжести: p(x, t) = ((x - xc ) cos 0( t) - f (x, t) sin 0(t))/xo + ((x - xc ) sin 0( t) + f (x, t) cos 0(t))iy0. Потенциальная энергия упругого тела определяется выражением [5]
1
l
U = - J EJZ 2 0
f 2 Л2 'д 2 f (x, t) А
dx
2
dz.
Вектор обобщённых сил, учитывающий изменение направления векторов сил Т и F(г) вследствие упругих колебаний (рис. 1):
f
Q(t) =
T cos(0(t) - f'(x, t) x,e ) + F(t) sin(0(t) + f'(x, t) T sin(0(t) - f'(x, t)| x,e ) + F(t) cos(0(t) + f'(x, t) F(t)(xр - xc )cos(f'(x,t) F(t)ф(xр )cos(f'(x,t)
Xр ))
Л
x р ) - mg
x )
Ар '
x )
Ар '
где f'( x, t) - угол поворота сечения,
- координата двигателя, м.
f'lxjllxp
Рис. 1. Направления векторов сил для упругого тела
Полученную после всех преобразований систему уравнений представим в нормальной форме Коши. Компоненты вектора состояния:
Х1 = х0с , х2 = УОс, х3 =0, х4 = 9, х5 = х0с, х6 = у0с, х7 = 9, х8 = д ■ Система уравнений в нормальной форме Коши:
х1 = х0с = х5; х2 = у0с = х6; х3 = 9 = х7; х4 = д = х8; х5 = х0с = ах0сс9 cos(x3 + аТдх4)+ ах^(г>Цх3 + ах0^дх4); х6 = у0с = ау0с8в sin(x3 + аТдх4)+ ау0с^(г) cos(x3 + аГдх4)" £; х7 = 9 = аё^(г)со^дх4)+ %дх8 + %дх4; х8 = д = aдFF(г)cos(aFgx4)+ аддх8 + аддх4 ■
81
Значения постоянных коэффициентов:
T 1 1 T , ,
> a xocs6 = m ' a = m ' ay0cs®= m ' aTq = -f '( xt ) xóe ' aFq =f '(xt )
°cc0 m "x0c-
aQF =
a0q =
mmm
l 2 l
(xp - xc )J m°(x)9 (x)dx -ф(xр )J m°(x)x9(x)dx ° °
2 l
/ a
зн
/ aзн ' a0q = a0q / h
aqF =
hra J m°(x)(x - xc )ф(x)dx °
l
ф(xр )JM -(xp - xc)Jm°(x)xф(x)dx
/a
зн
aqq
J т h®'
/ a зн > aqq aqq / h >
где
l 2 H ^
Jт J m°(x)ф (x)dx - J m°(x)xф(x)dx ° 1°
2
Приведём также модель динамики для жёсткой системы. Компоненты вектора состояния для жёсткого тела:
x1 = x0c ' x2 = y0c , x3 =0 ' x4 = x0c ' x5 = y0c ' x6 = e ' Система уравнений для жёсткого тела в нормальной форме Коши:
x1 = x0c = x5; x2 = y0c = x6; x3 = e = x7; x4 = x0c = aX0cce cos(x3 ) + ax0csQF(t)sin(x3 );
x5 = .У0c = ay0cse sin(x3 ) + ay0ccQF(t)cos(x3 )"£; x6 = e = aQFF(t). Значения постоянных коэффициентов:
= T = 1 = 1 = T = ,
ax0cce = m ' a*0cse = m ' ay0cce = m ' ay0cse = m ' aQF =(xp xc)' т.
Результаты численного моделирования. Примем к расчёту параметры: l = 1,5 м, хр = 1,5 м,
хдв = 0, T = 30 Н, h = 0,0001 с. Объект разобьём на 3 участка с параметрами:
1) h = 0,6 м, EJz1 = 100 Н-м2, шел = 1 кг/м;
2) I2 = 0,6 м, EJz2 = 50 №м2, m02 = 0,5 кг/м;
3) I3 = 0,3 м, EJz3 = 125 Н-м2, m03 = 0,75 кг/м.
l
Координата центра тяжести xc = — J m°( x) xdx = °,67
м.
m
°
Рассчитанная частота колебаний по первой форме ш^ = 89,4 рад/с. Первая главная форма колебаний показана на рис. 2.
Первая форма колебаний, м
- 1-2 -3
0 0 .1 0 .2 0 .3-D i .6 0 .7 0 .8 0 .9 Í 1 .2 1 .3 1 .4 1
—~
Рис. 2. Первая главная форма колебаний Произвольное управляющее воздействие показано на рис. 3.
Отклонения ЛА в вертикальном и горизонтальном перемещениях (высоте и дальности) и угле поворота относительно жёсткого ЛА показаны на рис. 4.
Отклонения крайней точки ЛА при разных И показаны на рис. 5.
82
x
a зн ~
50
Управляющее воздействие, H
■50
Time offset: 0
0 0.02 0.04 0.0Б 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.10 0.2 t, с
Рис. 3. Управляющее воздействие
Отклонение в вертикальном перемещении, м
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t, с
Time offset: О
Рис. 4. Отклонения траектории движения упругой модели
Отклонение крайней точки тела при разных коэффициента* h при h = 0.0001
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.3 1 t, с
Time offset: О
Рис. 5. Отклонение крайней точки ЛА при разных коэффициентах h
За 1 с отклонение в высоте полёта упругого ЛА составило 0,03 м, в дальности - 0,022 м. И форма, и величина колебаний в значительной степени зависят от коэффициента h.
Вывод. Рассмотренная модель показывает, что упругие колебания могут в значительной степени влиять на траекторию движения летательного аппарата, накапливая ошибку из-за изменения курса с течением времени. Кроме того, существует прямая пропорциональность прогиба fx, t) и изгибающего момента EJ z ( x) f " ( x, t ), то есть влияние изгибных колебаний на прочность также может быть велико.
Система управления ЛА должна минимизировать амплитудные значения колебаний и обеспечивать коррекцию траектории полёта.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования в рамках государственного задания по теме «Развитие теории прикладных интеллектуальных систем вооружения и военной техники (FWG-2022-0003)»
Список литературы
1. Хазанов Х.С. Механические колебания систем с распределёнными параметрами: учеб. пособие. Самара: Изд-во СГАУ, 2002. 80 с.
2. Dowell EH. A modern course in aeroelasticity. 5th revised and enlarged ed. Switzerland: Springer International Publishing, 2015.
3. Martins J., Zaharuddin M., Osman Tokhi M. Approaches for dynamic modelling of flexible manipulator systems // IEE Proceedings - Control Theory and Applications, 2003. № 4(150). P. 401-411.
4. Голубев Ю.Ф. Управляемое вращение упругого стержня на плоскости // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша, 1999. № 46. 25 с.
5. Zhiling T. Modeling and control of flexible link robots. Singapore. Singapore: Nat. Univ. of Singapore, 2004. 153 p.
6. Колесников К.С. Динамика ракет: учебник для вузов. М.: Машиностроение, 2003. 520 с.
Ромадов Сергей Владимирович, студент, romadovsersev5@smail.com, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Козырь Андрей Владимирович, ассистент, Kozvr_A_V@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
MODEL OF AIRCRAFT ELASTIC OSCILLATIONS S.V. Romadov, A.V. Kozyr
Constructions issues of flexible aircraft mathematical model based on Euler-Bernoulli equation are considered. A computer simulation has been done. Conclusions are drawn about the influence of experimental parameters and criteria which control system must meet.
Key words: elastic oscillations, Euler-Bernoulli model, transverse bend, flight dynamics.
Romadov Sergey Vladimirovich, student, romadovsergev5@gmail.com, Russia, Tula, Tula State University,
Kozyr Andrey Vladimirovich, assistant, Kozyr_A_V@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 531.58
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-1-84-88
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕЛЕТАЛЬНОГО ВЫСТРЕЛА ИЗ БОЕВОГО ОРУЖИЯ
Е.Н. Патрикова, Т.С. Патрикова
В работе представлена математическая модель нелетального выстрела из боевого оружия газоотводного типа, включающая совместное решение основной задачи внутренней баллистики в канале ствола оружия со специальным надульным устройством и задачи определения параметров движения пули, подаваемой за дульным срезом оружия и разгоняемой в надульном устройстве посредством силового воздействия порохового газа, поступающего из канала ствола оружия.
Ключевые слова: нелетальное действие, специальное надульное устройство, напряженно-деформированное состояние.
Необходимость разработки соответствующей математической модели возникла вследствие необходимости теоретического рассмотрения явлений, протекающих в специальных надульных устройствах [1], обеспечивающих возможность ведения стрельбы из боевого автоматического оружия в режиме нелетального действия.
Разработанные специальные надульные устройства [1] позволяют, в зависимости от ситуации, использовать оружие, находящееся на вооружении силовых структур в двух режимах: 1- боевого оружия; 2- специального оружия нелетального действия, стреляющего сферическими резиновыми пулями, обеспечивающими, с одной стороны, останавливающее действие на правонарушителей, а, с другой стороны, проведение учебно-тренировочных боев со стрельбой «на поражение».
На рис. 1 представлена расчетная схема специального надульного устройства.
Сложность математического описания процесса выстрела сферической резиновой пулей при использовании специального надульного устройства обусловлена совместным решением основной задачи внутренней баллистики в канале ствола оружия со специальным надульным устройством при выстреле холостым патроном и задачи определения параметров движения пули, подаваемой за дульным срезом оружия. Для решения первой задачи необходимо знать силу сопротивления движению пули по каналу дополнительного ствола и силу трения на участке контакта двух пуль в каморе надульного устройства, определяемых из решения второй задачи, а для решения второй задачи необходимо знать перемещение и скорость движения пули, которые являются результатом решения первой задачи.
