Колебания с проскальзыванием выпуклого тела, расположенного на поверхности цилиндрического желоба Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.38

КОЛЕБАНИЯ С ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЕМ ВЫПУКЛОГО ТЕЛА, РАСПОЛОЖЕННОГО НА ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ЖЕЛОБА

С.П. Корнеев

Рассматриваются колебания с проскальзыванием выпуклого тела, расположенного на внутренней поверхности цилиндрического желоба, ось которого наклонена к горизонту. Выпуклое тело контактирует с желобом опорной окружностью, которая определяется пересечением цилиндрической поверхности с плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра. Центр масс тела находится на заданной высоте относительно опорной окружности.

Ключевые слова: механика, колебания, негармонические колебания, нелинейные колебания.

Постановка задачи. На внутренней поверхности цилиндрического желоба радиуса R находится выпуклое тело, контактирующее с желобом опорной окружностью радиуса г (рис. 1). Тело совершает плоское движение параллельно координатной плоскости yOz, находясь под действием силы гравитации. Исследуются колебательные движения шайбы при различных условиях. Ось желоба может быть наклонена к горизонту под углом у.

Динамический анализ движения выпуклого тела. Рассмотрим колебания с проскальзыванием выпуклого тела с опорой на окружность, расположенного на поверхности цилиндрического желоба. Расчетные схемы приведены на рис. 1 и 2.

Координаты точек контакта [2]

Уk=Уо + ^о - R)tga - Я)2 / соБ2а + Г2 - Я2 (1)

zk=(Уk - Уо а + zо, (2)

ч >2 - (~-к - Я)2. (3)

Условие опирания тела на две точки [1]

п

а <--Аг^л

2 У

Я2

г2

1. (4)

Уравнения движения выпуклого тела по наклонному желобу с проскальзыванием (рис. 2) [1]

туС = тё^пУ - 2ск ) ,

тт, С = -mgcosу + 2N (1 - zk / Я), (5)

1Са = 2^ 1 - zk /Я)(Уk - У0 - ^бШа) - 2 fN(zk - zo + Ьсоба)sign(Vск ). Скорость скольжения

^к = уо +^ - zo)а. (6)

248

Рис.1. Расчетная схема

Рис. 2. Расчетная схема к выводу уравнений движения

С проскальзыванием механическая система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат целесообразно выбрать величины а и _у0. Подставив выражения для ускорений центра масс [2] и приведя уравнения системы к безразмерному виду, перепишем ее в виде

2

- аhcosа + у0 +Ы ■ 2 fsign(Vck) _ а hsinа + ^

g g mg g

а ■ Csinа . у0 _ ., 2к ч . .2 Ccosа

-+ 0 ^ - N ■ 2(1 —к)/mg_ -а2---, (7)

g g К g

* Р^Л У0

/ 2к

(1 -„)(Ук - У0 - hsinа) - )(2к - 20 + ^°8а)

К

а ■ + 0 ■ ^ - N ■ ---^ _ 0.

g g mg

Уравнения (7) представляют собой систему линейных уравнений относительно искомых величин а, >0 и N. Она сначала должна быть разрешена относительно искомых величин как алгебраическая система, а затем уже должно выполняться интегрирование. Аналитические выражения для величин а, >0 и N получаются весьма громоздкими, и ввиду этого решение системы выполняется методом исключения Гаусса на каждом шаге численного интегрирования.

Системы уравнений движения выпуклого тела со скольжением (3) и без такового [2] вместе с условием отсутствия проскальзывания и геометрическими соотношениями (1) - (4) составляют математическую модель движения выпуклого тела, опирающегося на неподвижный цилиндрический желоб с осью, наклоненной к горизонту. Анализ этой модели в случае проскальзывания вряд ли может быть аналитическим. При произвольно задаваемых начальных условиях тело может проскальзывать. В таком случае следует интегрировать систему уравнений движения тела без скольжения [2], пока не изменится знак скорости проскальзывания Vск . Если это произойдет, надо проверить силовое условие отсутствия проскальзывания:

— < f. Если данное условие не выполнится, то надо продолжить интегрирование системы уравнений движения без проскальзывания. Если же оно выполнится, то надо обнулить Vск и перейти к интегрированию системы (7), проверяя при этом условие отсутствия скольжения [2]. Если данное условие нарушится, то надо снова вернуться к системе уравнений движения без проскальзывания, и т.д. При этом на каждом шаге интегрирования проверяется условие двухточечного контакта (4). Если это условие не выполняется, программа останавливается.

Разработана программа, реализующая данный алгоритм. Исходными данными являются координата у0 и скорость у0н , радиус желоба К; радиус тела г; центральный радиус инерции тела р и высота центра масс к, угол наклона оси желоба к горизонту у; начальными условиями - начальный угол наклона тела ан и начальная угловая скорость ан . Исходные данные и начальные условия задаются такими, чтобы заведомо имело место опирание на две точки.

Приняты следующие исходные данные: К=2; г=1; h=0,1; р=0,5; у0_0; угол наклона желоба у=0,5; коэффициент трения ./=0,1. Начальные условия таковы: начальный угол наклона тела ан=0,5; начальная угловая скорость тела ан =0; начальная линейная скорость у0н =0,1. Результаты численного эксперимента представлены на рис. 3 - 6.

На рис. 7 представлены графики координат у'с и 2'с, а также траектории центра масс, приведенных к системе координат оУ'1', где координатная ось оТ горизонтальна. Систему координат оУЧ' и оси оУ' и о2' будем называть связанной с горизонтом.

250

Рис. 3. Графики угла поворота, угловой скорости и углового

ускорения тела

Рис. 4. Графики нормальной реакции N и силы трения ¥

Рис.5. Графики изменения координаты центра масс у с, скорости

и ускорения центра масс 251

2с(Ус)

■0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

Рис.6. Графическое изображение траектории центра масс

Рис. 7. График траектории центра масс в осях, связанных с горизонтом

Хорошо видно, что тело, соскальзывающее по цилиндрическому желобу, совершает движение, представляющее собой сочетание поступательного движения вдоль оси желоба и колебаний тела вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной оси желоба. По сравнению с поступательным скольжением бруска по наклонной плоскости, средняя скорость движения оказывается ниже. В результате проведенных численных экспериментов было установлено, что скорость соскальзывания тела увеличивается при уменьшении начального угла наклона тела ан, при увеличении отношения радиуса желоба к радиусу опорной окружности R/r (при «разворачивании» желоба в плоскость).

Список литературы

1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Теоретическая механика. М.: Науч-гиз, 1955.

2. Корнеев С.П., Смирнов Ю.П. Колебания без проскальзывания выпуклого тела, расположенного на поверхности цилиндрического желоба // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 12. Ч. 2. 2014. С. 17 - 24.

Корнеев Сергей Павлович, канд. техн. наук, ассист., korneev8 7@,mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

SLIDING OSCILLATIONS OF CONVEX BODY PLACED AT CYLINDRICAL GROOVE

S.P. Korneyev 252

The sliding oscillations of convex body placed at cylindrical groove are investigated. The axis of groove is inclined to horizon. The convex body contacts with groove by supporting circle which is defined as an intersection of a cylinder and a plane normal to axis of cylinder. The height of mass center is known.

Key words: mechanics, oscillations, non-harmonic oscillations, non-linear oscillations.

Korneyev Sergei Pavlovich, assistant, korneev8 7@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 531.58

СПЕЦИАЛЬНЫЕ БОЕПРИПАСЫ И НАДУЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ НЕЛЕТАЛЬНЫЙ ВЫСТРЕЛ

Е.Н. Патрикова, А.А. Прохоров, А.А. Уваров

Представлены специальные боеприпасы и надульные устройства, позволяющие использовать боевое оружие в дополнительном режиме оружия нелетального действия, обеспечивающие надежность работы автоматики оружия и выполнение требований по травмобезопасности.

Ключевые слова: штатное оружие, нелетальное действие, травмобезопас-ность, специальные надульные устройства и боеприпасы.

В последние годы с увеличением числа социально-экономических, военных и других конфликтов значительно возросла потребность в специальном оружии, способном обезвредить агрессивно настроенные группы (массы) людей или их отдельных членов без нанесения им смертельных ран при проведении правоохранительных операций. Вследствие этого все большее число правоохранительных организаций, стали обращаться к новому, но быстро растущему рынку специального, травматического оружия, которое является при этом альтернативным средством и в случае проведения наступательных или оборонительных операций дополняет, а не заменяет обычно боевое огнестрельное оружие.

Современная концепция применения огнестрельного оружия сотрудниками силовых структур состоит в нейтрализации (избегая термина уничтожение) атакующего или группы атакующих, в соответствии с текущим законодательством. Закон предусматривает нанесение наименьшего вреда, но никак не смерти нападающего. Данные положения требуют достаточно высокого уровня психологической подготовки и владения навыками производства выстрела.

В настоящее время основной тенденцией в организации стрелковой подготовки личного состава правоохранительных органов является стремление максимально приблизить условия проведения учебно-трениро-

253