CC BY
44
УДК 62-237
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В КАЧАЮЩИХСЯ КОНВЕЙЕРАХ
О.О. Барышникова, З.М. Борискина, А.А. Шубин
Рассмотрены режимы движения материальной точки по вибрирующей наклонной поверхности, характерные для качающихся вибрационных и инерционных конвейеров. Разработана математическая модель движения, учитывающая как воздействие инерционных сил и сил тяжести, так и аэродинамических сил. Изложенный алгоритм определения параметров движения материальной точки позволяет анализировать его особенности, выявлять оптимальные параметры движения.
Ключевые слова: качающиеся инерционные конвейеры, качающиеся вибрационные конвейеры, безотрывное движение точки, виброперемещение, гармонические колебания, сила трения.
В промышленности широкое применение находят машины и аппараты с вибрирующими рабочими поверхностями [1, 6]. Это вибротранспортеры, качающиеся инерционные и вибрационные конвейеры, концентрационные столы, отсадочные машины с подвижным решетом, виброгрохоты. В связи с широким использованием вибрирующих машин весьма актуальной является задача исследования движения материальной точки по вибрирующей наклонной плоскости при действии дополнительного силового поля, нахождения оптимальных параметров колебательного процесса.
Принцип действия вибрационных машин основан на вибрационном перемещении. Вибрационное перемещение состоит в направленном движении частиц материала под воздействием инерционных сил, сил тяжести, трения [2, 4, 5]. В данной работе рассматривается воздействие аэродинамических сил движущегося воздушного потока. Что качественно отличает предложенную в статье математическую модель от описываемых ранее [7].
В данной работе дифференциальные уравнения вибротранспортирования частицы по желобу записываем и анализируем как в неподвижной системе, так и в подвижной системах координат с учетом аэродинамического воздействия.
Рассмотрим плоскость, наклоненную к горизонту под углом a, совершающую прямолинейные гармонические колебания, в направлении, образующем угол ß с плоскостью. Примем подвижную систему координат хОу, жестко связанную с колеблющейся плоскостью, и неподвижную систему координат О (рисунок). На указанную частицу действуют сила тяжести mg, сила сухого трения F, нормальная реакция N, Fx и Fy , силы
сопротивления, вызванные действием вертикального и горизонтального Vx ,Vy воздушных потоков.
(1)
Схема движения материальной частицы по вибрирующей поверхности
Уравнения движения частицы в проекциях на подвижные оси имеют следующий вид:
m(x + с,) = -mg sin a - Fx - F, m(y + &&) = -mg cos a - Fy + N
где С и ц - проекции перемещения плоскости на оси неподвижной системы СОц координат будут
С = A cos b sin wt, ц = A sin b sin wt,
где A - амплитуда; w - частота колебания плоскости, углы a и b лежат в
пределах -— < a < —, 0<р< —.
Вычислив проекции силы инерции mC& и mi] в относительном движении с помощью (2) уравнения (1) примут следующий вид:
2
mix, = mAw cos b sin wt - mg sin a + F - Fx, 2
my = mAw sin b sin wt - mg cos a + N - Fy
(3)
У
При безотрывном движении частицы по вибрирующей плоскости в качающемся конвейере координата у равна 0, а сила трения ^ определяется соотношением
Р = -/Ы при х > 0,
^ = N при х < 0, (4)
Р = ъ^хЗЫ. 129
Из системы уравнений (3) найдем нормальную реакцию
—
N = N(t) = mgcosa - mAw sinpsin wt - Fy. (5)
Вибрационный качающийся конвейер характерен тем, что движение частиц происходит без отрыва от вибрирующего желоба, т.е. при условии положительности реакции N (t) > 0. В таком случае из (5) можно определить фазовый угол, при котором частица будет скользить по вибрирующей поверхности без отрыва:
g cos a-Ky
sin wt <---— = zo, (6)
Aw sin p
K = CV- K = 3CXV-
Ky =-, Kx =-,
7 4prd 4prd
где Cx и Cy - коэффициенты аэродинамического сопротивления pr -
плотность частицы.
Из выражений (5) и (6) следует, что при выполнении условия
g cos a- K
zo -У > 1 (7)
Aw sin p
нормальная реакция N (t) в любой момент времени положительна и частица, попавшая на вибрирующую плоскость, остаются на плоскости. В интервале фазовых углов
wto <wt <p- wto, (8)
где wto = arcsinzo, частица ранее находившаяся на вибрирующем желобе, отрывается от него и движется самостоятельно. Условия отрыва имеют следующий вид:
g cos a-Ky
sin wto =---= zo, (9)
Aw sin p
т.е.
3CypVy2
g cos a-
--0 =-2 Apf" £ 1. (10)
Aw sin p
Для качающегося конвейера для вычисления ряда практически важных параметров необходимо выяснить характер режима движения частиц при заданных значениях основных параметров. Установившийся ре-
жим характеризуется периодически повторяющимися моментами перехода от одного этапа движения к другому - от скольжения вперед к полету и от полета к скольжению назад и т. д.
Некоторое качественное представление о характере возможных установившихся движений частицы можно получить, разбив всю ось времени на 2 рода интервалов.
Интервал I характеризуется тем, что частица движется без отрыва от вибрирующей плоскости. При этом величина нормальной реакции N (t), определяемая отношением (5), положительна, то есть выполняется неравенство (6) безотрывного движения. Такой режим характерен для вибрационных качающихся конвейеров.
Интервал II рода характеризуется отрывом частицы от вибрирующей плоскости. Внутри этого интервала выполняется неравенство (10). Наличие интервала II рода в движении необходимо для инерционных качающихся конвейеров.
Временные границы t = t^c\k = 0,1,2...) первых и вторых интервалов находятся из уравнения
sin wt0k) = z0, (11)
полученного из уравнения (9) для определения моментов отрыва частицы от желоба.
Разбиение на интервалы заключается в следующем.
Если частица, имеющая нулевую поперечную скорость y, находится на вибрирующей плоскости в момент времени t, принадлежащий интервалу I, то эта частица остается на вибрирующей плоскости некоторый конечный промежуток времени до наступления момента отрыва to, определяемого из уравнения (9).
Если же частица с нулевой скоростью y попадет на вибрирующую плоскость в момент времени, принадлежащей интервалу II, то частица мгновенно отрывается от вибрирующей плоскости. Интервалы I существуют при всех возможных значениях параметров системы, что же касается интервалов II рода, то они имеют место при выполнении неравенства (10).
Если zo > 1, то неравенство (7) не будет выполняться ни при каких значениях t, интервал II отсутствует, т.е. частица движется без отрыва, постоянно оставаясь на вибрирующей плоскости.
Однако и в этих случаях возможны установившиеся режимы с подбрасыванием при упругом ударе частицы о вибрирующую поверхность. Увеличение вертикальной составляющей скорости Vy или коэффициента
Ky в уравнении (10) уменьшает zo, что приводит к расширению интерва-
ла II. Учитывая, что в полете нормальная реакция и сила трения скольжения равна 0, дифференциальные уравнения для интервала II имеют следующий вид:
2
х = шЛю собЬБтШ-gБта-К
У-.
2
у = шЛю БтЬБтюг - g соба + КУ
(12)
Для определения начальных скоростей отрыва необходимо рассмотреть характер соударения частицы с вибрирующим желобом.
Часто считают, что соударения происходят практически мгновенно. Предполагают, что в процессе удара изменения претерпевают составляющие скорости частиц, а влиянием удара на движение плоскости пренебрегают.
Для сохранения общности результатов принимаем удар как абсолютно неупругий. С этой целью вводим коэффициент восстановления
Я = — = 0, где уп и у0 - проекции скорости частицы на ось у после и до
у0
удара соответственно.
Относительно закона изменения продольной составляющей г в результате удара существует различное предположение. Наиболее часто характер изменения оценивается коэффициентом мгновенного трения 1:
1 -1 = Хп, хп
где хп и хп - скорость частицы после и до удара, 0 < 1 < 1. В дальнейшем будем считать 1 = 1 [3].
Значительное изменение коэффициента мгновенного трения связано с тем, что действительные закономерности, определяющие поведение реальных тел при ударе, весьма сложны и разнообразны и практически не поддаются описанию в математической форме.
Поместим начало координат в точку отрыва частицы и проинтегрируем уравнение (10) при начальных условиях
г-г* = ° ¿(г*) = 0; х(?*) = х0; у(7*) = у(г*) = ^
где г* - время начала полета; ¿0 и у* - проекции скорости частицы в момент отрыва г = г*.
Найдем проекции скорости. Следует отметить, что момент начала полета г0 не совпадает с границей интервалов г0 , так как отрыв частицы от плоскости может произойти сразу за ее падением на плоскость, такое имеет место при упругом ударе. Для нашего случая при абсолютно неупругом ударе момент падения частицы гп - может принадлежать как интервалу I, так и интервалу II. Поэтому моменты времени ^ и могут оказаться раз-
132
личными. При определении проекций скорости частицы в полете исполь-
*
зуются начальные условия, т.е. в момент отрыва íq скорости равны xо и y*:
x^-^wcosb^swt-cosw^s^í-C), (13)
y = - Awsin b(cos wt - cos wt**) + Уо _ (g sin a-Ky )(t - t0).
Интегрируя уравнения (13), найдем траекторию движения частицы при полете в подвижной системе координат с учетом начальных условий,
т. е. в момент времени t* проекции перемещений x(t°)и y(t°)частицы равны нулю. Уравнения траектории движения частицы принимают следующий вид:
* 2
о * о „ , (t-Íq)
x = Awcosb(t-1 )coswt -Acosb(sinrnt-sinrnt°)-(gsina+Ky)-——+x°(t-t°),
2 (14)
*2
** * (t — Íq)**
y = Awsinb(t -1 )coswí - Asinb(sinwí - sinwto) - (g cosa-Ky )-——+yo(t - íq).
2
В уравнения движения (14) входят скорости движения потока воздуха Ух и Уу. Следовательно, характер движения частицы будет зависеть
как от величины, так и от направления связанных с ними аэродинамических сил.
При достаточно больших вертикальных скоростях частица может отрываться от вибрирующей плоскости и уноситься воздушным потоком, а горизонтальная составляющая уносит частицу влево, что особенно характерно для легких частиц.
Для анализа движения частицы в качающемся конвейере при действии дополнительных сил ¥х и ¥у, а также для определения средней скорости виброперемещения необходимо определить фазовый угол падения wt п .
Уравнение (14) определяет движение лишь до тех пор, пока частица
не упадет на плоскость. Момент падения t п находится как наиболее близ-
^ *
кий к t0 корень уравнения
* 2
^ П —о)2 2
* \ t ТТ — 1(Л ) * *
y (t п ) = Awsin b(tn - íq )cos wíq - 11 ^ q (g cos a - Ky) + yo(tn - íq) -
r> *
- A sin p(sin wtn - sin wíq ) = 0.
Обозначим соответственно = б0; шtП = фП; Ъ*П = —Уо—, тогда последнее уравнение принимает вид
(sin фП - sin50) - (cos50 - b*)(jn - 50) + z0 (фп2 §о) = 0.
Примем, что в результате удара поперечная составляющая скорости y обращается в ноль. Можно предположить, что при движении мелких
частиц в воздушной среде возникает состояние, которое делает удар абсолютно неупругим с коэффициентом восстановления R = 0.
При отсутствии проскальзывания в момент удара примем измене-
i
ние продольной составляющей скорости x = 1; xn = 0. С учетом характера удара частицы о вибрирующей желоб скорость частицы в момент отрыва будет равна скорости движения вибрирующего желоба, а относительные скорости в подвижной системе xOy равны нулю. В этом случае уравнение примет вид
5*
(sin фП - sin 50) - cos 50 (фП - 50) + zo (фп ~ о) = 0. (15)
Особенность полученного уравнения заключается в том, что здесь необходимо учесть силы сопротивления, входящие в выражение Z0.
Исходя из вышесказанного, для вычисления перемещения частицы Sп за время полета согласно (14), (15) получим формулу
g sin a + Kx * 2 / * \ * / * \
Sn = ---x(фn -50) - A cosb(sin фп - sin 50 I + A cosbcos 50 фп -5^+
2w
+
x* (фП -50
w
Это выражение можно упростить, принимая, что удар абсолютно неупругий Я=0 и проскальзывания в момент удара нет X =1. Учитывая, что фазовые углы начала и конца полета связаны уравнением (15), получим
SП = 1
2w2
g cos(a + b) - K - ^
* 2
(фП -50) •
sin a ígb
Сформированная математическая модель движения материальной точки по вибрирующей наклонной поверхности под действием инерционных сил, сил тяжести, а также аэродинамических сил позволяет исследовать характер режима движения, перехода от одного этапа движения к другому с учётом действия дополнительного силового поля. Полученные исследования показали, что перемещение частиц в качающемся конвейере зависит как от сил сопротивления Fx и Fy, так и от частоты колебаний
плоскости, угла наклона плоскости и угла вибрации. В зависимости от вида качающегося конвейера (вибрационный или инерционный) описанный алгоритм моделирования движения позволяет определять оптимальные параметры системы.
Список литературы
1. Анцев В.Ю., Иноземцев А.Н., Пасько Н.И. Вероятностно-статистический анализ процесса испытания автоматических технологических машин // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2012. Вып. 2. С. 247 - 254.
2. Бауков И.А., Борискина З.М Анализ режимов движения качающихся вибрационных конвейеров // Материалы всероссийской научно-технической конференции «Наукоемкие технологии в приборостроении и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе». М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. Т. 3. С.34 - 38.
3. Бачкала Т. А., Борискина З.М. Моделирование и оптимизация рабочих параметров в качающихся конвейерах // XVI Московская межвузовская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Подъемно-транспортные, строительные, дорожные, путевые машины и робототехнические комплексы». М.: МИИТ, 2012. С.44 - 48.
4. Блехман И.И., Джанелидзе Г.Ю. Вибрационное перемещение. М.: Изд-во Наука, 1964. 412 с.
5. Борискина З.М., Плахова Е.А. Перемещение частиц в качающихся вибрационных конвейерах с учетом дополнительного силового поля // XVIII Московская международная межвузовская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Подъемно-транспортные, строительные, дорожные, путевые машины и робототехнические комплексы». М.: МАДИ, 2014. С. 91 - 93.
6. Прогрессивные машиностроительные технологии: монография / Афонин А.Н. [и др.]; под ред. А.В. Киричека. Сер. Машиностроение: технологии, оборудование, кадры. Т. 1. Новые технологии высокоточной механической обработки деталей сложной формы на станках с параллельной кинематикой. М., 2012. 334 с.
7. Шубин А. А., Борискина З.М., Барышникова О.О. Вибрационное перемещение в качающихся инерционных конвейерах // Труды МГТУ им. Баумана № 603. Математическое моделирование сложных технических систем. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. С. 77 - 79.
Барышникова Ольга Олеговна, канд. техн. наук, доц., Россия, Москва, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,
Борискина Зягря Михайловна, канд. техн. наук, доц., Россия, Калуга, Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана,
Шубин Александр Анатольевич, канд. техн. наук, доц., Россия, Калуга, Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана
MATHEMATICAL MODELING OF SWINGING MOVEMENT OF THE VIBRATION
AND INERTIAL CONVEYORS
O.O. Baryshnikova, Z.M. Boriskina, A.A. Shubin
The modes of motion of a material point on a vibrating inclined surface characteristic of the oscillating vibrating and oscillating conveyors is considered. The mathematical model of motion, taking into account the who-the action of inertial forces and the gravity forces and aerodynamic forces. Outlined an algorithm for determining motion parameters of a material point allows analysed on its its characteristics, to identify the optimal motion parameters.
Key words; swinging inertial conveyors, oscillating vibratory conveyors-WIDE, un-separated motion of a point, vibro, co-harmonic oscillations, the force offriction.
Baryshnikova Olga Olegovna, candidate of technical sciences, docent, Russia, Moscow, Moscow Bauman State Technical University,
Boriskina Zjagrja Mihajlovna, candidate of technical sciences, docent, Russia, Kaluga, Kaluga branch of Moscow Bauman State Technical University,
Shubin Aleksandr Anatolevich, candidate of technical sciences, docent, Russia, Kaluga, Kaluga branch of Moscow Bauman State Technical University
УДК 622
ПРОЦЕСС УПЛОТНЕНИЯ ГРУНТА ПРИ ПРОКОЛЕ КАК ТЕЧЕНИЕ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ
А.Б. Жабин, И.М. Лавит, А.С. Рыбаков, А.В. Поляков
Описывается подход к математическому моделированию поведения грунта при процессе прокола как течение жесткопластической среды. Приводятся и обосновываются основные допущения. В итоге аналитически выводятся все зависимости, характеризующие жесткопластическое течение - поля скоростей, скоростей деформаций и напряжений.
Ключевые слова: прокол, жесткопластическая среда, жесткопластическое течение, соотношение Леви - Мизеса.
Будем считать грунт, в который внедряется рабочий инструмент проходческого става, жесткопластической средой. Движение среды будем рассматривать в эйлеровых координатах. Рабочий инструмент смоделируем абсолютно твердым конусом.
Пусть далее ук - векторное поле скоростей, ект - тензорное поле скоростей деформаций, окт - тензорное поле напряжений, ект и окт - симметричные тензоры второго ранга.
