Движение с проскальзыванием цилиндрического тела, расположенного на поверхности уголкового желоба Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.38

ДВИЖЕНИЕ С ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЕМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА, РАСПОЛОЖЕННОГО НА ПОВЕРХНОСТИ УГОЛКОВОГО

ЖЕЛОБА

С.П. Корнеев

Рассматриваются колебания без проскальзывания цилиндрического тела, расположенного на поверхности уголкового желоба, ось которого наклонена к горизонту. Тело контактирует с желобом опорной окружностью, которая определяется пересечением цилиндрической поверхности с плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра. Центр масс тела находится на заданной высоте относительно опорной окружности.

Ключевые слова: механика, колебания, негармонические колебания, нелинейные колебания.

Постановка задачи. На внутренней поверхности симметричного уголкового желоба, состоящего из двух пересекающихся плоскостей, тангенс угла наклона которых равен к, находится цилиндрическое тело, контактирующее с желобом опорной окружностью радиуса г (рис. 1), ось тела отклонена от вертикали на угол а. Тело совершает плоское движение параллельно координатной плоскости уОг, находясь под действием силы гравитации. Ось желоба может быть наклонена к горизонту под углом у.

Рис. 1. Расчетная схема

Геометрический и кинематический анализ взаимодействия тел рассматриваемой системы [1]. Вследствие вогнутости поверхности же-

11

лоба соприкосновение торцевой окружности с уголковым желобом будет осуществляться в двух точках.

Уголковый желоб получен пересечением двух симметрично наклоненных плоскостей, уравнения которых есть

z = kx и z = -kx, (1)

где k - тангенс угла наклона плоскостей.

Положение тела определяется углом наклона оси цилиндра а и координатами центра уо, z„ опорной торцевой окружности тела. Уравнение цилиндрической поверхности с наклонной осью

x2 + ((y- yo )cosa + (z- zq )sina)2 = r2 . (2)

Уравнение торцевой плоскости цилиндра

z - z0 = (y - У0 )tga . (3)

В уравнениях (1) - (3) r - радиус опорной окружности. Совместное решение уравнений (1) - (3) определяет координаты точек пересечения или соприкосновения трех названных поверхностей. Исключив из уравнений (1) - (3) координаты x и z, получим квадратное уравнение относительно координаты y, решение которого имеет вид:

kzo ± sinaJ (k 2sin2 a)r2 - z^

x =-~2-■ (4)

k + sin a

Здесь величины а, y0, zo могут рассматриваться как обобщенные координаты, задание которых определяет положение точек пересечения или соприкосновения, принадлежащих всем трем поверхностям одновременно.

Пересечение возможно в четырех точках, если торцевая окружность «протыкает» стенки желоба. Нас же интересует касание, и тогда две точки пересечения на каждой стенке сливаются в одну. Это имеет место, если равно нулю выражение, стоящее под знаком радикала в (4).

Из этого условия следует зависимость для координаты z„ центра опорной торцевой окружности цилиндра от угла а

zo = njk2 + sin2a . (5)

С учетом этого запишем выражения для координат точек контакта

xk, yk, z¿

kr rsinacosa k2 r

xk =± I 2 ■ 2 ; yk =y0 - I 2 . 2 ; zk = I 2 . 2 . (6) Vk + sin a Vk + sin a V k + sin a

В формулах (6) величины а и уо являются обобщенными координатами.

Динамический анализ движения цилиндрического тела. Для динамического анализа потребуются координаты, скорости и ускорения цен-

тра масс тела [1,3]. Пусть центр масс находится на высоте h над центром опорной окружности. Тогда (рис. 1):

Ус = У0 +hsina; yc = yo + h&cosa; yc = yo + h(aacosa - a sina);

zc=zq +hcosa; zc=zq - hXsina; zc = Zq - h(aasina - a cosa). Производную Zq получим, дифференцируя по времени формулу

(5):

zo=r

а

sinacosa 4k2 + sin2a

.2 k2cos2a - sin4a (k2 + sin2a)3/2

4

+ (X

Уравнения движения с проскальзыванием цилиндрического тела по уголковому желобу, наклоненному к горизонту под углом у [1,3]:

тУс = у - 2 fNsign(VсK ),

mzc = -mgcosy + 2N/лА +k2 , Ic XX = 2N (уо - yk + hsina) /Vi +k2 - 2 fN(zk - zo - hcosa)sign(VCK ),

(7)

где т - масса тела; f - коэффициент трения; N - нормальная реакция; 1с -центральный момент инерции тела; Ь - высота центра масс. Скорость скольжения

^к = Уа+(г - га)(& . (8)

С проскальзыванием механическая система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат целесообразно выбрать величины а и у0. Разрешающее дифференциальное уравнение относительно а получим, исключив реакцию Nиз второго и третьего уравнений системы (7). Приведя разрешающее уравнение к безразмерному виду, имеем

Р

+

х

h

r

cosa

cosa

4k2 + sin2( /

Vk 2 + sin2 a J

h

r

sin2 a

t4

\ Л ((

sinasgn Vck r &&

J J g VV

1 +k

h

r

2

sin2 a

Vk2 + sin2 a r

h

+—cosa

х

cosa

[72 • 2

Л/k + sin a

sina +

+ /V1 +k

2

sin2 a

лJk 2 + sin2 a r

h

+ — cosa

Л/ ., 2 ( /, 2

sgn Vck

ra

V g V

(k2cos2a - sin4a) h (k2 + sin2 a)3/2 r

cosa +cosy

где р - центральный радиус инерции тела; г - радиус тела; Ь - высота центра масс тела относительно опорной окружности; а - угол наклона оси те-

2

2

ла к вертикали; к - тангенс угла наклона плоскостей, составляющих желоб; f - коэффициент трения; Уск - скорость скольжения.

Нормальная реакция в безразмерном виде определится соотношением

га

■ со^у+

с \

сова Ь

т^^Ц+к2 ё и к2 + вт2а г) ё V (к2 + вт2а//2 г

• 2

га

Бта +

\

к 2сов2а - вт4а Ь ~2--—---сова

)

Второе разрешающее дифференциальное уравнение относительно у0 получим в безразмерном виде из первого уравнения системы, предварительно вычислив а и N и приведем к безразмерному виду:

/0 Ь — = Б1пу--

ё г

' ■■ -2 ^

га га — сова--Бта

V ё ё )

2 Жл/1 +к2 тё

з^ёФск).

Система уравнений движения с проскальзыванием (8) совместно с системой уравнений движения без проскальзывания [2] и соотношениями связи составляют математическую модель движения цилиндрического тела, опирающегося на неподвижный симметричный желоб, ось которого наклонена к горизонту. Анализ этой модели в случае проскальзывания вряд ли может быть аналитическим. При произвольно задаваемых начальных условиях пластинка может проскальзывать. В таком случае следует интегрировать систему уравнений (8), пока не изменится знак скорости проскальзывания УсК. Если это произойдет, надо проверить силовое условие отсутствия проскальзывания: £ f. Если данное условие не выполнится, то надо продолжить интегрирование системы (8). Если же оно выполнится, то надо обнулить Уск и перейти к интегрированию системы уравнений движения без проскальзывания, проверяя при этом условие отсутствия проскальзывания. Если условие отсутствия проскальзывания нарушится, то надо снова вернуться к системе (8), и т.д. Для проверки корректности математической модели и программы, на каждом шаге интегрирования проверяется величина полной энергии, которая должна сохраняться при движении без проскальзывания и убывать при движении с проскальзыванием. Составлена программа, реализующая данный алгоритм.

Численные эксперименты. На рис. 2, 3 и 4 приводятся результаты одного из численных экспериментов, описывающих колебания без проскальзывания выпуклого тела при двухточечном опирании. Исходные данные таковы: Ь=0,1; р=0,5; /0=0; к=0,3; угол наклона желоба у=0,5; коэффициент трения ^=0,1. Начальные условия: начальный угол наклона пластинки ан=0,5; начальная угловая скорость пластинки а н =0.

Рис. 3. Графики координаты центра масс ус, а также линейных скорости ус и ускорения ус центра масс

Рис. 4. График траектории центра масс гс(ус)

15

Как видно на представленных графиках, колебания далеки от гармонических. Движение пластинки характеризуется значительной нелинейностью и неравномерностью. По сравнению с движением тела по наклонной плоскости в данном случае соскальзывание происходит медленнее.

Список литературы

1. Корнеев С.П., Смирнов Ю.П. Движение с проскальзыванием круглой пластинки, опирающейся на симметричный уголковый желоб // X Всероссийская научно-техническая конференция студентов, магистрантов, аспирантов и молодых ученых «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов»: материалы докладов. Тула: Изд-во ТулГУ. 2011. С. 252-257.

2. Корнеев С.П., Смирнов Ю.П. Колебания без проскальзывания круглой пластинки на симметричном желобе // IX Всероссийская научно-техническая конференция студентов, магистрантов, аспирантов и молодых ученых «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов»: материалы докладов. Тула: Изд-во ТулГУ. 2010.

3. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Теоретическая механика. М.: Науч-гиз, 1955.

Корнеев Сергей Павлович, ассистент, komeev87@mailru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

SLIDING OF CONVEX BODY PLACED AT V-SHAPED GROOVE

S.P. Korneyev

The sliding movement of convex body placed at v-shaped groove is investigated. The axis of groove is inclined to horizon. The convex body contacts with groove by supporting circle which is defined as an intersection of a cylinder and a plane normal to axis of cylinder. The height of mass center is known.

Key words: mechanics, oscillations, non-harmonic oscillations, non-linear oscillations.

Korneyev Sergei Pavlovich, assistant, [email protected], Russia, Tula, Tula State University