CC BY
22
УДК 531.38
С.П. Корнеев, асп., 8-910-947-35-14, korneev87@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
КОЛЕБАНИЯ БЕЗ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА НА КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Показано, что с вогнутой стороной круговой конической поверхности с вертикальной осью контактирует торцем круговой цилиндр небольшой высоты и радиуса г, при этом сухое трение удерживает цилиндр на конической поверхности, контакт между цилиндром и конусом осуществляется в одной, либо в двух точках. Исследуются нелинейные колебания цилиндра на конической поверхности при отсутствии проскальзывания.
Ключевые слова: динамика, колебания, механическая система.
Прикладное значение данной задачи состоит в том, что она может быть связана с проблемой вибротранспортирования. Различные вибротранспортные устройства (желоба, конвейеры, бункеры) применяются, в частности, в роторных линиях по производству патронов стрелкового оружия.
Решение. Движение цилиндра отнесем к неподвижным осям координат х, у, 2 с началом в вершине конуса (рис. 1).
Ось цилиндра отклонена от вертикали на угол а. Вследствие круговой симметрии оси цилиндра и конуса пересекаются. Ось у проведена через центр основания цилиндра.
Для определения координат точек соприкосновения торцевой окружности с конической поверхностью запишем уравнения взаимодействующих поверхностей: уравнение круговой конической поверхности, наклоненной круговой цилиндрической поверхности и торцевой плоскости цилиндра:
где к - параметр конуса, у0 и 20 - координаты центра опорной торцевой окружности цилиндра.
х2 + у2 = к2, х2 + ((у-у0)соба-(2-20)Бт а)2 = г2, 2 - 2о = (у - уоУ§а,
(1) (2) (3)
Рис. 1. Расчетная схема соприкосновения пластинки с конусом
Из совместного решения уравнений (1) - (3) найдем координаты точек касания конуса с торцевой окружностью [2]:
zo = - yoct§a +
i' -11
V k
r2 +
Уо
бю2 а
(4)
Уо
Ук
соБ2а
- к(zo - yotga)tga
(1 + к )tg:
а
zk = (Ук - yo)tga + z0
V2 2
к ■ z2 - Ук .
(5)
(6) (7)
Соотношение (4) вытекает из условия касания объектов. Оно связывает 3 обобщенные координаты у0, ^о и а, две из которых могут быть заданы, а третья вычислена. Из формулы (7) могут быть найдены координаты границ интервала контакта объектов по двум симметричным точкам и интервала с контактом в одной точке. В последнем случае две точки сливаются в одну. При контакте по двум точкам подкоренное выражение в (7) положительно. Отсюда следует условие контакта по двум точкам в виде
1 + к
< cosa
íi+11
V к)
f 2 Г • 2 ! — sin а +1
V Уо )
„ со* а 1 а, 1, (8)
к + V ktgа
определяющее интервал двухточечного опирания для угла а при фиксированных значениях к и г/у0. В действительности при колебаниях происходит перекатывание цилиндра и координата у0 меняется. При отсутствии проскальзывания имеет место уравнение
dyo (zk - zo) = o. (9)
da
Для динамических уравнений движения потребуются производные по времени от выражений координат (4) -(6) учетом (9), которые имеют вид
yo = (zk -z o)a; zo = (Уо - Уи)a;
yo =(zk - zo)a +(zk - zo)a; zo = (Уо - Уи)a + (yo - yk)a •
Вычислим производные от координат точек контакта. Введем обозначение
y
A = —2--k(Zo - yotga)tga.
cos a
Тогда
yk=(TH^ga (10)
Производные от координат точек контакта будут иметь вид A 2Aacosa ■ . /,, ,, ч a
yk =
(1 + k)tg а (1 + k) sin 3 a
где
A= yo 2ayosin a _k
2 3
cos а cos а
zk = zo + (yk - yo)tga + (yk - У0)-—, (11)
(Л _L СТП 3 /-V cos а
а
zo - yotëa - yo -
v cos2 a J
tga - k(zo - yotga) a2 . (12) cos a
Выражения для координат центра масс с их производными:
zc = z0 + h cos a; zc = z0 - ha sin a; z c = z0 - h(a sin a + á2 cos a) (а)
yc = yo - h sin a; yc = yo - ha cos a; y c = y о - h{a cos a - a2 sin a) (б) Уравнения движения цилиндра. Запишем выражение для приведенного момента инерции пластинки:
i i i i I пр = Р + h 2 + (Zk - z о)2 + (yk - y о)2. (13)
Введем обозначение
Мцен = ((zk - z0)(zk - z0) + (yk - Уо)(yk - y0)ja • (14) Тогда уравнение вращательного движения цилиндра запишется в следующем виде:
a = (g(yk - y0 + h sin a) - Мцен j/ 1пр • (15)
Уравнения движения центра масс
my c = Ry; mz c = -mg + Rz. (16)
Уравнение движения пластинки при одноточечном опирании.
При опирании на одну точку пластинка представляет собой физический маятник. Уравнение движения пластинки в данном случае имеет вид
m(P2 +(yk - yc)2 +(zk - zc)2 = mg(yk - УС ). (17)
Соотношения для составляющих полной реакции идентичны формуле (16).
Создана программа для численного интегрирования уравнений (17) и (15). Исходными данными являются координата ук, параметр конуса к, центральный радиус инерции пластинки р и высота центра масс к, начальными условиями - начальный угол наклона пластинки к горизонту и начальная угловая скорость. Исходные данные и начальные условия задаются такими, чтобы заведомо имело место опирание на одну точку. Программа проводит интегрирование уравнения (17), причем на каждом шаге проверяется условие (11). Как только оно выполнится, программа переходит к интегрированию уравнения (15).
Результаты численных экспериментов. На рис. 2-4 представлены результаты расчета при следующих исходных данных и начальных условиях: к=10; ук=3; Ь=0,5; г=0,1; а0 = 0,1;а0 = 0.
Рис. 4. Графики составляющих полной реакции
Результаты численных экспериментов свидетельствуют о том, что при изменении характера опирания резко изменяется характер движения пластинки. Колебания пластинки при двухточечном контакте характеризуются резкой неравномерностью и нелинейностью.
Список литературы
1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Теоретическая механика.М.: ОНТИ,
1934.
2. Корнеев С. П., Смирнов Ю. П. О равновесии «монетки» на конической поверхности // Сборник материалов Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 100-летию со дня рождения А.А. Ильюшина. Тула, 2011.
S.P. Korneyev
THE NON-SLIDING OSCILLATIONS OF A ROUND CYLINDER PLACED ON CONICAL SURFACE
It is show, that round cylinder with small height and radius r is contacting with inner side of conical surface in one or two points. The cylinder is held by dry friction. The nonlinear and non-sliding oscillations of cylinder are investigated. Key words: dynamics, oscillation, mechanical system.
Получено 17.10.12
