CC BY
48
УДК 531.38
КОЛЕБАНИЯ БЕЗ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ ВЫПУКЛОГО ТЕЛА, РАСПОЛОЖЕННОГО НА ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ЖЕЛОБА
С.П. Корнеев, Ю.П. Смирнов
Рассматриваются колебания без проскальзывания выпуклого тела, расположенного на внутренней поверхности цилиндрического желоба, ось которого наклонена к горизонту. Выпуклое тело контактирует с желобом опорной окружностью, которая определяется пересечением цилиндрической поверхности с плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра. Центр масс тела находится на заданной высоте относительно опорной окружности.
Ключевые слова: механика, колебания, негармонические колебания, нелинейные колебания.
Постановка задачи. На внутренней поверхности цилиндрического желоба радиуса Я находится выпуклое тело, контактирующее с желобом опорной окружностью радиуса г (рис. 1). Тело совершает плоское движение параллельно координатной плоскости уОг, находясь под действием силы гравитации. Исследуются колебательные движения шайбы при различных условиях. Ось желоба может быть наклонена к горизонту под углом у.
Рис. 1. Расчетная схема
Геометрический и кинематический анализ взаимодействия тел рассматриваемой системы. Вследствие вогнутости цилиндрической поверхности желоба соприкосновение торцевой окружности с цилиндрическим желобом может осуществляться в одной или в двух точках.
Введем в рассмотрение две системы координат, начала которых совпадают. Система осей х, у, I жестко связана с неподвижным желобом, ось г направлена вверх. Система х', у', г' жестко связана с опорной окружностью, а ось г' совпадает с осью тела. Оси х и х' совпадают, а оси у' и г' повернуты относительно соответствующих неподвижных осей на угол а (ось цилиндра отклонена от вертикали на угол а). Далее отнесем поверхности взаимодействующих тел к неподвижным осям.
Уравнение круговой цилиндрической поверхности желоба:
х2 - Я)2 = Я2 . (1)
Уравнение наклоненной цилиндрической поверхности:
х2 + ((у - У0 )соб<2 + (г - 20 )Бта)2 = г2 . (2)
Уравнение торцевой плоскости:
I -10 = (У - У о Мя а . (3)
В уравнениях (1) - (3) Я - радиус желоба; у0 и 20 - координаты центра опорной торцевой окружности тела; а - угол наклона оси тела к оси о2; г - радиус опорной окружности.
Совместное решение уравнений (1) - (3) определяет координаты точек пересечения или соприкосновения трех названных поверхностей. Исключив из уравнений (1) - (3) координаты х и г, получим квадратное уравнение относительно координаты у:
(у - уо)2 - 2( 1о - Я)(у - уо)^+ Я2 - Г2 - ( 1о - Я)2 = 0. (4)
Решение этого уравнения имеет вид
уп =уо+(го - Я^а ±^0 - Д)2/соб2 а + г2 - Я2 . (5)
Подставив найденное значение уп в уравнения (3) и (1), получим
гп = (ук - у о )1ёа + г0 , (6)
хп = 2 - (ч - Я)2 . (7)
Здесь величины а, у0, могут рассматриваться как обобщенные координаты, задание которых определяет положение точек пересечения или соприкосновения, принадлежащих всем трем поверхностям одновременно. В связи с этим искомым значениям координат в формулах (5) - (7) приписан индекс «п». Пересечение торцевой плоскости с цилиндрической поверхностью шайбы образует окружность, которая может пересекаться с желобом в одной или в двух парах симметричных точек, может касаться желоба в одной точке или в одной паре точек, а может быть отделена от поверхно-
18
сти желоба. В последнем случае дискриминант квадратного уравнения (4) - отрицательное число.
Условия касания. Нас интересует случай касания окружности шайбы и цилиндрического желоба в одной паре симметричных точек или в одной точке. Если дискриминант уравнения (4) (или выражение под корнем в (5)) положить равным нулю, то имеем
z0 =R -VR2 - r 2 • cosa. (8)
Откуда следует выражение для координаты точки контакта:
yk=yo+(z0 - R)tga. (9)
Соотношение (8) показывает, что угол наклона шайбы a однозначно определяет координату z0. Координата же y0 задается независимо от угла a.
Отметим, что формула (8) справедлива при условии двухточечного контакта, потому что при исключении координаты х из формул не предполагалось, что х=0. Если же считать, что имеет место одноточечный контакт, то хк =0, zk=0, и из формул (2) и (3) получим
z 0 = rsina . (10)
Приравнивание правых частей (8) и (10) приводит к уравнению
R -VR2 - r 2cosa = rsina, из которого найдем граничное значение угла a*, разделяющего одноточечную и двухточечную области контакта:
п
a* =--Arctg..
2 ^
R 2
r 2
Отсюда имеем условие опирания на две точки:
п
a <--Arctg.,
2 Ц
R 2
r2
1 . (11)
Следует также отметить, что при опирании на две точки имеет место перекатывание шайбы по цилиндрическому желобу, а при одноточечном опирании точка контакта на шайбе будет неподвижной в случае отсутствия проскальзывания.
При отсутствии проскальзывания рассматриваемая система имеет одну степень свободы. Выразим для случая двухточечного контакта величины в формулах (6)^(9) через обобщенную координату - угол a:
V2 2 • ..... R - r sina,
2 2 2 2 zk - z0 = -v R - r sina • tga, zk = R -V R - r /cosa . (12)
Координата z0 уже была определена ранее формулой (8). Координата _y0 задается независимо от a при «посадке» тела на цилиндрический
1
желоб, а в дальнейшем движении тела без проскальзывания координата уо становится функцией угла а. В этом случае связь между у0 и углом а определяется дифференциальным уравнением
^^^ - z0 )
da
0.
(13)
вытекающим из тождественного ему уравнения
Ауо
dt
■ + (zk - z0 )a =
С учетом соотношений (12) уравнение (13) запишется в следующем
виде:
da
.2
2 2 sin a
r
cosa
(14)
Соответствующие уравнения имеют место и для другой координа-
ты:
dz
(Ук - У° ) = 0
dz
(Ук - У° )a = °.
Аа Ш
Приведенные дифференциальные соотношения являются условиями отсутствия скольжения при перекатывании. Они следуют из того обстоятельства, что через точки контакта проходит мгновенная ось, скорости точек которой равны нулю при отсутствии скольжения, и они справедливы для случаев одноточечного и двухточечного контакта.
Динамический анализ движения выпуклого тела. Для динамического анализа потребуются координаты, скорости и ускорения центра масс тела. Пусть центр масс находится на высоте И над центром опорной окружности. Тогда (рис. 2)
= У0 - Иъта, у с = у о - Иасоъа, у с = у о - и{асоъа - а 2Бта)
= %о+ Иcosа, ¿с = ¿о - Иаslnа, ¿с = '¿о - И^та - а2соБа) Производную ¿о получим, дифференцируя по времени формулу
Ус
zf
(8):
zо =4r2 - r2sina • a, z° = VR" - \asina + a cosa Производную У о получим, исходя из формулы (14)
2„ 1 ,___2
2
2
2
Уо
VR
2
2
22 sin a .. . 2 1 + cos a . -a + a -sina
V
cosa
cos2 а
y
Проекции ускорения центра масс тела при двухточечном контакте без проскальзывания:
У с
VR2"
r
2 sln 2 а cosа
л
hcosa
í
a + sina
VR2"
2
Л
2 1+ cos a
r 2-2— + h
cos a
á 2
Vr2 - r2 - h\asma+á2 cosai
Zc = zo -h\ásiná+á2 cosa)= VR2 -r2 -h
V y
Введем обозначения:
2 2 , I~ñ2 2 sin a , „ Г~2 21 + cos а , /—;—-
A = VR2 - r2--hcosa; 5 = VR2 - r2--— + h; C = VR2 - r2 - h.
cosa cos2a
Тогда соотношения для проекций ускорения центра масс перепишутся в виде
yc = A á + Вsinaá ; (15)
zc = c(ásina + á2 cosa). Уравнения перекатывания без скольжения выпуклого тела по желобу, наклоненному к горизонту под углом у, при двухточечном контакте (рис. 2) следуют из общих теорем динамики: теоремы о движении центра масс и теоремы об изменении кинетического момента [1]:
my c = 2 F+mg sin g, mZc= - mg cos g + 2N( 1 - zk / R), (16)
Ica = 2N(1 - Zk / R)(y k - У0 - hsina) + 2F(zfc - zо + hcosa) , где m - масса тела; F - сила трения; N - нормальная реакция; Ic - центральный момент инерции тела; h - высота центра масс.
Рис. 2. Расчетная схема к выводу уравнений движения
Подставив соотношения для проекций ускорения центра масс (15), разрешим систему уравнений (16) относительно а, приведем ее к безразмерному виду:
Тогда уравнение движения пластинки запишется в следующем виде
& = \Мцена2 + (Ук - yo)cosg-(zk - zo)sing-h sin(a+g))/ 1Щ , (17) где
2
I пр = P - C sin a( Ук - y o - h sin a) - A( zk - zo + h cos a); Мцен = C cosg( yk - yo - h sina) + B(zk - zo + h cosa),
где p - центральный радиус инерции тела.
Нормальная и касательная реакция определяются из первого и второго уравнений системы (16).
Разработана программа для численного интегрирования уравнения (17). Исходными данными являются: координата центра опорной окружности y0, радиус желоба R; радиус опорной окружности r; центральный радиус инерции пластинки р и высота центра масс h; угол наклона оси желоба у. Начальными условиями: начальный угол наклона пластинки ан и начальная угловая скорость ан. Исходные данные и начальные условия задаются такими, чтобы заведомо имело место опирание на две точки. На каждом шаге проверяется условие касания в двух точках (11). Как только оно перестанет выполняться, программа остановится.
Численные эксперименты. На рис. 3 и 4 приводятся результаты одного из численных экспериментов, описывающих колебания без проскальзывания выпуклого тела при двухточечном опирании. Исходные данные таковы: R=2; r=1; h=o,1; p=o,5; y0=2; угол наклона желоба y=o. Начальные условия: начальный угол наклона пластинки aH=o,5; начальная угловая скорость пластинки aH =o.
Рис. 3. Графики угла наклона а, угловой скорости а и углового ускорения а тела
Как видно на представленных графиках, колебания далеки от гармонических. Движение пластинки характеризуется значительной нелинейностью и неравномерностью.
А
N
3.25
4.25
■0.5-
Рис. 4. Графики нормальной реакции N и силы трения F
В ряде численных экспериментов определялось влияние геометрических параметров системы на характер движения. В ходе этих экспериментов было выяснено, что наиболее сильное влияние на характеристики движения оказывает отношение радиусов желоба и опорной окружности тела R/r. При увеличении данного отношения неравномерность движения усиливается: уменьшается период колебаний, увеличиваются максимумы углового ускорения, нормальной реакции и силы трения. Если радиус желоба уменьшить и сделать близким радиусу опорной окружности, то будут наблюдаться малые колебания тела вблизи положения равновесия, близкие к гармоническим.
1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Теоретическая механика. М.: Науч-гиз, 1955.
Корнеев Сергей Павлович, ассистент, котееув 7атаИ. ги, Россия, Тула, Тульский Государственный университет,
Смирнов Юрий Павлович, д-р техн. наук, проф., котееуН7атаИ.ги, Россия, Тула, Тульский Государственный университет
The non-sliding oscillations of convex body placed at cylindrical groove are investigated. The axis of groove is inclined to horizon. The convex body contacts with groove by supporting circle which is defined as an intersection of a cylinder and a plane normal to axis of cylinder. The height of mass center is known.
Key words: mechanics, oscillations, non-harmonic oscillations, non-linear oscillations.
Korneyev Sergei Pavlovich, assistant, korneev8 7@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University.
Smirnov Yuri Pavlovich, doctor of technical sciences, professor, korneev8 7@ mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
Список литературы
NON-SLIDING OSCILLATIONS OF CONVEX BODY PLACED AT CYLINDRICAL GROOVE
S.P. Korneyev, Yu.P. Smirnov
