CC BY
8
УДК 531.44
О КОЛЕБАНИЯХ ПРЕДМЕТА, ПОПЕРЕМЕННО ОПИРАЮЩЕГОСЯ НА ОДНУ ИЗ ДВУХ ОПОР
Ю.П. Смирнов
В рамках механики системы абсолютно твердых тел дано описание плоского движения тела, меняющего опоры в процессе движения.
Ключевые слова: механическая система, твердое тело, колебания, две опоры, потери энергии.
Рассматривается колебательное движение твердого тела, которое в равновесии опирается на две параллельные опорные линии (рис. 1). Заданы масса тела т, положение центра масс И относительно плоскости, проходящей через опорные линии в теле, размеры а и Ь, определяющие положение центра масс между опорами. Задан также момент инерции тела 1С относительно оси, проходящей через центр масс параллельно опорным линиям.
Рис. 1. Расчетная схема колебательной системы
160
Твердое тело в этих условиях будет совершать нелинейные колебания. Траектории точек - дуги окружностей, часть траектории каждой точки - дуги с центром в точке А, другая часть - дуги с центром в точке В. Конечно, здесь предполагается, что трение на опорных линиях удерживает их от проскальзывания. При ф = 0 траектория каждой точки тела имеет излом (разрыв касательной). Это означает, что при смене знака угла ф происходит смена опор, сопровождаемая ударом без отскока о неподвижную опору опорных линий маятника. Часть кинетической энергии маятника при этом теряется.
Данная механическая система имеет одну степень свободы, и ее движение может быть описано дифференциальным уравнением [1 - 3]
" h2 + а 21 + sign(j) + b 21 - sign(j) u. =
2 2 I
"г . (1)
, . ( 1 + sign(j) ,1 - sign(j) Л . . .
= mg - h sin ф-1 a- + b- I cos j-sign(j)
Входящая в уравнение разрывная функция sign(ф) описывает скачкообразные изменения момента инерции и момента массы при изменении знака угла ф.
Выполнено простейшего вида численное интегрирование уравнения (1). В цикл интегрирования вставлено условие: при смене знака угла задается уменьшение модуля угловой скорости, отражающее потерю энергии при ударе,
ф' = кф, к £ 1. Программа численного интегрирования на языке turbobasic input " a,b,h,ro";a,b,h,ro g=9.81 : d=0001 : tk=6.01 : k=.5 fi=0 : fit=1 for t=0 to tk step d
fitt=-g*(h*sin(fi)+(a*(1+sgn(fi))/2+b*(1-sgn(fi))/2)*sgn(fi)*cos(fi))/_
(roA2+hA2+aA2 *(1+sgn(fi))/2+bA2 *(1 -sgn(fi))/2) fit=fit+fitt*d fi=fi+fit*d
if fi*fi0<0 then fit=k*fit fi0=fi
print using "###.#### "; t,fi,fit,fitt next t
Здесь t - время; d - шаг изменения времени при интегрировании; tk - длина отрезка времени, в пределах которого рассматриваются колебания тела; ro - центральный радиус инерции тела.
По результатам численного интегрирования построены графики. На рис. 2 - 4 приведены графики, полученные для а=1, b=1, h=3, ro=2, k=0.5. Из них видно следующее.
Iq + ml
1. Амплитуда и период колебаний с каждым размахом уменьшаются (при £=0,5 это происходит весьма быстро).
2. На графиках скорости и ускорения видны разрывы при ф=0. С ростом числа размахов амплитуды ускорений сближаются к одному и тому же значению при отклонении в разные стороны, скорость же приближается к нулю.
3. На рис. 4 движение по фазовой плоскости начинается с точки А и заканчивается в начале координат. Изображающая точка в процессе движения тела в данном случае совершает движение по часовой стрелке вокруг начала координат, переходя из правой полуплоскости в левую и наоборот и быстро приближаясь к началу координат.
4. Для случая а ф Ь все сказанное имеет место за одним исключением: с ростом числа размахов амплитуды ускорений стремятся к разным значениям при отклонении в разные стороны.
1.08
Рис. 2. Графики угла поворота и угловой скорости тела
Отметим, что уравнение (1) пригодно для описания колебаний двухопорного объекта и в случае расположения центра масс над опорами (рис. 5). В этом случае нужно задавать величину И отрицательным числом.
162
Но при этом надо иметь в виду, что центр масс не должен выходить за пределы вертикальной полосы шириной а+Ь, т.е. не должен отклоняться за пределы опор.
Рис. 3. График углового ускорения тела
Рис. 4. Фазовый портрет (ф,ф) колебательного процесса
С
\ Н
1 _ а — Ь^\ \ \ д—— ^у
\\\\\\\\\\\\\\\\\\ч
Рис. 5. Схема колебательной системы с верхним расположением
центра масс
Отметим, что есть возможность решить рассмотренную задачу аналитически.
Коэффициент к, характеризующий потери энергии при ударной смене опор, должен определяться в эксперименте и, как показывает опыт, зависит от модуля величины И/(а+Ь). С ростом этого модуля коэффициент k увеличивается. Но, вообще говоря, этот коэффициент зависит также и от физических свойств маятника и опоры.
Отметим также, что рассмотренная задача содержит в себе элементы очень приблизительного, очень грубого описания походки двуногого существа, особенно если коэффициент потерь энергии к близок к единице.
Список литературы
1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. М.: Наука, 1983.637 с.
2. Аппель П. Теоретическая механика. М.: Физматгиз, 1960. Т. 2,
487 с.
3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974. 832 с.
Смирнов Юрий Павлович, д-р техн. наук, проф., ir_1949@,mail.т, Россия, Тула, Тульский государственный университет
ABOUT VIBRATIONS OF THE SUBJECT ALTERNATIVELY LEANING ON ONE OF THE TWO PILLARS
Yu.P. Smirnov
Within the framework of the mechanics of the system of absolutely rigid bodies, a description is given of the plane motion of the body, which changes the pillars in the process of motion.
Key words: mechanical system, solid body, oscillations, two supports, energy losses.
Smirnov Yuri Pavlovich, doctor of technical sciences, professor, ir_1949@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.83
К ВОПРОСУ О ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОГРАНИЧЕНИЯХ, ОБУСЛОВЛЕННЫХ КОНСТРУКЦИЕЙ ИНСТРУМЕНТА, ИСПОЛЬЗУЕМОГО В ПРОЦЕССЕ ШЕВИНГОВАНИЯ-ПРИКАТЫВАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КОЛЕС С КРУГОВЫМИ ЗУБЬЯМИ
А. А. Маликов, А.В. Сидоркин, С. Л. Рахметов
Рассмотрен ряд существенных особенностей, определяющих возможность эффективного использования комбинированного (режуще-деформирующего) инструмента при зубообработке цилиндрических колес с круговыми зубьями. Уделено существенное внимание вопросам технологического обеспечения минимально возможного радиуса кривизны арки зуба с учетом ограничений, накладываемых применением инструмента второго порядка.
Ключевые слова: шевингование-прикатывание, круговые зубья, колеса, инструмент, радиус.
Одним из перспективных направлений научных исследований, проводимых в Тульском государственном университете при активном участии проф. О.И. Борискина, проф., А.А. Маликова, проф., А.С. Ямникова, проф., Е.Н. Валикова и их учеников, является теоретико-экспериментальное исследование комбинированных (режуще-деформирующих) процессов зубообработки цилиндрических зубчатых колес [1 - 3], в том числе и с круговыми зубьями (ЦККЗ).
