CC BY
42
УДК 539.3
Модель расслоения разномодульного биматериала с трещиной
Н.С. Астапов1,2, В.М. Корнев1, В.Д. Кургузов1
1 Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия 2 Новосибирский государственный университет, Новосибирск, 630090, Россия
Изучается прочность структурированного биматериала с трещиной, расположенной в плоскости раздела сред, при нагружении по первой и второй моде. Анализируются случаи, когда упругие характеристики и пределы текучести материалов различаются. Процесс разрушения такого композита описывается с помощью модифицированной модели зоны предразрушения с использованием эквивалентного коэффициента интенсивности напряжений, учитывающего существенную разнородность материалов. Получены формулы, учитывающие конечные размеры образцов, для критической разрушающей нагрузки при поперечном сдвиге и критической длины зоны предразрушения разнородного биматериала в условиях плоской деформации и плоского напряженного состояния. Проведено сравнение результатов аналитического и численного моделирования квазивязкого разрушения биматериала при поперечном сдвиге, подтвердившее хорошее прогнозирование длины зоны предразрушения аналитической моделью.
Ключевые слова: J-интеграл, критерии разрушения, коэффициент интенсивности напряжений, поперечный сдвиг, квазивязкое разрушение
Delamination model for a composite with a crack
N.S. Astapov 12, V.M. Kornev1, and V.D. Kurguzov1
1 Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia 2 Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090, Russia
The strength of a structured composite with a crack in the plane of the interface between two materials has been studied under mode I and mode II loading. Analysis is performed for the cases of different elastic characteristics and yield stresses of the materials. The composite fracture is described by a modified prefracture zone model using an equivalent stress intensity factor that accounts for the significant dissimilarity of materials. Formulas are derived which take into account the finite specimen dimensions for the critical fracture load in transverse shear and critical prefracture zone length in the heterogeneous composite under plane strain and plane stress conditions. The analytical and numerical modeling results on quasi-ductile composite fracture in transverse shear are compared to confirm that the analytical model allows a good prediction of the prefracture zone length.
Keywords: J-integral, fracture criteria, stress intensity factor, transverse shear, quasi-ductile fracture
1. Введение
Неизбежное наличие скрытых трещин является одним из самых важных факторов, вызывающих разрушение в машиностроительных конструкциях. Наиболее часто встречающиеся трещиноподобные дефекты располагаются в композитных материалах по границе раздела сред. Поэтому проблемы построения простых, пригодных для инженерных расчетов, аналитических моделей процесса разрушения композитов являются актуальными [1-7]. Весьма актуальной также является задача о трещине, лежащей на границе раздела двух упругих разнородных сред [1, 6]. Решение такой задачи вызывает определенные трудности, связанные с осцил-
© Астапов Н.С., Корнев В.М., Кургузов В.Д., 2016
лирующими на концах трещины напряжениями и перемещениями [8, 9]. Было показано [8-11], что полученное решение задачи о трещине нормального отрыва «с физической точки зрения неприемлемо, так как из него следовало бы, что верхний и нижний края трещины в окрестности ее конца изгибаются и перекрываются» [10]. Однако «во всех практических случаях можно пренебречь явлением осцилляции» [11], т.к. «нерегулярности решения сконцентрированы в весьма малых областях вблизи концов трещины» [10]. В работе [10] было сделано предположение, подтвержденное в работе [2], что вероятной причиной осцилляций полученного решения «могло явиться как рассмотрение идеализиро-
ванной физической модели, так и использование классической линейной теории упругости».
В работе [8] отмечено, что «для трещин, распространяющихся по поверхности склейки между различными материалами, характерно также и то обстоятельство, что при действии чистого растяжения поперек трещины или чистого сдвига вдоль трещины на продолжении трещины в сплошном теле в том и другом случае будут возникать как касательные, так и нормальные напряжения». Поэтому в работе [12] показано, что при построении критерия разрушения для разнородного биматериала в этом случае необходимо учитывать два коэффициента интенсивности напряжений К1 и Кп в отличие от однородного материала, когда учитывается только один коэффициент интенсивности напряжений. Однако в предложенные в [12] выражения для коэффициентов К1 и Кп входит логарифм длины, поэтому использовать их затруднительно, и в справочнике [13, с. 321] предлагается использовать 1-интеграл Райса [14] (точнее, Г-интеграл Черепанова [15]). При расчетах на прочность конструкций в условиях упругопластической деформации 1-интеграл часто применяется как параметр разрушения [7].
Настоящая работа является естественным продолжением и обобщением работ [16, 17] по исследованию распространения трещины в композите в рамках модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла [18, 19]. В работах [16, 17] предполагалось, что материалы, составляющие биматериал, отличаются только пределами текучести, а модули Юнга и коэффициенты Пуассона материалов совпадают. Ниже для возможности описания в рамках модифицированной модели разрушения разнородного биматериала вводится с помощью 1-интеграла понятие эквивалентного коэффициента интенсивности напряжений Ке, учитывающего вклад коэффициентов К1 и Кп для трещины нормального отрыва и при поперечном сдвиге. Аналитически получены формулы для критической нагрузки разрушения по моде II разнородного биматериала, учитывающие конечные размеры образцов, составленных из материалов, отличающихся модулями Юнга, пределами текучести и коэффициентами Пуассона. Обсуждается влияние предельных углов сдвига упругопластических материалов на критическую нагрузку в условиях плоской деформации и плоского напряженного состояния.
2. Постановка задачи
Пусть в составной кусочно-однородной структурированной биметаллической квадратной пластине размером LxL на плоской границе раздела двух сред имеется центральная внутренняя трещина длины 2/0. На краях пластины задано сдвиговое напряжение т^, т.е. может реализоваться вторая мода разрушения. В обозначениях рис. 1 для материалов 1 и 2, составляющих композит,
1
А 2 /0 А -
ту ту О
ту -А
2
Рис. 1. Трещина на границе раздела сред
предполагается, что Gi = ц — модули сдвига материалов, V г — коэффициенты Пуассона, т у — пределы текучести при сдвиге и г ( = 1, 2) — характерные линейные размеры структуры материалов. Построим модель для описания расслоения биматериала, предполагая, что трещина при продвижении не меняет свое первоначальное прямолинейное направление.
В предлагаемой модели распространения трещины использована простейшая аппроксимация классических т-у-диаграмм материалов, представленная на рис. 3 в работе [17] двухзвенной ломаной. Существенными параметрами этой аппроксимации являются максимальное упругое относительное смещение уш и максимальное (предельное) относительное смещение уи. В дальнейшем для упрощения обозначений введем параметры у. = (уи - уш)/у ш, которые можно назвать показателями пластичности материалов при сдвиге.
3. Аналитическая модель разрушения
Кроме реальной внутренней прямолинейной трещины-разреза длиной 2/0 введем в рассмотрение модельную трещину-разрез длиной 2/ = 2/0 + 2А, где А — длина зон предразрушения, расположенных на продолжении реальной трещины (рис. 1). На рис. 2 изображена зона предразрушения на продолжении правой вершины реальной трещины (точка 2, обведенная овалом) в однородном материале. Начало О системы координат Оху совпадает с концом модельной трещины, а конец реальной трещины имеет абсциссу х = -А (рис. 2). Ось
Рис. 2. Зона предразрушения однородного материала
ординат Оу перпендикулярна плоскости распространения трещины.
Для построения модели расслоения при поперечном сдвиге предлагается использовать достаточный дискретно-интегральный критерий [18, 19]
-}т(х,0^ = ту, х > 0, (1)
г 0
2м(-А) = у*. (2)
Здесь т(х, 0) — сдвиговое напряжение на продолжении трещины; ту — предел текучести при сдвиге; г — характерный линейный размер структуры материала; функция и = м(х) — полусмещение берегов трещины. Через у* обозначено критическое смещение берегов модельной трещины для однородного материала, при этом смещении разрушается структура материала в вершине реальной трещины (граничной точке зоны пред-разрушения, т.е. в точке 2 (рис. 2)). Длина зоны пред-разрушения составляет только часть (основную) длины зоны пластичности, если учесть длину осреднения г так, как изображено на рис. 2.
1. Случай, когда -Ц2, v1 -V2, г - г1 = г2,
Т„ -
= ту1 < ту2, т.е. материалы отличаются только разными пределами текучести при сдвиге. Для применения достаточного дискретно-интегрального критерия (1), (2) к обработке результатов численных или лабораторных экспериментов с образцами конечных размеров используем аналитическое выражение сдвигового напряжения т(х, 0) на продолжении трещины в виде
т(х, 0) = Кп/л/2ях + - 21), х > 0, (3)
где Ь — ширина образца с центрально расположенной трещиной; т^ — напряжение, заданное на бесконечности; Кп - Кп- + К11А — суммарный коэффициент интенсивности напряжений в обобщенной модели Лео-нова-Панасюка-Дагдейла; Кп- > 0 — коэффициент интенсивности напряжений, порождаемый напряжением т^; К11А < 0 — коэффициент интенсивности напряжений, порождаемый напряжением ту, действующим в окрестности вершины модельной трещины в зоне предразрушения; Ь — ширина образца с центрально расположенной трещиной. После интегрирования по промежутку, выделенному на рис. 2 прямоугольником 1, уравнение (1) можно записать в виде
(4)
Кп = (Ту - Lт^^ - 2/))Л/ЛТ2.
Для полусмещения и = и(х) (-А < х < 0) берегов модельной трещины используем в (2) представление [20]
/- Л К+1 V и( х) --К
2G
К и - К и-
+ Кш> 0, х < 0,
(5)
в котором учтем лишь первый член разложения. В выражении (5) к = 3 - 4v для плоской деформации, к = - (3 - у)/(1 + V) для плоского напряженного состояния;
V — коэффициент Пуассона; G -ту/у0 — модуль сдвига. Уравнение (2) с помощью представления (5) запишем в виде
К + 1 А *
-Кщ— =У •
G \2л
(6)
В равенствах (4) и (6) для коэффициента интенсивности напряжений Кп- будем использовать учитывающую конечные размеры образца аппроксимирующую формулу [21, с. 74] для центральной трещины: Кп- - Ут^урП, где У - . Для коэффици-
ента интенсивности напряжений К11А, порождаемого постоянным напряжением ту, действующим согласно модели Леонова-Панасюка-Дагдейла, выберем из спра-выражение
вочника [22, с.41
Кттд - -Тул/П
12 • (л А
1 -— агс8т| 1 - —
П I /
(7)
Критическое смещение у* берегов модельной трещины вычислим по формуле
У* - (У1 -У0^1, (8)
где ат — поперечный размер зоны пластичности в вершине реальной трещины в однородном материале, вычисленный в рамках линейной механики разрушения на основании поля напряжений и критерия текучести Мизеса; та — поправочный коэффициент [17]. Так как предполагается, что в биматериале в условиях пластичности находится лишь один наиболее слабый материал, то в качестве поперечного размера зоны пластичности в биматериале приближенно выбирается половина поперечного размера зоны пластичности более слабого материала, т.е. полагается аТ - /У2Х2 (5 - 8v + 8v2)/24 в условиях плоской деформации.
Конечно, границы реальных пластических зон в окрестности вершины трещины лишь приближенно похожи на конфигурации, изображенные в [3, 20]. Очень часто трещина, расположенная на границе биматериала, при нагружении продолжает расти вдоль границы раздела сред, причем пластическая зона приближенно имеет форму узкого вытянутого вдоль границы прямоугольника. Такую форму пластической зоны и преимущественное направление распространения трещины вдоль границы можно наблюдать и в численных, и в лабораторных экспериментах [17]. В связи с этим в работе [17] для уточнения поперечного размера зоны предразруше-ния введен поправочный коэффициент та в соотношение (8). Для определения величины этого коэффициента, видимо, необходимо использовать непосредственные данные численного или лабораторного эксперимента. Кроме того, для более точного предсказания аналитической моделью разрушающей нагрузки необходимо уточнить выражение (5) смещения берегов модельной трещины, согласовав его с данными эксперимента. Поэтому введем поправочный коэффициент ти в левую часть соотношения (6).
Теперь систему уравнений (4), (6), равносильную исходной системе уравнений (1), (2) при указанном выборе выражений для сдвигового напряжения т(х, 0), полусмещения и = и(х) и коэффициента интенсивности напряжений, можно записать в виде
Ул/Л/к-л/л/ - (1 - tk) р = 0, ■^л/л/к-л/л/
л 2 Л, А
1--arcsm| 1--
л I /
(9)
1 2 -Г, А
1--arcsm| 1л
Хл/А- Кк2 = 0, (10)
где к = т^/т5, — безразмерная критическая разрушающая нагрузка, t = Ь/(Ь - 2/), Р = ^/лг/2, ш = та/ти , К = л/2луш72/с/96 для биматериала. Величина с = = 5(1 + V) для плоского напряженного состояния и с = (5 - 8v + 8v2)/(1 - V) для плоской деформации. Расчеты показывают, что для любого значения коэффициента Пуассона V (0 < V < 0.5) выполняется неравенство 4.65 < с < 7.5. Исключая выражение в фигурных скобках из системы уравнений (9), (10), находим точное выражение для критической длины зоны предразрушения
л/А = Кк 2/(р(1 - ¿к)). (11)
Используя приближение arcsin(1 - А//) ~ л/2 -
2 А/, погрешность которого не превышает 6 % при 0 < А// < 0.43, запишем систему уравнений (9), (10) в приближенном виде
7л/Пк - 2^2 АП - (1 -к)Р = 0, (12)
{Пк- 2^2А/л}}А- Кк2 = 0. (13)
Подставляя в (12) для л/А выражение (11), найдем приближенное выражение критической нагрузки
к± = 2р/ (2pt + / ±/+^К),
где / = 7л/л/, g = -2^2/ л. Возвращаясь к исходным переменным, запишем эту формулу в виде
/Г
к±
Ь У /2/
Ь-2/+ 2\ г
Г
1 ±, 1 -
ушс 6л
(14)
/у
Выражение параметра с, характеризующего напряженное состояние, через коэффициент Пуассона V дано выше. Используя выражение V = Е/ (2G) -1 коэффициента Пуассона V через модуль Юнга Е и модуль сдвига G, параметр с можно записать в виде с = 5И/2 для плоского напряженного состояния или для плоской деформации с = 1/(4 - И)(4И2 - 24И + 42), где Н = Е^.
Величина к+, когда в формуле (14) перед корнем выбирается знак +, соответствует квазихрупкому разрушению [17]. Формула (14) предлагаемой модели имеет смысл, если у < 6л/(шс) для биматериала и у < 3 л/(шс) для однородного материала (для однородного материала величина й выбирается в два раза больше, чем для бима-
териала). Учитывая диапазон изменения с для величины показателя пластичности материала у при т = 1, находим, что для любого V при плоской деформации и плоском напряженном состоянии должно выполняться неравенство у < 3л/ 4.65 ~ 2.03. В частности, имеем неравенство у < 3л/7.5 ~ 1.26 при V = 0.5 для плоского напряженного состояния.
Из приближенного уравнения (12) получим приближенное выражение
л/А= (р^к-/к)/g, (15)
а из уравнения (13) получим выражение
Л/А± ~к(-/±/Т^К)/(2^, (16)
причем квазихрупкому типу разрушения соответствует л/А +, когда в равенстве (16) перед корнем выбирается знак +. Интересно отметить, что, выбирая любое из приближенных выражений (15) или (16), получим из системы уравнений (12), (13) точно такое же выражение для критической разрушающей нагрузки, какое дается формулой (14). Таким образом, получена формула (14) для критической разрушающей нагрузки и три разные формулы (11), (15) и (16), выражающие критическую длину зоны предразрушения через критическую нагрузку. Эти формулы получены для случая, когда материалы 1 и 2 верхней и нижней половин квадратной пластины отличаются только разными пределами текучести при сдвиге, например, ту =ту1 <ту2, а модули сдвига материалов, коэффициенты Пуассона и характерные линейные размеры структуры материалов равны. Предполагается, что в таком биматериале в условиях пластичности находится лишь один наиболее слабый материал и в качестве поперечного размера зоны предразрушения в биматериале приближенно выбирается половина поперечного размера зоны предразрушения более слабого материала.
2. Случай, когда Ф ц2, V) Ф V2, г = г1 Ф г2, ту = = ту1 < ту2, т.е. материалы 1 и 2 композита различаются модулями сдвига, коэффициентами Пуассона и пределами текучести при сдвиге. Введем понятие эквивалентного коэффициента интенсивности напряжений, используя представление 1-интеграла через комплексный коэффициент интенсивности напряжений К = К1 - Кп [13, с. 323 :
У = 1 16
1 + к 1 + к2
Ц2
К К =
„■2 ,2 ,2 л Ь - d
(1 + 4 е2)(ст2+т2) /,
(17)
где
Ь =
1
8л 1
1 + к1 1 + к2
Ь + d
Ц2
d =-
8л
к1 -1
к2 -1 Ц2
е =—1п- ,
2л Ь - d
для плоской деформации к, = 3 - 4v ,, для плоского
Рис. 3. Зависимость множителя F, учитывающего разномо-дульность материалов, от модулей упругости и коэффициентов Пуассона
считать выполненными с погрешностью до 5 % соотношения (11), (14)-(16), что с инженерной точки зрения вполне приемлемо.
3. Случай, когда ц Ф ц2, v1 Ф V2, г - г1 Ф г2, ту -- ту1 - ту2, т.е. материалы 1 и 2 композита различаются модулями сдвига и коэффициентами Пуассона, но пределы текучести при сдвиге совпадают или почти совпадают. На рис. 4 представлена модельная т-у-диаграм-ма материалов 1 и 2 и модель зоны предразрушения при ту1 ~ту2. В этом случае с помощью системы определяющих уравнений (14), (15) находим критическую нагрузку отдельно в каждом материале и в качестве критической разрушающей нагрузки для композита выбираем наименьшую из этих двух нагрузок.
напряженного состояния kj - (3 -V j)Д1 + vj). Отметим, что в [13] это выражение приведено с опечаткой: пропущен еще один множитель п в правой части равенства, вместо П должно быть п2. Определим эквивалентный коэффициент интенсивности напряжений Ке с помощью равенства (17) следующим образом:
Ке - ^КК - ^п(а2 +т2)/,
(18)
F -
(1 + 4 в 2).
Заметим, что если материалы 1 и 2 отличаются только разными пределами текучести при сдвиге, а ц - ц 2, v1 -V2 (и следовательно, модули Юнга равны Е1 - Е2), то F = 1, а = 0, Ке - ^^П/ - Ктт, т.е. эквивалентный коэффициент интенсивности напряжений совпадает с Кп. На рис. 3 представлены графики функции F = - F(Б^Е2,v1,V2) для различных значений v1 и V2 при плоской деформации. Кривые 1-3 построены для v1 -= 0.2 и V2 - 0.45, 0.3 и 0.2 соответственно. Кривые 4-6 построены для v1 - 0.3 и V2 - 0.45, 0.3 и 0.2. Кривые 79 построены для v1 - 0.45 и V2 - 0.45, 0.3 и 0.2. Графики показывают, что во всем диапазоне изменения величины Б1 /Б2 значения множителя F отличаются от 1 меньше чем на 4.5 % для плоской деформации и менее чем на 5.1 % для плоского напряженного состояния. Поэтому и в случае существенно разнородных материалов можно
4. Численное моделирование
Воспользуемся методом конечных элементов для численного моделирования формы пластической зоны в окрестности вершины трещины, распространяющейся по границе раздела двух материалов. Рассмотрим биметаллическую квадратную пластину с центральной трещиной длиной 2/0 - 10 мм в условиях плоского деформированного состояния, подвергаемую поперечному сдвигу напряжениями тто, приложенными на кромке (рис. 1). Геометрические размеры пластины: ширина Ь = 100 мм, высота Ь = 100 мм, толщина В = = 0.4 мм. Характеристики материалов пластины: Е1 -- 10Е2 - 200 ГПа, v1 - V2 - 0.25, пределы текучести ту1 -ту2 - 400/Тз МПа.
При поперечном сдвиге пластины в окрестности вершины трещины возникают большие пластические деформации. Численное моделирование пластических зон, возникающих при растяжении пластины с центральной трещиной, подробно изложено в работе [23]. Отметим здесь лишь существенные отличия.
Расчетная область разбивается неравномерной сеткой из 500000 четырехугольных элементов. В окрестности вершины трещины производилось сгущение сетки до размера 0.025 мм. Внешняя нагрузка тто возрастала по линейному закону от 0 до т у1 за время Т = 1. Под временем в квазистатических задачах понимается некоторый монотонно возрастающий параметр нагру-жения.
т
Ту1 = ту2
О
0
У01 У02
712 Ун У
Рис. 4. Модельная т-у-диаграмма материалов 1 и 2 (а) и модель зоны предразрушения при ту1 ~ту2 (б)
0.0100 0.0090 0.0080 0.0070 0.0060 0.0051 0.0041 0.0031 0.0021 0.0011 0.0001
0
0.0100 0.0090 0.0080 0.0070 0.0060 0.0051 0.0041 0.0031 0.0021 0.0011 0.0001
Рис. 5. Пластическая зона перед вершиной трещины при нагрузке к = 0.236 (а) и 0.500 (б)
Результаты расчетов представлены на рис. 5, где показано распределение эквивалентных пластических деформаций ер = ^2ерер ¡3 (ер — компоненты тензора пластических деформаций). На рис. 5 даны пластические зоны перед вершиной трещины в моменты времени, соответствующие уровню нагружения к = = т^/ту1 = 0.236 и 0.500. Для более детальной прорисовки распределения эквивалентных пластических деформаций контурные полосы на рисунках ограничены диапазоном 10-4 -10-2. Для уровня нагружения к = 0.5 отчетливо видно, что зона интенсивных пластических деформаций величиной до 0.1 распространяется прямолинейно вдоль поверхности раздела материалов и расположена в основном в материале 2 с меньшим модулем упругости. Результаты расчета показывают, что с увеличением нагрузки значительно увеличивается длина пластической зоны, а ширина пластической зоны возрастает существенно медленнее.
В табл. 1 для различных значений нагрузки к представлены значения смещений 2ие узлов сетки в окрестности вершины трещины, а также поперечного размера ае и длины Ае (мм) пластической зоны, полученные в результате численной обработки изолиний пластичес-
Таблица 1
k 2ue, мм ae, мм Ae, мм Y e, мм
0.094 0.00020 0.0425 0.0250 0.00038
0.00126 0.0475 0.0250 0.00428
0.136 0.00030 0.0475 0.0688 0.00043
0.00208 0.0488 0.0688 0.00439
0.164 0.00050 0.0576 0.1137 0.00052
0.00278 0.0497 0.1159 0.00447
0.236 0.00100 0.0881 0.2691 0.00079
0.00587 0.0709 0.2601 0.00638
0.332 0.00200 0.1161 0.5806 0.00104
0.01170 0.1062 0.5581 0.00956
0.427 0.00330 0.1264 1.0751 0.00114
0.02000 0.1756 1.0831 0.01580
ких зон. Смещение 2ue дано для узла сетки, расположенного на расстоянии поперечного размера ae над вершиной трещины, относительно узла, соответствующего вершине трещины. Для каждого значения нагрузки значения смещения 2ue, поперечного размера ae и длины Ae даны для материала 1 (верхняя строка) и для материала 2 (нижняя строка).
С использованием величины ae численного эксперимента вычислялась величина критического смещения
ye по ф°рмуле у; = (Y!- -Yоi)ae = YYo^ (Y01 = °.°03 для материала 1, Y02 = 0.03 для материала 2) при различных значениях у. В пятой колонке табл. 1 приведены значения Y*, вычисленные при Y = 3. На рис. 6 для Y = 3 представлена аппроксимирующая кривая y; = = (y11 -Y01)ae = 0.433k-0.302k2 (кривая 2), полученная методом наименьших квадратов по экспериментальным точкам пятой колонки табл. 1 для материала 1, также отмеченным на рис. 6. Для кривой, аппроксимирующей точки 2ue второй колонки табл. 1, получена формула 2ue = 0.00862 - 0.571k + 7.12k2 (кривая 5). Точка пересечения этих двух кривых имеет абсциссу k = 0.187. Именно это значение k считается значением критической нагрузки при Y = 3 для материала 1. Таким же способом для материала 2, для которого у 0 = 0.03, получена критическая нагрузка k = 0.262. Поэтому для биматериала в качестве критической разрушающей нагрузки выбирается значение k = 0.187.
Рис. 6. Критическая разрушающая нагрузка как координата точки пересечения двух кривых, полученных в результате численного моделирования для у = 1 (1), 3 (2), 5 (3), 7 (4), кривая 5 аппроксимирует смещение 2ие
5. Сравнение численных и аналитических результатов
Заметим, что уравнения механики сплошной среды, используемые при численном моделировании методом конечных элементов, не содержат размер г элемента структуры материала. При дискретизации расчетной области вводится структурный параметр, совпадающий с характерным линейным размером конечного элемента. Если методом конечных элементов решаются уравнения механики деформируемого твердого тела для материалов со структурой, то размер конечного элемента не должен превышать характерного линейного размера элемента структуры материала. Кроме того, при численном моделировании остается неопределенным значение параметра у1г- (максимального относительного смещения). Наоборот, уравнения (9), (10) или приближенные уравнения (12), (13) аналитической модели содержат величины г и у1г-, причем величина т1 входит только в уравнения (9) и (12), а величина у1г- входит только в уравнения (10) и (13). Поэтому предлагается следующий алгоритм сравнения численных результатов, полученных в предыдущем пункте, и результатов, которые можно получить с помощью аналитической модели (12), (13). _
1. Задаем значение показателя пластичности у -- СУи-Yoi У У 01, например у - 1, 3, 5, 7.
2. С помощью результатов численного моделирования с привлечением достаточного критерия аналитической модели вычисляем для заданного у критическую нагрузку А, как показано на рис. 6 в предыдущем пункте.
3. По этому значению А с помощью интерполяции данных четвертой колонки табл. 1 вычисляем значение экспериментальной критической длины А е зоны пластичности.
4. Используя полученные критические значения А и Ае, находим из уравнения (12) аналитической модели значение г характерного линейного размера элемента структуры материала.
5. По найденному значению г вычисляем для различных нагрузок А значения А по формулам (11), (15) и (16) аналитической модели и сравниваем эти значения с А е численного эксперимента.
Таблица 2
А Ап, мм А15, мм А16, мм Ае, мм
0.094 0.00753 0.0212 0.0381 0.0250
0.136 0.03670 0.0651 0.0798 0.0688
0.164 0.08360 0.1080 0.1160 0.1137
0.236 0.44100 0.2660 0.2400 0.2691
0.332 2.36000 0.5880 0.4750 0.5806
0.427 9.30000 1.0300 0.7860 1.0750
0.187 0.15100 0.1510 0.1510 0.1510
6. Находим величину поправочного коэффициента та - ае/ ат для поперечного размера зоны предразру-шения при критическом значении А. Из уравнения (13) аналитической модели находим величину поправочного коэффициента т и полагаем ти - та/т.
7. По найденным значениям та и ти вычисляем для различных нагрузок А значения таат (для бимате-риала ат - /У2А2 (5 - 8v + 8v2)/24 в условиях плоской деформации) и ти 2и по формуле (5) аналитической модели и сравниваем эти значения с ае и 2ие численного эксперимента.
8. Переходим к пункту 1 алгоритма, т.е. повторяем всю процедуру для другого значения у.
Для у-3 последовательно получим А = 0.187, Ае - 0.151, г1 - 0.0161, та - 2.72, ти - 0.757 (для материала 2 А = 0.262). Для у- 5 получим А = 0.287, Ае - 0.431, г1 - 0.0175, та - 1.63, ти - 0.25 (для материала 2 А = 0.866). Результаты вычислений длин зон предразрушения по данному алгоритму для материала 1 при у - 3 и 5 приведены в табл. 2 и 3 соответственно.
Все величины Ап, А15, А16 соответствуют квазивязкому типу разрушения, А16 вычислено по формуле (16), когда перед корнем выбирался знак -. Отметим, что квазихрупкому типу разрушения, когда в формуле (16) перед корнем выбирается знак +, при критической нагрузке А = 0.187 при у - 3 соответствует значение А+ - 0.006, а квазивязкому типу разрушения соответствует значение А_ - 0.151, которое совпадает с экспериментальным значением Ае - 0.151 (см. последнюю строку табл. 2).
Анализ табличных данных показывает, что длина зоны предразрушения А15 , вычисленная по формуле (15), хорошо согласуется с длиной Ае зоны пластичности численного моделирования во всем диапазоне нагрузок. Это совпадение объясняется тем, что при выводе формулы (15) не использовалось выражение модельного поперечного размера таат зоны предраз-рушения. Длины зон предразрушения А11 и А16 совпадают с А15 только для критического значения нагрузки: в табл. 2 для А = 0.187, в табл. 3 для А = 0.287. Это связано с тем, что при выводе формул (11) и (16) использованы оба уравнения (12) и (13), а уравнение (13)
Таблица 3
А Ап, мм А15, мм А16, мм Ае, мм
0.094 0.00287 0.0241 0.0462 0.0250
0.136 0.01400 0.0698 0.0968 0.0688
0.164 0.03190 0.1140 0.1410 0.1137
0.236 0.16800 0.2750 0.2920 0.2691
0.332 0.89900 0.5980 0.5770 0.5806
0.427 3.55000 1.0400 0.9540 1.0750
0.287 0.43100 0.4310 0.4310 0.4310
Таблица 4
X т аат ае, мм
у = 3 у = 5
0.094 0.0178 0.0106 0.0425
0.136 0.0372 0.0223 0.0475
0.164 0.0541 0.0324 0.0576
0.236 0.112 0.0671 0.0881
0.332 0.222 0.133 0.1161
0.427 0.366 0.220 0.1264
0.187 0.0703 - 0.0703
0.287 - 0.0993 0.0993
содержит выражение модельного поперечного размера таат зоны предразрушения. Однако для нагрузок, отличных от критической, величина тааТ плохо согласуется с шириной ае зоны пластичности при численном моделировании, потому что уравнение (13) выполняется только для критических значений X и А. Наоборот, уравнение (12) справедливо для любых нагрузок, поэтому значение параметра г можно определить из уравнения (12) по любым, не обязательно критическим, значениям X и А.
В табл. 4 приведены значения модельного поперечного размера тааТ для различных нагрузок при у = 3 и 5 для материала 1. Анализ данных табл. 4 показывает, что величина ае возрастает пропорционально нагрузке X, величина модельного поперечного размера таТ пропорциональна X2 (см. пояснение к формулам (6) и (8)).
Очевидно, что для более полного согласования результатов во всем диапазоне нагрузок можно выбрать поправочный коэффициент та зависящим от нагрузки X.
6. Обсуждение результатов
Косвенным подтверждением заключения (см. обсуждение рис. 3), что учет разномодульности материалов вносит в формулы (11), (14)-(16) приемлемую с инженерной точки зрения погрешность, может служить следующее сравнение. Для биматериала с характеристиками материалов пластины: Е1 = Е2 = 200 ГПа, ту1 = 400/л/3 МПа, ту2 = 800/л/з МПа, v1 = V2 = 0.25 при у = 3 получено значение критической нагрузки X = = 0.179. Сравнивая это значение с приведенным выше значением X=0.187 для разномодульного биматериала (Е1 = = 10Е2 = 200 ГПа), получим: (0.187 -0.179)0.179-1 = 0.0447, т.е. погрешность не превышает 5 % при вычислении критической нагрузки.
Показатель пластичности у существенно влияет на величину критической нагрузки. В разделе 4 был рассмотрен случай, когда у = 3 для обоих материалов, составляющих композит. Так как оказалось, что критическая нагрузка X = 0.187 в материале 1 меньше критической нагрузки X = 0.262 в материале 2, то для биматериала в качестве критической разрушающей нагрузки
было выбрано значение X = 0.187, т.е. при одинаковом показателе пластичности материал 1 с большим модулем упругости оказался более слабым, чем материал 2. Однако если взять для материала 2 показатель пластичности у = 1, то получим X = 0.049, т.е. разрушение произойдет в более хрупком материале.
Сравнение результатов численного и аналитического моделирования показало хорошее прогнозирование уравнением (12) аналитической модели длины зоны предразрушения (зоны пластичности) во всем диапазоне нагрузок. Однако уравнение (13), справедливое лишь для критических нагрузок, требует введения дополнительных поправочных коэффициентов ти и та на величину смещения берегов трещины 2м и на величину поперечного размера зоны предразрушения аТ, особенно при квазивязком типе разрушения.
Формулы (11), (16) аналитической модели можно со следующими поправками использовать при нагружении по первой моде. Так как Кп^ = Ут^л/П7, сту = л/3ту в рамках критерия текучести Мизеса для плоской деформации и плоского напряженного состояния, а К^ = = Уст^ л/П7, то в формулах (11), (16) для длины зоны пред-разрушения в биматериале надо использовать выражение h = 4Тж%тУ2 7с/64 вместо h = Т2лутУ27с/96. Кроме того, для параметра с нужно выбирать с = 5 для плоского напряженного состояния и с = 1/(1 -V2) х х(5 - 8v + 8v 2) для плоской деформации. Формула (14) для критической нагрузки при нормальном отрыве имеет вид
. _ У Г L + У /27 Г, ± 1 хтс ^
1 1-27+ Ч1 -1П '
'V V ) )
где Х = (е1 _ео)/ео — показатель пластичности материала при растяжении. Интересно отметить, что выражение (15), в отличие от формул (11), (14) и (16), не зависит явно от вида напряженного состояния и от моды нагружения. Было бы полезно выяснить с помощью численного моделирования: меняется ли модельный характерный размер г структуры материала (см. равенства (12) и (15)) в зависимости от вида напряженного состояния и от моды нагружения? Возможно, это приведет к дальнейшему уточнению модели.
Замечание. Выше обсуждалось предварительное деформирование и разрушение биматериала, когда каждый из материалов является идеальным упругопласти-ческим материалом с предельным относительным удлинением. Предложенная модель разрушения (1), (2) применима не только для таких материалов, но и для полимерных композитов, если последние разрушаются путем образования крейзов [20, 24], если матрица имеет квазихрупкий тип разрушения. Схема зоны предразру-шения по моде II, представленная на рис. 2, полностью согласуется с приведенной последовательностью развития крейзов в вершине трещины поперечного сдвига на фрактограммах рис. 6.19 монографии [24, с. 336].
На трех фрактограммах зафиксирован процесс образования, деформирования и обрыва крейзов. Образовавшиеся микротрещины приблизительно ориентированы под углом 45° к границе раздела.
7. Заключение
Полученные структурные формулы (11), (14)-(16) могут оказаться полезными для прогнозирования критической разрушающей нагрузки X = т^/ту и оценки длины зоны предразрушения Д_ при нагружении по второй моде (при поперечном сдвиге) в квазивязких структурированных разномодульных биматериалах при плоском напряженном состоянии и при плоской деформации. Указанные формулы выражают величину нагрузки X и длины Д_ через длину трещины 21 с использованием четырех параметров: r — характерный линейный размер структуры материала, у 0 и у1 — параметры аппроксимации классической т-у-диаграммы, m — поправочный коэффициент. Эти четыре параметра подбираются по результатам лабораторного эксперимента или численного моделирования, например, как показано в данной работе.
Таким образом, рассматриваемая аналитическая модель может быть использована при исследовании деформирования и разрушения композитов из структурированных материалов. Это позволит уменьшить количество лабораторных или численных экспериментов, необходимых для оценки разрушающей нагрузки.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 14-08-00113, 16-08-00483).
Литература
1. Андреев А.В. Перспективы использования новых сингулярных решений теории упругости в прикладных задачах механики разрушения // XI Всерос. съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Сб. докладов, Казань, 2024 августа 2015 г. - Казань: Изд-во Казанского университета, 2015.- С. 154-156.
2. Белое П.А. Градиентные теории упругости. Зачем нужны сложные
и очень сложные модели // XI Всерос. съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Сб. докладов, Казань, 20-24 августа 2015 г. - Казань: Изд-во Казанского университета, 2015. - С. 427-428.
3. Бибосиное А.Ж., Искакбаее А.И., Бекбаутое Б.Е. Моделирование и исследование зоны пластичности вокруг трещины Гриффитса // XI Всерос. съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Сб. докладов, Казань, 20-24 августа 2015 г. - Казань: Изд-во Казанского университета, 2015. - С. 472474.
4. Иштырякое И. С., Яруллин P.P. Развитие трещин в полых образцах
при растяжении и кручении // XI Всерос. съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Сб. докладов, Казань, 20-24 августа 2015 г. - Казань: Изд-во Казанского университета, 2015. - С. 1641-1644.
5. Глаголев В.В., Девятова М.В., Маркин А.А. Модель трещины поперечного сдвига // ПМТФ. - 2015. - Т. 56. - № 4. - С. 182-192.
6. Смирнов С.В., Веретенникова И.А., Вичужанин Д.И. Моделирование расслоения при пластической деформации биметаллического материала, полученного сваркой взрывом // Вычислительная механика сплошных сред. - 2014. - Т. 7. - № 4. - С. 398-411.
7. Gallo P., Berto F. Some considerations on the J-integral under elastic-plastic conditions for materials obeying a Ramberg-Osgood law // Физ. мезомех. - 2015. - Т. 18. - № 5. - С. 27-34.
8. Салганик Р.Л. О хрупком разрушении склеенных тел // Прикладная математика и механика. - 1963. - Т. 27. - № 5. - С. 957-962.
9. Sinclair G.B. Stress singularities in classical elasticity. I: Removal, interpretation, and analysis // Appl. Mech. Rev. - 2004. - V. 57. -No. 4. - P. 251-297.
10. Ингленд А. Трещина между двумя разными средами // Тр. Амер. общ-ва инж.-механ. Прикладная механика. - 1965. - Т. 32. - № 2. -С. 165-168.
11. Эрдоган Ф. Распределение напряжений в связанных разнородных материалах с трещинами // Тр. Амер. общ-ва инж.-механ. Прикладная механика. - 1965. - Т. 32. - № 2. - С. 169-177.
12. Райе Дж., Си Дж. Плоские задачи о трещинах, расположенных на границе раздела двух сред // Тр. Амер. общ-ва инж.-механ. Прикладная механика. - 1965. - Т. 32. - № 2. - С. 186-192.
13. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений / Под ред. Ю. Мураками. - Т. 1. - М.: Мир, 1990. - 448 с.
14. Райе Дж. Не зависящий от пути интеграл и приближенный анализ концентрации деформации у вырезов и трещин // Тр. Амер. общ-ва инж.-механ. Прикладная механика. - 1968. - Т. 35. - № 4. -С. 340-350.
15. Черепанов Г.П. Вычисление инвариантных интегралов в особых точках // Вычислительные методы в механике разрушения / Под ред. С. Атлури. - М.: Мир, 1990. - С. 350-364.
16. Аетапов Н. С. Модифицированная модель зоны предразрушения квазихрупких структурированных материалов // Физ. мезомех. -2014. - Т. 17. - № 1. - С. 89-96.
17. Корнев В.М., Аетапов И. С. Аетапов Н.С. Модель расслоения композита при поперечном сдвиге // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2015. - Т. 21. - № 2. - С. 149-161.
18. Корнев В.М., Кургузов В.Д. Достаточный критерий разрушения в случае сложного напряженного состояния при непропорциональном деформировании материала в зоне предразрушения // ПМТФ. -2010. - Т. 51. - № 6. - С. 153-163.
19. Корнев В.М. Оценочная диаграмма квазихрупкого разрушения тел с иерархией структур. Многомасштабные необходимые и достаточные критерии разрушения // Физ. мезомех. - 2010. -Т. 13.- № 1. - С. 47-59.
20. Керштейн И.М., КлюшниковВ.Д., Ломакин Е.В., Шеетериков С.А. Основы экспериментальной механики разрушения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 140 с.
21. Броек Д. Основы механики разрушения. - М.: Высш. школа, 1980. - 368 с.
22. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами // Механика разрушения и прочность материалов. Т. 2. - Киев: Наукова думка, 1988. - 619 c.
23. Кургузов В.Д., Корнев В.М., Аетапов Н.С. Модель разрушения биматериала при расслоении. Численный эксперимент // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2011. - Т. 17. -№ 4. - С. 462-473.
24. Anderson T.L. Fracture Mechanics: Fundamentals and Applications. -London: CRC Press, 2000. - 680 p.
Поступила в редакцию 08.02.2016 г.
Сведения об авторах
Астапов Николай Степанович, к.ф.-м.н., доц., снс ИГИЛ СО РАН, доц. НГУ, [email protected] Корнев Владимир Михайлович, д.ф.-м.н., проф., гнс ИГИЛ СО РАН, [email protected] Кургузов Владимир Дмитриевич, д.ф.-м.н., доц., внс ИГИЛ СО РАН, [email protected]
