CC BY
37
УДК 539.3
Модифицированная модель зоны иредразрушения квазихрупких структурированных материалов
Н.С. Астапов
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия Новосибирский государственный университет, Новосибирск, 630090, Россия
В рамках модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла анализируется точность описания зоны предразрушения, расположенной на продолжении трещины в квазихрупком материале со структурой. Рассматривается материал, в котором под действием растяжения, приложенного на бесконечности, реализуется первая мода разрушения в условиях плоского напряженного состояния. Для более полного соответствия с известными численными результатами предложено уточнение структурных формул критической длины зоны предразрушения и критической нагрузки для квазихрупких материалов. Получено обобщение модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла на случай квазивязких материалов.
Ключевые слова: критерии разрушения, зона предразрушения, характерный размер структуры, диаграмма квазивязкого разрушения
Modified prefracture zone model for structured quasibrittle material
N.S. Astapov
Lavrentiev Institute of Hydrodynamics, SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090, Russia
The paper analyzes a modified Leonov-Panasyuk-Dugdale model and its accuracy in describing a prefracture zone on crack extension in structured quasibrittle materials. The material under study is that in which a mode I crack develops under plane tensile stress conditions. For more complete agreement with available numerical data, the formulae for critical prefracture zone length and critical load in quasibrittle materials are refined. The model is generalized for quasiductile materials.
Keywords: fracture criterion, prefracture zone, characteristic structure size, quasiductile fracture diagram
1. Введение
В обзоре экспериментальных работ [1] указывается, что одним из наиболее важных факторов, вызывающих разрушение в машиностроительных конструкциях является наличие скрытых трещин или трещиноподобных дефектов. Кроме того, отмечаются проблемы построения аналитических моделей процесса разрушения в рамках линейной механики разрушения, особенно для конструкций сложной геометрии, находящихся в условиях ползучести. В работе [2] показано, что критерии разрушения, учитывающие характерный размер структуры материала, позволяют «расширить область применения по сравнению с традиционными критериями», хотя «вопрос о том, как этот размер связан с составом, структурой и, возможно, с другими параметрами реаль-
ного материала, до сих пор не изучен». В работе [3] для описания процесса разрушения учитываются пределы упругости составляющих композит материалов, но не учитывается их структура. Однако трещины часто оказываются межзеренными, и наличие периодической структуры существенно влияет на «раскрытие трещин, которое изменяется постепенно геометрически упорядоченным образом» ([1], с. 96).
В настоящей работе при описании разрушения структурированных материалов используется модифицированная модель зоны предразрушения Леонова-Панасюка-Дагдейла с привлечением необходимого и достаточного критериев разрушения (подход Нейбера-Новожилова). Модификация была выполнена В.М. Корневым [4, 5] и используется для решения различных
© Астапов Н.С., 2014
задач квазихрупкого разрушения материалов, например: для оценки накопления повреждений в образце при нестационарном малоцикловом нагружении, при исследовании влияния точечных дефектов на прочность монокристаллов, для оценки остаточной прочности материалов при усталости. Поэтому в дальнейшем эту модифицированную аналитическую модель для краткости будем называть моделью Корнева. Главное отличие модели Корнева от классической модели Леонова-Пана-сюка-Дагдейла заключается в появлении дополнительного параметра — ширины зоны предразрушения, моделирующего поперечник зоны пластичности. Этот параметр позволяет более полно оценить разрушение структуры зоны предразрушения, используя информацию о параметрах стандартных а-8-диаграмм материалов.
2. Модифицированная аналитическая модель разрушения
Процесс распространения трещины в структурированной среде подробно описан с помощью модели Корнева для квазихрупких материалов в работе [5].
При построении прямоугольной зоны предразрушения размером А х а (рис. 1), моделирующей возникшую в окрестности вершины трещины длиной 210 область пластичности, в биметалле и диаграмм разрушения используется достаточный критерий разрушения (подход Нейбера-Новожилова) [4-6]:
1 7
— \ а у (х,0)ёх <ау1, х > 0,
1 0
(1)
2у (х) <5*, -А< х <0. (2)
Здесь ау (х, 0) — нормальное напряжение на продолжении трещины; п и к — натуральные числа; пг1 — интервал осреднения; (п - к)/п — коэффициент по-врежденности исходного материала на интервале осреднения. Предел прочности более слабого материала обозначен через а у1, параметр г1 — характерный линейный размер элемента структуры материала, функция у=у(х) — полураскрытие трещины. Через 5^ обозначено критическое раскрытие модельной трещины для однородного материала, при котором разрушается структура (волокно) материала в вершине реальной трещины (граничной точке зоны предразрушения), причем полагается 5^ = (еп -801) а, где 801 — максимальное упругое относительное удлинение и 811 — максимальное относительное удлинение более слабого (ау1 < <ау2) материала.
Поперечник а зоны предразрушения (рис. 1) отождествляется с полупоперечником (так как предполагается, что в условиях пластичности находится лишь один наиболее слабый металл) зоны пластичности в вершине реальной трещины однородного материала при плоском напряженном состоянии [6, 7]:
\2
у1
В равенстве (3) 21 = 2/0 + 2А — длина модельной трещины.
Неравенство (2) для критического значения параметра х = -А превращается в равенство [6]
8е,
(К!„ + К!а\/^ = (811 -8
у1
(4)
В уравнении (4) К1то = а^л/Л/ — коэффициент интенсивности напряжений, порождаемый напряжением а^, К1А — коэффициент интенсивности напряжений, порождаемый постоянным напряжением ау1 и действующий согласно модели Леонова-Панасюка-Даг-дейла:
К1А =-ау^7П/
1--а1гат
п
1 -А
/
(5)
Используя для упрощения выражения (5) приближение arcsm(1 - А//) - я/2 2 А//, (6)
получим К1А - -2ау^2 А/п и запишем равенство (4) в виде квадратного уравнения относительно д/А//:
А=(8 -8 )5
/ "( 11 8 а2
(7)
у1
Отбрасывая в соотношении (7) в виду малости слагаемое, содержащее А//, для искомого наименьшего корня уравнения (7) получим приближенное выражение
а=-5-т
/ N 2 / \
811 -801 а^
801 01 а у1
/
(8)
критической длины зоны предразрушения в более слабом материале.
Неравенство (1) для критических значений а^ и А также обращается в равенство. Подставляя в (1) приближенное представление нормальных напряжений ау (х,0) на продолжении трещины [6, 8]
а у (х ,0) =
ат х +/
К,
1А
(
х + /)2 - /2
, х > 0,
(9)
Рис. 1. Зона предразрушения в биматериале
после интегрирования имеем равенство
ст^ Н)2 + 21пг1 + Кил/ 2птх1 / = сту1Аг!. (10) В уравнении (10) также воспользуемся приближением (6) для выражения К1Д = -2ст у1^/2А//, из которого исключим А с помощью представления (8). Окончательно для величины ст^ критического напряжения получим соотношение
5 4п еп -е01 /27 Г
ст„
у1
+ 21 п
к2 г1 к2 16/ к
01
(11)
Структурные формулы (8), (11) описывают критическую длину зоны предразрушения А и критическое напряжение ст^ разрушения, если трещина расположена вдоль границы раздела сред, а приближенное представление нормальных напряжений сту (х, 0) на продолжении трещины выбрано, как и в [6, 8] в виде (9).
Введем обозначения безразмерного критического напряжения Х = стсо/сту1 (критического напряжения, отнесенного к пределу прочности) и параметра х = = (е11 -е 01)/ е01, который можно назвать показателем пластичности или обратной величиной показателя хрупкости. Тогда после простых преобразований формулы (8), (11) для критической длины А зоны предразрушения и безразмерной критической нагрузки X можно записать в виде
А = 25х2А27/211, (12)
И 5х [2гп_
х=к
1+— пг 16/
(13)
'1 16'и V'"!
Формула (13) нагляднее формулы (11) отражает физическую суть задачи.
3. Уточненная модель Корнева
Проанализируем полученную систему (12), (13). Система уравнений (1), (2) равносильна системе уравнений (4), (10), записанной через коэффициент интенсивности напряжения при условии, что в обеих системах выбрана одна и та же функция сту (х,0) нормального напряжения на продолжении трещины и функция v=v( х) — полураскрытие трещины. Но затем в каждом из уравнений (4), (10) использовано приближение (6) для представления коэффициента К1А. Это приближение оправдано тем, что выполняется неравенство А/1 << 1. Для 0 < х = А// < 0.1 погрешность приближения (6) не превосходит 0.4%, для 0.1 <x< < 0.4288 погрешность не превышает 6 %. При х = = 0.4288 для arcsin(1 - х) приближение 1 - х дает ту же погрешность, что и формула (6). Заметим, что при 0.4288 < х < 1 лучше пользоваться приближением атсзт(1 - х) = 1 - х вместо формулы (6). Однако затем при решении уравнения (7) отбрасывается слагаемое, содержащее А/1. Тем самым при решении исходного
уравнения (4) не учитывается (полагается равным нулю) коэффициент Кт, который отвечает за описание зоны предразрушения. Уравнение (7) можно записать в виде ах2-вх + у = 0, где а = 16е01/п>0, Р = 8е01ХД/2>0, у = 5(е11 - е01)Х2/8 >0, х = ^А/1. Действительные корни этого уравнения существуют лишь при условии 0 <в2 - 4ау и с учетом двух членов биномиального разложения приближенно равны
х1,2
= р/ (2а) (1^ 1-4ау/р2) =
= Р/ (2а) (1 ± (1 - 2ау/р2)) при условии 4ау/р2 << 1. Отсюда для меньшего корня получаем х = у/Р, т.е. то же самое решение, что и при а = 0 или при отбрасывании в уравнении (7) слагаемого с А//. Возвращаясь к уравнению (7), найдем, что действительные корни уравнения (7)
2\ 2
А± = -
/2Х
32
1 ±. 1 -
5Х 4/
I
(14)
существуют лишь при условии х < 4п/5 = 2.5, а приближение (8) для корня А_ годится лишь при условии Х << 2.5. Заметим, что это уточненное ограничение существенно сильнее, чем ограничение х<16п/5 = 10, обусловленное формулой (11) модели Корнева при п = к = 1 [6, 8, 9].
Уточним выражение для критической длины А зоны предразрушения, не применяя в соотношении (5) приближение (6). Для этого запишем систему уравнений (4), (10) следующим образом:
Кт_ /А_ХсЛ21 '2/
(15)
(16)
где с = 5/8 для плоского напряженного состояния. В уравнение (15) подставим выражение коэффициента К1А из уравнения (16), а для коэффициента К^ используем соотношение К^ =стсол/п/. В уравнении (16) для коэффициента К1А используем соотношение (5). Получим систему уравнений, равносильную системе уравнений (15), (16) и, следовательно, равносильную исходной системе уравнений (1), (2):
г < к ш ^ 727хсХ2
2/ п \ 2/
(17)
X-
. I пг к 1пп 2 . Г А | X. 1 + —--. — = 1--атсзт I 1--I.
.. - ________ - .. (18)
2/ п V 2/ / I / I
Систему уравнений (17), (18) будем называть точной. Из уравнения (17) при условии, что коэффициент при л/а не равен нулю (этот случай будет рассмотрен ниже), получим точное выражение для длины зоны пред-разрушения:
Д =
х2 с 2 х 4/2
16пл
которое при с = 5/8 для плоского напряженного состояния можно записать в удобном для сравнения с формулой (12) виде:
-1-2
25 ''212, ' '
11 + nx\ 2/ \ 21
Д = ^Т 1
(19)
Выражение (19) является точным в том смысле, что оно есть следствие уравнений (4) и (10) при условии = а^л/П/, причем никакое приближение для коэффициента К1Д здесь не используется. Заметим, что в отличие от формулы (8) модели Корнева выражение (19) уточненной модели для длины зоны предразрушения явно зависит (не опосредованно через X) от параметров к и п, характеризующих поврежденность исходного материала, и зависит от характерного размера г1 структуры материала.
На рис. 2 приведены графики зависимости длины Д зоны предразрушения от нагрузки X, построенные по формулам (12), (14) и (19) при I = 15 мм, п = к = ' = 1. Кривая 1 построена по формуле (12) модели Корнева. Кривые 2 и 3 для Д- и Д+ построены по формуле (14). Из графика видно, что кривая 1 модели Корнева имеет хорошее согласие с кривой 2, соответствующей квазихрупкому разрушению. Кривая 3 для Д+ в модели Корнева не рассматривалась, так как в уравнении (7) был учтен только меньший корень. Кривые 4 - 7 построены по точной формуле (19) при г1 = 0.01, 0.10, 1.00 и 10.00 соответственно. Рисунок 2 показывает, что длина Д зоны предразрушения существенно зависит от характерного размера г1 структуры материала, который формулой (12) модели Корнева не учитывается. Лишь для достаточно больших значений г1 формула (12) дает хорошее приближение для Д: кривая 1 модели Корнева «ближе» к кривой 7, чем к кривой 4. Такой же вывод можно сделать при сравнении графиков зависимости длины Д зоны предразрушения от длины 21 модельной трещины при фиксированной нагрузке X. Качественно эти графики похожи на графики рис. 2, отличие лишь в том, что
вместо кривых 1-3 получим отрезки прямых, потому что зависимость Д от I в формулах (12) и (14) линейная.
Для безразмерной критической разрушающей нагрузки X получим из уравнения (18) с помощью соотношения (6) приближенное равенство л ,, пг к пг 2 /2Д
X 1+—1 —А — —.
2/ п v 2/ п v /
Подставляя в это равенство точное выражение (19) длины Д, имеем квадратное относительно нагрузки X
уравнение
г1+ш+ХС -
2/ 2п
1+ш 2/
\
X2 -
/
/
1
-2/1+ш 2/
. к2 пг, X^—т- -1-. п2 2/
0.
(20)
Систему уравнений (17), (20) будем называть приближенной. Корни уравнения (20) можно записать в виде
X _ к пг1
± ~ 2пЧ 2/"
пг
2/1 + ^ -1 ± 2/
2'с п
1 + пи 2/
1+
пг,
хс
-1
(21)
Рис. 2. Зависимость длины зоны предразрушения от нагрузки
2/ 2п
Отметим, что действительные корни X± уравнения (21) в случае плоского напряженного состояния (с = 5/8) существуют лишь при условии х ^ 4п/5 -2.5, причем при этом условии корни неотрицательны, как и корни (14) уравнения (7).
4. Сравнение аналитических и численных результатов
Точная система двух уравнений (17), (18) — определяющих соотношений аналитической модели — содержит при п = к = 1 пять неизвестных величин: X, Д, г1, х и I. Поэтому для нахождения любых двух из пяти неизвестных с помощью системы уравнений (17), (18) необходимо знать значения трех остальных величин. Для прогнозирования длины Д зоны предразрушения и характерного размера г1 структуры материала по заданной нагрузке X и длине I трещины необходимо еще знать значение параметра X материала.
4.1. Длина зоны предразрушения в биметалле
Сравним результаты прогнозирования с помощью аналитической модели длины Д зоны предразрушения по заданной нагрузке X с результатами работы [8]. В работе [8] проведено численное моделирование методом конечных элементов реальной формы пластической зоны в окрестности вершины трещины нормального отрыва, распространяющейся по границе раздела двух металлов. Рассматривалась биметаллическая квадратная пластина размером 100x100 мм2, толщиной 0.4 мм с центральной трещиной длиной 2/0 = 30 мм в условиях
Таблица 1
Задано МКЭ* Точное решение Модель Корнева
1 2 3 4 5 6 7 8
X Ае А- '1- А+ '1+ Ак Г1К
0.0680 0.040 0.0013 0.107 0.066 0.0021 0.0010 0.111
0.0821 0.081 0.0019 0.156 0.096 0.0031 0.0015 0.162
0.1026 0.146 0.0030 0.245 0.149 0.0048 0.0023 0.254
0.1436 0.356 0.0058 0.484 0.292 0.0095 0.0045 0.501
0.2326 1.219 0.0153 1.310 0.762 0.0252 0.0117 1.356
0.3352 3.902 0.0317 2.870 1.565 0.0521 0.0244 2.980
* Метод конечных элементов
плоского напряженного состояния, подвергаемая растяжению напряжениями ст^, приложенными на кромке. Характеристики материалов пластины: Е1 = Е2 = = 2 -10 МПа, ц1 = ц2 = 0.25, пределы текучести сту1 = = 340 МПа, сту2 = 500 МПа.
В аналитической модели для длины трещины положим 2/ = 30 мм, так как / = /0. В первых двух колонках таблицы 1 приведены данные работы [8], полученные при 2/0 = 30 мм. Естественно предположить, что показатель пластичности материала х и характерный линейный размер структуры материала '1 являются постоянными для рассматриваемой пластины. Тогда для фиксированной нагрузки Х1 система точных уравнений (17), (18) при п = к = 1 содержит три неизвестные величины: А1, х и г1. Причем последние две неизвестные имеют те же значения для любой другой нагрузки Х2, которой соответствует свое значение длины А2 зоны предразру-шения. Составим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными: х, ' и А1, А2, соответствующими двум различным значениям Х1, X 2 нагрузки и найдем ее решение численно. Для Х1 = 0.048 и X2 = 0.3352 (эти значения выбраны из таблицы работы [8]) было найдено решение х = 1.088, г1 = 0.053, А1 = 0.00065, А2 = 1.565. Таким образом с помощью аналитической модели вычислено значение параметра х, соответствующее нагрузкам X, приведенным в первой колонке табл. 1, при заданной длине трещины 2/ = 30 мм.
Теперь, полагая х = 1.088 и / = 15 мм для каждого значения нагрузки X в первой колонке табл. 1 вычислим значения А и '1 , решив систему точных уравнений (17), (18). Расчеты показали, что существуют два различных решения, показанные в колонках 3-6 таблицы. Решение, содержащее меньшее значение А и соответствующее ему значение '1 , помечено индексом «-», второе решение с большим значением А помечено индексом «+». Из таблицы видно, что выполняется приближенное равенство А+ = 50А-. Решение, представленное в колонках 3, 4, содержит величину А-, которая плохо согла-
суется с величиной АЕ численного эксперимента: А-в 30-100 раз меньше АЕ . Наоборот, величина А+ лучше, чем А-, согласуется с величиной АЕ : А+= 0.4АЕ -И.65АЕ. Кроме того, заметим, что для решения, представленного в колонках 5, 6, приближенно выполняется равенство А+ = 30г1+.
В колонке 7 табл. 1 приведены вычисленные по формуле (12) модели Корнева значения длины Ак зоны предразрушения, которые для всех значений нагрузки достаточно хорошо аппроксимируют значения А-, причем Ак < А- в полном согласии с рис. 2. В колонке 8 табл. 1 дано значение характерного линейного размера '1к структуры материала в модели Корнева, вычисленное по заданной нагрузке с помощью равенства (13).
Кроме результатов вычислений, представленных в табл. 1, для выяснения влияния приближения (6) для каждого значения нагрузки были найдены корни квадратного уравнения (7) по формуле (14). Оказалось, что для нагрузки X< 0.1436 корни А- и А+ уравнения (7) с точностью до трех значащих цифр совпадают с приведенными в колонках 3, 5 табл. 1 значениями А- и А+ и совпадают с решениями приближенной системы уравнений (17), (20). Результаты расчетов также показали, что для данной нагрузки X знаку «+» в формуле (21) соответствует значение г1+, а знаку «-» соответствует значение г1- табл. 1.
Можно сделать заключение, что именно X_, вычисленное по формуле (21), дает значение критической нагрузки для квазихрупкого типа разрушения и является уточнением формулы (13) модели Корнева. При х = 0 (хрупкое разрушение) имеем
"( I- А /( I-Л
X
1 + Ш -2/
1+ Ш 2/
т.е. такое же выражение можно получить по формуле (13) для хрупкого (х = 0) разрушения.
Однако в работе [10] было показано, что при численном моделировании разрушения биметаллической квадратной пластины с такими же характеристиками, как и в рассматриваемой здесь и в работе [8] пластине, наблюдался квазивязкий тип разрушения. Результаты работы [8] (колонка 2 табл. 1) существенно лучше согласуются с результатами вычисления по формуле (21) для X+ аналитической модели (колонка 5 табл. 1), чем с результатами, представленными в колонках 3, 7 табл. 1. Отсюда можно сделать заключение, что формула (21) для X+ описывает квазивязкий тип разрушения. Приведем дополнительные доводы для обоснования этого утверждения.
4.2. Диаграммы разрушения биматериала
На рис. 3 для п = к = 1, с = 5/8 и ' = 2.4 изображены три кривые разрушения в двойных логарифмических координатах. Кривая 1 построена по формуле (13), кривая 2 построена по формуле (21), взятой со знаком «-», кривая 3 построена по формуле (21), взятой со знаком «+». Расчеты показали, что для любого показателя пластичности 0 <х^ 4л/5 кривые 2, 3 лежат выше кривой 1, т.е. прогнозируемая формулой (21) разрушающая нагрузка больше нагрузки, прогнозируемой формулой (13). Если х = 0, то кривая 2 совпадет с кривой 1, следовательно, есть предельный переход от квазихрупкого к хрупкому типу разрушения. Если х = 4 л/ 5, то кривая 2 совпадет с кривой 3, эта точка является критической или точкой перехода с ветви квазихрупкого ) разрушения к ветви квазивязкого ) разрушения. Для ветви ) выполняется равенство Д+ - 30г1+, которое хорошо согласуется с результатами работы [10, рис. 6, с. 190], где Д-34г1. Видимо, неравенство Д<г1 характерно для квазихрупких материалов, неравенство Д> г1 — для квазивязких.
Теперь рассмотрим параметр с, для которого до сих пор рассматривалось единственное значение с = 5/8 (плоское напряженное состояние). Для плоского деформированного состояния имеем
с = (5 - 8ц + 8ц2)/(8 - 8ц2),
Рис. 3. Диаграммы хрупкого (1), квазихрупкого (2) и квазивязкого (3) разрушения биматериала
т.е. параметр с характеризует напряженно-деформированное состояние. С другой стороны, величина с пропорциональна поперечному размеру а зоны предраз-рушения: а = сX2/ (см. формулы (3) и (15)). Параметры с и х связаны между собой: если хс = п/2, то ветви квазихрупкого ) и квазивязкого ) разрушения совпадают. Если с = 0, то из формулы (3) следует, что поперечный размер а зоны предразрушения равен нулю, а из уравнения (15) следует равенство К^ + К1Д = 0 модели Леонова-Панасюка-Дагдейла. Как отмечено в [7, с. 69], модель Леонова-Панасюка-Дагдейла «является обобщением ... на упругопластические среды» модели квазихрупкого приближения линейной механики разрушения, когда перед вершиной трещины образуется узкая пластическая зона. В этом случае (с = 0) из уравнения (17) находим выражение для критической нагрузки
// I- \ _ г— / I- \
1+пл-1 2/
/
1+пп + 1
2/
которое совпадает с выражением X+ формулы (21) для квазивязкого типа разрушения
2/
1 + ш-. ¡1 + ш
2/
Кроме того, при с = 0 из уравнения (17) следует равенство
' к
пг
X = X 11 + -1 2/
пользуясь которым из уравнения (18) находим выражение X = 1 - 2 arеsm(1 - Д//)/л, связывающее длину зоны предразрушения с нагрузкой, или Д// = 1 - еоз(лЯ/2) --л^2^ + 5л4X4/384. Это выражение хорошо согласуется с выражением Д/ / = sec( яА/ 2) -1 - л ъ 7в --л4X4/384, приведенным в [7, с. 65] для длины Д в модели Леонова-Панасюка-Дагдейла.
4.3. Диаграммы разрушения однородного структурированного материала
В работе [10] представлены результаты, полученные методом конечных элементов при численном моделировании распространения трещины нормального отрыва в однородном материале. Воспользуемся в равенстве (1) представлением нормального напряжения ау (х, 0) на продолжении трещины, обусловленном напряжением а^ [10]:
1Д
/ Кт К
ау (х, 0) = -=т=+а„+^=.
а/2 пх л/2 пх
(22)
Для поперечника зоны предразрушения в однородном материале при плоском напряженном состоянии
возьмем в отличие от (3) выражение а = 5X 2 //4. Повторяя процедуру, изложенную в разделе 3, в этом случае в аналитической модели для длины А зоны предразру-шения и безразмерной критической нагрузки X получим систему уравнений
' / Л-2
(23)
' 2/ + 5х 21
I пп 4/ пг1
(24)
На рис. 4 изображены кривые разрушения однородного материала. Кривая 1 построена по формуле ), которая при х = 0 (хрупкое разрушение), п = к = 1, г1 = 0.118 соответствует в модели Кор-нева представлению (22) нормального напряжения на продолжении трещины. Кривая 2 построена по формуле X = 1д/0.9999 + 16.95/, (25)
которая была выбрана в результате аппроксимации методом наименьших квадратов данных численного моделирования [10]. При численном моделировании методом конечных элементов рассматривалась квадратная стальная пластина размером 100x100 мм2, толщиной 0.4 мм. Длина внутренней трещины 2/ варьировалась в диапазоне от 4 до 90 мм. Кривая 3 построена при х = 0.0001 и п = к = 1 по формуле (24) уточненной модели, в которой перед квадратным корнем выбирался знак «+», что соответствует квазивязкому типу разрушения. Значение параметра г1 выбиралось из условия совпадения хотя бы для одного значения длины трещины (I = 2) значений нагрузки X, вычисленных по формулам (24) и (25). Из графика видно, что для небольших / < 5 длин трещин кривая 3 лучше кривой 1 аппроксимирует экспериментальную кривую 2. Отклонение кривой 3 для / > 5 объясняется влиянием ширины пластины, которое в модели (23), (24) не учтено.
5. Обсуждение результатов аналитического моделирования
Получено точное выражение (19) для длины зоны предразрушения квазихрупких материалов в модели Корнева. С помощью этого выражения дано уточненное выражение (21) для критической разрушающей нагрузки. Анализ уточненных соотношений (14), (21) показал, что область применимости (по параметру х) модели существенно меньше, чем это предсказывается упрощенным соотношением (13) модели Корнева.
Введение в рассматриваемую модель нового параметра с, характеризующего напряженно-деформированное состояние и связанного с усредненным поперечным размером области пластичности, позволило допол-
Рис. 4. Кривые разрушения однородного материала
нить модель структурными формулами для длины зоны предразрушения и критической нагрузки при квазивязком типе разрушения материалов. Анализ результатов численного моделирования с помощью метода конечных элементов [8, 10] показал удовлетворительное совпадение с теоретическими предсказаниями представленной здесь уточненной модели при квазивязком разрушении.
Следует заметить, что необходимо адаптировать уточненную аналитическую модель для описания поведения трещины в пластинах конечных размеров. В работе [9] при прогнозировании разрушения клееного композита в рамках модели Корнева были получены формулы для критических нагрузок с учетом конечных размеров образцов. Но при обработке данных натурных экспериментов с помощью модели Корнева для квазихрупких материалов встретились трудности: часто не удавалось найти численного решения системы определяющих уравнений. Возможно, отчасти эти затруднения вызваны ограничением на параметр х< 2.5, которое не всегда в [9] соблюдалось. Кроме того, в [9] высказано предположение «Видимо, для более точного предсказания аналитической моделью разрушающей нагрузки необходимо уточнить выражение поперечника зоны предразрушения». Отметим, что попытки обработать данные натурных экспериментов работы [9] с помощью уточненных структурных формул (19) и (21) для X+ при квазивязком типе разрушения проводились и оказались обнадеживающими. Однако здесь эти результаты не приводятся, так как требуют дополнительных исследований.
6. Выводы
Для более полного соответствия с известными численными результатами предложено уточнение структурных формул критической длины зоны предразрушения и критической нагрузки для квазихрупких материалов. Получено обобщение модели Корнева на случай квазивязких материалов. Показано, что модель Леоно-ва-Панасюка-Дагдейла описывается определяющими уравнениями модели Корнева.
Использование аналитической модели для описания разрушения структурированных материалов выявило чувствительность модели к геометрии образцов и к механическим характеристикам материалов, составляющих образцы. Особенно сильно это проявилось при вычислении модельного параметра, характеризующего линейный размер структуры материала.
По результатам расчетов можно сделать заключение, что использование модели Корнева в целом дает удовлетворительное качественное предсказание разрушающей нагрузки в зависимости от длины исходной трещины. Для улучшения количественного прогнозирования необходимо дальнейшее уточнение модели, в том числе, учитывающее конечные размеры образцов. Таким образом, рассматриваемая аналитическая модель может оказать помощь при исследовании деформирования и разрушения композитов из структурированных материалов, например, уменьшить количество натурных испытаний для прогнозирования разрушающей нагрузки.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 14-08-00113) и в рамках проекта № 25.8 программы Президиума РАН.
Литература
1. Итон Н., Гловер А., Мак-Грат Дж. Особенности разрушения при изготовлении и эксплуатации сварных конструкций / Механика. Новое в зарубежной науке. Механика разрушения. Разрушение конструкций. - М.: Мир, 1980. - Вып. 20. - С. 92-120.
2. Cyкнeв C.B. Применение нелокальных и градиентных критериев для оценки разрушения геоматериалов в зонах концентрации растягивающих напряжений // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - M 2. -С. 67-75.
3. Kim Y.-J., Schwalbe K.-H. Mismatch effect on plastic yield loads in idealised weldments II. Heat affected zone cracks // Eng. Fract. Mech. - 2001. - V. 68. - P. 183-199.
4. Kopнeв B.M., Kypгyзoв B.Д. Достаточный дискретно-интегральный
критерий прочности при отрыве // ПМТФ. - 2001. - Т. 42. - M 2. -С. 161-170.
5. Kopнeв B.M. Распределение напряжений и раскрытие трещин в зоне предразрушения (подход Нейбера-Новожилова) // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - M 3. - С. 53-62.
6. Kopнeв B.M., Астапов H.C. Модель разрушения кусочно-однород-
ной среды при расслоении упругопластических структурированных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2010. - Т. 16. - M 3. - С. 347-360.
7. Kepштeйн ИЖ., Елюшников B.Д., Ломакин E.B., Шeстepuкoв C.А.
Основы экспериментальной механики разрушения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 140 с.
8. Kypгyзoв B.Д., Kopнeв B.M., Астапов H.C. Модель разрушения биматериала при расслоении. Численный эксперимент // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2011. - Т. 17. -M 4. - С. 462-473.
9. Демешкин А.Г., Kopнeв B.M., Астапов H.C. Прочность клееного композита при наличии трещиноподобных дефектов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2013. - Т. 19. -M 3. - С. 445-458.
10. Kypгyзoв B.Д., Kopнeв B.M. Построение диаграмм квазихрупкого и квазивязкого разрушения материалов на основе необходимых и достаточных критериев // ПМТФ. - 2013. - Т. 54. - M 1. - С. 179195.
Поступила в редакцию 27.03.2013 г., после переработки 11.02.2014 г.
Cвeдeнuя об aвтope
Астапов Николай Степанович, к.ф.-м.н., доц., снс ИГиЛ СО РАН, доц. НГУ, nika@hydro.nsc.ru
