CC BY
86
УДК 539.3
Критические кривые разрушения и эффективный диаметр структуры хрупких и квазихрупких материалов
В.М. Корнев
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Предложены простые соотношения для отыскания эффективных диаметров структуры хрупких и квазихрупких материалов. При подсчете этих диаметров для сталей, алюминиевых сплавов и керамик используются аппроксимация классической диаграммы напряжение-деформация и критический коэффициент интенсивности напряжений рассматриваемого материала. За основу для теоретического анализа выбрана модифицированная модель Леонова-Панасюка-Дагдейла для трещин нормального отрыва, когда поперечный размер зоны предразрушения совпадает с поперечным размером зоны пластичности. При расчете эффективных диаметров структуры используются асимптотические представления коэффициентов интенсивности напряжений для длинных трещин. По полученным эффективным диаметрам структуры и классической диаграмме напряжение-деформация построены в широком диапазоне изменения длин трещин критические кривые разрушения материалов, имеющих хрупкий или квазихрупкий типы разрушения.
Ключевые слова: хрупкое и квазихрупкое разрушение, необходимые и достаточные критерии, материалы со структурой, эффективный диаметр структуры, критический коэффициент интенсивности напряжений
Critical fracture curves and effective structure diameter for brittle and quasibrittle materials
V.M. Kornev
Lavrentiev Institute of Hydrodynamics, SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
The paper proposes simple relations for finding effective structure diameters in brittle and quasibrittle materials. For steels, aluminum alloys, and ceramics, these diameters are calculated using the classical stress-strain diagram approximation and the critical stress concentration coefficient of a given material. The theoretical analysis is based on a modified Leonov-Panasyuk-Dugdale model for opening mode cracks in which the prefracture zone diameter coincides with the plastic zone diameter. The effective structure diameters are calculated using asymptotic representations of stress concentration coefficients for long cracks. From the calculated effective structure diameters and classical stress-strain diagram, critical fracture curves for brittle and quasibrittle materials with widely varying crack lengths are constructed.
Keywords: brittle and quasibrittle fracture, necessary and sufficient criteria, structured materials, effective structure diameter, critical stress concentration coefficient
1. Введение
В работе [1] подробно изложена история вопроса о развитии достаточных критериев квазихрупкого разрушения для материалов с регулярной структурой. Для построения необходимых и достаточных критериев разрушения используется подход Нейбера-Новожилова [2, 3] для структурированных материалов. Достаточные критерии разрушения [1, 4, 5] найдены в рамках модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла [6, 7], в которую введен помимо длины зоны предразруше-
ния ее поперечный размер. Введение дополнительного параметра позволяет оценить разрушение структуры материала в вершине реальной трещины. В тот момент, когда относительное удлинение материала, находящегося в зоне предразрушения, достигает максимального значения, структура материала переходит в критическое состояние [5]. Предельное относительное удлинение материала является одним из параметров стандартной диаграммы напряжение-деформация материала (точнее аппроксимации этой диаграммы упругопластического ма-
© Корнев В.М., 2013
териала). Построенные достаточные критерии разрушения [1, 4, 5] допускают предельный переход к необходимым критериям, когда длина зоны предразрушения стремится к нулю. Известно, что необходимые и достаточные критерии описывают хрупкое и квазихрупкое разрушение соответственно.
Построенные достаточные критерии разрушения для квазихрупких материалов удовлетворяют замечанию Ю.Н. Работнова [8, с. 11]: «.. .теория распространения трещин в пластических материалах должна включать в себя, по крайней мере, два элемента, а именно
1) решение упругопластической задачи с учетом конечности пластической деформации и с удовлетворением граничным условиям на деформированной границе и
2) нахождение условия образования макротрещины в материале, который претерпел значительную деформацию, сопровождающуюся накоплением микродефектов». Подчеркнем, что это замечание выполняется для плоского напряженного состояния [1, 4, 5]. Ниже кроме плоского напряженного состояния рассматривается плоское деформированное состояние, выполнено сопоставление критичных параметров разрушения для этих состояний.
2. Дискретно-интегральные критерии разрушения
Рассматривается плоская макротрещина нормального отрыва. Пусть эта трещина распространяется прямолинейно в материале со структурой, когда на бесконечности заданы растягивающие напряжения , дей-
ствующие по нормали к плоскости трещины. Кроме реальной прямолинейной трещины-разреза длиной 210 рассмотрим фиктивную трещину-разрез длиной 21 = = 210 + 2 Д, зоны предразрушения А которой расположены на продолжении реальной трещины (21 и А — длины фиктивных трещин и зон предразрушения). Полная постановка сложной нелинейной задачи о распределении напряжений и смещений трещины нормального отрыва для упругопластических материалов рассматривается в рамках нелинейной механики разрушения. Задачу предлагается существенно упростить, используя классические представления линейной механики разрушения, когда фиктивная трещина нормального отрыва моделируется двусторонним разрезом, а нелинейность задачи обусловлена только введением зоны предразрушения. С точки зрения масштабов макромасштабный уровень линейной механики разрушения дополнен мезомасштабным уровнем описания зоны предразрушения, причем длину зоны предразрушения Д система определяет сама при решении соответствующей задачи, когда поперечный размер этой зоны совпадает с поперечным размером зоны пластичности в вершине реальной трещины.
При рассмотрении внутренних трещин нормального отрыва предлагается использовать достаточные критерии разрушения [1, 4, 5]:
1 J<Oy (x,0)dx <CTy, (1)
г о
2v( x,0) <8,- A < x < 0. (2)
Здесь o y (x, 0) — нормальные напряжения на продолжении фиктивных трещин; Oxy — декартова прямоугольная система координат, оси ориентированы вдоль (ось x) и по нормали (ось y) к трещине; r — линейный размер, характеризующий диаметр регулярной макроструктуры; oY — предел упругости и постоянные напряжения, действующие в зоне предразрушения; 2v = 2v(x, 0) — раскрытие фиктивной трещины, 2v* (-A* ,0) = 8* — критическое раскрытие трещин; индекс * соответствует критическому состоянию по достаточному критерию разрушения. Предлагаемый критерий (1), (2) является достаточным, при A = 0 критерий
(1), (2) превращается в необходимый критерий (1), для которого критические состояния помечены индексом 0. Предлагаемые критерии (1), (2) описывают хрупкое (A = = 0) и квазихрупкое (A > 0) разрушение, когда
A*<< l. (3)
На рис. 1 приведены в виде таблицы схемы нагружения, поля напряжений и раскрытие трещин для хрупких, квазихрупких и квазивязких материалов. Классический случай, рассмотренный в [6, 7], соответствует рис. 1, в. Ниже подробно изучаются задачи для хрупких и квазихрупких материалов. Обратим внимание на то, что для квазихрупких материалов (рис. 1, б) первое равенство критерия (1) выполняется в точке 1, а второе равенство критерия (2) — в точке 2.
Рассмотрим поведение материала как в зоне упругости, так и при нелинейном деформировании, используя стандартную диаграмму напряжение-деформация материала, рис. 2. Предполагается, что двухзвенная ломаная 1 аппроксимирует реальную диаграмму упругопластического материала со структурой 2 [1]; е0 и е1 — предельное относительное удлинение материала при линейном и нелинейном деформировании материала соответственно; E = oY/ е0 — модуль упругости. Подбор двухзвенной ломаной по исходной кривой осуществляется так, чтобы площади под этими кривыми совпадали. Таким образом, параметр е1 - е0 характеризует максимальное неупругое удлинение упругопластического материала, а параметр (et - е0)/е0 — отличие упругопластического материала от хрупкого материала, для которого е1 = е0.
В предлагаемой модели поле нормальных напряжений oy (x, 0) на продолжении фиктивных трещин можно представить в виде суммы двух слагаемых (начало декартовой системы координат Oxy согласовано с правой вершиной фиктивной трещины) [9]:
Oy (x, 0) = Kj/(2rcx)1/2 +o^, (4)
k i = k i^ + к ia , Ki^ = o^Vn7 >0, Kia< 0,
I 1 \ \ т 1 \ 0
У ау
0 г X
V;
0 X
А ^ 0 2_
* I I I П I *а,
аУ,
ау
-А** 0 х
V ;
0 X
Рис. 1. Схемы нагружения (вверху), поля напряжений (средний ряд) и раскрытие трещин (внизу) для хрупких (а), квазихрупких (б) и квазивязких материалов (е)
где К1 = К1(1, А) — суммарный коэффициент интенсивности напряжений в вершине фиктивной трещины; К1то — коэффициент интенсивности напряжений, вызываемый напряжениями а^; К1А — коэффициенты интенсивности напряжений, вызываемые постоянными напряжениями а^ действующими в зонах предразру-шения. Первое и второе слагаемые в правой части соотношения (4) — сингулярная и гладкая части решения соответственно. Рассматривается первый класс решений [1, 4, 5], для которого К1 > 0, что описывает квазихрупкое разрушение. На рис. 1, б поле напряжений для квази-хрупких материалов имеет сингулярную составляющую. Согласно подходу Нейбера-Новожилова [2, 3] возможно использование первого класса решений при К1 > 0 для сред со структурой, поскольку бесконечные напряжения в вершине фиктивной трещины, недопустимые по континуальным критериям прочности, не противоречат дискретным критериям, если сингулярная составляющая поля напряжений имеет интегрируемую особенность. Рисунок 1, а, б соответствует первому классу решений К1 > 0, рисунок 1, е — второму классу решений К1 = 0, когда сингулярность отсутствует (гипотеза Христиановича).
Переходим к получению оценок критического раскрытия 5 фиктивных трещин. Сначала оценим поперечный размер а зоны предразрушения в вершине реальной трещины. Используем приближенные соотноше-
ния для зоны пластичности [9, с. 37, 38], расположенной в окрестности вершины реальной трещины:
Ра(е):
Рв(0)=
4па V,
0 + (1 - 2ц) (1 + соб 0)
3 л
—бш2 0 + соб 0 + 1 2
(5)
(6)
Здесь рё(0) и Рб(0) — радиус-вектор пластической зоны для плоского деформированного и плоского напряженного состояния соответственно; Ор0 — полярная система координат, начало которой совпадает с правой вершиной реальной трещины; угол 0 = 0 соответствует продолжению трещины (-п < 0 < п); ц — коэффициент
ау
1
Ь
/ 0 II М со о
0
Рис. 2. Двухзвенная аппроксимация (1) исходной а-е-диаграм-мы реального упругопластического материала (2)
Пуассона. Углы 0 = ±л/2 в соотношениях (5), (6) соответствуют раскрытию трещин по моде I. Очевидно, что при ц = 0 соотношение (5) превращается в соотношение (6). Отождествим поперечный размер а зоны предраз-рушения с поперечным размером а, или аа зон пластичности, получим оценку
ай < а < а,,
а& = 2Рё(П2) = О = 2Р5(П2) =
(7)
2лст,
| + (1 - 2ц )2
5К
4пст У
где аё и а5 — поперечный размер зон пластичности в вершинах трещин при плоском деформированном и плоском напряженном состоянии соответственно.
Из аппроксимации диаграммы напряжение-деформация на рис. 2 заимствуем параметр максимального неупругого удлинения е1 - е0. Тогда критическое раскрытие трещины 8*, при котором разрушается ближайшая к центру трещины структура зоны предраз-рушения, равно 8* = (е1 -е0)а. Если принять во внимание соотношение (7), то для критического раскрытия трещины 8* получается оценка
(Е1 -ЕоН <8* < (Е1 -ео)а,. (8)
В соотношении (8) принято, что ст-е-диаграммы реального упругопластического материала не зависят от вида напряженного состояния.
Сравним критическое раскрытие реальной трещины 8* с раскрытием фиктивной трещины в точке 2 на рис. 1. Эта точка соответствует вершине реальной трещины. Для раскрытия 2v(-x, 0) фиктивной трещины в
(2) используется простейшее представление [9, с. 3032], в котором опущены второстепенные слагаемые порядка О(-х):
2v(-x,0) =П+1 к -, КI > 0, О V 2п
3-ц 1 + ц
(9)
Здесь Па и п — коэффициенты, соответствующие плоскому деформированному и плоскому напряженному состоянию; О = Е/ 2(1 + ц) — модуль сдвига. Раскрытие фиктивной трещины для плоского напряженного состояния 2у8 (-х, 0) почти всегда больше аналогичного раскрытия для плоского деформированного состояния 2уа(-х, 0), т.е. 2у8(-х, 0) > 2уй(-х, 0), так как П - П = 4ц2/(1 + ц) > 0 при ц > 0.
Рассмотрим слагаемое К1Д < 0 в соотношении (4). Для плоскости с внутренней трещиной коэффициент интенсивности напряжений К1Д, вызываемый постоянными напряжениями сту, вычисляются следующим образом [10, 11]:
КА = -Стул/П [1 -2/яагс8т(1 -А//)] (10)
При квазихрупком приближении выполняется сильное ограничение А*<< / из (3). Поэтому с точностью до величин высшего порядка малости для слагаемого агс$т(1 - А/ /) в соотношении (10) имеем
агс,т(1 -А/ /) =П 2 -^ 2 А/ /, А/ / << 1. (11)
Принимая во внимание соотношения (10) и (11), имеем представление для суммарного коэффициента интенсивности напряжений К1 = К1 (/, А) из соотношения (4):
ад А) = ст^л/П7 - 2СТуЛ/2АП, (12)
для нормальных напряжений сту (х, 0) на продолжении фиктивных трещин:
сту (х, 0) =---------------------------------+ ст„
(13)
уЧ ' ’ л/2лх
Таким образом, в соотношениях (8), (9), (12), (13) получены аналитические выражения для критического раскрытия трещины 8*, раскрытия фиктивной трещины 2v(-x, 0), суммарного коэффициента интенсивности напряжений К1 и нормальных напряжений сту (х, 0). Используем эти выражения для оценки критического состояния трещины в достаточном критерии (1), (2): неравенства в (1), (2) подменяются равенствами. При преобразованиях в равенствах (1), (2) сохраняются члены с множителями -^А*//* и опускаются члены с множителями А*//*<< 1. При определении критической длины трещины 2/* = 2/0 + 2А* используется предельная длина зоны предразрушения А*. В результате получаем аналитические выражения для критических напря-** жений ст^ и длин зон предразрушения А для квази-хрупких материалов (достаточный критерий разрушения) и критических напряжений ст° для хрупких материалов по необходимому критерию: для плоского деформированного состояния
(
1 +
1 -
ст„
3 + 2(1 - 2ц)2 е1 -е0 ^ 8п(1 -ц2) е0
2/*= 2/0 + 2Аа,
-1
(14)
[3 + 2(1 - 2ц)2 ]2
29(1 -ц2)2
У (
0
(15)
для плоского напряженного состояния
-1
ст
2/*= 2/0 + 2А*,
ст
ст
/*
2 / \ 2 ( * \
52 18 1 00 о а!Б
29 8 0 0 Г у J
(17)
Здесь о!8,/й, /8, Д(1, Д8, гА, г8 — критические на-
грузки, критические длины макротрещин, критические длины зон предразрушения и эффективные диаметры структуры при плоском деформированном (индекс d) и плоском напряженном (индекс s) состоянии квазихруп-ких материалов; г0 — эффективные диаметры структуры хрупких материалов. Для необходимого критерия разрушения имеем /0 = /0, так как Д0 = 0. Выражения
(14)—(17) имеют смысл, если
1-
1-
3 + 2(1 - 2ц)2 81 -е0 8п(1 -ц2) 80
5 81 — 80
> 0,
> 0.
(18)
(19)
8п
Неравенства (18), (19) являются ограничениями, которые выполняются только для хрупких и квазихруп-ких материалов, эти неравенства соответствуют существованию первого класса решений К1 > 0. Неравенства
(18), (19) соответствуют рис. 1, а, б. Для исследуемых двух состояний критические напряжения а! и эффективные диаметры структуры г0 для хрупких материалов совпадают при 81 -8 0 = 0. В общем случае эффективные диаметры структуры квазихрупких материалов могут не совпадать г Ф г8, когда цФ 0. Очевидно, что а^ < а!8 при 0 < ц < 0.5. На рис. 3 изображены области, в которых предлагаемая модель описывает разрушение квазихрупких материалов: области 1* и 2* расположены под кривыми 1 и 2. Для плоского деформированного состояния область 1 существования решения зависит от коэффициента Пуассона ц, эта область несколько больше области 2* для плоского напряженного состояния.
Полученные безразмерные критические напряжения а!/ау, а^/ау, а!8/ау (14), (16) и безразмерные
А* / т* А ^ / 7^
X ^ X X X „ М , Д$1 ^
(15), (17) позволяют построить как кривые разруше-
ния, когда а!/ау <а!/ау <а*^/ау или а!/ау < <а!/ау < а!8/ ау для конкретной реальной трещины длиной 2/0, так и полные критические диаграммы разрушения, состоящие из пары кривых а! /ау, а!d /ау
(81-8 о)/8о
6
4
2
0
2* 2 1
1*
0.0 0.1
0.2
0.3
0.4 ]ы
Рис. 3. Области существования решений для квазихрупких материалов
0 / * /
или а^ау, а!8/ау, ср. описание соответствующих кривых и диаграмм из [9, с. 75, 76; 12, с. 231-239]. При построении кривых разрушения, когда а! < а! < а^ или а! < а! < а!§, используются соотношения (14)-(17), в которых опущены индексы *.
В предлагаемой модификации модели Леонова-Па-насюка-Дагдейла кривая разрушения для исходной трещины 2/0/г0 на плоскости (2//г, а^ау) есть составная кривая с предельной (критической) точкой, когда а^ау <а!/ау. Кривая разрушения состоит из вертикальной прямой 2//г = 2/0/г0, когда а^ау < <а! /ау (Д = 0); кривой, соответствующей соотношениям (14), (15) или (16), (17), когда а!/ау < <а!/ау <а! /ау (80 < 8 < 81, Д< Д*), и заканчивается критической точкой, когда а^ау = а!/ау (Д = = Д*). Максимальная длина зоны предразрушения определяется величиной параметра неупругого деформирования материала 80 < 8 < 81 (0 <Д< Д*); этот параметр в задачах усталости есть переменная величина из-за охрупчивания материала зоны предразрушения. Используем естественное параметрическое представление кривой разрушения 21 = 21(8), а! = а! (8) на плоскости (2//г, а^ау), где 8 — текущее значение параметра неупругого удлинения, поскольку 80 < 8 < 81.
На рис. 4 построены кривые разрушения с заданными исходными длинами 2/0/г0, когда а!/ау < <а!/ау < а!§/ау при (81 -80)/80 = 2.5 для плоского напряженного состояния. Линии 1 и 2, соответствующие критическим напряжениям а!/ау и а!8/ау, изображены пунктиром и штрихпунктиром. Шесть кривых
0.4
0.3
2
3 4 1 8
1
0.2
3.0
8.2
8.4
8.6
9.0
21/х
Рис. 4. Кривые разрушения, или «спина динозавра» по Р. Томсону [12], для плоского напряженного состояния
разрушения 3-8 показаны сплошными линиями, причем исходные длины коротких трещин подобраны так, чтобы получилась «спина динозавра» по Р. Томсону [12] (тонкими сплошными линиями условно помечены задние части гребней). Отличие построенных кривых разрушения («спина динозавра») от аналогичных кривых [12] связано с тем, что рассматриваемая здесь а-8-диаграмма (рис. 2) имеет точку разрыва первого рода при 8 = 81. Кроме того, кривые разрушения 3-8 дополнены вертикальными участками кривых при а! / ау < <а!/ау. При построении кривых разрушения рис. 4 в отличие от соответствующих кривых из [8, 9] используется естественный параметр неупругого удлинения 8 упругопластического материала.
На рис. 5 приведены в двойных логарифмических координатах диаграммы квазихрупкого разрушения в широком диапазоне изменения относительных длин трещин 2//г: кривые 1, 2 и 3 соответствуют критическим напряжениям по необходимому а! /ау и достаточному а*!&1 ау, а!8 /ау критериям разрушения, когда
81 -8 0 = 0 и (81 -80)/80 = 2.5, ц = 0.3. При расчетах
0 / * / * / получено а!/ау < а!^/ ау < а!8/ ау, когда используется допущение (8) о том, что а-8-диаграммы реального упругопластического материала не зависят от вида напряженного состояния. Критическая кривая а!/ау — единая кривая для произвольного вида напряженного состояния, точнее, аппроксимация этой кривой. Так как а!а/ау < а!8/ау (0 < ц < 0.5), то имеет место некоторое охрупчивание материала при переходе от плоского напряженного состояния к плоскому деформированному состоянию. Для длинных трещин критические кривые а!/ау, а^/ау, а!8/ау в двойных логарифмических координатах на рис. 5, б близки к прямым линиям, что может быть использовано при обработке натурных экспериментов.
В области, заключенной между кривыми а! /ау,
* / 0 / * / а^/ ау или а^ау, а!8/ ау, имеет место накопление повреждений при повторных нагружениях. Рассмотрим первые два цикла пульсирующего нагружения: (1) нагружение; (2) разгрузка; (3) повторное нагруже-
ние. После однократного нагружения ао = ао (А) (А— параметр нагружения) исходного материала, когда интенсивность этого нагружения удовлетворяет нера-
0 *(1) 0 *(1) венствам аО < max аО < аоу или ао < max ао < аоу,
в окрестности вершины реальной трещины образуется своеобразный композит (в скобках вверху добавлен номер цикла). В зоне предразрушения материал накапливает повреждения. После разгрузки имеем min ао = 0, материал зоны предразрушения охрупчивается. При повторном нагружении, интенсивность которого удовле-
0 *(1) 0 творяет неравенствам ао < max ао < аоу или аО <
*(1)
< max ао < аО8, материал зоны предразрушения может разрушиться, так как из-за накопленных повреждений критические напряжения для второго цикла
*(2) / *(1) /
нагружения уменьшаются аоу ^Y <аоу /аY или
аО(82)/аY < аОр /аY из-за охрупчивания.
3. Оценка критических коэффициентов интенсивности напряжений для длинных трещин
Общепринятая точка зрения [13]: критический коэффициент интенсивности напряжений материала — постоянная материала. В предыдущем разделе были получены критические напряжения по необходимому аО/аY и достаточному аОа/а^ аО8/аY критериям разрушения. Рассмотрим критические коэффициенты интенсивности напряжений К°, K*d, K* для исследуемых плоских состояний (символами 0 и * помечены критические величины коэффициентов интенсивности напряжений, полученные по необходимому и достаточному критериям разрушения, нижние индексы d и s соответствуют плоскому деформируемому и плоскому напряженному состоянию):
к0 = аОл/Ч, K*d = G0dV<, K*8 = . (20)
Вывод из соотношений (20) очевиден. Критический коэффициент интенсивности напряжений К°, когда известны постоянные хрупкого материала г0, аY, и критические коэффициенты интенсивности напряжений K* или K* для конкретного квазихрупкого мате-
Рис. 5. Диаграммы квазихрупкого разрушения для плоского деформированного (а) и плоского напряженного состояния (б)
риала с известными гн, ау,(81 -80)/80, ц или т8, ау, (81 -80)/80 не являются, в общем случае, постоянными, так как кроме указанных постоянных материала эти критические коэффициенты интенсивности напряжений зависят от длин трещин:
К1 = К1 (г0, ау, /0) = л/пгъ/2(1 + VГ0/2/0 ) ау,
Ки = К Ы(га, ау, /Н, (81 - 80 V80 , ц) =
1
3 + 2(1 - 2ц)2 81 8п (1 -ц 2)
К1*8 = К1*8( Гр ау, /8* > (81 -80)180) :
V I—Л-1
пг8 ”
2
На рис. 6 построены кривые для безразмерных критических коэффициентов интенсивности напряжений К\/ау^[Г) от относительной длины трещины 2/0/г0: кривая 1 построена для зависимости К°/аулУпг0/2; кривые 2, 4, 5 — для К*Н/ауЛу/пг0/2 соответственно при (81 -80)/80 = 1, 2, 2.5, ц = 0.3; кривые 3, б, 7 — для К*/аул/пг0/2 соответственно при (81 -80)/80 = 1, 2, 2.5. При построении кривых ради упрощения принято 2/0/гн “ 2/Н/гн> 2/^Т “ 2С/Т. Кривая К!°/ст^яте/2 изображена сплошной линией. Кривые К*Н/ ауЛу/ пг0/2 и К*8/аул/пт0/2, соответствующие плоскомудефор-мированному и плоскому напряженному состоянию, изображены штриховыми и штрихпунктирными линиями. Только при 2/0/г0 > 200 можно пренебречь изменениями коэффициентов интенсивности напряжений К0, К*н, К*8. Так как всегда имеем неравенство К* > К* при 0 < ц < 0.5, то для практического использования при расчетах критических коэффициентов интенсивности напряжений желательно ориентироваться на величину К1Н.
Предельные значения критических коэффициентов интенсивности напряжений К10, К*Н, К* для бесконечно длинных трещин имеют вид: для хрупкого материала
Рис. 6. Изменение безразмерных критических коэффициентов
интенсивности напряжений Кс щин
г0 для разных длин тре-
Нш КI = >/п/ 2су^JT0,
/0 —!
для квазихрупких материалов
3 + 2(1-
(22)
liш К*
/н —!
Нш к*8
/8 —!
= ^Паул/Г"
1-
2ц)2 81
-1
8п(1 -ц2)
-1
5 81 80 8п
0
, (23)
(24)
Эти предельные значения критических коэффициентов интенсивности напряжений К0, К*, К* не зависят от длин трещин. Предельные соотношения (22)-(24) хорошо согласуются с рис. 5, б и 6.
Для достаточно длинных трещин критические коэффициенты интенсивности напряжений выражаются через общепринятые константы хрупких или квазихруп-ких материалов с регулярной структурой. Полученные соотношения (22)-(24) позволяют оценить эффективный диаметр г структуры для хрупкого материала, если известны предел упругости а у и критический коэффициент интенсивности напряжений К1С = Нш К0
/0 —!
и для
квазихрупкого материала, если известны напряжения текучести ау, параметр (81 -80)/80, коэффициент
Пуассона ц и критический коэффициент интенсивности напряжений К1С = Нш К* или К1С = Нш С*. Как
/Н -! /& --!
правило, когда приводятся значения критического коэффициента интенсивности напряжений К1С для квази-хрупкого материала, не указывается, какое состояние (плоское деформированное или плоское напряженное) реализуется при проведении эксперимента.
4. Оценка эффективных диаметров структуры и построение критических кривых разрушения
Получим оценки эффективных диаметров структуры материала, используя критические коэффициенты интенсивности напряжений К0, К*Н, К*. Величины критических коэффициентов интенсивности напряжений К0 и К*, К*8 для хрупких и квазихрупких материалов заимствуем из справочника [13]. Примем, что в [13] указаны критические коэффициенты интенсивности напряжений для достаточно длинных трещин. Тогда для эффективного диаметра г структуры получим соотношения
для хрупких материалов
2
0
г0
Нш к ау
/0 —! /
0
для квазихрупких материалов
2
(25)
гн
Нш К
/Н
И
1 -
3 + 2(1 - 2ц)2 8; - 80 8п (1 -ц 2) 8 0
Г =■
11ш КI
/Г —!
5 81 -80 8п 80
Таблица 1
Стали
Материал KIC, МПал/м cY> МПа є О % є1, % (Є1 -Є0^ Є0 Гі, rs, мм Источник
Сталь 50X при 77 K 25.0 2030 1.02 3.20 2.140 0.046, 0.032 [13, с. 94, 95]
Сталь 50XH при 77 K 22.0 2020 1.01 4.20 3.150 0.022, 0.011 [13, с. 96, 97]
Сталь 30XrcH2A при 77 K 16.4 840 0.42 1.60 2.810 0.085, 0.041 [13, с. 100, 101]
Сталь ШX 15 20.0 1940 0.97 3.08 2.180 0.032, 0.022
Сталь ШX 15 при 223 K 23.0 2020 1.01 2.97 0.940 0.039, 0.029 [13, с. 104, 105]
Сталь ШX 15 при 183 K 21.0 2195 1.10 1.70 0.545 0.049, 0.046
Сталь ШX 15 при 77 K 20.0 2240 1.12 1.04 «0 0.051, 0.051
Эффективные диаметры структуры г0 хрупких материалов не зависят от того, какая из схем плоского деформирования реализуется. Для квазихрупких материалов одним из основных параметров, от которого зависят эффективные диаметры структуры гё или г8, является параметр, характеризующий неупругое относительное удлинение материала, т.е. гё = гё((е1 -£0)/£ 0) или г =
= ГД(£1 -£ о)/£ 0)-
В табл. 1-4 приведены значения эффективного диаметра г структуры хрупких и квазихрупких материалов. При расчетах использовались данные [13, 14]. При вычислении г0, гё, г использовались соотношения (25) и
(26). Было принято: К1С = Нт К0 или К1С = Нт К*й,
* /0^“ II
К1С = lim соответственно для хрупких или кваС
зихрупких материалов; для сталей Е = 200 000 МПа, ц = 0.3; для алюминиевых сплавов Е = 70 000 МПа, ц = 0.34. Отметим, что какие-либо поправки не вводились, хотя в [13] приведены напряжения ав >ст^ более общий подход [1, 5] допускает уточнение. Считается, что твердые сплавы и керамики имеют хрупкий тип разрушения, табл. 3, 4.
Отметим, что в класс хрупких и квазихрупких материалов попадают стали из табл. 1, когда испытания проводятся при температурах ниже порога хладноломкости, и подшипниковая сталь ШХ15 при обычных температурах. Имеется противоречие в последней строке для стали ШХ15 при 77 К, т.к. £0 > £1, поэтому принято (е1 - £0)/£0 = 0, что соответствует хрупкому типу разрушения. Типичный размер эффективных диаметров структуры для изученных сталей — несколько десятков микрометров.
Сравним результаты расчетов, приведенных в табл. 1, 2: полученные расчетным путем эффективные диаметры структуры алюминиевых сплавов отличаются на порядок от аналогичных параметров сталей. Судя по приведенным результатам расчетов в табл. 1, 2, не наблюдается принципиальных различий между эффективными диаметрами структуры г и г.
Подчеркнем, что в приведенных расчетах для сталей и алюминиевых сплавов (табл. 1, 2) ограничения (18),
(19) выполнены. Когда рассматриваются квазивязкие типы разрушения, тогда нарушаются ограничения (18),
(19), и, как следствие, надо рассматривать соотношения для критических параметров , А*, отличные от соот-
ношений (14)-(17), что подтвердил численный эксперимент [15]. Так как при вычислениях использовались предельные значения критических коэффициентов интенсивности напряжений К0, К*1, К* для бесконечно длинных трещин из (22)-(24), то, вообще говоря, надо принять во внимание влияние конечности ширины образца на эти критические параметры [16]. Целесообразно использовать при записи а-£-диаграмм жесткие схемы нагружения, что позволит получить ниспадающие участки на этих диаграммах как на рис. 2. Для уменьшения полосы разброса при оценке эффективного диаметра структуры квазихрупких материалов желательно проводить эксперименты по определению а-£-диаграмм и критического коэффициента интенсивности напряжений К1С на образцах, изготовленных из одной и той же партии материала.
Введение вторых фаз в нанокомпозитах приводит как к росту критического коэффициента интенсивности
Таблица 2
Алюминиевые сплавы
Материал KIC, МПал/м aY, МПа ^ % є1, % (Є1 -Є0^ Є0 Гі, rs, мм Источник
АК8, BД 26 350 0.50 2.0 3.00 1.53, 0.77 [13, с. 116, 117]
B93пч, BД 34 480 0.69 3.0 3.34 0.94, 0.40 [13, с. 120, 121]
B96 (Т1), ПД 27 580 0.83 2.6 2.13 0.66, 0.46 [13, с. 126, 127]
Д16 (Т1), BД при 77 K 23 430 0.61 2.5 3.10 0.74, 0.46 [13, с. 130, 131]
2020 (Т651) плита, ДП 18 520 0.74 2.0 1.70 0.39, 0.28 [13, с. 140, 141]
Корнев В.М. / Физическая мезомеханика 16 5 (2013) 25-34 Твердые сплавы и керамика
Таблица 3
Материал KIC, МПаТм cty, МПа Го, мм Источник
ВК-6 10.0 1550 0.027
ВК-10 11.6 1800 0.027 [13, с. 161]
ВК-15 16.5 1900 0.048
ТН-20 7.1 1000 0.032
94% Al2O3 при 1200 °С 3.7 305 0.094 [14, с. 126]
97% Al2O3 при 1435 °С 4.1 338 0.094
Al2O3-15% ZrO2 7.5 635 0.089 [14, с. 125]
напряжений К1С, так и к повышению предела упругости сту хрупкого материала [14]. Величины эффективного диаметра г0 структуры хрупких нанокомпозитов в табл. 4 могут отражать и некоторую пластичность, но в работе [14] отсутствуют данные о ст-е-диаграммах нанокомпозитов.
5. Обсуждение и заключение
Получены эффективные диаметры структуры материалов, имеющие хрупкий или квазихрупкий типы разрушения: сталей, алюминиевых сплавов, твердых сплавов, керамики и керамических нанокомпозитов. По полученным эффективным диаметрам структуры г0 из (25) и гё, г8 из (26) и аппроксимации классической диаграммы напряжение-деформация (рис. 2) построены в широком диапазоне изменения длин трещин критические кривые разрушения (14), (16) перечисленных выше материалов. Для хрупких материалов при построении кривой, соответствующей критическим напряжениям ст° по необходимому критерию, используются вторые соотношения из (14) или (16), см. табл. 3, 4 и последнюю строку табл. 1. Для квазихрупких материалов при построении пары кривых, соответствующих критическим напряжениям по необходимому критерию ст,°/СТУ и по достаточному критерию ст^/сту или ст^/сту разрушения, используются как первые, так и вторые соотношения из (14) или (16), причем при построении кривой, соответствующей ст° /сту, принимается, что г0 = г или г0 = г из соответствующих строк табл. 1, 2. Для описания всей диаграммы разрушения квазихрупких материалов нужны два эксперимента. Для хрупких ма-
Таблица 4
Керамические нанокомпозиты
Материал KIC, МПа>/м cty, МПа г0, мм Источник
Al2O3/SiC 4.8 1520 6.3
Al2O3/Si3N4 4.7 850 19.4 [14, с. 129]
MgO/SiC 4.5 700 26.3
Si3N4/SiC 7.5 1550 14.9
териалов для описания единой кривой разрушения нужен один эксперимент (отпадает необходимость записи ст-е-диаграммы).
Используя критические напряжения ct°/cty и aid/cty , als/aY из (14), (16), подсчитываются критические коэффициенты интенсивности напряжений K0 и K*d, K*s (20), (21) как для хрупких, так и для квази-хрупких материалов, причем в рамках предлагаемой модели критические коэффициенты интенсивности напряжений — переменные величины. Соотношения (14),
(16) и (21) рассматриваются как структурные формулы
о / * /
для расчета критических напряжений cti/cty, /ст Y,
CT!S/CTY и критических коэффициентов интенсивности напряжений K°, K*d, K*.
Завершено определение трещиностойкости хрупких и квазихрупких материалов с регулярной структурой через их механические характеристики и параметр структуры, см. [13, с. 86-90]. Полученные результаты только частично согласуются с рекомендациями [13]. Частичное рассогласование связано с тем, что в [13] исходные материалы не разделены на классы по типам разрушения. В [13] за эффективный диаметр структуры сталей предлагается выбирать диаметр первичного аус-тенитного зерна с некоторыми поправками. Целесообразно рассматривать исходные регулярные размеры зерен с учетом прослоек между ними в сталях [13], в сферопластах [16], в нанокомпозитах [14].
Для однократного нагружения соотношения (14)-
(17) содержат избыточную информацию о критических длинах трещин при разрушении квазихрупких материалов. Эта информация о поведении системы оказывается полезной при получении оценок накопления повреждений в материале зоны предразрушения, когда имеет место циклическое нагружение [17, 18]. В предложенной модификации модели Леонова-Панасюка-Дагдей-ла «усталостные повреждения ... выражены в терминах трещин»; «.модели, которые игнорируют реальность усталостных повреждений в терминах трещин, не должны быть использованы для предсказания времени жизни при усталости» [19]. Обратим внимание на сущест-
венное влияние конечности ширины образца на скорость продвижения вершины трещины при циклическом нагружении [18]. Отметим, что предложенная модифицированная модель Леонова-Панасюка-Дагдейла «чувствует» разнородность материала в окрестности вершины трещины [20-22].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-08-00191) и в рамках Программы Президиума РАН № 23.16.
Литература
1. Корнев В.М. Оценочная диаграмма квазихрупкого разрушения тел
с иерархией структур. Многомасштабные необходимые и достаточные критерии разрушения // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. -№1. - С. 47-59.
2. Neuber G. Kerbspannunglehre: Grunglagen fur Genaue Spannungs-rechnung. - Berlin: Springer-Verlag, 1937 - 225 s.
3. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой
прочности // Прикл. матем. механ. - 1969. - Т. 33. - № 2. - С.212-222.
4. Корнев В.М. Обобщенный достаточный критерий прочности. Опи-
сание зоны предразрушения // ПМТФ. - 2002. - Т. 43. - № 5. -С. 153-161.
5. Корнев В.М. Распределение напряжений и раскрытие трещин в зоне предразрушения (подход Нейбера-Новожилова) // Физ. мезо-мех. - 2004. - Т. 7. - № 3. - С. 53-62.
6. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикл. механика. - 1959. - Т. 5. - № 4. - С. 391-401.
7. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys.
Solids. - 1960. - V. 8. - P. 100-104.
8. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разру-
шения: Основы механики разрушения. - М.: Изд-во ЛКИ, 2008. -352 с.
9. Керштейн ИМ., КлюшниковВ.Д., Ломакин Е.В., Шестериков С.А.
Основы экспериментальной механики разрушения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 140 с.
10. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами // Механика разрушения и прочность материалов. Т. 2. - Киев: Наук. думка, 1988. - 620 с.
11. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений / Под ред. Ю. Мураками. Т. 1. - М.: Мир, 1990. - 448 с.
12. Thomson R., Hsieh C., Rana V. Lattice trapping of fracture cracks // J. Appl. Phys. - 1971. - V. 42. - No. 8. - P. 3154-3160.
13. Ковчик С.Е., Морозов Е.М. Характеристики кратковременной трещиностойкости материалов и методы их определения // Механика разрушения и прочность материалов. Т.3. - Киев: Наук. думка, 1988. - 436 с.
14. Баринов С.М., Шевченко В.Я. Прочность технической керамики. - М.: Наука, 1996. - 159 с.
15. Кургузов В.Д., Корнев В. М. Построение диаграмм квазихрупкого и квазивязкого разрушения материалов на основе необходимых и достаточных критериев // ПМТФ. - 2013. - Т. 54. - № 1. - С. 179195.
16. Корнев В.М., Демешкин А.Г. Диаграмма квазихрупкого разрушения тел со структурой при наличии краевых трещин // ПМТФ. -2011. - Т. 52. - № 6. - С. 152-164.
17. Корнев В.М. Диаграммы квазихрупкого разрушения тел с иерархией структур при малоцикловом нагружении // Физ. мезомех. -2011. - Т. 14. - № 5. - С. 31-45.
18. Корнев В.М. Диаграммы квазихрупкого разрушения при усталости (двухчастотное нагружение) // Физ. мезомех. - 2012. - Т. 15. -№ 6. - С. 45-58.
19. Murakami Y, Miller K.J. What is fatigue damage? A view point from the observation of low fatigue process // Int. J. Fatigue. - 2005. -V. 27. - P. 991-1005.
20. Корнев В.М., Астапов Н.С. Модель разрушения кусочно-однородной среды при расслоении упругопластических структурированных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2010. - Т. 16. - № 3. - С. 347-360.
21. Корнев В.М., Астапов Н.С. Модель разрушения сварного соединения при расслоении // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2012. - Т. 18. - № 2. - С. 213-225.
22. Kornev V.M., Kurguzov V.D., AstapovN.S. Fracture model of bimaterial under delamination of elasto-plastic structured media // Appl. Comp. Mater. - 2013. - V. 20. - No. 2. - P. 129-143.
Поступила в редакцию 25.01.2013 г.
Сведения об авторе
Корнев Владимир Михайлович, д.ф.-м.н., проф., гнс ИГИЛ СО РАН, [email protected]
