Модель расширения импульсного электрического разряда в плотном газе с учётом электронной и лучистой теплопроводностей. V. инварианты системы уравнений, описывающих импульсный разряд Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.523

МОДЕЛЬ РАСШИРЕНИЯ ИМПУЛЬСНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РАЗРЯДА В ПЛОТНОМ ГАЗЕ С УЧЁТОМ ЭЛЕКТРОННОЙ И ЛУЧИСТОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЕЙ. V. ИНВАРИАНТЫ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ ИМПУЛЬСНЫЙ РАЗРЯД

У. Юсупалисв

Определены показатели подобия физических величин импульсных электрических разрядов в газах (при атмосферном давлении и выше) и их размерные инварианты относительно линейного преобразования, координат и времени: х\ = вХг, Ь' = вЬ (в - коэффициент сжатия/растяжения). Из инвариантности безразмерных уравнений непрерывности, движения, и баланса энергии относительно линейного преобразования, координат и времени установлены, их безразмерны,е инварианты,. Из условия, однородности распределения, давления, плазмы, в разрядном, канале определены значения, безразмерных инвариантов. С помощью этих инвариантов дифференциальны,е уравнения, в частных производных удалось свести к обыкновенным дифференциальным, уравнениям,, из решений которых определены зависимости радиуса разрядного канала, от времени, плотности и тем,пера,туры плазмы, (на, оси разрядного канала) от времени для, начальной стадии развития, разрядов.

Ключевые слова: подобие разрядов, показатели подобия физических величин, размерные и безразмерные инварианты импульсных сильноточных электрических разря-

ДО В В Г&З&Х.

Введение. При подготовке и проведении экспериментов, а также анализе их результатов большую помощь оказывают законы подобия исследуемого явления [1 6]. Знание

ИОФ РАН, 119991, Россия, Москва, ул. Вавилова, 38.

этих законов позволяет глубже понять физические процессы и сэкономить существен-ныв финансовые средства. Согласно теории подобия и размерности [1 4]. такие законы устанавливаются с помощью их (размерных и безразмерных) инвариантов и обобщенных безразмерных переменных. Такие инварианты и переменные весьма полезны при дальнейшем исследовании и анализе большого числа опытных данных и позволяют свести воедино данные различных исследователей [7], а иногда установить ранее не известные закономерности исследуемых явлений (импульсных разрядов) [8].

Несмотря на давнюю историю исследования электрических разрядов в газах, работы по установлению их законов подобия стали проводиться только с середины прошлого века [5, 6, 9 11]. Так экспериментально были установлены размерные инварианты подобия лишь для стационарных низкотемпературных неизотермических разрядов и электрического пробоя [5, 6, 9 11], а метод получения размерных инвариантов был предложен только в 1991 году авторами работы [12]. Вкратце суть этого метода состоит в следующем.

Разряды называются подобными, если физические величины В СХОД н ых

пространственно-временных точках, определяемых линейным преобразованием

^С ^ в'Х'г , ^ в^,

связаны следующим линейным преобразованием:

С,(х'г,Ь,) = ва[с]0(хг,1), (2)

где а[С\ называется показателем подобия, в - коэффициент сжатия/растяжения. В [12] из инвариантности кинетических уравнений Больцмана и уравнений поля (Максвелла)

относительно

преобразования (1) установлены Б-подобие и П-подобие разрядов.

Опыт показывает, что исследование разрядов будет более эффективным, если известны их

безразмерные инварианты. Однако такие инварианты для импульсных сильноточных электрических разрядов (ИСЭР) в плотных газах до сих пор не определены. Тогда, естественно, возникает вопрос: каким способом это можно осуществить? Метод, предложенный в работе [12].

не дает ответа на поставленный вопрос. Цель данной работы состоит в установлении безразмерных инвариантов ИСЭР в плотных газах и в проведении исследования на основе этих инвариантов для получения новых результатов.

1. Показатели подобия, физических величин разрядов. Для установления размерных и безразмерных инвариантов ИСЭР необходимо знать величины показателей подобия

a[G\ характеристик разрядов. Их определим на основе метода, предложенного авторами работы [12]. В ней из инвариантности кинетических уравнений Больдмана и уравнений поля относительно преобразования (1) определены величины a[G] основных величин плазмы и поля, которые и будут использованы нами ниже. ИСЭР в газах относится к случаю Б-подобия, так как степень ионизации ае плазмы высокая (0.5 < ае < 2.0).

Характерные размеры. Характерными размерами таких разрядов являются начальный радиус Rin и ради ус R(t) разрядного канала, длина разрядного промежутка l0. Для описания динамики расширения канала естественно выберем цилиндрическую систему координат (t,r,z), ось 0z которой совпадает с осью симметрии указанных разрядов. При этом один из электродов имеет координату zi = 0, а другой электрод - z2 = l0-Тогда радиусы R(t) и Rin лежат на оси Or, а длина lo - на оси 0z. Следовательно, при сжатии/растяжении координат раз они преобразуются так же, как сами коор-

динаты: R' = s1R; R'in = s1Rin l'0 = s1l0 (a[G\ = 1).

Характерные скорости. Такими скоростями являются скорость расширения канала dRjdt, скорости звука в плазме разрядов cp и рабочем газе c0. Относительно преобразования (1) эти скорости представляют собой размерные инварианты, так как

dR' s1 dR dR'SW s1dRsw , r^

—— = ———; —-— =-—— (их показатель подобия a[G\ = 0).

dt' s1dt dt' s1dt

Термодинамические характеристики. Из инвариантности уравнения движения (либо уравнения состояния) относительно преобразования (1) следует, что показатели подобия давления p плазмы и её плотности р равны а[р\ = ар], т.е. величины p и р должны преобразовываться одинаковым образом. Однако из этих уравнений величины показателей подобия не определяются. Согласно дан н ы м [12], а[р\ = —1, и следовательно, а[р\ = — 1. Поэтому отношение давления плазмы к её плотности р'/р' = (s-1p)/(s-1p) = c^/^d представляет собой размерный инвариант (Yd - показатель адиабаты плазмы).

Поскольку давление газа за фронтом ударной волны (УВ). возникающей перед раз-

p

инвариантности уравнения [7]

Yo + 1 (dR\2 Yo — 1 , .

р = — р0{ It) — Y0TTPo (3)

относительно p

начального давления р0 и начальной плотности р0 рабочего газа разряда одинаковы: а[р0\ = а[р0\ = а[р\ = —1. Отсюда получим следующие размерные и безразмерные инварианты разрядов и УВ: р0/р0 = c^/yo, р/р0, р/р0-

Внутренняя энергия единицы массы ионизованного газа. Эта величина е равна сумме тепловой энергии и энергии ионизации единицы массы ионизованного газа. При изменении координаты r и времени t в s раз она не изменяется: е' = p'/(Yd — 1)р' = (s-1p)/(ld — 1)s-1 р = 80е,т. е. а[е\ = 0.

Электрические и магнитные характеристики разрядов. Согласно Б-подобию. плотность электрического тока имеет показатель подобия a[j] = — 1. Поэтому при изменении г и t по закону (1) разрядный ток преобразуется так: J' = j'nR2 = s-1jns2R2 = slJ. Отсюда получаем показатель подобия разрядного тока a[J] = 1. Что касается скорости изменения разрядного тока F = dJ/dt и падения напряжения на разрядном промежутке Ud, то они инвариантны относительно преобразования (1). так как a[F] = a[Ud] = 0: F' = dJ'/dt' = (s1dJ)/(s1dt) = s°F и Ud = E% = s-1Es1¡0 = s°Ud.

Ud

электрических разрядов (тлеютцего разряда, дугового разряда), так и импульсных электрических разрядов (электрического пробоя газа, искрового разряда. ИСЭР в газах) относительно преобразования (1).

Омическое сопротивление r0m и индуктивность Ld разрядов. Из требования инвариантности уравнения электрической цепи ИСЭР относительно преобразования (1)

Ud = J' rm + ld(J = J^rm + «Í^LLf^ = sU W

следует, что 1 + a[rom] = 0 и a[Ld] = 0. Отсюда находим показатель подобия омического сопротивления разрядов a[r0m] = — 1, соответственно их индуктивность Ld является размерным инвариантом. Поскольку a[Ud] = a[Ld] = a[Jr0m] = a[d(LdJ)/dt] = 0, то

Jrom

d(LdJ)/dt

разрядного канала, представляют собой безразмерные инварианты разрядов, и их отношения Ud/Jr0m, Ud(t)/[d(LdJ)/dt] также являются безразмерными инвариантами.

Энергетические характеристики разрядов. Рассмотрим энергетический баланс ИСЭР в газах В общем виде. Вводимая в разряд энергия Q(t) к моменту времени t расходуется на повышение тепловой энергии плазмы ETEP(t) разрядного канала, на увеличение кинетической энергии расширяющейся плазмы EK(t), на энергию ER(t), уносимую из нагретой области канала излучением, на работу A(t), совершаемую расширяющимся разрядным каналом против давления рабочего газа, энергию ионизации вовлекаемого в разряд газа I(t) и на изменение магнитной энергии разряда WM (t):

Q(t) = EK (t) + ETep (t) + A(t) + Er (t) + I (t) + Wm (t). (5)

Показатели подобия всех слагаемых этого уравнения равны а[С] = 2, а следовательно. отношения этих величин относительно преобразования (1) являются инвариантами ИСЭР в газах. Среди них для нас интерес представляют следующие безразмерные ин-

, Wм (г) I (г)

варианты: ам = гл, ^ и ^¡оп = —-—, так как экспериментальное и теоретическое

Я(ч Етер (г)

определение величин энергии магнитного поля разрядов Wм(г) и энергни I(г), затраченной на ионизацию газа, представляет большие трудности.

Тем не менее оказалось, что для случая достижения предельной температуры ИСЭР в плотном газе и без проведения эксперимента можно определить величину отношения ^оп = 3 [8]. Это означает, что при достижении предельной температуры (в области двукратной ионизации) в энергетическом балансе ИСЭР энергия I(г), затраченная на ионизацию вовлекаемого в разряд газа, в 3 раза больше тепловой энергии Етер(Ь).

Для определения показателей подобия других энергетических характеристик ИСЭР в плотных газах рассмотрим их энергетический баланс в следующей форме:

р ат с2 тар + +1 д( ъ[ + ] от\

(6)

а ^м(г)\ а (я(г)\

где тм = — — , а = — , Л Уа - объем разряда, хе и хя^ коэффициенты

аг \ лУа ) аг \ лул;

электронной и лучистой теплопроводностей соответственно. Поскольку при преобразовании (1) температура Т и величина с2/^а остаются инвариантами, показатели подобия

ад

величин а и 'юм равны а\п\ = а\1Ум] = — 2, а операторы — , — и давление р имеют по-

аг дг

казатели подобия а[д] = а[шм] = а

а ■ д'

- =а дг

аг

а[р] = — 1, то для инвариантности

правой части уравнения (6) необходимо, чтобы показатели подобия для коэффициентов Хе* Хя были равны а[хе] = а[хк] = 0. То есть при преобразованиях (1) коэффициенты электронной хе и Хя лучистой теплопроводностей являются размерными инвариантами.

2. Безразмерные инварианты, уравнений непрерывности, движения, и баланса, энергии. Для описания начальной стадии расширения ИСЭР воспользуемся следующей системой уравнений в цилиндрической системе координат: уравнением непрерывности

д 1 ( ) + ду + У дг аг г

о,

уравнением движения

аи

а

др

рдг'

(7)

уравнением баланса энергии

( Т \ ,л , ^(г)иа(г) 1 д ( . . дТ\

срлы = (1 - Ы-ТПвГ + ТдТ К + Хя) дт) , <9>

уравнением состояния

р =Ы - 1)АВрТ, (10)

где и - гидродинамическая скорость частиц, е = АпТ (Дж/кг); Ар - теплоемкость единицы массы плазмы. Перенос излучения в разряде носит характер лучистой теплопроводности с коэффициентом хп = ао 1рТ3/3(а0 постоянная Стефана Больцмана, 1р = ЬТт/рп - росселандов пробег фотонов, Ь - размерный коэффициент). Коэффициенты электронной Хе и лучистой Хя теплопроводностей равны:

ЩТе)52 5/2 16 , Т 3 Т т+3

где 1п Л - кулоновский логарифм, е и те - заряд и масса электрона, ) - число, слабо зависящее от заряда иона Z(£(1) = 0.95; £(2) = 1.5). В уравнении (9) учтен безразмерный инвариант ¿м = Wм (t)/Q(t)■ В системе уравнений (7)—(10) число неизвестных величин больше числа уравнений, т.е. она не замкнута. Поэтому возникает необходимость определения безразмерных инвариантов, позволяющих замкнуть эту систему либо дополнить её новыми уравнениями. Используем оба

названных подхода. Для этого используем показатели подобия характеристик ИСЭР, определенные нами выше. Будем искать решение системы уравнений (7) (10) в виде:

Т(-,£) = п(-)т(£), р(-,£) = м(-)д(£), и(-,£) = Я(-)-(£), (п)

где £ = т/Я(-); Я(-) = дЯ(Ь)/дЬ - скорость расширения разрядного канала. После подстановки (11) в систему (7) (10) и приведения её к безразмерному виду получим следующую систему уравнений:

д'(£\ ^ „^ -(£) М(г)яп) , ,

д [-(£) - £] + -'(£) + + М-Я) = 0, (12)

д(£) £ м (-)Я(-)

2

Я§] 1л-(£ )д(£)

яЯ\ -'(£)

Я2 +[-(£) - £] -ш

д

- [т(£)д(£)], (13)

[д(£)т(£)](») - Ы - 1)МШ-) + Н£) - £]

^П\п(-)Я(-) уы М(-)Я(-) 1

т '(£) ( 1) д'(£)

- (ъ -1 ш\

+

+

ХяоПт+3(1)

_Ad M n+l(t)R(t)R(t)

1 д lr\(Xe0n5/2(t)Mn(t)\ 5/ T m+3(Ç )

едП^ XR0nm+4 )T gn(î )

дгЮ д£

)MmtL_ (m)

nloADM(t)n(t)R(t)R(t) ' p = Ы - 1)AdM№(ШОТ(î)]' (15)

где штрих означает дифференцирование по относительной координате î, а точка - диф-

t

этом формулируются следующим образом: g(0) = 1; т(0) = 1; (дт/дî)^=0 = 0; u(0) = 0. При î = 1 (на границе разрядного канала) плотность, давление и скорость должны быть непрерывны. А начальные условия имеют следующий вид:

П(0) = Tin; M(0) = pi„; R(0) = Rin; (R(t)) = Vn

\ J t=0

где Tin' pin' Rin и Vin начальные температура, плотность плазмы разрядного канала, его начальный радиус и начальная скорость расширения.

Как видно из этой системы уравнений, в ней появились безразмерные комплексы,

t

î

уравнениях в частных производных. Действительно, уравнение (12) преобразуем следующим образом:

M(t)R(t) g'(î ). ) u(î)

- u(î) - î] - u(î) —■ (16)

M (t)R(t) g<£) £

Левая часть этого уравнения зависит только от t , а правая часть - только от координаты Отсюда следует, что обе части уравнения (16) равны постоянной C\:

[dM (t)/dt]R(t) C g'(Oulf) ,,<f) u<£) C

ni = Mmrntm = Ci- --Щ) [u<£) -£] - u <£) -T =C"

где Ci - константа разделения. Более того, показатель подобия безразмерного комплекса п1 относительно преобразования (1) равен нулю. То есть комплекс п1 является безразмерным инвариантом уравнения непрерывности. Это значит, что инвариант ni представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение, связываюгцее

M<t) R<t)

Однако в дифференциальных уравнениях в частных производных (13) и (14) разделения переменных не происходит, поэтому для их решения используем показатели подобия характеристик разрядов и их размерные инварианты.

Безразмерные комплексы в уравнениях (13) и (14)

п = m iQT) /щ V п =«R(t) = хпопт+м)

712 ^ dm j2 \c(t) ) ' ^ n(t) RI715 Ad Mn+1 (t) R(t) R(t)

f XeoH5/2(t)Mn(t) \ (1 - di)J (t)Ud(t)

П6 = -T1- , П7

V ХяоПт+4 Г п10м (-)П(-)АВ Я(-) ^

зависят только от времени и их показатели подобия относительно преобразования (1) равны нулю. Это означает, что безразмерные комплексы и согласно

теории подобия и размерности [12], представляют собой безразмерные инварианты:

П2 = С2; пз = С3; П4 = С4; П5 = С5; п = Се; п = С7, (17)

где С2 - С7 постоянные величины и, следовательно, они представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения, с помощью которых определим М(Ь), П(-) и Я(-).

Таким образом, путем установления безразмерных инвариантов п2, п3, и нам удалось свести дифференциальные уравнения в частных производных (12)-(14) к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Для определения значений постоянных С\ - С7 рассмотрим начальную стадию расширения разрядов (Ь < \/ЬкС, Ьк - индуктивность разрядного контура). Для этой

р

£

получим два уравнения:

д ■■ ■ ь'(£)

д£[т(£)д(£)] = 0, ЯЯ/(Я)2 - [-(£) - £]-¡^ = 0. (18)

Используя граничные условия при £ = 0 (т(0) = 1, д(0) = 1), определим величину постоянной интегрирования первого уравнения системы (18):

т(£)д(£) = 1. (19)

т(£)

плотности д(£) плазмы в канале становятся взаимно связанными. Для нахождения функций д(£) и т(£) достаточно определить одну из них. Второе уравнение системы (18) преобразуем к следующему виду;

£

П2 = R(t)R(t)/[R(t)]2 = u'(£ )

1

(20)

В уравнении (20) переменные £ и £ разделяются. Отсюда следует, что обе части этого уравнения в частных производных равны постоянной С2 (константа разделения):

п'(£)

£ -1

С2, Я(£)Я(£)/[Я(£)]2 = С2. (21)

А£)

Подставив в первое из этих уравнений граничное условие п(1) = 1 при £ = 1, определим значение этой константы: С2 = 0. При известном значении константы С2 второе уравнение системы (21) с начальными условиями Я(0) = Ящ, (R(t))t=о = Ип имеет следующее решение:

Я(£) = Яп + Мп£. (22)

С2 = 0

и(0) = 0,м(1) = 1 является функция

и(£) = £, (23)

определяющая пространственное распределение газодинамической скорости частиц плазмы и(£,£) = Я(£)и(£) в разрядном канале. С учётом (23) из уравнения непрерывности (16) определим значение константы С\\

= мтт= = -2 (24)

И(£)Я(£) К ;

При известном значении инварианта из уравнения (24) с начальными условиями М(0) = р-т, Я(0) = Я1п получаем зависимость плотности плазмы р(£,£) = М(£)д(£) разрядного канала от его радиуса Я(£):

М (£)=рп( щ)2. <2б>

Используя уравнение состояния (15). уравнение (19) и формулу (25), найдем значения безразмерного инварианта

п4 = тж = С4 = 2. (26)

Щ£)Я(£) 1 ;

При известной зависимости М(£) из уравнения состояния (19) можно определить

температуру плазмы на оси разрядного канала

П£ = Ы - 1)Лом£). ™

Давление плазмы р в (27) определяется формулой (3).

И

При известных величинах Ud(t), J(t), R(t), M(t) и n(t) значения остальных безразмерных инвариантов и можно вычислить.

M(t)

температура n(t) зависят от радиуса канала R(t). Зависимость начальной скорости Vin от обобщенной переменной Е ИСЭР в плотных газах определена нами в работе [7] и согласуется с опытными данными, полученными нами и другими исследователями. Величины Vin, M(t) и n(t), а также радиальные распределения температуры т(£) и плотности g(£) в разрядном канале разрядов будут определены в следующих работах. Считаю своим долгом выразить благодарность А. А. Рухадзе за ценные обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Л. И. Седов. Методы подобия, и размерности в механике (М.. Наука. 1987).

[2] Дж. Клейн. Подобие и приближенные методы, (М.. Мир. 1968).

[3] В. М. Минаковский. Обобщенные переменные теории переноса (основы теории, справочные таблицы) (Киев. В ища ттткола. 1978).

[4] С. С. Кутателадзе. Анализ подобия, и физические модели (Новосибирск. Наука. 1986).

[5] G. Francis. Ionization Phenomena in Gases (London. Butterworths Scientific Publ.. I960).

[6] S. Pfau. A. Rutcher. and K. Wojaczek. Beitrage aus der Plasma Phys. Bd. 9, 333 (1969).

[7] У. Юсупалиев. Краткие сообщения по физике ФИАН. Л"2 9, 42 (2005).

[8] У. Юсупалиев. Краткие сообщения по физике ФИАН. 34(9), 28 (2007).

[9] С. Е. Muelle, Appl. Phys. 45, 82 (1974).

[10] В. К. Конюхов, ЖТФ 40, 1649 (1970).

[11] Г. А. Месяц, УФН 176, 1069 (2006).

[12] А. А. Рухадзе, Н. Н. Соболев, В. В. Соковиков, УФН 161. 195 (1991).

Поступила в редакцию 27 марта 2012 г.