CC BY
102
УДК 537.523
МОДЕЛЬ РАСШИРЕНИЯ ИМПУЛЬСНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РАЗРЯДА В ПЛОТНОМ ГАЗЕ С УЧЁТОМ ЭЛЕКТРОННОЙ И ЛУЧИСТОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЕЙ. II. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ БАЛАНС И УРАВНЕНИЕ
У. Юсупалиев1
На основе механизма расширения импульсного электрического разряда в плотном газе (при атмосферном давлении и выше) получено уравнение для радиуса разрядного канала на основе баланса энергий с учетом затрат на ионизацию вовлекаемого в разряд газа, джоулева нагрева плазмы и работы разряда, совершаемой против давления окружающего газа. Для начальной стадии развития такого разряда получено решение этого уравнения, которое согласуется с экспериментальными данными в пределах ошибок измерений.
Ключевые слова: разряд в плотном газе.
Введение. Импульсные расширяющиеся электрические разряды в газе при атмосферном давлении и выше (искровые разряды, сильноточные импульсные излучающие разряды) [1-27] отличаются от импульсных вакуумных электрических разрядов прежде всего тем, что в них масса нагретой плазмы, охваченной разрядным током, возрастает со временем за счет механизма электронной и лучистой теплопроводностей. Теоретическое исследование таких разрядов - весьма сложная задача: требуется совместное решение системы нестационарных уравнений магнитной гидродинамики, уравнения
1е-шаИ: nesu@msu.ru
состояния, уравнения переноса излучения и уравнения цепи. При этом общая гидродинамическая задача становится нелинейной, и при её решении возникают значительные математические трудности [1,5, 15, 19, 21, 24-27].
Одна из первых попыток создания теории импульсного электрического разряда в плотном газе в предположении постепенного выделения энергии в канале разряда была предпринята в работах [1, 5]. Теоретические модели, предложенные в них, не применимы для сильноточных (излучающих) импульсных разрядов в плотном газе, поскольку в них не учитываются потери на излучение. Автомодельная теория излучающего разряда была развита в работах [21, 24]. Применялся автомодельный подход к решению газодинамической задачи при рм/рр « 1 (Рм и рр - магнитное давление разряда и газокинетическое давление плазмы). В энергетическом балансе разряда основную роль играло излучение. Основными недостатками автомодельной теории является пренебрежение противодавлением окружающей среды и затратами на ионизацию атомов газа. В [15, 21] изучение процессов в разряде проводилось с помощью численного интегрирования уравнений магнитной гидродинамики с учетом излучения разряда, но без учёта противодавления и ионизации вовлекаемого в него газа. Проводилось сравнение результатов автомодельной теории и численного расчета с опытными данными. Было показано, что численный расчет даёт достаточно хорошее согласие с измеренными вольт-амперными характеристиками разряда, чего не обеспечивает автомодельная теория. Что же касается других параметров разряда, то численный расчет дает примерно такое же расхождение с опытом, что и автомодельная теория, с той лишь разницей. что численный расчет позволяет описывать динамику разряда на всех стадиях его развития. Эти расхождения особенно ярко проявляются для радиуса разрядного канала /?(<) (где 2 - текущее время). Так, автомодельная теория дает для Я(£) значение, превышающее измеренные значения в 2.2 раза (рис.1, кривая 1), а численный расчет в 3.5 раза (рис.1, кривая 2).
Итак, из вышеизложенного следует, что между результатами существующих теоретических моделей рассматриваемого разряда и опытными данными полного согласия нет. В частности, до сих пор не определены зависимости радиуса Я, скорости расширения Уа и температуры Тс разрядного канала от начальных параметров разрядного контура и окружающего газа (давления р0, плотности /?0, показателя адиабаты 70, температуры в0 = А:То, первого потенциала ионизации атомов 1\. Здесь к - постоянная Больцмана).
Для решения ряда прикладных задач (например, для создания мощного импульсного
источника излучения в ближнем и видимом диапазонах спектра и др.) требуется знание зависимостей величин Я, Vd и Тс от параметров разрядного контура и окружающего газа. Поэтому данная работа посвящена количественному определению зависимостей R(t) и Vi(t) с учётом давления окружающего разряд газа, электронной и лучистой те-плопроводностей в разряде.
1. Для определения зависимостей R(t) и Vd{t) используем законы сохранения энергии для разрядного канала и оболочки импульсного электрического разряда на основе механизма его расширения по газу. Структура и механизм расширения такого разряда в плотном газе достаточно подробно исследованы в [28]. Ось симметрии разряда совпадает с осью Oz цилиндрической системы координат (г, Будем считать, что его параметры не зависят от координат р и z.
Закон сохранения энергии для разрядного канала. Вводимая в разряд энергия Q(t) к моменту времени t расходуется на повышение тепловой энергии разрядного канала Eni(t), на увеличение кинетической энергии расширяющейся в радиальном направлении плазмы Ec{t), на энергию ER(t), уносимую из нагретой области (канала) излучением, на тепловую энергию Eei(t), переносимую в процессе электронной теплопроводности из канала в оболочку через его боковую поверхность 2pRl0, на работу Лх(£), совершае мую расширяющимся разрядным каналом против давления окружающего разряд газа и на изменение магнитной энергии разряда W\f(t): t
QW = j Udtt)J(№ = Ec{t) + EHl(t) + ai(t) + ER(t) + Eel(t) + WM(t),
о
где Ud(t) - падение напряжения на разрядном промежутке при протекании электричс ского тока J(t), Wm = fff—^—dfl - энергия магнитного поля разряда, H(t,r)
П 07Г
напряженность магнитного поля разрядного тока, Q = pR2Io и /о - объем и длина разрядного канала. Сумма энергий Er(1) и Eei(t) равна
ER(t) + Eel(t) = [SR(t) + Sel(t)]27rRl0t, (2)
где SR(t) - плотность потока энергии излучения из канала, Sei(t) - плотность потока тепловой энергии, переносимой в процессе электронной теплопроводности из канала в оболочку. Потоки энергии SR и Sei вычисляются на границе разрядного канала (в оболочке разряда). Для этого требуется знание градиента температуры VT в оболочке
разряда. Величины Sr и Sei являются функциями температуры Т и плотности р. Согласно [24, 29], зависимости Sr( 71, р) и Sei{ Т, р) можно представить в следующем общем виде:
S(7»~ —VT, (3)
рп
где для электронной теплопроводности m — —1/2, п — 0, а для лучистой - m = 1.5 — 3, п = 1.5 — 2.0. Таким образом, уравнение (1) с учетом (2) и (3) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных.
Для определения кинетической энергии расширяющейся плазмы Ec(t) и суммарной энергии Er(1) + Eei(t) рассмотрим закон сохранения энергии для оболочки разряда с учётом лучистой и электронной теплопроводностей.
Рис. 1. Зависимость радиуса разрядного канала Я от времени I для следующего режима сильноточного импульсного электрического разряда в воздухе при атмосферном давлении. Точки • - экспериментальные данные работы [21]. Зарядное напряжение батареи конденсаторов (288 мкФ) 1/о = 20 кВ, длина разрядного промежутка 10 = 0.75 м, квазипериод Т « 106 мкс и начальная скорость нарастания г ~ 1.3 • Ю10 А/с разрядного тока. начальное падение напряжения на разрядном промежутке II«13 кВ. Кривая 1 - расчет по автомодельной теории, кривая 2 - численный расчет, кривая 3 - расчет по формуле (16).
U, max 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
Рис. 2. Зависимость безразмерной скорости расширения разрядного канала итах импульсного электрического разряда в воздухе и аргоне от безразмерного комплекса Е. Кривая построена по формуле (17). Квадраты □ - экспериментальные результаты данной работы: сильноточный импульсный электрический разряд в воздухе при атмосферном давлении (зарядное напряжение батареи конденсаторов (20 мкФ) U0 = 10 - 25 кВ, длина разрядного промежутка /0 = 0.03 — 0.25 м).
Закон сохранения энергии для оболочки разряда. Исходя из механизма расширения разряда, теперь можно написать закон сохранения энергии для плотной оболочки разряда. Он гласит: за счет энергии Ея(£), уносимой из разрядного канала излучением, и тепловой энергии переносимой в процессе электронной теплопроводности из канала в оболочку, происходит ионизация, нагрев и сжатие вовлекаемого в разряд слабоионизованного газа:
[5л(0 + 5е/(0]2 7гт01 = 1(1) + Ен 2(0 + Л2(0, (4)
где /(£), Енг(1) и ~ энергии, затраченные на ионизацию, нагрев и сжатие вовлека-
емого в разряд слабоионизованного газа. Другими словами, выходящая из поверхности разрядного канала энергия, переносимая излучением и за счёт электронной теплопроводности из канала в оболочку, возвращается обратно в канал в виде энергии ионизации, дополнительной тепловой энергии Ен2(<) и дополнительной работы Л2(0 по сжатию вовлекаемого в разряд слабоионизованного ионизованного газа.
С учетом уравнения (4) уравнение (1) для разрядного канала приводится к виду:
<?(*) = Ес(г) + [е„х(1) + еи2(1)) + [д,(*) + л2(*)] + /(*) + и/м(1). (5)
На основе механизма расширения разряда, изложенного в работе [28], также можно определить выражения для величин Ес{Ь) и /(¿):
ес{1) = ^о/о*[Я2(<) - да (^У, (6)
где а - средняя степень ионизации плазмы в оболочке, /ея - энергия, затраченная на ионизацию одной частицы газа. При выводе формулы (6) использован следующий опытный факт: плотность газа в разрядном канале намного меньше плотности газа в оболочке. Поэтому считалось, что основная доля массы газа в разряде сосредоточена в его оболочке.
Ударная волна. Для определения тепловой энергии плазмы (Ец\ + и работы
(Л1 + Л2) используем соотношения для УВ, полученные на основе законов сохранения массы, импульса и энергии [29]. Вследствие лучистой теплопроводности в разряде давление плазмы р по сечению разряда однородно и равно давлению газа за фронтом УВ:
° »2 70 -1
Psw =
PoD
где ~ скорость фронта У В. Величина связана со скоростью Vd поршня У В разрядного канала при числе Маха ударной волны М >> 1 следующим образом [30]:
-Ро,
(8)
П - 70 + 1 у L>sw — —:—Vd
1+1 +
16 с2
1/2
(7о + \)2Vd\
7o + l
Vd,
где с0 - скорость звука в слабоионизованном газе, находящемся перед фронтом УВ. С учетом этого соотношения из (8) получим следующую связь между давлением р за
фронтом У В и скоростью разрядного канала Vd(t) = dR(t)Jdt:
7Q + 1 fdR(t)\2 7о-1
(9)
Тогда тепловая энергия плазмы (Ен\ + £#2) и работа (А\ + А2) определяются через давление р следующим образом:
1 \ I 1 \
[EHi(t) + EH2(t)) =
Р-
Ро
loAR2(t) - Äj],
(10) (И)
7^-17 \7о — 1
где 7л - показатель адиабаты плазмы.
Подставляя выражения (6), (7), (10) и (11) в уравнение (5), с учетом соотношения (9) получим следующее нелинейное дифференциальное уравнение для радиуса разрядного канала Я(£):
Ло (^г) [я2{1)" + Во[к2{1)" = (1" ) (12)
где В0 = 7г/0р0
\ dt ) otIe ff
Oo
1 \ /70-1 7d-i; Uo + l
7o ~ 1
27o Ло + 1
, d(t) = WM(t)/Q(t),
Д0 = ttIqPO
ld
To + 1\ 1
7d - 1 У V 2 / 2
Таким образом, рассматривая механизм расширения разряда по плотному газу, дифференциальное уравнение в частных производных (1) удалось преобразовать в обыкно венное нелинейное дифференциальное уравнение (12) для одной переменной /?(£), что существенно облегчает решение поставленной задачи.
Начальная стадия развития разряда. Опыт показывает, что на этой стадии (при t < yjLcC) индуктивность разряда Ld(t) сильно уменьшается вследствие его расширения (Ьс ~ средняя индуктивность разрядного контура, С - ёмкость батареи конденсаторов). Это приводит к тому, что, несмотря на рост разрядного тока, энергией магнитного поля разряда можно пренебречь по сравнению с другими членами энергетического баланса разряда, т.е. d(t) « 1. Кроме того, для этой стадии развития разряда из опытных данных следует, что
Ud = Udo ~ const и J(t) « Ft, (13)
где F = {dJ/dt)t=o ~ начальная скорость нарастания разрядного тока.
Тогда с учетом (13) и << 1 для начальной стадии развития разряда из уравнения (12) получим следующее дифференциальное уравнение:
(14)
Сильноточный импульсный разряд в плотном газе инициируется электрическим взрывом металлических проволочек радиусом R0 = 0.05 — 0.15 мм, что намного меньше радиуса разрядного канала R (R > 2 мм, точность измерения радиуса составляет ±1 мм). На этом основании будем считать, что при t = 0 Л(0) = 0. Тогда решение уравнения (14) с начальным условием R(0) = 0 ищем в виде:
R(t) = Utp. (15)
Подставляя (15) в уравнение (14), определим показатель степени /?, коэффициент П и
получим:
R(i) = . t = Vmt,
(16)
т/ - УаРАо с
где Цп - начальная скорость расширения разрядного канала, = ——— безразмерно
ный комплекс, зависящий только от начальных характеристик рабочего газа и разряда. Многопараметрический безразмерный комплекс Е не зависит от характерных времен и размеров разрядов. Этот комплекс представляет собой отношение скорости изменения погонной вводимой в разряд мощности к скорости изменения суммарной погонной мощности процессов, возникающих при разряде. Такими процессами для расширяющееся разряда являются джоулев нагрев плазмы, энергетические затраты на ионизацию вовлекаемого в разряд окружающего газа, работа разряда, совершаемая против давления окружающего газа при его расширении по плотному газу.
Заметим, что безразмерный комплекс Е для импульсных (расширяющихся и самосжимающихся) электрических разрядов в газе установлен в работах [31, 32] методом теории размерности (методом Рэлея).
Начальную скорость можно привести к следующему безразмерному виду итах:
иг
Со
где
D =
7 d
'7о+1
ld ~ 1
1
+ 2
7о
a/eff
27О 7о ~ 1
(17)
Тогда с учетом (13) и << 1 для начальной стадии развития разряда из уравнения (12) получим следующее дифференциальное уравнение:
(14)
Сильноточный импульсный разряд в плотном газе инициируется электрическим взрывом металлических проволочек радиусом R0 — 0.05 — 0.15 мм, что намного меньше радиуса разрядного канала R (R > 2 мм, точность измерения радиуса составляет ±1 мм). На этом основании будем считать, что при t = 0 Л(0) = 0. Тогда решение уравнения (14) с начальным условием R(0) = 0 ищем в виде:
R(t) = Ut0. (15)
Подставляя (15) в уравнение (14), определим показатель степени /?, коэффициент П и
получим:
m
(i6)
- UdoFAo _
где Vm - начальная скорость расширения разрядного канала, п = ——^--безразмерно
ный комплекс, зависящий только от начальных характеристик рабочего газа и разряда. Многопараметрический безразмерный комплекс Е не зависит от характерных времен и размеров разрядов. Этот комплекс представляет собой отношение скорости изменения погонной вводимой в разряд мощности к скорости изменения суммарной погонной мощности процессов, возникающих при разряде. Такими процессами для расширяющегося разряда являются джоулев нагрев плазмы, энергетические затраты на ионизацию вовлекаемого в разряд окружающего газа, работа разряда, совершаемая против давления окружающего газа при его расширении по плотному газу.
Заметим, что безразмерный комплекс Е для импульсных (расширяющихся и самосжимающихся) электрических разрядов в газе установлен в работах [31, 32] методом теории размерности (методом Рэлея).
Начальную скорость можно привести к следующему безразмерному виду umax:
их
Со \ 2
где
D =
Id
Id ~ 1
0о
'7о + 1
7о ~ 1
1
+ 2
7о
270
(17)
7d - 1 ) \7о + 1
,7о
При введении величины итах учтён следующий опытный факт: начальная скорость расширения разрядного канала Vm является максимальной, так как при t > \JLcC для скорости расширения разрядного канала выполняется следующее неравенство Vd{t) < Ип-Для импульсного электрического разряда в воздухе при атмосферном давлении решение уравнения (14) сравнивалось с опытными данными работы [21]. Степень ионизации вовлекаемого в него газа в оболочке выбиралась равной единице (а « 1) и jd ~ 1.2. Из данных работы [21] следует, что Е % 0.2. На рис.1 представлена кривая (кривая 3), построенная по формуле (16) при Е « 0.2. Видно, что при t < \JLqC теоретическая кривая удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными.
На рис. 2 приведена экспериментальная зависимость безразмерной скорости расширения разрядного канала umax от безразмерного комплекса Е. Дополнительные опытные данные импульсного электрического разряда в воздухе при р0 = 105 Па взяты из работ [4, 12, 13, 21, 24]; в аргоне - при р0 = 105 и 4.8-Ю5 Па из работы [3]. Для расчета значений безразмерного комплекса ü использованы следующие опытные данные 'yj ~ 1.2, а äs 1. Кривая, построенная по формуле (17) и приведенная на рис.2, согласуется с опытными данными импульсного разряда в воздухе и аргоне, полученными нами и другими исследователями в разное время.
Таким образом, импульсный электрический разряд в плотном газе расширяется бла годаря электронной и лучистой теплопроводностям. Учёт их в энергетическом балансе разрядного канала позволил получить обыкновенное дифференциальное уравнение для радиуса разрядного канала. Для начальной стадии развития такого разряда решение полученного уравнения удовлетворительно согласуется с опытными данными различных авторов [3, 4, 12, 13, 21, 24] (рис.2).
Считаю своим долгом выразить благодарность A.A. Рухадзе за ценные обсуждения.
ЛИТЕРАТУРА
[1] С.И. Драбкина, ЖЭТФ 21, 473 (1951).
[2] Г.Г. Долгов, С.Л. Мандельштам, ЖЭТФ 24, 691 (1953).
[3] К.С. Вульфсон, И.Ш. Либин, ЖЭТФ 21, 510 (1951).
[4] Н.М. Гегечкори, ЖЭТФ 21, 493 (1951).
[5] С.И. Брагинский, ЖЭТФ 34, 1548 (1958).
[6] М.П. Ванюков, A.A. Мак, УФН 66, 301 (1958).
[7] Ф.А. Черная, Оптика и спектроскопия 4, 725 (1958).
[8] М.П. Ванюков, A.A. Мак, А.И. Садыкова, ДАН СССР 135, 557 (I960).
[9] Электрический взрыв проводников, Т. 1-2, под ред. А.А Рухадзе и И.С. Шпигеля (Мир, М., 1965).
[10] Н.Г. Басов, Б.Л. Борович, B.C. Зуев и др., ЖТФ 38, 2079 (1968).
[11] Н. Fisher, W. Schwanzer, Applied Optics 8, 697 (1969).
[12] А.Ф. Александров, A.A. Рухадзе и др., Краткие сообщения по физике ФИАН, N 8, 72 (1970).
[13] Н.Г. Басов, Б.Л. Борович, В.Б. Розанов, B.C. Зуев и др., ЖТФ 40, 516 (1970).
[14] К. Фольрат, Искровые источники и высокочастотная искровая кинематография. В сб.: Физика быстропротекающих процессов, Т.1 (Мир, М., 1971), с. 98.
[15] А.Ф. Александров, С.П. Курдюмов, Ю.П. Попов и др., ЖЭТФ 61, 1841 (1971).
[16] И.В. Подмошенский, A.M. Пухов, A.B. Яковлева, ЖПС 19, 624 (1973).
[17] Б.Л. Борович, B.C. Зуев, A.B. Старцев и др., Квантовая электроника 1, 2275 (1974).
[18] A.C. Андреев, Б.И. Орлов, ЖТФ 35, 1411 (1965).
[19] А.Ф. Александров, A.A. Рухадзе, УФН 112, 194 (1974).
[20] С.И. Баранник, С.Б. Вассерман, А.Н. Лукин, ЖТФ 44, 2352 (1974).
[21] А.Ф. Александров, A.A. Рухадзе, Физика сильноточных электроразрядных источников света (Атомиздат, М., 1976).
[22] Ю.К. Бобров, ЖТФ 44, 2340 (1974).
[23] И.С. Маршак, A.C. Двойников, В.П. Кирсанов и др., Импульсные источники света, под ред. И.С. Маршака (Энергия, М., 1978).
[24] Б.Л. Борович, В.Б. Розанов, B.C. Зуев и др., Сильноточные излучающие разряды и газовые лазеры с оптической накачкой, В сб.: Итоги науки и техники, Сер. Радиотехника (ВИНИТИ, Москва, 1978), с.79.
[25] A.A. Волосевич, В.Я. Гольдин, Н.И. Калиткин и др., Препринт ИПМ АН СССР N 40 (1970).
[26] Ю.К. Бобров, В.В. Вихрев, И.И. Федотов, Физика плазмы 14, 1222 (1988).
[27] С.Н. Колгаткин, ЖТФ 65, 10 (1995).
[28] У. Юсупалиев, Краткие сообщения по физике ФИАН, 36(8), 42 (2009).
[29] Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер, Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (Наука, М., 1966).
[30] A.A. Самарский. Ю.П. Попов, Разностные методы решения задач газовой динамики (Наука, М., 1980).
[31] У. Юсупалиев, Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9, 42 (2005).
[32] У. Юсупалиев, В.М. Фадеев, Прикладная физика, N б, 12 (2006).
Учреждение Российской академии наук Институт общей физики
им. A.M. Прохорова Поступила в редакцию 1 июля 2009 г.
