Решение уравнения нелинейной (лучистой) теплопроводности для импульсных сильноточных электрических разрядов в плотных газах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.523

_________ ___ к» «_» ____«_» .

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕИНОИ (ЛУЧИСТОИ) ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИЛЬНОТОЧНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ РАЗРЯДОВ

В ПЛОТНЫХ ГАЗАХ

У. Юсупалиев

Предложена модель начальной стадии расширения цилиндрических импульсных сильноточных электрических разрядов в плотных газах в приближении лучистой теплопроводности. На основе однородного распределения давления плазмы в разрядном канале и его постоянства на этой стадии дифференциальные уравнения с частными производными (уравнения непрерывности, Эйлера и нелинейной теплопроводности) этой модели сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям, из решений которых определены пространственно-временные зависимости температуры и плотности плазмы в канале от начальных параметров. Полученные зависимости в пределах ошибки измерения согласуются с опытными данными.

Ключевые слова: импульсные сильноточные электрические разряды в плотных газах, уравнение нелинейной теплопроводности.

К цилиндрическим импульсным сильноточным электрическим разрядам в газах высокого давления р0 > 105 Па (ИСЭР в плотных газах, далее разряды) относятся мощные искровые разряды (длиной /0 = 0.3 — 50 см) [1-7] и длинные излучающие разряды (/о < 100 см) [8-11]. Последние разряды создаются с помощью электрического взрыва достаточно тонких проволочек (диаметром 0 < 0.1 мм).

Структура таких разрядов экспериментально изучалась в работах [1, 7, 9]. В нашей работе [12] на опыте проведено уточнение структуры разрядов: исследовано влияние их УФ-излучения (фотодиссоциации, фотоионизации, фотовозбуждениия) на окружающий газ с целью установления механизма их расширения по плотному газу. На основе

ИОФ РАН 119991 Россия, Москва, ул. Вавилова, 38; e-mail:nesu@msu.phys.ru.

опытных данных работ [1, 7, 9, 12] установлена следующая структура ИСЭР в плотных газах: центральный разрядный-токовый канал с плотной оболочкой, ударная волна (УВ) и возбужденный, диссоциированный, слабоионизованный газ перед фронтом УВ (рис. 1).

Рис. 1: Качественная картина структуры (радиального распределения газодинамических величин) импульсных сильноточных электрических разрядов в плотных газах в некоторый момент времени.

На опыте достаточно подробно исследованы закономерности зависимостей основных характеристик разрядов от времени £ [4-11]. А что касается закономерностей радиальных распределений температуры Т(г) и плотности р(г) плазмы в разрядах, то они изучались экспериментально только в некоторых работах, например, в [1, 7, 9, 13], что связано с трудностью реализации экспериментальных методов определения этих распределений.

Теоретические модели описания расширения ИСЭР в плотных газах предложены авторами работ [7, 8, 10, 14-17]. Заметим, что в этих моделях пространственные распределения характеристик разрядов не определялись и энергия А/, затраченная на ионизацию вовлекаемого в разряд газа, не учитывалась. Однородная модель расширения разрядного канала с плотной оболочкой рассмотрена Брагинским С. И. [15]. В рамках этой модели получена формула для радиуса канала искры Я в зависимости от

разрядного тока 3(¿) и времени ¿. Температура канала в этой работе не определялась из-за отсутствия надежных данных по излучению воздушной плазмы. Впоследствии модель Брагинского усовершенствовалась неоднократно [16, 17].

Модели, предложенные в работах [7, 14-17], не применимы для излучающих разрядов (оптически непрозрачной плазмы). Модель расширения таких разрядов была развита авторами работ [8, 10] при предположениях, позволяющих применить автомодельный подход к решению газодинамической задачи в приближении лучистой теплопроводности. В отличие от вышеуказанных моделей уравнение состояния было выбрано в виде

р =Ы — 1)Ад ■ р ■ Т, (1)

а коэффициент лучистой теплопроводности Хя(Р,Т) = (16/3)а0/р(р, Т )Т3 = (Хя0Тт+3)/рп, где р, р,Т, е и 7ед- - давление, плотность, температура, удельная энергия и эффективный показатель адиабаты плазмы соответственно, Ад - удельная теплоемкость плазмы, е = Ад ■ Т (Дж/кг), а0 - постоянная Стефана-Больцмана, 1р(р,Т) = Ь ■ Тт/рп - росселандов пробег фотонов в плазме, Ь - размерный коэффициент (т = 1.3 — 3.0, п = 1.5 — 2.0). Величины Ад и 7е^ рассчитывались с учетом процессов ионизации и диссоциации. Получены формулы для радиуса Я(£) и температуры Т(¿) разрядного канала. Для согласования расчётной величины Т(¿) с опытными данными авторам работ [8, 10] пришлось уменьшить значение коэффициента Хя(р,Т) в 20-30 раз вследствие отсутствия надежных данных для росселандова пробега фотонов.

Несмотря на давнюю историю исследований ИСЭР в плотных газах, их временно-пространственные распределения характеристик определены только численными методами в различных приближениях [18-20], результаты которых не согласуются с опытными данными. Разумеется, для их определения можно снова воспользоваться численными методами, однако предпочтительнее иметь дело с аналитическими решениями, так как они нагляднее демонстрируют закономерности исследуемого явления и могут помочь установить новые, ранее неизвестные его закономерности. Данное сообщение как раз и посвящено установлению таких зависимостей и определению временно-пространственных распределений характеристик таких разрядов.

Модель расширения разряда. Рассматривается разряд, обладающий цилиндрической симметрией, т.е. его характеристики не зависят от координаты Модель построим при следующих предположениях, которые следуют из опытных данных.

1. После завершения электрического пробоя рабочего газа разрядов образуется узкий центральный канал проводимости с радиусом Ят ~ 10-3 м и начинается рост

тока 3(£), что вызывает появление скин-эффекта. При характерных величинах удельной проводимости разряда а ~ 102 — 103 Ом-1 м-1 на начальной стадии его развития для момента времени £ ~ 1 мксек толщина скин-слоя $8кт = л/¿/(п^оа) составляет ~ (1.5 — 5.0) • 10-2 м и получим, что Фзкт/Ящ ~ 15 — 50. То есть можно считать электрическое поле постоянным по сечению канала.

2. Брагинским С. И. установлена следующая связь между давлением плазмы в канале р и магнитным давлением разрядного тока рм : Р ~ Рм • (Фзкт/Ящ)2 [15]. Из этой связи видно, что магнитное давление рм можно считать несущественным (рм ^ р) для динамики развития разрядов тогда же, когда можно пренебрегать скин-эффектом (при Фзкт ^ Ящ). Таким образом, на начальной стадии развития ИСЭР в плотных газах токовый (разрядный) канал расширяется.

3. Скорость расширения канала УЛ = дЯ/дЬ = Я(£) пренебрежимо мала по сравнению со скоростью изотермического звука вц в горячей области разряда (дЯ/д£) ^ с^, так как, согласно опытным данным [1-11], УЛ ~ (0.4 — 4.0) • 103 м/с; Cit ~ (3.5 — 20.0) х 103 м/с). В этом приближении скорость УЛ совпадает со скоростью газа и^ж за фронтом УВ: разрядный канал является "поршнем" УВ.

4. Давление плазмы р в канале выравнивается за время Я/с. Для характерных значений Я ~ 0.5 — 1.0 см это время оказывается Л/с^ ~ 10-7 с, что намного меньше времени изменения тока 3(£) ~ 10-6 — 10-4 с. В этом случае давление плазмы распределено однородно по сечению канала. Поскольку давление р распределено однородно и канал является поршнем УВ, то оно равно давлению за фронтом УВ, которое связано со скоростью поршня - скоростью расширения разрядного канала УЛ следующим соотношением

р = (7о + 1)роУ2/2 — (7о — 1)ро/(7о + 1), (2)

где ро,ро, и 7о - давление, плотности и показателя адиабаты рабочего газа соответственно.

5. Разряд излучает как абсолютно черное тело и поэтому плазма в разряде является оптически непрозрачной, что позволяет применить приближение лучистой теплопроводности: Я » 1Р(р,Т) [8, 10, 11].

Система уравнений модели. Для описания начальной стадии расширения разряда в цилиндрической системе координат воспользуемся следующей системой уравнений [8, 10, 11]:

уравнением непрерывности

др др ди ди

-К-+ V— + р— + V— = 0; (3)

д£ дг дг г

уравнением Эйлера

ди ди др

ТТ7 + V— = - 1

дЬ дг рдг' уравнением баланса энергии

( Т \ . . 1 д ( . ^,дТ \ ер!г1п = ^ + -д- [гх*(р,Т) а-,) ; (5)

уравнением состояния в виде (1); уравнением электрической цепи разряда [11]:

Ц(г) = з (г)-от(г) + з (г) ^ + Щт, (6)

ас ас

где и - гидродинамическая скорость, -От(Г),Ьс(Г) и д(-,Г) - омическое сопротивление, индуктивность и электрическая мощность, выделяемая в единице объема разряда, Ц(Г) - падение напряжения на разрядном промежутке. Уравнение (5) представляет собой уравнение нелинейной (лучистой) теплопроводности с нестационарным источником энергии д(—, Г). На опыте величины Ц(Г) и 3(Г) измеряются, и потому они заданы.

На границе разрядного канала - = Я(Ь), т.е. одно из граничных условий разряда зависит от времени Г. Величины Я(Г) и Ус(Ь) являются интегральными характеристиками разряда (относятся ко всему разряду) и они определяют массу газа, вовлекаемого в разряд, а, следовательно, и его энергетический баланс. Скорость расширения канала Ус(Ь) из системы уравнений (1), (3)-(6) не определяется. Для нахождения скорости Ус(Ь) сначала нами экспериментально исследовались зависимости Я(Г) и Ус(Ь) от интегральных параметров разряда и рабочего газа: начального напряжения Цс(0) = Ц0 и начальной скорости нарастания разрядного тока (¿3/в£)1=0 = Я [начальные условия уравнения (6)]; р0,р0,70, первого потенциала ионизации атома 1\f (либо эффективного потенциала ионизации молекулы ). Затем, используя однородность распределения давления плазмы в канале, на основе механизма расширения разряда нами в работе [21] получено дифференциальное уравнение для радиуса Я(Г), из решения которого определена начальная скорость расширения разрядного канала в зависимости от безразмерной обобщенной переменной ИСЭР в плотных газах

Уы = - 1)' (7)

где с0 - скорость звука в рабочем газе с температурой кТ0 (в энергетических единицах),

-с =

ЦсюЯроЛд 1ор0В2

Л

с = п

7ей \ (10 + 1 \ + 1

7еЯ -1; V 2 ; 2

В

= п

/

ей"

к То

1

7о — 1

1

27о

— V \7о + V То — 1 7о + 1

Эта формула согласуется с опытными данными, полученными нами и другими исследователями в разное время на разных экспериментальных установках [2, 3, 5, 8, 10-12].

Поскольку величины Я(£) и УЛ(£) являются интегральными характеристиками разряда, то решение системы уравнений (1), (3)-(6) будем искать в виде:

Т(£, г) = П(£)т(0, р(£, г) = М(£)^(0, и(£, г) = Я(£)и(е), (8)

где £ = г/Я(£) - автомодельная переменная. После подстановки (8) в систему (1), (3)-(6) и приведения её к безразмерному виду получим следующую систему уравнений:

^(е)ие) — е] +«'(£) + + М^(£)Я(£)=0,

у(е)

£ М(£)Я(£)

(9)

Я(£)

с(£)

у(е)

Я(£)Я(£) (е) + [ (е) е]и'(£) ■и(е) + К?) — е]

[Д(£)]2

и(е)

д

—[т (еже)],

10)

Шт (е)](^ — ы — 1) М(£Ш + Ие) — ?]

^Л\П(£)Д(£) 1 V(£)Д(£) ^

^ — (7ff — 1) ^ т(е) (7eff 1) у(е)

+ (11)

+

ХяоПт+3(£)

М П+1(£)Я(£)Я?(£)

1 -(е

т

т+3

(е)

2га(£)

дт (е И = д(£,г)Я(£) де / М (£)П(£)Я(£)

р =(7eff — 1)АВ м (£)П(£)[£(е )т (е)],

12)

где штрих означает дифференцирование по е, а точка - дифференцирование по £.

Граничные условия к системе уравнений (8)-(11) формулируются следующим образом

дт

0; и(0) = 0; т(1) = т1; и(1) = 1. (13)

т(0) = 1; ,(0)=1; (|)

Начальные условия модели имеют следующий вид:

П(0) = Tin; М(0) = рЫ Я(0) = Яin; Я(£)) = У^,

4=о

14)

где Тщ и рin - начальные температура и плотность плазмы на оси разрядного канала, Яш - начальный радиус этого канала. Значение величины п будет определено ниже.

2

Как видно из этой системы уравнений, в ней появились безразмерные комплексы, одна часть которых зависит только от времени Г, например,

_ М(Г)Я(Г) _ Я(Г)Я(Г) _ П(Г)Я(Г)

П\ = -:-, П2 = -тт , Пз = -:-,

м(г)и(г), Гя(Г)!2 , Щг)Я(г),

а другая - только от координаты £. В уравнении (9) разделяются переменные:

М(г)я(г)

м (г)яЯ(г)

= Ох, (15а)

9(0Ш - С] - и'(С) - ^ = Ох, (156)

д(С)1 У ; 1 У ; С

где Ох - константа разделения.

Поскольку на начальной стадии расширения разряда давление плазмы p в канале распределено однородно, то оно не зависит от координаты С , т.е. из уравнения (10) следует, что

д

[т (С)9(С)] = 0. (16)

Если правая часть уравнения (10) равна нулю, то и левая часть равна нулю:

Я(Ь)Я(Ь)

[Я(г)]2

-и(С) + [и(С) - С]и'(С) = 0, (17)

так как на начальной стадии расширения разряда и стадии его основного энерговыделе-

ния выражение ^Я(Г)/с(Г)^ д(С) = 0. Используя граничные условия т(0) = 1 и д(0) = 1, проинтегрируем уравнение (16):

т(С)д(С) = 1. (18)

В уравнении (17) разделяются переменные:

и'(С)

[и(С) - С]"7^ = О2, (19а)

и(С)

Я<<Ж = О2. (196)

[ад]2 7 '

Из уравнеия (19а) с граничным условием и(1) = 1 определим значение константы разделения: О2 = 0. Тогда решением уравнения (19а) при и(0) = 0, и(1) = 1 является функция

и(С) = С, (20)

а уравнение (19Ь) с начальными условиями Я(0) = Ящ,УЛ = У^а имеет следующее решение:

Я(£) = Яin + ^па£. (21)

Начальная скорость расширения канала У^а определяется формулой (7). Решение (20) представляет собой пространственное распределение газодинамической скорости частиц плазмы.

С учётом решения (20) и граничного условия и(1) = 1 из уравнения (15Ь) находим значение константы разделения С1:

М» = С = —2. (22)

м(г)Я(<) 1 к '

При известном значении константы С1 уравнение (15а) с начальными условиями М(0) = рт и Я(0) = Яin имеет решение - зависимость плотности плазмы канала на его оси от Я(£):

М <£) = р™ (^ )2- <23)

Согласно опытным данным, на начальной стадии расширения разряда £ < \/ЬкС давление плазмы в канале остается постоянным. Из этого опытного факта определим значение безразмерного комплекса п3 в уравнении (11). Для этого продифференцируем уравнения состояния (12) по времени и с учетом (7^ — 1)Ар [$(е)т(е)] = 0 получим:

П(£) М(£)

П(£) М (£)' (24)

Правую часть соотношения (24) определим из уравнения (22) и, подставив ее в (24), найдем значения безразмерного комплекса:

= С3 = 2. (25)

При известной зависимости М(£) (23) из уравнения состояния с учетом соотношения (2) определим зависимость температуры плазмы на оси разрядного канала от времени

П(£) = (7Л — 1)1 М (£) • (26)

После подстановки (18), (20), (22) и (25) в уравнение баланса энергии (11) оно примет следующий вид:

_ 1 д /е[ т+п+3(е)]\ = д(£,г)Я2(£)Мп(£) 27effАрМП+1(£)Я(£)ЯЯ(£) (2?) ед^е[т (е)] де / ХлоП-+4(£) ХдоПт+3(£) . ( )

Так как электрическое поле однородно по сечению и по длине разряда, то, исходя из этого, можно считать, что плотность вводимой в разряд электрической мощности по сечению канала распределена практически однородно, т.е. величина г) не зависит

, (Л з№(г) т ,97,

от координаты г : д(ъ, г) = д(ъ) = —-———. Тогда правая часть уравнения (27) зависит

10пл2

только от ¿, а левая - только от С, т.е. в нем разделяются переменные:

С4

1 д /СГтт+п+3(С)1 дт (С И

з (1)ил(1)Ып(1) 27еЯ Ли Мп+1(1)К(1)К(1)

пхяо1оПт+4(1)

ХдсПт+3(^)

С4.

Дифференциальное уравнение (28) с граничными условиями т(0) 0, т(1) = Т1 имеет следующее решение:

дт (С) дС

т (С)

т

т+га+4 1

+

т + п + 4 ~4

С4(1 - С2)

1/т+га+4

(28)

(29)

?=о

(30)

Используя граничное условие т(0) = 1, найдем константу С4 = (1 — т] + ) и тогда искомая безразмерная функция т (С) имеет следующий вид

т (С) = [тт+п+4 + (1 — тт+п+4)(1 — с2)]1/т+п+4

(т + п + 4)'

(31)

При известной функции т(С) = Т(С)/Т(0) из соотношения (18) найдем теперь и радиальное распределение относительной плотности плазмы в разрядном канале

д(С) = Р(С) = [тГ+п+4 + (1 — тГ+п+4)(1 — с2 1 — 1 /т+п+4

(32)

где Т(0) и р(0) - температура и плотность плазмы в центре разрядного канала.

На границе разрядного канала (при С =1) плотность равна плотности ионизованного газа за фронтом сильной УВ, т.е. д(1) = (7о + 1)/(7о — 1). Тогда из (18) получим т (1) = т1 = 1/д(1).

На рис. 2 приведены кривые, построенные по формулам (31) и (32), и там же представлены экспериментальные зависимости радиальных распределений относительной температуры Т(Ь,С)/Т(¿, 0) и плотности р(Ь,С)/р(£, 0) плазмы в разрядном канале ИС-ЭР в воздухе при р0 = 105 Па от безразмерной координаты С, взятые из работы [7]. При построении универсальных функций т(С) и д(С) для воздушной плазмы, согласно [8, 10], принята формула 1р(р,Т) = (ЬТ4/3)/р7/4 (см) (т = 1.33 и п = 1.75). Видно, что

1

4

Рис. 2: Радиальные распределения относительной температуры Т(£)/Т(0) (1) и относительной плотности р(£)/р(0) (2) плазмы в разрядном канале ИСЭР в воздухе при р0 = 105 Па от безразмерной координаты £. Кружки и эллипсы - экспериментальные данные работы [7] при температуре Т(0) ~ 36 • 103 К и плотности р(0) ~ 5.2 • 10-3 кг/м3 плазмы на оси разряда.

теоретические кривые в пределах ошибки измерений удовлетворительно согласуются с опытными данными.

Таким образом, для начальной стадии расширения ИСЭР в плотных газах получено аналитическое решение уравнения нелинейной (лучистой) теплопроводности с нестационарным источником энергии, согласующее с опытными данными.

Из полученных данных следуют выводы:

1. При представлении температуры, плотности и газодинамической скорости плазмы в разрядном канале в виде (8), где размерные масштабы радиуса Я(£), плотности

М(£), температуры П(£) и скорости Я(£) зависят от времени согласно законам (форму-

Тг) р(£, £)

лам) (21), (23) и (26)), безразмерные отношения ' = т(г/Я), = 9(Г/Я) и

и (t г)

—т-^-— = и (г/Я) являются "универсальными" функциями безразмерной координаты -Я(^

автомодельной переменной £ = г/К(Ь) (в смысле независимости от времени) [см. формулы (31), (32) и (20)].

2. Согласно формулам (26) и (31), пространственно-временное распределение температуры плазмы в канале определяется формулой

Т(1,Т)= (1л - 1)ЛВМ(I)

Формула (33) подтверждает наличие характерного для процесса нелинейной теплопроводности распределения - профиля температуры, изменяющегося со временем подобным образом в координатах г, Т.

m+n+4 Т1

+ (1 - ri

m+n+4 )

1

R(t),

1 /m+n+4

(33)

r

ЛИТЕРАТУРА

[1] Г. Г. Долгов, С. Л. Мандельштам, ЖЭТФ 24, 691 (1953).

[2] К. С. Вульфсон, И. Ш. Либин, ЖЭТФ 21, 510 (1951).

[3] Н. М. Гегечкори, ЖЭТФ 21, 493 (1951).

[4] К. Фольрат, Искровые источники света и высокочастотная искровая кинематография В сб.: Физика быст,ропрот,екающих процессов. Т.1. (М., Мир. 1971), с. 98.

[5] H. Fisher, Applied Optics 11, 899 (1972).

[6] И. С. Маршак, А. С. Двойников, В. П. Кирсанов и др., Импульсные источники

света, под ред. И.С. Маршака (М., Энергия, 1978).

[7] Ю. К. Бобров, ЖТФ 44, 2340 (1974).

[8] Б. Л. Борович, В. С. Зуев, В. Б. Розанов и др., Труды ФИАН СССР 76, 3 (1974).

[9] С. И. Андреев, С. Н. Леонов, Р. А. Лиуконен, ЖТФ 46, 981 (1976).

[10] Б. Л. Борович, В. С. Зуев, В. Б. Розанов и др., Сильноточные излучающие разряды и газовые лазеры с оптической накачкой, В сб.: Итоги науки и техники, Сер.

Радиотехника, (М., ВИНИТИ, 1978), с. 79.

[11] А. Ф. Александров, А. А. Рухадзе, Физика сильноточных электроразрядных источников света (М., Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2012).

[12] У. Юсупалиев, Краткие сообщения по физике ФИАН 36(8), 33 (2009).

[13] D. Meiners and W. Weber, Z. Naturforsch 27a, 11, 1601 (1972).

[14] С. И. Драбкина, ЖЭТФ 21, 473 (1951).

[15] С. И. Брагинский, ЖЭТФ 34, 1548 (1958).

[16] С. Н. Колгатин, ЖТФ 65, 10 (1995).

[17] С. И. Баранник, С. Б. Биссерман, А. Н. Лукин, ЖТФ 44, 2340 (1974).

[18] В. Я. Гольдин, Н. Н. Калиткин, В. Б. Розанов и др., Препринт ИМП N 36, АН

СССР, 1971.

[19] А. А. Волосевич, В. Б. Розанов, Б. Н. Четверушкин и др., Препринт ИМП N 40, АН СССР, 1971.

[20] Ю. К. Бобров, В. В. Вихрев, И. И. Федотов, Физика плазмы 14, 1222 (1988).

[21] У. Юсупалиев, Краткие сообщения по физике ФИАН 36(8), 44 (2009).

Поступила в редакцию 22 августа 2014 г.