CC BY
22
УДК 537.523
БЕЗРАЗМЕРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ ПОДОБИЯ И КРИТЕРИИ РЕЖИМОВ СЖАТИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО г-ПИНЧА В ГАЗЕ
У. Юсупалиев
На основе рассмотрения энергетического баланса для начальной стадии развития цилиндрического Z-nuнчa в газе получено безразмерное уравнение, содержащее два безразмерных комплекса Е и Из требования инвариантности этого уравнения относительно преобразования растяжения (сжатия) координат и времени следует, что комплексы "Е и <1о являются безразмерными инвариантами подобия указанного разряда. Показано, что эти инварианты представляют собой количественные критерии реализации режима сжатия (однократного, двукратного, трехкратного и т. д.) плазменного шнура цилиндрического Z-nuнчa.
Экспериментальные данные по исследованию динамики цилиндрического £-пинча в газе (13.3-1330 Па) показывают [1-17], что такой разряд имеет следующие временные режимы сжатия плазменного шнура: однократное, двукратное, трехкратное и т.д. Для решения прикладных задач на основе цилиндрического £-пинча требуется знание условий, при которых реализуются указанные режимы сжатия. Так, при применении такого £-пинча в аргоне в качестве импульсного источника излучения в видимом и ближнем УФ-диапазонах спектра для новой системы получения трехмерного изобра жения объектов [18] из требования улучшения отношения сигнал/шум следует, что длительность его излучения должна быть минимальной (менее 1 мкс) при мощности разряда порядка сотен МВт. Анализ показывает, что условие, при котором достигается минимальная длительность излучения £-пинча, зависит от режима сжатия его плазменного шнура. Поэтому определение критериев реализации режимов сжатия плазменного
шнура цилиндрического Z-пинча является актуальной задачей. Однако до сих пор количественные критерии режимов сжатия такого разряда не установлены [1-17]. В этой связи возникает необходимость их определения, что и является целью данной работы.
Таблица 1
РЕЖИМЫ СЖАТИЯ Безразмерные инварианты
ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО Z-ПИНЧА подобия Е и ¿о -
В АРГОНЕ критериальные числа
НЕПОЛНОЕ СЖАТИЕ: радиус 70 < Е < 320,
плазменного шнура Я не доходит до ¿0 = 0.40 - 0.45
минимума
ПОЛНОЕ ОДНОКРАТНОЕ 320 <Е< 1100,
СЖАТИЕ: Я доходит до минимума ¿о = 0.40 - 0.45
СЖАТИЕ Переход от однократного сжатия к 1100 < Е < 3300
двукратному сжатию: полное <*,о = 0.40 - 0.45
первое сжатие и неполное второе
сжатие
ПЛАЗМЕННОГО ДВУКРАТНОЕ СЖАТИЕ 3300 < Е < 9540, ¿о = 0.40 - 0.45
Переход от двукратного сжатия к 9540 < Е < 23000
трехкратному сжатию: полное ¿о = 0.40 - 0.45
ШНУРА двукратное сжатие и неполное третье сжатие
Е > 23000,
Д, = 0.35 - 0.39
ТРЕХКРАТНОЕ СЖАТИЕ В настоящее время опытные данные имеются только для дейтерия до Е « 26600
Экспериментальная установка и методика измерения. Разрядный контур для Z-пинча состоял из батареи конденсаторов (емкость С = 20 мкФ, зарядное напряжение = 10 — 40 кВ), управляющего разрядника, разрядной камеры с системой откачки и напуска рабочего газа-аргона. В эксперименте использовались две разрядные камеры
с одинаковыми радиусами Ло = 4.5 см, но с различной длиной /0 = 30 и 15 см. Разрядная камера представляла собой кварцевый цилиндр. Давление р0 рабочего газа-аргона варьировалось в пределах 13.3-1330 Па. Напряжение на разрядном промежутке ¿/¿(¿) и разрядный ток J(t) измерялись с помощью безындуктивного делителя напряжения и пояса Роговского соответственно [19]. Динамика сжатия плазменного шнура изучалась сверхскоростным фоторегистратором СФР-2М, работающим в режиме щелевой развертки, щель перпендикулярна оси пинча (развертка во времени процесса сжатия плазменного шнура).
Пространственно-временное распределение напряженности магнитного поля Н(1,г) разряда измерялось с помощью магнитного зонда [9]. Он представлял собой миниатюрную многовитковую катушку (диаметр 2 мм, длина 2 мм, количество витков 50) из медной проволоки диаметром 0.04 мм, помещенную в электростатический экран в целях защиты ее от внешних электростатических полей. Экраном зонда служила медная трубка диаметром 3 мм с отверстиями для проникновения магнитного поля внутрь катушки. Зонд помещался в защитную кварцевую трубку, расположенную радиаль-но в камере, причем его можно было передвигать вдоль этой трубки. Ось катушки ориентировалась перпендикулярно оси разрядной трубки для измерения азимутальной составляющей напряженности магнитного поля. Выход зонда был соединен с коаксиальным кабелем, согласованным с активным сопротивлением 50 Ом.
Критерии подобия цилиндрического Z-nuнчa как его обобщенные безразмерные переменные. Для установления критериев реализации режимов сжатия плазменного шнура цилиндрического £-пинча необходимо определить его критерии подобия. Согласно теории размерности и подобия [20, 21], такие критерии представляют собой безразмерные обобщенные переменные, описывающие явление. Применительно к разрядам, по терминологии авторов работы [22] такие переменные разрядов можно называть еще их безразмерными инвариантами подобия. Отметим, что в этой работе для стационарных разрядов (тлеющего разряда низкой и высокой ионизации) определены их размерные инварианты подобия из требований инвариантности кинетических уравнений Больцмана и уравнений Максвелла относительно преобразования растяжения (сжатия) координаты и времени.
Если математическая модель исследуемого явления отсутствует, то его обобщенные безразмерные переменные определяются методами теории размерности [21]. Отсутствие модели означает, что сведений об исследуемом явлении недостаточно для его полного количественного описания. В этом случае в принципе также имеется возможность уста-
новления структуры и числа безразмерных обобщенных переменных явления, так как причинно-следственные связи между величинами, существенными для его характеристики, имеют место вне зависимости от объема сведений о нем. Число безразмерных обобщенных переменных (комплексов) определяется 7г-теоремой теории размерности и подобия [21, 23-25]. При этом возникает вопрос о минимальном объеме сведений об исследуемом явлении. Необходимой минимальной информацией об объекте исследования является знание всех его существенных определяющих и независимых (от времени и координат) величин, которые должны были бы войти в его математическое описание, если такое описание было бы можно создать. Как показывает опыт, исключительные трудности приходится преодолевать при составлении перечня определяющих величин исследуемого явления и выборе системы размерностей. На этой стадии изучения явления глубина понимания физической сути процессов, происходящих в нем, имеет решающее значение.
Как правило, указанные определяющие и независимые параметры исследуемого явления представляют собой его интегральные величины, характеризующие явления в целом. Для цилиндрического Z-пинча в газе таковыми параметрами являются следующие величины: начальное падение напряжения на разрядном промежутке Udo', начальная скорость нарастания разрядного тока F; давление р0, плотность ро, температура Т0 и показатель адиабаты рабочего газа; энергия /ея, затраченная на ионизацию одной частицы газа; начальная средняя степень ионизации а и эффективный показатель адиабаты 7d плазменного шнура; 10. Из перечисленных параметров для Z-пинча в работе [26] методами теории размерности (методом Рэлея) установлены следующие безразмерные комплексы:
R _ _ UdoFBq X~Ro' ~~ loAl ' где х - относительный радиус плазменного шнура,
5i и? - ш Ш'iШ Щ m+■
т) - доля захваченной магнитным поршнем массы плазмы, во = kTo,k - постоянная Больцмана. Значение величины г/ заключено в интервале 0 < г) < 1 и определяется из опытных данных. Многопараметрический безразмерный комплекс Е не зависит oi характерных времен и размеров разрядов. Этот комплекс представляет собой отношение скорости изменения погонной вводимой в разряд мощности к скорости изменения суммарной погонной мощности процессов, возникающих при разряде. Такими процессами
для цилиндрического ¿Г-пинча являются джоулев нагрев плазмы и работа электродинамических сил.
Газокинетическое давление плазмы разряда рр действует в сторону расширения плазменного шнура (слоя), а магнитное давление рм разрядного тока - в сторону его сжатия, что количественно характеризуется отношением = рм/рР• Опыт показывает, что величина этого отношения, в конечном счете, определяется начальными параметрами (/¿о,^, А) и В0. Действительно, умножив и поделив безразмерный комплекс Е на величину (^о&кВ^^) с учетом {¡е. ~ ¿¿о-^, получим:
_ = /8тгЬрРоВ1В2Л = /8тгЬрроЩВ1\
\8тгЩро) V ) \ р0 ) \ ^\р0А1 ) '
т.е. в состав обобщенной переменной входит отношение магнитного давления рм(Ь) в момент отрыва ¿1 плазменного шнура (слоя) от стенки разрядной камеры к начальному газокинетическому давлению газа р0 (р.0 - магнитная постоянная, Ь¿0 - начальная индуктивность разряда, ¿1 - момент отрыва плазменного шнура от стенки разрядной камеры). В свою очередь, как показывает опыт, давление плазмы разрядов рр пропорционально начальному давлению р0. Поэтому Е ~ 1 = рм/рр- Будет ли импульсный сильноточный разряд в газе на начальной стадии своего развития расширяющимся или сжимающимся, зависит от величины Если на этой стадии выполняется условие
< 1, то разряд расширяется, а при ¡3~1 > 1 разряд под действием магнитного поля собственного разрядного тока сжимается. Следовательно, безразмерный комплекс Е может быть критерием режимов расширения разрядного канала или сжатия плазменного шнура.
Анализ показывает, что для установления критериев режима сжатия Я-пинча наличие его безразмерного симплекса х и многопараметрического безразмерного комплекса Е недостаточно. Действительно, если построена математическая модель исследуемого явления, решения уравнений которой согласуются с опытными данными, то его инварианты подобия определяются путем приведения уравнений модели к безразмерному виду с учетом его характерных величин (характерного времени, координаты (расстояния), скорости, температуры, энергии и т.д.) [21, 23-25]. При этом более предпочтительным является случай, когда удается получить общие уравнения модели, в которые, помимо относительного времени и относительной координаты (симплексов времени и координат), входят практически все определяющие (не зависящие от времени и координат) параметры исследуемого явления. При приведении к безразмерному виду этих уравнений в них появляются один или несколько безразмерных комплексов, содержащих все
Рис. 1. Развертка во времени динамики однократного сжатия плазменного шнура отраженного пинча в аргоне при (¡о = 15 кБ и р0 = 133 Па.
определяющие и независимые параметры явления. Эти комплексы и есть обобщенные безразмерные переменные исследуемого явления. Общие уравнения модели выводя гея путем преобразования исходных ее уравнений на основе физических процессов, происходящих в исследуемом явлении. История развития (применения) теории размерности и подобия [21, 23-25] показывает, что такое преобразование не всегда удается.
Поскольку математическая модель цилиндрического £-пинча, в уравнениях которой содержатся определяющие его динамику развития независимые параметры (£/¿0, ^ /0,, Ро, ро, Т0,70,а, /е*г), в настоящее время отсутствует [2, 6, 7, 11, 14], то, следуя вышеизложенному правилу, будем рассматривать его общее уравнение, полученное на основе законов сохранения массы и импульса, уравнения состояния, равнений Максвелла, уравнения электрической цепи. Таким уравнением является уравнение энергетического баланса Z-пинчa. Естественно, как следует из опытных данных, это общее уравнение должно содержать вышеперечисленные определяющие и независимые параметры.
Для начальной стадии сжатия ^-пинча такое уравнение получено в работах [15, 17, 18]. В них из энергетического баланса цилиндрического 2^-пинча с учетом законов сохранения массы и импульса, уравнения состояния, уравнений Максвелла, уравнения электрической цепи получено следующее безразмерное уравнение для относительного радиуса плазменного шнура х = #(£)//£
+ (1)
/ в в?
где г = ¿Л/ 0, (I = И/м(*)/<?(0 - отношение энергии магнитного поля разряда Wм(t)
2
к вводимой в разряд энергии ), И^д/ = J J J ^ ^ ' П - объем разряда. Из урав-
п
нения (1) следует, что величины безразмерных комплексов (обобщенных переменных) Е и (I характеризуют динамику сжатия ^-пинча - изменение относительного радиуса (а;) и относительной скорости сжатия плазменного шнура (¿х/(1т).
Непосредственные измерения падения напряжения {/¿(¿), тока J(t) и распределения индукции магнитного поля в различные моменты времени В(¿, г) показывают, что энер-
гия
ф(£) = J U(£)J(€)d£, вводимая в разряд, и энергия магнитного поля разряда \Ум(1) и
до момента достижения максимальной скорости сжатия плазменного шнура К„ах связаны между собой следующим простым соотношением:
*
Щ*(0 « <*о / (2)
и
»10
Для условий нашей работы (^ % (1 — 7) • Ю10 А/с) величина заключена в интервале 0.40-0.45. Из экспериментальных данных работ [3] (Цо = 40 кВ, давление дейтерия ро = 6.65 и 26.6 Па, Я0 = 20 см, /0 = 90 см, Г % 2 -1011 А/с) и [4] (1/0 = 100 кВ, давление дейтерия р0 = 6.65 Па, Яц = 20 см, /0 = 50 см, К « 1012 А/с) следует, что для начальной стадии сжатия £-пинча величина ¿0 составляет ~ 0.33 — 0.39. А в условиях работы [13] (и0 = 25 кВ, давление аргона р0 = 212.8 Па, = 4.5 см, /0 = 30 см, Г ~ 1.7-Ю10 А/с) за первый полупериод тока величина « 0.45. Таким образом, в энергетическом балансе цилиндрического £-пинча энергия магнитного поля в динамике его сжатия играет существенную роль. Исходя из этого опытного факта, можно утверждать, что отношение с/о = на начальной стадии сжатия цилиндрического Z-mmчa является адиабатическим инвариантом.
В работах [15, 17] с учетом опытного факта (2) из уравнения (1) для момента времени т — Т\ определена относительная начальная скорость сжатия £-иинча Чп/с0 в зависимости от величин Е и с/0 (¿о - скорость звука в рабочем газе): Ип/со = /(Е.с/0). Численное решение уравнения (1) и следствие из него (Ип/со = /(Е,с/о)) сравнивались с опытными данными цилиндрического £-пинча в аргоне [13] и дейтерии [3- 5]. Показано, что решение уравнения (1) с учетом (2) согласуется с экспериментальными данными.
5 10 Л мкс
Рис. 2. Развертка во времени динамики двукратного сжатия плазменного шнура отраженного Z-тгuнчa в аргоне при £/0 = 25 кБ и р0 = 133 Па.
Критерии режимов сжатия плазменного шнура цилиндрического 2-пипча в газе. Гак как решение уравнения (1) удовлетворительно согласуется с опытными данными, то это обстоятельство используем для установления критериев режимов сжатия плазменного шнура цилиндрического £-пинча. Уравнение (1) является инвариантным относительно линейного преобразования растяжения (сжатия)
Я' = 5 • Я, - з ■ I,
(3)
если остаются неизменными безразмерные комплексы Е и ¿о (5 - коэффициент растяжения или сжатия). Тогда, согласно теории размерности и подобия [20-25], безразмерные комплексы представляют собой критериальные числа режимов сжатия плазменного шнура цилиндрического £-пинча в газе. Следовательно, обобщенные безразмерные переменные Е и ¿0 представляют собой безразмерные инварианты подобия цилиндрического Z-пинчa на начальной стадии его сжатия.
На рис. 1 представлена динамика однократного сжатия плазменного шнура цилиндрического ^-пинча в аргоне, на рис. 2 - динамика его двукратного сжатия. В таблице приведены диапазоны значений критериальных чисел Е и ¿о, и соответствующие им режимы сжатия плазменного шнура ^-пинча в аргоне. При определении значений безразмерного инварианта подобия Е принято 77 ~ 0.5 и а ~ 1.0, что следует из экспериментальных данных для начальной стадии сжатия £-пинча. Трехкратное сжатие £-пинча наблюдалось в дейтерии в работе [5] при Е « 26600 « -1012 А/с).
Таким образом, для начальной стадии сжатия плазменного шнура цилиндрического £-пинча в газе из инвариантности уравнения его энергетического баланса установлены безразмерные многопараметрические комплексы - инварианты подобия такого разряда, представляющие собой количественную меру режима сжатия плазменного шнура такого £-пинча. Полученные нами критериальные значения этих комплексов приведены в таблице 1.
Считаю своим долгом выразить благодарность А. А. Рухадзе и В. Г. Еленскому за ценные обсуждения.
ЛИТЕРАТУРА
[1] И. В. Курчатов, Атомная энергия 2, 65 (1955).
[2] М. А. Леонтович, С. М. Осовец, Атомная энергия 3, 81 (1956).
[3] А. М. Андрианов, О. А. Базилевская, Ю. Г. Прохоров, Исследование импульсных разрядов в газах при силе тока 500 кА. В сб.: Физика плазмы и проблемы управляемых термоядерных реакций, т. 2 (М., Изд. АН СССР, 1958), с. 185.
[4] А. М. Андрианов, О. А. Базилевская, Ю. Г. Прохоров, Исследование импульсного разряда в дейтерии при скоростях нарастания тока до 1012 А/с и напряжениях до 120 кВ. В сб.: Физика плазмы и проблемы управляемых термоядерных реакций, т. 4 (М., Изд. АН СССР, 1958), с. 182.
[5] В. С Комельков, ЖЭТФ 35(1(7)), 16 (1958).
[6] С. И. Брагинский, И. М. Гельфанд, Р. П. Федоренко, Теория сжатия и пульсаций плазменного столба в мощном импульсном разряде. В сб.: Физика плазмы и проблемы управляемых термоядерных реакций, т. 4 (М., Изд. АН СССР, 1958), с. 201.
[7] Л. А. Арцимович, Управляемые термоядерные реакции (М., Физматгиз, 1963).
[8] Ю. С. Гваладзе, Диссер. на соиск. степени к.ф.-м.н., Сухумский ФТИ, Сухуми, 1972.
[9] С. Ю. Лукьянов, Горячая плазма и управляемый ядерный синтез (М., Наука, 1975).
[10] А. Ф. Александров, А. Т. Савичев, О. И. Суров и др. Физика плазмы 5(1), 184 (1979).
[11] В. В. Вихрев, С. И. Брагинский, Динамика Z-пинча. В сб.: Вопросы теории плазмы. Под ред. М. А. Леонтовича. Вып. 10 (М., Атомиздат, 1980), с. 243.
[12] A. F. Aleksandrov, В. I. Artamonov, I. В. Timofeev and U. Yusupaliev, Proc. XI Intern. Conf. Phen. Ion. Gas, part 2, Minsk, USSR, 1981 (Bel. St. Univ., Minsk, 1981), p. 14.
[13] В. И. Артамонов, Диссер. на соиск. степени к.ф.-м.н., МГУ, Москва, 1981.
[14] В. С. Имшенник, Н. А. Боброва, Динамика столкновительной плазмы (М., Энер-гоатомиздат, 1997).
[15] У. Юсупалиев, Определение некоторых закономерностей кумуляции цилиндрической ударной волны линейного Z-пинча в газе. Конференция "Ломоносовские чтения". Секция: Физика. 2008, Москва (МГУ, Москва, 2008), с. 231.
[16] У. Юсупалиев, Краткие сообщения по физике ФИАН 35(4), 44 (2008).
[17] У. Юсупалиев, С. А. Шутеев, Краткие сообщения по физике ФИАН 35(10), 10 (2008).
[18] У. Юсупалиев, С. А. Шутеев, П. У. Юсупалиев, Краткие сообщения по физике ФИАН 35(6), 21 (2008).
[19] А. Ф. Александров, А. А. Рухадзе, Физика сильноточных злектроразрядных источников света (М., Атомиздат, 1976).
[20] Энциклопедия низкотемпературной плазмы. T. IV. Под ред. В. Е. Фортова (М., Наука, 2000).
[21] В. М. Минаковский, Обобщенные переменные теории переноса (Киев, Вища школа, 1978).
[22] А. А. Рухадзе, H. Н. Соболев, В. В. Соковиков, УФН 161(9), 195 (1991).
[23] Дж. Клейн, Подобие и приближенные методы (М., Мир, 1968); Stephen J. Kline,
Similitude and approximation theory (New-York, 1968).
[24] Л. И. Седов, Методы подобия и размерности в механике (М., Наука, 1987).
[25] G. Birkhoff, Hydrodynamics, a study in logic, fact and similitude (Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1960).
[26] У. Юсупалиев, В. M. Фадеев, Прикладная физика, N 6, 12 (2006).
Институт общей физики
им. А. М. Прохорова РАН Поступила в редакцию 15 мая 2009 г.
