МОДЕЛЬ ПРОХОЖДЕНИЯ УЛЬТРАКОРОТКОГО ЛАЗЕРНОГО ИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ ОДНОРОДНЫЙ РАССЕИВАЮЩИЙ СЛОЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 535.36

Модель прохождения ультракороткого лазерного импульса через однородный рассеивающий слой

М.Д.Ершов, Ю.П.Маслобоев, Д.А.Потапов, С.А. Титенок

Московский государственный институт электронной техники (технический университет)

Оптические методы исследования биологических сред находят все большее применение. Биологические среды являются рассеивающими, поэтому стандартные методы фотометрии, использующие закон ослабления излучения Бугера-Ламберта-Бэра, работают неточно, поскольку не учитывают рассеяние. Для описания взаимодействия излучения с рассеивающей средой обычно используется уравнение переноса излучения (УПИ). Однако УПИ не имеет аналитического решения, поэтому особое значение приобретают методы его упрощения при дополнительных предположениях.

Одним из таких приближений является нестационарная осевая модель (НОМ) переноса излучения, в которой для рассматриваемой оси распространения излучения для случая однородной рассеивающей среды можно записать*:

4 ЩИ-ЩА+^ +(т 2 _ „2 ^, )=

V2 а2 а;2 V а ^

= - и 05(С-С 0 )б'(г)-и 05'(С-С 0 )б(г) + „и05(С-С 0 )б(г),

V

где V - скорость света в среде; ) - плотность потока фотонов в точке ; рассматриваемой

оси в момент времени V, Ц^^- ^ )б(г) - функция распределения источников фотонов; т = та + тя - коэффициент экстинкции НОМ (сумма коэффициентов поглощения и рассеяния). Граничные условия для уравнения (1) имеют следующий вид:

г )= и0*(г),

-г) | г)

аг а;

+ т^+(;15 г )= 0. (2)

Уравнение (1) для случая ограниченной среды не имеет аналитического решения. При поиске приближенного решения использован частотно-временной подход, позволяющий с помощью преобразования Фурье осуществить переход из временной области, где уравнение (1) содержит производные по координате и по времени к более простому уравнению в частотной области, содержащему производные только по координате:

Г ( V ^

И+(С)- т2 +1 • 2т• — -| —| +-„2 Ж+(С)= 0, (3)

V V V У

V 4 У У

то

где Ж+(С, ш)= \ г )е~шЖ.

V

-то

* Терещенко С.А. Методы вычислительной томографии. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 320 с.

© М.Д.Ершов, Ю.П.Маслобоев, Д.А.Потапов, С.А.Титенок, 2010

Краткие сообщения

Граничные условия (2) преобразуются аналогично:

l>+(Co ) = U0,

m + i -|W+(Ci) + W+(Ci ) = 0.

(4)

Вводя замены m = m + i—, ms = p m , у = -у/1 — p2 и решая уравнение (3) в граничных ус-

v

ловиях (4), получим в точке C = Ci следующее решение:

W+(Ci ) = U0

2у

(1 + у) ■ exp(ym (C1 —Co )) —(1 — у)-exp(— ут (Ci — C o F

(5)

ОТН. ед.

1

0,9

0,8 0,7 0,6 0,5

0,4 0,3 0,2 0,1 0

500

1500

2500

3500

t, пс

Временные распределения, полученные с помощью частотно-временного подхода (1) и методом Монте-Карло (2). Толщина рассеивающей среды 30 мм, та = 0,002 мм-1,

где C o - точка входа; Ci - точка выхода из рассеивающего слоя. Тогда временное распределение ультракороткого лазерного импульса, прошедшего через однородный рассеивающий слой, будет описываться обратным преобразованием Фурье выражения (5).

Для проверки предложенного частотно-временного подхода проведено сравнение полученных с его помощью расчетных временных распределений ультракороткого лазерного импульса, прошедшего через ограниченный рассеивающий слой, с временными распределениями, полученными с использованием метода Монте-Карло (100000 разыгранных фотонов). Пример сравнения приведен на рисунке. Как видно из рисунка, расчетные временные распределения практически совпадают, при этом время расчета с помощью предложенного метода на несколько порядков меньше. ms = 0,5 мм

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, государственный контракт № 596 от 06.08.2009).

Поступило 3 сентября 2010 г.

Ершов Михаил Дмитриевич - аспирант кафедры биомедицинских систем (БМС) МИЭТ. Область научных интересов: цифровая обработка сигналов и изображений. E-mail: ershov-md@mail.ru

Маслобоев Юрий Петрович - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры БМС МИЭТ. Область научных интересов: цифровая обработка сигналов и изображений.

Потапов Дмитрий Александрович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры БМС МИЭТ. Область научных интересов: цифровая обработка сигналов и изображений.

Титенок Сергей Александрович - аспирант кафедры БМС МИЭТ. Область научных интересов: цифровая обработка сигналов и изображений.