ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТОЧНОСТИ ДИФФУЗИОННЫХ МОДЕЛЕЙ ПРОХОЖДЕНИЯ ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ ОДНОРОДНЫЙ РАССЕИВАЮЩИЙ СЛОЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

пользование УДМ обусловлено ее большей адекватностью условиям эксперимента, в частности сохранением мононаправленности луча лазера (в КДМ источник излучения считается изотропным), и, следовательно, большей точностью [6].

Для моделирования процесса распространения излучения в СРС широко используется метод Монте-Карло, который отличается от приближенных аналитических моделей тем, что в его основе лежит численное решение исходного нестационарного уравнения переноса излучения при заданных значениях оптических характеристик. Поэтому метод Монте-Карло - удобный инструмент, позволяющий исследовать точность существующих моделей.

Процесс переноса излучения можно рассматривать как цепь Маркова, описывающую последовательность столкновений фотонов с элементами вещества [7]. В результате столкновения может произойти поглощение или рассеяние. Траектория заканчивается поглощением, регистрацией детектором или вылетом фотона за пределы образца. При моделировании методом Монте-Карло прослеживается траектория распространения каждого отдельного фотона, при этом никаких трудностей не вызывает произвольная геометрическая форма образца и неоднородность СРС. Основным недостатком метода Монте-Карло является крайне большое вычислительное время, необходимое для расчета достаточного количества траекторий (порядка 106) фотонов в СРС.

В настоящей работе проведено исследование точности приближенных временных распределений, полученных с помощью КДМ и УДМ, путем сравнения с временными распределениями, смоделированными методом Монте-Карло. Показана неточность диффузионных моделей, обусловленная недостаточным учетом свойств индикатрисы рассеяния. Установлено преимущество УДМ перед КДМ в широком диапазоне значений толщины рассеивающего слоя.

Основные характеристики СРС, входящие в уравнение переноса излучения, следующие: коэффициент поглощения излучения и индикатриса рассеяния ^(9) = (или дифференциальный по углам коэффициент рассеяния), зависящая от фазовой функции ^(9) и коэффициента рассеяния Здесь 9 - угол рассеяния. Хотя реальная фазовая функция изначально неизвестна, для биотканей она достаточно точно описывается с помощью функции Хини-Гринштейна [8]:

1 1 - g 2

т = ^7--W2, (1)

4п (1 + g2 - 2g cos 9/

где g - фактор анизотропии (средний косинус угла рассеяния).

Однако даже задав в таком явном виде индикатрису рассеяния, решить аналитически интегродифференциальное уравнение переноса излучения невозможно. Поэтому используют приближения, упрощающие исходное уравнение. В частности, в диффузионных моделях индикатриса рассеяния трансформируется в редуцированный коэффициент рассеяния ^ = (l - g), через который определяется коэффициент диффузии D = 3( + )-1. В результате уравнение переноса излучения преобразуется в уравнение диффузии, которое может быть решено при различных граничных условиях [9].

Выражение для временного распределения, т.е. решение уравнения диффузии с помощью КДМ на оси источника (вдоль оси z) в полубесконечном приближении, имеет следующий вид [4]:

Применение метода Монте-Карло для определения точности диффузионных моделей...

Т(г, г) = 1 (4жОу)'32г~5/2и0 ехр(- |ауг)х

(г - г0 ) ехр

(г - го ) 4Буг

2\

- (г + г0 ) ехр

(г - го ) 4Вуг

2 \

где г0 = (|) 1 - длина свободного пробега фотона; и0 - исходная энергия импульса; V - модуль скорости света в среде.

В КДМ исходный мононаправленный источник излучения заменяется изотропным, погруженным на глубину 20. Выражение (2) можно использовать для слоя толщиной I при 2 = I (рис.1).

При использовании УДМ устраняется замена исходного мононаправленного источника изотропным, погруженным на глубину 20 [6]. В полубесконечном приближении выражение для временного распределения принимает вид

(2)

Детектор

Рис.1. Схема регистрации временного распределения в слое СРС толщиной I

T(z, г ) = 3 и0 (4^ОУг) 3/2 ехр (-|а^г)ехР

(

.2 \{.2

4Буг

г2 + гуг - 2В\г)

2\Г

2

(3)

УДМ оказывается значительно более точной при исследовании прохождения излучения через тонкие рассеивающие слои (с толщиной порядка нескольких длин свободного пробега фотонов) по сравнению с КДМ [6].

Метод Монте-Карло численно описывает распространение оптического излучения в образце СРС, геометрическая форма и значения оптических характеристик которого известны. Данный метод позволяет проследить для каждого отдельного фотона траекторию его распространения в среде. Для описания однородной среды необходимо задать вероятность поглощения фотона ёРа, вероятность рассеяния фотона ёРц и, как следствие, изменение его траектории движения. В качестве фазовой используется функция Хини-Гринштейна (1). Помимо этих параметров необходимо также задать геометрическую форму образца СРС.

Точность диффузионных моделей можно исследовать путем сравнения временных распределений, полученных по моделям и с помощью моделирования методом Монте-Карло [10].

Определим точность диффузионной модели прохождения оптического излучения через однородный рассеивающий слой следующим образом. Для некоторого набора значений оптических характеристик рассеивающего слоя вычислим временные распределения по КДМ и УДМ, а затем сравним их с временным распределением, полученным с помощью метода Монте-Карло. Точность определяется по отклонению значений полуширины рассеянного пика и его смещению относительно времени прихода баллистических фотонов, т.е. фотонов, не испытавших ни одного рассеяния.

При моделировании методом Монте-Карло фотоны инжектировались в среду в направлении, перпендикулярном ее горизонтальной поверхности. При этом среда счита-

х

лась ограниченной и однородной. В случае попадания фотона в чувствительную область круглого детектора радиусом 5 мм фиксировалось его время прихода. При моделировании использовались следующие параметры: толщина I составляла от 10 до 110 мм с шагом 5 мм, коэффициент поглощения = 0,002 мм-1, коэффициент рассеяния ^ = 2,5 мм-1, фактор анизотропии g = 0,68. Для этих же параметров рассчитаны аналитические временные распределения по КДМ (2) и УДМ (3) (рис.2).

Рис.2. Нормированные временные распределения идеального лазерного импульса, прошедшего через слой СРС толщиной I =10 мм (а), I = 50 мм (б), I = 100 мм (в): 1 - метод Монте-Карло; 2 - УДМ; 3 - КДМ

УДМ, поскольку в ней устранены некоторые недостатки КДМ, оказывается точнее (см. рис.2). Следует отметить, что с ростом толщины слоя временные распределения по УДМ, в отличие от КДМ, сближаются с временными распределениями, полученными методом Монте-Карло, и при толщине слоя I > 50 мм практически полностью совпадают (см. рис.2,б,в).

Зависимости параметров временного распределения (полуширины ё и смещения И) от толщины слоя представлены на рис.3. В соответствии с этими зависимостями УДМ достаточно хорошо работает, когда толщина слоя I > 30 мм, и несколько хуже, что ожидаемо для диффузионной модели при I < 20 мм (см. рис.3,а). По сравнению с УДМ поведение зависимостей для КДМ иное. Для тонких слоев значения отклонений для КДМ больше отклонений для УДМ в несколько раз. Однако с увеличением толщины слоя различие отклонений уменьшается, особенно при I > 100 мм. К этим же выводам приводит рассмотрение относительных отклонений (рис.4). Таким образом, КДМ хуже УДМ описывает процесс распространения оптического излучения в СРС, особенно, при I < 50 мм.

Применение метода Монте-Карло для определения точности диффузионных моделей.

Рис.3. Зависимость смещения к (а) и полуширины ё (б) временных распределений от толщины слоя I: 1 - метод Монте-Карло; 2 - УДМ; 3 - КДМ

Рис. 4. Зависимость относительного отклонения от соответствующих значений, полученных методом Монте-Карло, от толщины слоя l: а - для полуширины 5d; б - смещения 5h

В заключение можно сделать следующие выводы. Временные распределения лазерных импульсов, прошедших через слой СРС, полученные с помощью КДМ и УДМ, отличаются от временных распределений, полученных с помощью метода Монте-Карло. Расхождение обусловлено использованием в диффузионных моделях вместо функции индикатрисы рассеяния единственного числового параметра - редуцированного коэффициента рассеяния.

Применение метода Монте-Карло позволяет количественно оценить точность описания прохождения оптического излучения через СРС для диффузионных моделей. Вместе с тем описание этого процесса с помощью УДМ достаточно хорошо согласуется с моделированием методом Монте-Карло. Использование УДМ предпочтительнее по сравнению с КДМ в широком диапазоне значений толщины слоя СРС. Тем не менее задача разработки более совершенных математических моделей описания прохождения оптического излучения через СРС остается актуальной.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (ГКП176 от 20.04.2010).

Литература

1. Тучин В.В. Лазеры и волоконная оптика в биомедицинских исследованиях. - 2-е изд. - М.: Физ-матлит, 2010. - 448 с.

2. Landau D.P., Binder K.A. Guide to Monte Carlo simulations in statistical physics. - Second Ed. -N.Y: Cambridge University Press, 2005. - 449 p.

3. Терещенко С.А. Методы вычислительной томографии. - М.: Физматлит, 2004. - 320 c.

4. Patterson M.S., Chance B., Wilson B.C. Time resolved reflectance and transmittance for the noninvasive measurement of tissue optical properties // Applied Optics. - 1989. - Vol. 28, N 12. - P. 2331 - 2336.

5. Терещенко С.А., Данилов А.А., Подгаецкий В.М. Уточненная диффузионная модель для описания взаимодействия лазерного излучения с биологической тканью // Оптика и спектроскопия. - 2007. -Т. 102. - № 5. - С. 840-845.

6. Терещенко С. А., Данилов А. А., Долгушин С.А., Титенок С.А. Определение оптических характеристик биотканей по временному распределению ультракороткого лазерного импульса, прошедшего через однородный рассеивающий слой // Оптика и спектроскопия. - 2011. - Т. 110. - № 4. - С. 678-684.

7. Михайлов Г.А., Войтишек А.В. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло. - М.: Академия, 2006. - 368 с.

8. Henyey L.G., Greenstein J.L. Diffuse radiation in the galaxy // The Astrophysical Journal - 1941. -Vol. 93. - P. 70-83.

9. Martelli F., Contini D., Taddeucci A., Zaccanti G. Photon migration through a turbid slab described by a model based on diffusion approximation: II. Comparison with Monte Carlo results // Applied Optics. - 1997. -Vol. 36. - № 19. - P. 4600-4612.

10. Wang L., Jacques S.L., Zheng L. MCML - Monte Carlo modeling of light transport in multi-layered tissues // Computer Methods and Programs in Biomedicine. - 1995. - Vol. 47. - P. 131-146.

Статья поступила 19 июля 2011 г.

Терещенко Сергей Андреевич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры биомедицинских систем (БМС) МИЭТ. Область научных интересов: вычислительная томография, математические модели биологических и социальных систем, теория надежности высоконадежных систем, криптографические методы защиты информации. E-mail: tsa@miee.ru

Титенок Сергей Александрович - аспирант кафедры БМС МИЭТ. Область научных интересов: вычислительная томография, фотометрия, биологические среды.

Долгушин Сергей Анатолиевич - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник кафедры БМС МИЭТ. Область научных интересов: фотометрия, биологические среды, вычислительная томография, лазерные методы измерений.

УДК. 535.8

Детектирование СВЧ-модулированных оптических сигналов с помощью полупроводникового лазера

Ю.И. Алексеев, М.В. Орда-Жигулина, Ле Тхай Шон Технологический институт Южного федерального университета в г. Таганроге

Показана возможность осуществления альтернативного детектирования оптических колебаний, модулированных СВЧ-сигналами, на основе автодин-ной оптической системы. Приведены результаты расчета коэффициента передачи, которые удовлетворительно сопоставляются с экспериментальными результатами.

Ключевые слова: инжекционный полупроводниковый лазер, автодинное детектирование амплитудно-модулированного излучения ИПЛ, система скоростных уравнений лазера.

Детектирование оптических колебаний, модулированных по мощности СВЧ-сигналами, осуществляется с помощью фотодетекторов. Обычные фотодетекторы, а также лавинные фотодиодные детекторы работают не во всем СВЧ-диапазоне [1, 2]. Поэтому для расширения полосы детектирования необходимо либо разрабатывать новые фотодетекторы с улучшенными характеристиками, либо применять другие методы детектирования.

В настоящей работе предлагается альтернативный способ, механизм которого состоит в применении автодинного детектирования, где роль детектора играет сам ин-жекционный полупроводниковый лазер (ИПЛ), в связи с чем данная система не имеет частотного ограничения. Система автодинного детектора обладает эффектом усиления на самом детекторе, и таким образом обеспечивается возможность повышения уровня продетектированного сигнала.

Схема экспериментальной установки для исследования автодинного детектора может быть реализована на основе двух лазеров (рис.1). В этой схеме ИПЛ1 и модулирующий СВЧ-генератор формируют оптический амплитудно-модулированный сигнал и через ^-«-переход ИПЛ1 протекает модулированный ток накачки, плотность которого описывается функцией j1(t) = j1(1 + mcos(«в?)), где m - коэффициент модуляции, ш - частота СВЧ-сигнала. Модулированное излучение от ИПЛ1 попадает на ^-«-переход ИПЛ2, непосредственно осуществляющего процесс детектирования. Продетектированный таким образом сигнал модуляции направляется в выходной СВЧ-канал.

В автодинном детекторе динамика лазера может быть описана следующей парой скоростных уравнений, связывающих плотность фотонов и концентрацию носителей заряда в лазерной среде [1]:

dN J N ,лт лт чп

— = -----а(N - N0m )P,

dt de тд

dP P N

— = Га(N - Nom )P--+ ГР -,

dt тp тs

© Ю.И. Алексеев, М.В. Орда-Жигулина, Ле Тхай Шон, 2012