Модель оптимального поведения фирмы с учетом влияния рекламы Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Экономическая наука современной России

№ 3, 2004 г.

Модель оптимального поведения фирмы с учетом влияния рекламы

© И.П. Бородина, C.B. Жак, 2004

Рассматриваются актуальные вопросы моделирования оптимизации затрат на рекламу. На основании эконометрических исследований получены зависимости изменения спроса под воздействием рекламы. Построена модель оптимального поведения фирмы на рынке. Критерием оптимизации является максимум прибыли.

Введение

Сегодня любая коммерческая деятельность практически немыслима без рекламы. При размещении рекламы основной целью предприятия является увеличение сбыта продукции. Для планирования рекламной деятельности необходимы новые подходы к оценке ее эффективности, а также разработка аналитических методов, позволяющих моделировать поведение потребителей под воздействием рекламных объявлений.

Анализ рынка дает возможность выделить следующие уровни реакции рынка на рекламу:

• познавательная реакция - связана с узнаваемостью товара и ознакомлением с его свойствами; цель - информирование, ознакомление, напоминание;

• эмоциональная реакция - воздействует на отношение потребителя товару, систему оценки и предпочтений; цель - осознание ценности, привлечение потребителей;

• поведенческая реакция - позволяет прогнозировать поведение покупателей в терминах «покупки» и «повторной покупки», «провокации информационного запроса о товаре», «посещение места продажи»; цель - мотивация потребления.

В данной работе предлагается решение следующих задач:

1) моделирование системы взаимоотношений участников товарно-денежного обмена (исследуемым объектом является стратегия поведения фирмы, а инструментом управления спросом - величина рекламных затрат);

2) выявление зависимости изменения спроса при изменении затрат на рекламу и оценка основных параметров, определяющих эту зависимость;

3) создание двухфакторной модели максимизации прибыли; оптимизация цены на товар и затрат на рекламу.

Определим критерии, которые используются при анализе влияния рекламы (прежде всего те, которые связаны с рассматриваемой задачей):

• степень охвата целевой аудитории - доля потенциальных покупателей, которые обратят свое внимание на рекламируемый товар, после использования одного или несколько рекламных объявлений;

• возможность повторений — зависит от физических свойств канала коммуникации (частота рекламных объявлений);

• срок жизни - время, в течение которого рекламное объявление может быть воспринято;

• атмосфера восприятия сообщения - характеристики среды, в которой передается сообщение;

• селективность канала в терминах профиля потребления или стиля жизни;

• стоимость одного контакта - зависит от тарифа и тиража, контекста канала, т.е. его престижа, смежных сообщений и т.д.;

• степень насыщенности рекламой - общий объем рекламы, а также присутствие или отсутствие конкурентов.

1. Постановка задачи. Описание модели

В модели определяется оптимальное поведение фирмы, что позволяет рассчитать оптимальные затраты на рекламу, позволяющие максимизировать прибыль 77:

П(2Г,Р) = Р-0(Р,2Г)-2{К)-I гшах,

?-г

г(Д) = 20 + яс(Д), с(Д)=сж о+?(*)),

д(К) = Ь0Я-*, 0<g<\, (1)

в(Лгг)=в(Р)(\ + = А° = л,

где Я - предложение товара; В{Р, 2Г) - полный спрос, обусловленный ценой на товар и рекламными затратами; 2Г - затраты на рекламу; 2Г -ограничение по рекламному бюджету; 2(К) -себестоимость товара; 2{) - постоянные производственные затраты; д(Я) - переменная часть удельных затрат, монотонно убывающая функция объема выпускаемой продукции Сх - наименьшее, предельное значение удельных собственных затрат С(К), 60, g,y, Е- параметры.

1.1. Структура рекламных затрат и их калькуляция

Введем следующие понятия.

Рекламная кампания - крупномасштабное проведение рекламных мероприятий, состоящее из нескольких рекламных акций, объединенных одной идеей и направленное на достижение генеральных целей фирмы.

Рекламная акция - рекламные мероприятия, объединенные одной идеей и направленные на достижение целей в краткосрочной перспективе. Рекламная акция может включать публикацию нескольких рекламных объявлений размещенных на разных рекламных носителях.

Компоненты затрат на рекламную кампанию: 2^ - постоянная часть затрат на рекламу; 21 - затраты на публикацию рекламы; со, - параметр, определяемый комплексом величин, характеризующих особенности рекламного носителя и величину скидок; г); - частота рекламных объявлений за условный период времени; 5;- - доля скидки на публикацию рекламного продукта; Ь — количество рекламных акций на планируемый период; п - количество рекламных носителей, г - номер рекламного носителя.

Расходы на проведение рекламной кампании будут складываться из следующих затрат:

п п

/=] /=1

1 = 1,..., Л (2) £

о

Затраты на рекламу в контексте конкретного | рекламного носителя формируются как |

о

^печ = ^печО + ^печ! Юпеч ' ^гтеч = Лпеч 0 ~ ^печ (Лпеч ) ) »

2твр = 2тврО + гтвр1 Ютвр > й тер = Лтвр (1 ~ §твр (Лтвр >0) ) |

2нр =г„Ро+2нр,®нр, сонр =тк(1-5нр(т)) д

2пр =гпр0+гпр!сопр, юпр = (1-5пр(х)) |

го

где Zпeч - затраты на рекламу в газетах и жур- 3 налах (печать); 2печ0 - на изготовление макета 3

рекламного объявления; 2печ| - на публика- 8

цию одного рекламного объявления в печати; I

2твр - на рекламу на ТУ, радио; 2твр0 - на изго- ♦

товление ролика рекламного объявления; ^ 2Тьр\ - на публикацию одного рекламного м

объявления; 2нр - на наружную рекламу; §

2Нро — на изготовление рекламного банера; ^

о о см

со"

s

5

и

(J

о а

S

о

X

X щ

S

g.

(О X

S £

о

X §

СП

ZHpi - на прокат рекламного щита в единицу времени; Znp - на полиграфическую рекламу (буклеты, каталоги и тому подобное); Znp0 - на изготовление макета; Znpi - на выпуск рекламной продукции; х - условная единица прокатного времени; к - число объектов наружной рекламы (число рекламных щитов);

^печ^печ 1)> ^твр(Лтвр' 8нр(х)> 5пр(х к) - Д°ля скидок на размещение рекламного объявления в печати, на телевидении и радио, банере, изготовление полиграфической продукции; 9 - качественный параметр отражающий время размещения рекламного объявления в течении суток и контекст теле- или радиоканала; х - тираж единицы рекламной продукции.

В качестве иллюстрации расчета рекламных затрат рассмотрим пример представленный в табл. 1. Рекламная кампания планируется на 7 месяцев. Предполагается проведение 2 рекламных акций (L = 2) с идентичными графиками рекламных мероприятий. Рекламные акции проводятся с перерывом в один месяц. Затраты на проведение рекламной кампании составят

Zr = 32 400 + 910 ООО х 2 = 1 852 400 руб.

1.2. Потребительский спрос как двухфакторная зависимость от цены и рекламных затрат

Рассмотрим формирование потребительского спроса под воздействием цены продукции и затрат на ее рекламирование. Зависимость спроса от цены (пока без учета рекламы) имеет вид D(P) = AP-'\ (3)

где Е - коэффициент эластичности спроса по цене. Необходимым условием максимизации прибыли является равенство спроса и предложения. При воздействии на потребителя рекламной информации спрос примет вид D = D(P) + AD, где AD - изменение спроса под воздействием рекламы. Основным фактором, влияющим на изменение спроса под воздействием рекламы, с точки зрения рекламодателя являются затраты на рекламу. Наиболее приемлемой будет степенная зависимость:

д/) = /)(Р)рг;, (4)

где у - коэффициент эластичности спроса по затратам на рекламу, Р - эмпирический коэффициент. Таким образом, доля дополнительного спроса за счет рекламы описывается зависимостью: АО

■ = pz;.

(5)

О(Р)

Рассмотрим начальные и текущие индексы изменения спроса и затрат на рекламу: если

значению Z,.g отвечает спрос Ой{Р,2г0) =

- 0(Р)(\ н- , то при фиксированной цене имеем

A=m = pz'

D(P)

r0'

X =

'г 0

У

- а _ АР/ДР) _ху (б)

4о АД,/£>(/>) ' ^ }

Для оценки параметра у по эмпирическим данным (</,., I = 1, ... , п представим зависимость от параметра в линейном виде: г,- = 1п м>1 = 1п х, 2 = у м>. Применяя схему метода наименьших квадратов для однопараметрического случая, получим явное решение:

" 2 = -1ШП,

05

i=1

с/у

= 2X(z/-YW/)W, = 0>

/=1

Y = /5>,2. 1=1 / 1=1

(?)

В качестве примера рассмотрим данные, опубликованные Бузиным В. (1998) (см. табл. 2, рис. 1). Согласно этим данным имеем:

У=3'619537 =0'°68334' 5(/)=0»0697-

После расчета коэффициента эластичности затрат на рекламу у параметр Р находится по начальным данным:

Р =

ДА,

D(P)ZJ0

= 1,233.

Принимаем 0<а<1иР>0.

СО

€ |2

«а

к го

(б

ш о.

03

к г

С л X

£ §

>. а> ш

; о- га

§ '5

г о о

а> X х

кг

^ о т о

|з

8 ч?

VI 11

о о"

оо

чо ч-Г

II

Й- о

О о

о о

1Г>

ЧО 1Г)

II

"О

(Ч

£

1Г>

ОО о о о о г-

О »О

о II

о

<м

Ег1

О «Г>

о оо

I ГЧ

— II

сг

го

о о О О

§5:

оо II

Ет<

II р

о о

СЛ

о о ю оо 1/~>

о о о о

Оч

а-

N3"

ш

о х о 2 5

О О

т

N

1 и Я I Я СО я я я я

св е- о & Я ч и си к Ч О

о о >я Си

си И о К

с о 1> И о >я

св я 0> о

Си я СГ я

3

(О I

а о

43

о

2

ю

ьэ

К)

о о

s s о ж

о *

m

Таблица 2 Расчет коэффициента эластичности по затратам на рекламу

ДА

1 D(P) 7 *-•ri У/ Wi wf wiyi

0 1,005 0,051 0

1 1,01 0,2 0,004963 1,386294 1,921812 0,00688

2 1,04 0,55 i 0,02927 1,011601 1,023336; 0,02961

3 1,07 0,75 0,028438 0,310155 0,096196! 0,00882

4 1,17 1,1 0,089345 0,382992 0,146683 i 0,034218

5 1,4 1,35 0,179468 0,204794 0,041941! 0,036754

6 1,32 1,4 0,209973 0,624154 0,389569j 0,131056

2 3,619537| 0,247338

На рис. 1 показан график коэффициента детерминации (доли объясненной дисперсии) Я2, который отражает связь между аппроксимируемыми данными и принимает значения

0<Д2<1, Д2 = 1-

1>,2

(Н

•а-

о

0

СМ

со*

01

Z

s s и и о ЕХ

S О X X (II

s

0) а

-Изменение спроса

—Степенной (Изменение спроса)

у = 1ДИ7х°да R! = 0,5722

1,5 Zr

Рис. 1. Зависимость изменения спроса от рекламных затрат

Тогда выражение для прибыли примет вид: П(гг,Р) = Р-0(Р)-х

-£>(?)• х

г(Я) = Д

Вп

B0 + Bx-b0-[D(P).xy}-ZXx),

>o+We], s0=c0+cM, в,=с,

а = ■

И

B\b0D(P)D(Py

g= gi-1-

Если i?2 = 0, то регрессия не улучшает качество предсказания Z; по сравнению с тривиальным

предсказанием = Z. При R2 = 1 имеет место «точная» аппроксимация.

Замечание. Ж.-Ж. Ламбен (Lambin J.J.) приводит данные эластичности затрат на рекламу товаров широкого потребления, числовой порядок которых, несмотря на несколько иной подход к моделированию спроса, совпадает с полученными результатами предлагаемого исследования (Lambin, 1976).

2. Оптимальное поведение фирмы на рынке с учетом рекламы

2.1. Решение задачи при фиксированных ценах продукции

Произведем преобразования функции спроса (3), положив М) = В{Р) х, где

^ =((х-1)/р)1/т. (8)

Р D(P) г' D(P) Р

Перейдем в уравнении прибыли к безразмерным переменным

n(Zr,p) г j -I Z г

---= \x-a-x-\x-x ---—

PD(P) L J

PD(P)

1

PD(P)

& _

х — \

PD(P) Обозначим через а = 1/у, ц, =ц

а, =(1-а)

1

Р£>(Р)Р 1

,1/у '

РИ{Р) р1/т и получим уравнение прибыли в виде /(х) = а1х-ц1хй~1-(х-1)а.

Исследуем полученную функцию на существование экстремума. Найдем первую производную и приравняем ее нулю:

а-1

а, = а -1 > О,

1 - [Х2Х 8> - |Л.3(х -1) а'

= 0

или

(9)

а,

Из

Решение уравнения (9) невозможно найти аналитически, но можно доказать существование и единственность корня этого уравнения.

Функция/](х) = 0 при х = ц2 к' <1 (ц2 < 1),

следовательно, Дх) < 1. Тогда /¡'(х) > 0 для

Ух > 0, а /¡'(х) < 0. Очевидно, что для правой

части уравнения (9), должно быть х > 1, так как

возводить в дробную степень можно только

положительные числа. Производная /2' (х) > 0 при всех х > 1 и Я] > 0, а вторая производная положительна при а\ > 1 и отрицательна при а, < 1. Графики функций/¡(х),/2(х) изображены на рис. 2 и свидетельствуют о том, что существует единственный положительный корень (9), отвечающий максимуму прибыли. По этому корню х* легко найти оптимальное значение затрат на рекламу.

Вычисления корня х* можно провести

итерационным методом 1 Рг^1 '

Рис. 2. Графический анализ уравнения (9)

= Из (х(к) -1Т. Если х(0) < X*, то > х№,

х(*+1)<х\для ^(0)>х\ X* <х{М)<х{к). Признаком завершения процесса является выполнение неравенства |/](х) - /2(х)| < 8, где 5 - заданная точность расчета корня.

В табл. 3 приведены исходные данные, а вычисления сведены в табл. 4. Расчеты проведены с точностью 8 = 0,0001. Корнем является х* « 1,0981 (что выделено в таблице жирным шрифтом).

Возвращаясь к уравнению (8), приведем значение оптимальных затрат на рекламу

/•____. \1/0,3

1,098066-1 0,07

= 3,0766,

<х> я о х

о 2 £ £

I

&>

С Ж

К 0,600

в

0,07000

г

0,30000

щ 0.00046

_ Мз

225,67348

1,60000

а\

2,33333

Таблица 3 м

0,00076

0 ш "О го 2 го

1 I

о

45

О

Таблица 4

к 1

л-|4) 1,097986

Ях{к)) \ 0,999603

Iг(х{к)) ! 0,997043

2

1,098066 0,999603 0,998936

1,09814549 0,99960356 1,00082699

1,098224639 0,999603611 1,002716244

1,098303635 0,999603656 1,004603965

1,098382483 ! 1,097986 0,999603702 } 0,999603 1,006490168 | 1,008374

2

ю

10

ГчЭ О О

что составляет 0,42% от производственной себестоимости товара.

2.2. Возможность одновременной оптимизации прибыли по цене и затратам на рекламу

Замечание. При фиксированных затратах на рекламу уравнение прибыли с безразмерными переменными принимает вид

ДР) = РО(Р) -£>(/>) [яо к*]-м,

где М = Вг = В,Ь(]А'кх^, х

к_ ЕВ, в

Е-1' 3 Е-1 Так как рассматривается только ситуация конкурентного рынка, то для формулы спроса (2) ценовая эластичность Е > 1. Максимум достигается при Р*, которое является корнем уравнения -Р + К + 2?з = 0. Уравнение такого типа подробно было рассмотрено (Жак, 1997). Для

П{гг,р)=р-0(р,гг)-

-О(р,г,)[в0 + вх Л р(р,2)]8]-2.

П(2г,Р)=Р-0(Р)-х--О(Р)-х[в0 + ВгЬ0[О(Р)-х]-*]-

-2Г (х) -> шах,

при

дП

д2г дп

дР

= 0, = 0.

При проведении вычислительного эксперимента в качестве постоянных использовались параметры, приведенные в табл. 5. Вычислительный эксперимент подтвердил существование максимума функции прибыли при оптимальных значениях ^ и Р* (табл. 6, рис. 3).

Результаты расчетов показывают, что спрос, определяемый оптимальными ценой и рекламными затратами, увеличится на 116,48%, при этом доля затрат на рекламу от производственных затрат составит 0,003%, что не согласуется с общепринятыми представлениями о величине рекламных расходов. Доля рекламных расходов

о о

со

О! 2

К в г />» я. "1 /'о Е

0,60 0,3 0,20 0,40 10,00 38,00 ~ 1,80

ДЛ>) 1000

Таблица 5

А

364676,89

Во _ 14,00

Таблица 6

о о.

в:

0 х

1

щ

2

а а

а о

>

яз I

3 2 О X

о

X

СП

Перемен- Ш аг

ные 1 2 3 . 4 5 6 П 7 8

//(Л У-г) 28049,2 28314,1 28386,2 28322,6 28162,4 27933,1 27654,8 27342,1

Р 30,0 32,0 34,0 36,0 38,0 40,0 42,0 44,0

2, 0,0300 0,0400 0,0500 0,0600 0,0700 0,0800 0,0900 0,1000

О(Р) 1530,4 1362,5 1221,7 1102,2 ! 1000,0 911,8 835,1 768,1

о(Р, г,.) 1758,0 1577,2 1423,0 1290,6 ■ 1176,3 1076,9 989,9 913,4

2{Ю 21500,1 19146,9 17171,8 15496,9 14063,4 12826,4 11751,0 10809,9

212(11) 0,000001 0,000002 0,000003 0,000004 0,000005 0,000006 0,000008 0,000009

П(Р) 24410,5 24453,5 24364,4 24182,8 ! 23936,6 23645,9 23325,1 22984,8

о(Р,гг) 1,1488

ЩР) 1,1576 1,1648 1,1709 ! 1,1763 1,1810 I 1,1853 1,1893

р*

Рис. 3. Зависимость прибыли от цены и затрат на рекламу

в выручке составит прядка 0,01%. Официальная статистка демонстрирует совершенно иные величины. На практике предприятия тратят на рекламу от 5 до 15% выручки.

Одновременная оптимизация по цене и рекламным затратам выявила следующие моменты.

1. Одновременная оптимизация применима при серийном или массовом производстве, когда увеличение цены за счет рекламных затрат будет окупаться снижением себестоимости продукции и замедлением скорости падения спроса зависящего от цены.

2. Если в качестве стратегии фирмы выбрана сбытовая стратегия, то целесообразно про-

Литература

Бузин В. Коэффициент качества, или как делят ответственность рекламное агентство и рекламодатель. Отдел исследований «Премьер-СВ» // Рекламный мир. 1998. № 9, 10.

Жак C.B. Математические модели менеджмента и маркетинга. - Ростов-на-Дону: ЛаПО, 1997.

водить двухэтапную оптимизацию. Сначала необходимо максимизировать прибыль предприятия и найти оптимальную цену, причем влияние затрат на рекламу в расчетах на данном этапе не учитывать. А затем - максимизировать прибыль, оптимизируя затраты на рекламу, при оптимальной фиксированной цене на продукцию, уже найденной на первом этапе оптимизации. си

я

В заключение следует отметить, что, нес- | мотря на некоторые слабые стороны рассмот- | ренной модели, данная статья предлагает но- § вый инструмент экономической оценки ры- » ночной деятельности фирмы. ^

Lambin J.J. Measuring the Profitability of Advertising: | An Empirical Study // J. of Indastrial Econ. 1969. ^ Vol.17. April. 8

Lambin J.J. Advertising, Competition and Market Con- s dact in Oligopoly over Time. - Amsterdam: North Hoi- * land Publishing Company, 1976. ^

u>

to о о

Рукопись поступила в редакцию 18.08.2003 г. ^