Модель неполного безарбитражного (в,s) - рынка, учитывающая жесткую скупку акций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.2

МОДЕЛЬ НЕПОЛНОГО БЕЗАРБИТРАЖНОГО (В,8) - РЫНКА, УЧИТЫВАЮЩАЯ ЖЕСТКУЮ СКУПКУ АКЦИЙ

©2005 г. Г. И. Белявский, Т. А. Гробер, В. В. Мисюра

In article the model incomplete (B, S) market in which the opportunity of rigid bu\ing up of stocks is taken into account is examined. Its conditions not arbitration (B. S) - market are determined.

В работах [1, 2] рассматривалась модель ценообразования активов, соответствующая нестабильному финансовому рынку. При исследовании одного из случаев поведения рискового актива оказалось, что мартингальная мера существует, но не является единственной. В [3] приведены результаты вычисления нижней и верхней цены опциона для неполного (В,Б)-рынка в рамках исследуемой модели. Обобщением рассмотренной ранее модели явилась новая модель (Б,8)-рынка, которая, на наш взгляд, более эффективна при исследовании возможных вариантов поведения участников рынка.

Рассмотрим стохастический базис (О , ¥п, Р)П=0, в

котором фильтрация, состоящая из неубывающего потока под- а -алгебр, имеет следующую структуру:

= {О,0},..., ¥п =а\р1,¿2,...,А2п ,,В°,б1...,БТ-1 п=0,1,~,К А1,А2,...,А

B0 B1

2" - > n > n

2« -' — n ' n' 2"-1

, B2

и -алгебры Fn . Разбиение проводится согласно фор-

мулам:

Bn = b2+1 U BIT U A

2i+1 n+1

n = 0,1, ...,N-1,

л S

базисе (Q,Fn,P)N=0. Пусть Sn = —^. Измеримость

Bn

Sn относительно Fn позволяет записать

2n-1

2n -1

Sn = 2 s<nk)IA, + 2 ¿n)IBk ,

b"

(2)

k=1 k=0 где n = 0,1,...,N ; IAk , I k - индикаторы соответст-

k Bn

вующих событий.

Будем предполагать выполнение следующего не-

равенства t.

(2k) < t(k) < . (2k+1) n+1 ^ ln ^'n+1 '

которое отражает одно

из приведенных выше свойств модели.

Теорема. Если выполняется неравенство

<(2к) < 1 (к) < (2к+1) (3) 'п+1 ^ 'п ^ 'п+1 ' ^

то, для того чтобы последовательность дисконтиро-

атомы ванных стоимостей (Sn, Fn, P) n=о являлась мартинга-

лом, необходимо и достаточно, чтобы V n=0,1,...,N-1 выполнялось условие

I = 0,1, 2,..., 2 п - 1 .

В момент времени п=1 атом В0 = О дробится на В®,В\,А1. Атом А1 рассматриваем как событие, которое соответствует тому, что рисковый актив скупается и начинает эволюционировать как банковский счет (происходит жесткая скупка рискового актива). В1 - событие, которое соответствует тому, что курс рискового актива падает в цене, В/ - поднимается.

Далее в момент времени п=2 делятся атомы В° и в1 и т.д. до момента времени N.

Рассмотрим на измеримом множестве (О, F) множество вероятностных мер Р={Р}, где вероятности Р таковы, что

р п+г = Р(А2п+.); д^1 = Р( вп+1); ^ = Р(вп++);

р2п+г > 0; ?п2+1 > 0 ; ^ > 0; (1)

ч'п = р 2п+г + ?п+1 + з^Ч

п = 0,1,..., N -1, г = 0,1,2,..., 2п -1 . Заметим, что з00 = Р( В00) = Р(О) = 1.

Определим на данном стохастическом базисе адаптированные последовательности (Бп, Рп) Щ=0 и

(Вп, Рп) п=0, выражающие соответственно стоимость рискового (акции, котировка валют и т.д.) и безрискового активов (банковского счета), Вп >0, Бп > 0 Р-п.н. Тем самым определим (В,Б) - рынок на стохастическом

nk) = s2+1, k=1,2,...,2n-1.

(4)

При этом мартингальные меры вычисляются с помощью рекуррентного соотношения

t (k) qk = s (2n+k) t/ M - ^ и I 1

P + t (2k) q 2k + t (2k+1) q 2k+1 n+1 -P2n+k ~Tln+1 4n+1 T 'n+1 '/n+1

(з0 = 1,п = 0,1,...,N -1,к = 1,2,..., 2п -1) и формул (1). 2. Для того чтобы существовала единственная на

(О, FN) мера Р е Р, такая что (£п, , Р)Щ= 0 - мартингал, достаточно, чтобы Уп = 0,1,..., N -1 выполнялось условие (4) и одно из условий

, (к) = . (2к) (к) = , (2к+1) к = 1? 2 п 1 'п = 'п+1, 'п = 'п+1 , к = 1,2,...,2 - 1.

Заметим, что в случае существования единственной мартингальной меры, описанная выше модель совпадает с моделью, исследованной в работах [1, 2]. Доказательство. Из (2) следует, что

(

E( Sn+1/Fn )= E

2 S n+1 1 Aj + 2 ¿П+1 IB(i)

Л

/ Fn

2" -1

2 Sn+11 Aj + 2 Sn+1 j=1 j=2n

,(i)

EI

[ / Fn ]-

ib2, / Fn

2n-1

+ 2 ¿n+1

j+0

2n -1

+ 2 tn+1)E

j=0

= 22-1 s (,) J + 22-1 s (2n + j) P2n+j

2 Sn+1J Af 2 Sn+1 ,■

,=1 j=0 qn

(2 j+1)

JB 2 j+1 / Fn

Jb" +

n

2* +i

s

2n+1-1

2n-1 q 2 j 2n-1 q 2 j+1 2"-1

+ V t (2 j) qn+1 J ,2V11 (2 j+1) qn+1 J „ (i) J +

+ L tn+1 TJBi + L t"+1 T~JB" L Sn+1JAi +

;=0 q" Bn ;=0 q" Bn i=1 '

p + t(2j)q2j +1(~J ''n~

n+1 ¿V + Tin+ j4«+1^ 'n+1 i2n+1

n s (2n+j ) 2n -1 Sn+1 -f2n + ,■

+ L -—-■-

j=0 qn

Таким образом,

л 2n -1

E( Sn+1/Fn)_ L s"+1 IAi +

Д2 j+1) 2 j+1

b"

n s (2n+j) p + t (2 j) q 2 j + t (2 j+1) q 2 j+1 2n -1 sn+1 P 2n + , + tn+ jqn+1 + 'n+1 qn+1

+ L

j=0

qn

b" '

(5)

Рассмотрим мартингальное равенство:

Е( ^„+1/ )= 8п.

Отсюда, а также из (2) и (5) следуют равенства: ^п ) = 5П+1 (тем самым доказано (4)) и

(2n +k )

(k) = ' 11

I f(2k) „2k I /(2k + ')„2<k +

n+1 + 'n+1 qn+1

(2k+1) 2k+1

2n +k

q«

Преобразуем последнее равенство:

■+ t

t (k) = _ (2n + k) 2n +k + t ^^ k

q«

q2k q2k+1 (2k) qn+1 + t(2k+1) qn+1 n+k

n+k k

q«

qn

Введем обозначения:

? q 2k

2n +k = p . qn+1 = p2k .

qk = P2n +k ' qk = qn+1; nn

q 2k+1

qn+1 _ ~2k+1 k ~qn+1 •

qn

Для ~2n +k , ~n2f1, ~n2f1+1 справедливо очевидное ра-

венство 1 = p

2n +k

p 2k p 2k+1 + qn+1 + qn+1 , из которого следует

p = 1 _ ~2j _ ~2j+1 P 2n + j = 1 qn+1 qn+1 •

Подставляя p + из (6), получаем

t (k) = „(2n +k) + (t (2k) - „(2n +k) )p2k + n n+1 ( n+1 n+1 ) n+1

(6)

+ (t

(2k+1) _ (2n +k) \p2k+1

n+1

- s

n+1

)q

n+1

Имеем следующее равенство:

(t(2k) - s(2n+k) )p2k + (t(2k+1) - s(2n +k) )p2k+1 _ ( n+1 n+1 ) n+1 ( n+1 n+1 ) n+1 _

= t(k) - s (2n +k) n n+1

(7)

Допустим, что tn(k) - s

(k) - s (i«+k) ф 0 ,

t(2k) n s (2n +k ) n+1 p(2k ) i n+1

(t (k) ln s (2n+k )

(2k ) n+1 s(2n+k) n+1

ф 0; t

n+1

(2k+1) (2n+k)

-s

n+1

p(2k+1) qn+1

ф 0, тогда = 1.

(k) s (2n +k)

Л

- s

n+1

t(2k+1) - s(2n +k) v' n+1 Л«+1

Вводя обозначения: p^^+i = x ; pn+1+1 = y ;

(k) - s(2n +k)

- s

n+1

t(2k) - s(2n+k) n+1 n+1

= a (ф 0);

(k) - s (2n+k) 'n %+1

(2k+1) - s (2n+k) n+1 n+1

= й (ф 0),

получаем уравнение

x + y = 1.

(8)

а Ь

Добавим к нему область Б: х + у < 1 ^ х > 0, у > 0. В результате возникает задача определения параметров а и Ь, при которых прямая — + — = 1 имеет общие

а Ь

точки с областью Б.

Разобьем вещественную прямую Я на 3 интервала: а е (-да,0); а е (0,1); а е (1,+»).

Пусть а е (-»,0). Для того чтобы прямая (8) имела общие точки с областью Б, Ь должно принадлежать интервалу (0,1) .

Пусть а е (0,1). В этом случае прямая (8) имеет общие точки с областью Б, если Ь ф 0 .

Пусть а е (1,+»). Тогда, для того чтобы прямая (8) имела общие точки с областью Б, Ь должно принадлежать интервалу (0,1) .

Остановимся на 1-й ситуации: а е (-»,0), Ь е (0,1), т.е.

(k) (2n +k)

tr - s

n+1

(2k) - s (2n +k) n+1 n+1

< 0,

(9)

. (к) - „ (2п +к) 0 К_1п--< 1.

. (2к+1) - „ (2п +к) 'п+1 лп+1

Из неравенства (3) следует

(2к) - „ (2„ +к) < (к) - „ (2„ +к) п+1 Лп+1 ^ 'п+1 Лп+1

Условие (9) выполняется тогда, когда

) >0, а -sn■^к) <0. Отсюда

(10)

t(2k) < s(2n +k) < (k) n+1 n+1 n

Из того, что Un+1 - sn+1+k)

> 0 и (10) следует, что

(2k+1) (2n+k)

n+1

n+1

Умножив (10) на

t(2k+1) - s (2n +k) n+1 n+1

получим

t(k) -s n+1 n+1

(2n+k)

t (2 k +1) tn+1

s(2n+k) n+1

Отсюда следует, что t[n ) < t

(k) ^ .(2k+1)

n+1

что удовлетворяет неравенству (3). Следовательно, 1-й случай сводится к неравенству Г^к < 5<п2+1+к) < ^пк).

Рассмотрим 2-й случай: а е (0,1), Ь ф 0 , т.е.

0<

tik) - s

(2n+k) n+1

(2k) - s (2n +k) n+1 n+1

-< 1,

(11)

tnk) - s

(2n+k) n+1

t (2k+1) - s (2n +k) n+1 n+1

■ф 0.

Из неравенства (3) имеем t

(2k) <t(k) ' n

n+1

Если

t(n ) -s«+1+k))<0, то (Щ -sn+1+k) |<0 автомати-

i=1

+

чески. Умножая (11) на знаменатель, получим

'(к) - „ (2п+к) > (2к) - „(2п +к) п Лп+1 ^ п+1 Лп+1

Отсюда следует, что '(пк) > 'п+11), а это условие теоремы. Если (^ -^)>0, то -^)> 0 (по условию неравенства). Умножая неравенство на знаменатель, получаем гЩ) - 5п+1+к) < 1<'г+к1) - ¿п^). Отсюда следует, что г(пк) < гп+11), а это противоре-

чит условию (3). Таким образом, 2-й случай сводится к неравенству ) < ^п+1+к).

Рассмотрим 3-й случай: а е (1,+да), Ь е (0,1), т.е.

t (k) _ s (2n +k) 'n ^n+1

t (2k) _ s (2n +k) 'n+1 Jn+1

> 1,

0 <■

t (k) _ s (2n+k) 'n ^n+1

t(2k+1) _ s(2n +k) 'и+1 Jn+1

< 1.

(12)

(13)

Пусть t^!'' _s<n+\rk) >0. Тогда, умножая (12) на

знаменатель, получим tf) _ sn+1+k) > ^2-1" _ sn+1+k).

Отсюда следует, что tи-) > ^^, это не противоре-

чит условию теоремы (3). Получаем, что

1 ^ t/V, Д^ 1

n+1 n+1

(14)

Пусть гп+1) - ^п+1+к) < 0, тогда

(к) - с (2п +к) < (2к) - „ (2п+к) 'п %+1 ^ п+1 Лп+1

Следовательно, г(пк) < . Получили противоречие с условием (3). Из правой части (13) следует

г (к) - „(2п +к) < (2к+1) - ^ (2п +к) п лп+1 ^ 'п+1 Лп+1

Учитывая левую часть (13),

t (k) _ s (2n +k) и %+1

> 0 . Отсюда следует, что

(k) (2n+k)

n+1

имеем

(15)

Л ; > s

n

Сопоставляя (14) и (15), получаем, что третий слу-

чай сводится к неравенству s

(2n +k) < t(2k)

n+1

Вернемся к (7). Допустим, что s

n+1

(2n+k) _ t (2k) n+1

_ CT Тогда

(7) примет вид ' (2к+1) о (2" +к ))~2к+1 = (к) „ (2п +к) (/,) примет вид (гп+1 - °п+1 )3п+1 = 'п - 5п+1 .

((к) - ^(2п+к)

Откуда получаем выражение ~„2к1+1 = —п-—- .

< (2к+1) - о (2п +к) 'п+1 Лп+1

' (к) - ^ (2п +к)

Так как 0 < ~п2к1+1 < 1, то 0 < —-п+-< 1.

+1 ' (2к+1) - „ (2п +к) 'п+1 лп+1

А это неравенство вытекает из условия (3). При этом - произвольное число из интервала (0,1 - ~п+1+1 ].

Пусть теперь sf+1+k) _ tnk). Тогда (7) примет вид

(t(2k) s(2n +k))~2k + (t(2k+1) s(2n +k))~2k+1 _ 0 (tn+1 _ Sn+1 )qn+1 + (tn+1 _ Sn+1 )qn+1 _ 0 .

Отсюда получаем

(t (2k) _ s (2n +k)) v'n+1 Jn+1 ' ~2k

t(2k+1) - s(2n+k) n+1 n+1

qn+1 _ qn+1 .

Учитывая, что s(+,+k) _ tf), имеем

n+1 n

(t (2k) _ (k))

V'n+1 'n > ~2k ~2k+1

. (2к+1) -(к) дп+1 = ^'. (16)

'п+1 'п

Из условия (3) следует, что (Щ1 -'(пк) )< 0 и ('п2+^+1) - ^) )> 0 . Таким образом, г/п^1 > 0 . Обозначая ~п+1+1 = у, ~п+1 = х, получим, что (16) задает прямую, проходящую через область Б.

Пусть, наконец, оп+1+к) = +1). Тогда (7) примет

вид (t(2k) s(2" +k))~2k _ (k) s(2n +k) Вырязим вид (tn+1 _ Sn+1 )qn+1 _ tn _ Sn+1 . В^1разим

от-

2k . ~2k _ 'n ,5n+1

t(k) _ s (2n +k)

сюда qn+1: ?n+1 _

-. Так как 0< ~n2f1 < 1

t (2k) _ s (2n +k) n+1 n+1

t(k) _ s(2n+k)

то 0 ^ —n-n+-< 1. Учитывая, что

t (2k) - s(2n+k) n+1 n+1

sn2+n+k) _ t(2k+1), получаем 0 <

t(k) - t(2k+1) 'n 'n+1 t(2k) _ t(2k+1) tn+1 tn+1

<1 .

Так как С < ^) < ^Г, то 'п+к1) - > 0. Поэтому /nk+! - 'п2+^+1) > 'п2+^) - ¿п-к^. Отсюда получаем ^) > 'п2+^). Следовательно, оп+1+к) может быть любым. Теорема доказана.

Замечание. Так как Бп > 0 и Вп > 0 , то $) > 0 и

4к }> 0.

Таким образом, нам удалось расширить класс моделей, которые учитывают возможность «жесткой» скупки акций и получить для этих моделей признаки безарбитражности рынка.

Литература

1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Теория. Серия «Стохастика». Вып. 3. М., 1998.

2. Павлов И.В., Мисюра В.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. 1998. № 4. С. 24-30.

3. Белявский Г.И., Мисюра В.В. // Изв. РГСУ. 1998. № 4. С. 177-183.

4. Белявский Г.И., Мисюра В.В. Вычисление верхней и нижней цен опционов европейского типа для модели (Б,Б)-рынка в случае специальной хааровской фильтрации. Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 8. Вып.1. 2001 г. С. 99-100.

Ростовский государственный строительный университет

9 ноября 2004 г.