Случайные интерполяции финансовых рынков с тремя агрессивными скупщиками акций Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.217

СЛУЧАЙНЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ С ТРЕМЯ АГРЕССИВНЫМИ СКУПЩИКАМИ АКЦИЙ

© 2006 г. Г.А. Можаев

This work is devoted to the transformations of incomplete financial markets to complete ones by random Haar interpolation method. Martingale measures of interpolating markets are calculated. Replicating portfolios of arbitrary contingent claims are constructed.

Настоящая работа посвящена моделированию финансовых рынков в условиях скупки акций тремя агрессивными скупщиками.

Рассмотрим ситуацию на рынке ценных бумаг, когда акции определенного типа подвергаются агрессивной скупке, т.е. после скупки долгое время находятся на руках у скупщиков (без возвращения на рынок). Такая скупка производится целенаправленно (со стороны физических или юридических лиц), чаще всего в политических целях: для получения контрольного или блокирующего пакета акций, поглощения компании и т.п. Назовем этих лиц агрессивными скупщиками. Произведем моделирование такой ситуации во временном интервале от начального момента 0 до финального момента N. В нулевой момент времени цены на акции известны. Считаем, что объявление новых цен на акции происходит в дискретные моменты времени, а количество действующих на рынке скупщиков равно трем.

Ранее в [1, 2] рассматривалась модель (B, 5)-рынка, состоящего из безрискового банковского счета и акций одного типа, подверженного целенаправленной скупке со стороны одного агрессивного скупщика. Эта модель расширена [3, 4] до модели с двумя агрессивными скупщиками акций при условии, что один из них всегда опережает второго. Указанное ограничение снято в [5, 6], где предполагается, что действия скупщиков носят случайный характер. Осуществлен переход от двух к трем (и более) скупщикам [7, 8] в предположении, что между моментами объявления новых цен на акции порядок появления скупщиков на рынке детерминирован. Последнее ограничение снимается в данной работе.

Пусть (Q,(F)N=0, F, P) - стохастический базис, где О - конечное множество; N - конечный горизонт; F = 0}; FN = F; вероятность P нагружает все атомы, порождающие F Пусть ст-алгебра Fk порождена разбиением О на атомы A1, A2,..., A3k, B3k 0, где событие A3k+i (i = 1, 2, 3; k = 0, 1, 2,..., N - 1) заключается в том, что акция оказалась скуплена i-м

скупщиком после объявления цены на акцию в момент времени к; событие

B

3k ,0

(k = 0, 1, 2,..., N) заключается в том, что акция оказалась не скуп-

ленной (рис. 1).

k = 0

k = 1

k = 2

Рис. 1. Схема двухшаговой модели

Рассматриваемый в рамках данной модели (В, 5)-рынок всегда неполон (это следует из того, что при переходе от момента времени к к моменту

к + 1 атом Взк,0 дробится на четыре атома Азк+1 , Азк+2 , Азк+3 , В3(к+1),0 )•

Преобразование такого неполного рынка в полный осуществляется с помощью метода интерполяции [3]. Определим следующие функции:

a(n) =

n -1

n-n-1 3 n-|n-1 3

• 3 + ^nL1l3 J , a(0) = 0, b(n) = SrnL1l3 J , b(0) = 0,

тГ I-+1

где аргумент п - целое положительное число, а квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Моделирование поведения скупщиков акций

В рассмотренной выше модели порядок попадания скупщиков на рынок не определен. Представим порядок доступа скупщиков на рынок в промежутке между объявлениями цен на акции в виде вектора б = (¿(1), ^2), ¿(3)), координаты которого - зависимые случайные величины. Разделим отрезок [0, 1] на три отрезка таким образом, что длина первого равна й1, второго - й2, третьего - й3. При таком разбиении должно выполнятся

3

условие 2 4 = 1 (рис. 2).

1=1

С?! (12 с13

о

Рис. 2. Пример разбиения

Пусть длина 1-го отрезка d1 (соответственно d2, d3) равна вероятности того, что 1-й (соответственно 2-й, 3-й) скупщик после объявления цен на акции первым будет иметь возможность произвести скупку на рынке.

Проведем серию из 3 испытаний, каждое из которых заключается в бросании точки на отрезок [0, 1]. Попадание соответствует событию - на рынок первым попал скупщик номер 1 (для отрезков , d1 + d2) и + d2, 1] номер 2 и 3) и, таким образом, принятию 1-й координатой случайного вектора б значения, равного номеру скупщика. После испытания отрезок, на который попала точка, удаляется. Длины оставшихся отрезков пропорционально увеличиваются, чтобы выполнялось условие: £ ^ = 1, где А -

геД

множество номеров оставшихся отрезков. Если количество проведенных испытаний меньше трех, испытание повторяется для других координат вектора.

Проанализируем распределения координат данного вектора. Вероятность того, что первая координата вектора б примет значение к = (1, 2, 3) в

1-м испытании по условию равна мере Лебега по отрезку ёк: = к) = т(д(1) = к) = , к е {1,2,3}.

Найдем вероятность принятия второй координатой вектора д значения г = (1, 2, 3). Пусть Нк - гипотеза о том, что £(1) = к, тогда Р(Нк) = dk ,

р((2) = ¿|Нк)=-^-, г * к ; тогда р((2) = г) = £ р((2) = г|Нк)х 1 — dk к=1

г-1 d 3 d ( 3 d d Л

хР (Нк )= • ак + £ -d^dk = й1 • ---— , г е {1,2,3} ;

к=11 - dk к=г+11 - dk ^ к=11 - dk 1 - di )

аналогичным образом найдем вероятность принятия 3-й координатой вектора д значения у = (1, 2, 3); Н,к - гипотеза о том, что д*1 = к и д^2) = г.

Р(( = ]\Нг к) = ^ , (у * г,г * к, у * к); тогда Р((3) = у) = £ Р х ^ 1 ' 1 - dk - di ^ 'к=1

( Л

£ £ -—--di ,у = {1,2,3}.

г=1 к=1 (1 - <Лк - di )(1 - dk )

^ г* ]к *г,к* у ^

Найдем совместное распределение для координат вектора б. Запишем вероятность того, что координаты одновременно приняли значения д*1 = к,

д(2) = г, д(3) = у:

Р(¿(1) = М(2) = г>3) = у) = Р(¿(1) = к\ Р( = г= к,)х хР ( = у ^ = к ,^(2) = г)

<((3) = jfiik)• p(на) = dj ■

Р ( = i |^(1) = к) = г * к

р ((3) = у |^(1) = к, з(2) = г) = 1 у * г, г * к, у * к

^ Р( = к,^(2) = ^(3) = у)= ) г * к,г * у,к * у.

1 - ак

Пусть система случайных векторов Ък = (1),^2),^Р)) (к = 1,2...,N)

реализована на некотором вероятностном пространстве (Ж 0, Р), причём 81, 62, б3, ..., бN независимы в совокупности, а 8(() распределены так же, как (координаты вектора б). Рассмотрим случайную хааровскую

фильтрацию (НпЬ(п)) .

Имеем хааровскую интерполяцию исходной фильтрации: Н30к = ^

(к = 0,1,2..., N), H3

(i)

= CT

{^к

к, ^3-к+^+1

Б„

(i) д® к+1, дк+1

'3-к+ i ~ "3-к+d,(i). '"3-к+дд+),д

Схема разбиения атомов такова (рис. 3). k = 1

n = 0 n = 1

1,д(1)

} (к

= 0,1,2...,N -1).

II k

n = 2 n = 3

А»— -►А»

Д(2) — "►А»

-Л<3)

2,д

Рис. 3

При переходе от момента времени (п - 1) к моменту времени (п + 1) интерполяционная схема выглядит следующим образом (рис. 4).

Пусть 1 = (1к, ^к)¿=0- дисконтированная стоимость акции, подверженной скупке. Произвольная хааровская интерполяция процесса 1 имеет п

' lAa(i) + УщКП) ' 1б"-ь(").

вид Уп = 2 уап(Г)

г = 1

Таким образом, получается семейство моделей скупки акций, запара-метризованных множеством элементов V е Ж.

Пусть мера Р* - мартингальная мера процесса 1, удовлетворяющая свойству универсальной хааровской единственности [3], V е Ж,

б

Q

0,0

б

3,0

И>(«)) - соответствующая хааровская интерполяция исходной фильт-

'n-0

рации, Yn - Ep* [ZN |Hb(n) ] .

n - 1

n + 1

Aa(1)-► Aa(1)-► Aa(1)

Aa(2)-► Aa(2)-► Aa(2)

Aa(3)-► Aa(3)-► Aa(3)

■VO"

Aa(i)-► Aa(i)

a(n—1)"

Aa(n-1)-► Aa(n-1)

B,

'и—1,ь(и—1)

<

a(n) "

¿nMn)^.

B

a(n) Aa(n+1)

'и+1,ь(и+1)

Рис. 4

Теорема. Единственная мартингальная мера P(w) = P процесса Y вы-

_ Уп-1,Ь{n—1) - Уп,ы..П)

числяется по

формулам: р(w) (Aa(n) ) := pt

a(n) ya (n) — y

Уп Уп,ь(п)

' qn—1,b(n—1) ,

_ а(i+1) _ y

P(w) (BnMn)):= q„K„) = n y+l) " hb() , qo,o = 1, где n = 1,...,3N.

Уг+1 Уг+1,Ь(i+1)

Доказательство.

Покажем выполнение мартингального соотношения для процесса Y по мере P(w), вычисляемой с помощью формул теоремы:

P(w) IV I 1/Ь(n) ]= Y

E

[Yn+1 |Ни

EP

P( w)

Y ¡Ha(n) Yn+1 |Hn

= EP

р( w)

1 (') I

£ ya+1 1 Aa(n+1) + yn+1,b(n+1)IBn+hb(n+ц \H

b( n)

= .£ ya(i}^(n, + yn+1)EP([^(n+It Hna(n) ]+ Уп+1,Ь(n+1)^[ ^^ jH^ ] .(d

Представим E

EP( w)

I Hb( n)

Aa (n+1) | n

Aa (n+1)

b(n)

в виде

- £ 2a(j) I + и I

- £ a(n+1)lAaU)+ Ma(n+\)lBnb(n) . j-1

(2)

n

Найдем ^+1) и Main+1). Проинтегрируем (2) по Аа(j = 1,2,...,п , ТО-

a(п+1)и Иа(п+1)- yz.) пи j) ,

Л а(j) ^ J ЛР = п => Л( j) - I

Аа (j)

Bn,b(n) , тогда Ja(n+1) i dP = i dP ^ Ja(n+1)qn,b(n) = Pa(n+1) ^ Ja(n+1) =

гда Aaa((n+1) J dP - 0 -> j = 0 . Учитывая это, проинтегрируем (2) по

Pa(n+1) qn,b(n)

w) Г, I ,/b(n)l

в виде

p( w)

Представим E

I« |Hb(n)

n+1,b(n+1) I

lBn+1,b(n+1) |Hna(n) _ = Ё ^(>+1)ia„(j) + Ja(n+1) ^(n) ' (3)

Найдем Лaa(и+íl) и Ma(n+1). Проинтегрируем (3) по Aa(,) , j = 1,2,..., n , то"

a(n+1)и rLa(n^) "" ^a(j) : Л a (j ) ^ ^p^ => Л( j) = |

Aa (j)

Bn,b(n) , ТОГЗД /Ja(n+1) J dP = J dP ^ Ja(n+1)qn,b(n) = qn+1,b(n+1) ^ Ja(n+1) =

гда laa«1) J dP - 0 -> - 0 . Учитывая это, проинтегрируем (3) по

_ qn+1,b(n+1)

qn,b(n)

Подставив полученные выражения в (1), получим

У a(/), + f a(n +1) Pa(n +1) + qn +1,b(n + 1)^

У pV, + у , ,--1-- + у --1-1

i -1 a(n)

n +1 q n +1, b( n +1) q

4n, b(n) 4n, b(n)

n

,,a(i) i

х1В =2 уп1А + упЫп) 1В = Уп •

Вп +1,Ъ(п +1) i = 1 п Аа(п) п'Ъ(п) Вп,Ъ(п) и

Единственность мартингальной меры вытекает из особенности построения процесса У.

Замечание. С помощью этой меры можно построить совершенный хедж любого платёжного обязательства /ы, заданного на исходном (В, 5)-рынке.

Описание множества мартингальных мер, удовлетворяющих СУХЕ

Рассмотрим схему дробления атомов при переходе от момента времени к - 1 к моменту времени к + 1 (рис. 5).

Введем ак+1 (к > 0), которые принимают следующие значения на атомах: ак+1 =0 на Л---Азк(к>1); ак+1 = а на Азк+1(к>0);

ак+1 = Ъ на А3к+2 (к > 0) ; ак+1 = с на А3к+3 (к > 0) ; ак+1 = d на

Взк+3,0 (к > 0).

k - 1 k k + 1

Тогда процесс Z определяется следующим образом: Zk+1 = (1 + a)Zk ^

k+1 k ^ Zk+! = П (1 + ai )Z0, откуда на атомах B3k o: Zk = (1 + d) Z0; A3k+j: Zk =

i=1

= (1 + d)k (1 + a)Zo; A3k+2: Zk = (1 + d)k (1 + b)Zo; A3k+3: Zk = (1 + d)k x x(1 + c) Zo; B3k+3,o: Zk = (1 + d) k+ Zo.

Используя параметры a, b, c, запишем условия существования мартин-гальной меры процесса Z: мартингальная мера 3 тогда и только тогда, ко -

гда Vk :o<k <N выполняется: min{(1 + d)k (1 + a)zo,(1 + d)k (1 + b)zo, (1 + d)k (1 + a)zo, (1 + d)k+1 zo } < (1 + d)k zo < max {(1 + d)k (1 + a)zo, (1 + d)k x

x(1 + b)zo,(1 + d)k (1 + a)zo,(1 + d)k+l zo}

Это выражение очевидным образом преобразуется к виду: min{a, b, c, d} < < o < max{a, b, c, d}.

Проведем характеристику тех рынков, у которых все мартингальные

меры удовлетворяют СУХЕ. Любая мартингальная мера P е P(Z, F)

удовлетворяет СУХЕ тогда и только тогда, когда числа: a) Zk+j + ,

Zk^| A3k+2 , Zk^| A3k+3 , Zk+1 I B3k+3,o различны и не совпадают с Zk+j ^ ;

b) a, b, c, d различны и не равны нулю.

Вернемся к исходному (B, 5)-рынку. B = (1 + r)k, где r - процентная ставка.

Выведем формулы, выражающие цену акции Sk+X в момент времени k + 1. Так как Z - дисконтированная стоимость акции, то Sk+X = Zk+lBk+l,

, +1 k+1 k+1

откуда Sk+ = Bo (1 + r )k+1 П (1 + a ) = So(1 + r)k+l П (1 + a).

i=1 i=1

1o

Распишем равенство на атомах: Азк+1: Бк+1 = £0 (1 + г)к+1 (1 + ё )к (1 + а);

Азк+2: ^+1 = ^ (1 + г)к+1 (1 + ё) (1 + Ь); Азк+з: 8к+1 = ^ (1 + г )к+ (1 + ё)к (1 + с);

Взк+з,о: +1 = ^ (1 + г)к+1 (1 + ё)к+1.

Выразим значение акции 5к+1 через 5к+1 = Вк+1 Zk+l = (1 + г)Вк(1 + Як+1)х х2к = (1 + г) (1 + «к+1)^к.

Введем рк+1 = (1 + г)(1 + ак+1) - 1, которые принимают значения на атомах: Рк+1 = г на АьА2, ...,Азк(к > 1); рк+1 = (1 + г) (1 + а) - 1 на Азк+1(к >0); Рк+1 = (1 + г) (1 + Ь) - 1 на Азк+2(к > 0); рк+1 = (1 + г) (1 + с) - 1 на Азк+з(к > 0); Рк+1 = (1 + г) (1 + ё) - 1 на Взк+з,0(к > 0).

Т°вда 8к+1 = (1 + Рк+1), на атомах A2, к, Азк (к > 1) : ^+1 = = (1 + г)к , т.е. после того, как акция скуплена, она начинает эволюционировать как банковский счет. Выразим ак+1 через рк+1: ак+1 =

= 1 + Рк+1 _ 1 = Рк+1 _ г 1 + г 1 + г

Пусть Р - фиксированная мартингальная мера Р е Р(2, и выполняются все условия, при которых Р удовлетворяет СУХЕ. Рассмотрим введенную ранее схему дробления атомом при переходе от момента времени к = 0 к моменту времени к = 1. Введем обозначения р1 = Р(А1), р2 = Р(А2), р3 = Р(А3), р4 = Р(В30). Запишем мартингальное соотношение:

ЕР 11^0 ] = 20, так как ^ = {Д 0} , то ЕР [21]= ЕР [21 ] = 20 ^ ^ ЕР [(1 + а1)20 ] = 20 ^ 20ЕР [(1 + а1)] = 20 ^ ЕР [а1 ] = 0 . Получаем систему:

Р1 + Р2 + Рз + Р 4 = 1 < ар1 + Ьр2 + срз + ёр4 = 0 . (4)

1 > рг > 0 (г = 1,2,з,4)

Рассмотрим дробление атомов при переходе от момента к = 1 к к = 0. Введем обозначения: г1 = Р(А4), г2 = Р(А5), гз = Р(А6), г4 = Р(В60). Аналогичным образом получаем систему:

г1 + г2 + гз + г 4 = р4

< аг1 + Ьг2 + сгз + ёг4 = 0.

1 > гг > 0 (г = 1,2, з, 4)

гг

Разделим все уравнения системы на Р4 и введем замену р' =-*—,

р4

(г = 1,2,з,4). Тогда

p' + p2+ р3 + Р 4 =1

ар[ + bp2 + cp3 + Ф4 = 0. 1 > р'> 0 (i = 1,2,3,4)

В результате получена система вида (4). Обе системы недоопределены. Найдем множество решений системы (4). Нас интересуют только те решения, для которых P удовлетворяет СУХЕ, т.е. числа a, b, c, d различны и не равны нулю, min{a, b, c, d} < 0 < max{a, b, c, d}. Очевидно, что множество решений системы (4) совпадает со множеством решений системы (5).

Pl + Р2 + Р3 + Р 4 = 1 < ар1 + bp2 + cp3 + dp4 = 0 . (5)

1 > рг > 0 (i = 1,2,3,4) Решим (5) алгебраическим способом:

M =

'1111

^ a b c d

[ P1 + P2 = 1 iaP1 + bP2 = 0

rankM = 2;

P1 = 1 - P2 ^ a - aP2 + bP2 = 0 ^ P2 =

ф 0, так как a ф b , a ф 0, b ф 0

b

'P1 =■

а - Ь Ь - а

Аналогично найдем остальные решения системы. В результате получено 6 крайних точек:

с „ а

A =

a

D = i 0

b - a a - b c b

0,0 !>; 5 =

,0,

c - b b - c

0 !>; E = i 0.

c - a d

a - c

,0,-

0!>; C =

d

d - a

,0,0,

a

F = i 0,0.

d

a - d c

d - c c - d

d - Ь Ь - d \

Не нарушая общности, положим а < Ь < с < d . Рассмотрим три возможных случая:

1) а < 0 < Ь < с < d

аА + вВ + (1 -а-р)С, где

0< а,в< 1,0<а + в< 1.

ЛЧ Ь-а М—|+

+(1 -a-ß) тта ), P2=a( т-

P3=ß a-c ). P4=(1 -a-ß))

a - d,

2) a < b < 0 < c < d

«5 + ßC + Y + (1 -a- ß - у)Е .

где 0 < a,ß,y < 1, 0 <a+ß+Y< 1.

Pi = а| - 1 + ßf d

c - a ) l d - a

P2 Ч) + (1 -a-ß"Y)(£),

Рз = a|-^-) + y| b

a - c ) l b - c

3) a < b < c < 0 < d

E

P4=ß a-d )+(1 -a-ß-Y(

aC + ßE + (1 -a-ß)F, где

0 <a,ß< 1,0<a+ß< 1. d

b - d,

P1 =a

d - a

P2 =ß( TU ) + (1 -a-ß)( тЬ ),

Рз =(1 -a-ß)) £),

ß(bbc)+(1 -a-ß)(c-d) •

Итак, найдены множества решений, для которых мартингальная мера Р удовлетворяет СУХЕ.

Построение хеджирующих стратегий

Действуя в условиях рассмотренной модели (В, 5)-рынка и интерполирующего его (В, ¿>) -рынка, зададим на исходном рынке произвольное финансовое обязательство Рдт > 0 и вычислим его справедливую цену Ск. Так

3N

как Fn измерима относительно Fn, то Fn = £ /3N IAa(,) + /з^в3/

Цена этого финансового обязательства определяется по формуле

°-EP (Fn ) = Bt E' (/Ia„) + /3nbn

N

BK

a (i)

= BBL f £ /NEP 1 IAa (i) ) + /3NEP (IB3 N0 )) = Br 0 3N)Pa (i) + /n13N. nN V i=1 ) nN V i=1

где Pa(i) и q3N 0 - вычисляются по формулам для единственной мартин-

D

B

C

F

гальной меры интерполирующего (ВВ, §)-рынка [3], а квадратные скобки обозначают целую часть числа. В частности, для опциона-са11 Европейского типа имеем ¥Ы = (§Ы - К)+ , где §Ы = §3Ы = У3ЫВ3Ы = ВЫ х

[3М а (г) ^ Ш а (г)

х1 X у3Ы 1 Аа(0 + у3N,01В3Ыо | = 2 ВЫу3Ы 1 Аа) + ВЫу3N,0^Въ■

V г=1 У г=1

Откуда (§ы - К)+ = 2 [ВыУЫ - К] + [ВыУ3ы,0 - К]+ д3ы,0.

г=1

Если банковский счет эволюционирует по формуле сложных процентов Вк = В0 (1 + г)к , то цена этого финансового обязательства вычисляется

3N

по формуле CN = Z

i=1

y3f - K

N

p*-) +

В0 y3 N ,0

K

(1 + г)N

q330 •

(1 + г уN

Компоненты совершенного хеджа п(в„,/„гь(„))3„=о произвольного финансового обязательства FN в интерполирующем (B, S) -рынке:

b(„) I _

Ер ((|4Ь(И)) = ЕР [¿ЯР^ + 2 ^^ + /3Ы/В3Ы0 И«Ь(И)У V г=1 г=и+1 У

^/ЫЧ,, +г|1 /^Е?(^ |ИЬ(и))+^Е^ (/В3Ы,0|ИЬ(и)) . (6)

Представим Ер (( |Н„Ь(п)) в виде

Е (((г) И" (П) ) = 2 Яа1о 1Аа( 1) + <"а(г) 1 Вп,ь(л) . (7)

Найдем А^)и (г). Проинтегрируем (7) по Аа() = 1,2,...,и. Тогда Ла((/)) I dP = 0 => = 0 . Учитывая это, проинтегрируем (7) по

"а (j)

Bn,b(n) • Тогда Иа(г) I dP = I dP => /"a(i)2n,b(n) = Pa(i) => /"a(i) =

un,6(n) aa (i)

Pa(i) qn,b(n)

Аналогично получаем, что EP ((o |Hnb(n)) = j

qn,b(n)

n,b (n)

Подставив полученные выражения в (6), имеем

EP ( F Hb(n^ = n f a(i) T + V fa(i') Pa(i) j + f

E \Hn J = Z ./3N Aa(i) + Z f3N q-JBn,b(n) + f3

i=1 i=n+1 4n,b(n)

q3N ,0 qn,b(n)

= т/ъы )TAa(i) + [ E f'iNpa(i) + f3Nq3N,0

i=1 qn,b(n) Vi=n+1

n,b(n)

Значение капитала портфеля п

ХП = B„ EP

n n

fn ihb(n)

V B3N

|Hnb(n)l = BB^EP (Fn |Hnb(n))

B„

BS,

3N

£ fa(i) I + LJ3N 1A„,n ^

1

i=1

a(i)

qn,b(n) Vi=n+1

/

3N

3N

£ /31N> Pa(i) + f3Nq3N,0 I ^

(8)

Bn,b( n)

Используя формулу для дисконтированного капитала

Г х* ^

V Bn )

= ?n А

f S, ^

V Bn

и учитывая, что yn измерима относительно

Hb(n-1)

вычислим fn. Найдем А

f X

V Bn )

используя (8)

f л^п \ хп хп

Хг

V Bn )

L n n-1

Bn Bn-1

B

3N

qn-1,b( n-1)

Pa(n) qn-1,b ( n-1) qn,b( n)

Обозначим

1 f fl(n) 3N a(i)

ZbN qn-1,b(n-1) -£ /3n Pa(i) - /3Nq3N,0 Иг--, - (9)

/3оч( ) qn-1,b(n-1) £ /3л() Pa(i) /3Nq3N,0 )

n,T(n)

qn-1,b( n-1) 1

qn-1,b( n-1)

in = f Zw ) qn-1,b(n-1) '££/3lN > Pa(i) /3Nq3N,0 ) =

3N

z-a (n) ^ z-a (i) f I

/3Л qn,b(n) - £ /3N Pa(i) - /3Nq3N,0 )

Тогда А

f x ^

V Bn )

in

-I,

i=n+1 in Pa(n)

B an B q

3N 3N 4,

n,b(n)

Далее находим А

S,

B„

YB

n n

B„

= А

V~ n ) V "n )

n-1

= А(Yn ) = £ ya„(i) IAa „) + УпМ n) Ii

i=1

n ,b( n)

Zn 1 a(i) г - г = n-1 / a(i) - a(i)\ г - r .

yn-1 Aa(i) - yn-1,b(n-1)^„^(„^ = £ ^yn - yn-1 1 Аф) - yn-1,b(n-1)^¿(„-d + i=1 i=1

+yn,b(n) IB,

'n,b(n)

Из того, что (Q,Hnb(n),P) - мартингал, получаем yan(i) = y^

n=0

(i = 1,2,...,n -1). Тогда

f S, ^

V Bn )

= yün (n) IAa(„) yn-1,b( n-1)IBn_1b (n-1) + yn,b( n) IB

n ,b (n)

= ya(n) I + y I ~ yn IA„,„<+yn,b(n)

(yn-1,b(n-1)IAa(n) + yn-1,b(n-1)IB„,т(„> ) : (yn( ) - yn-1,b(n-1) ))(n) +(yn,b(n) - yn-1,b(n-1) )IB

Bn,T( n)

X п

Теперь формула (9) примет вид АI -n-

B„

% ( a(n) \ Т

~n,b(n)[yn - yn-1,Ь(и-г) J IAa(n) +

+fn,b(n) (

yn,b(n) yn-1,b(n-1) ) IB„ t(„)

Откуда

~ — in

i n,b(n)

in

Pa(n)

(10)

ВзN (у<а" _ уп_1,Ь(п_1)) ВзМ (уп,Ь(п) _ уп_1,Ь(п_1)) Чп,Ь(п)

где п = 1,2,к,зN, а остальные числа уП(к), к = 1,2,к,п _ 1 можно задавать произвольно. Компоненту Дп хеджирующего портфеля находим из балансового соотношения: Вп_1ДДп + §п-1Ауп = 0, п = 1,2,...,3N. Имеем

Д = Дм _ д Гп = Д _ £ ^г1 Дгк = Д _£ ^к_1 Дгк.

B,

n-1

k=1 Bk-1 k-2

k=1

Навдем Y. АХк = £ А~~(°IAa(i) + YY^V« + ~~,b(k)^

i=1

a(i) k-2

= ~k-1,b( k-1) ^Aa (k-1) Yk-1,b( k-1) ^ _!,b( k-1) = £А~~°) ^ Aa (i) +(Y^(k 1) ~k-1,b( k-1))

XIAa(k-1) + (~~,b(k) -~k-1,b(k-1) ) IBt_lt

*a(k-1) V ' -4) Dk^T(k-1)

Проделав необходимые выкладки, получаем

ßn=д -f nx2f £ уй»АYa(i) +

V i=1 V k=i+1

+ £ yk-1,b(k-1) (~~,b(k) Yk-1,b(k-1) ) + ya(i) ~~b(i) ))

a (n-1) (~a( n-1) ~ \ +n-1 (~ ~ \|r

yn-1 \~n ~n-1,b(n-1)) + £ yk-1,b(k-1) \~k,b(k) ~k-1,b(k-1) j i"

- £ yk-1,b(k-1) (~k,b(k) - ~k-1,b(k-1) ) ' IB„-1

(11)

'a (n-1)

k=1

Учитывая, что В0Д0 + 70 0£0 = CN - справедливая цена опциона с финансовым обязательством FN, получаем

ßo =

CN Y0,0S0 CN Y0,0S0

Bn

B,

(12)

0

a (k)

В формулах (10)—(12) числа Го,о и уап(к) (п = 2,3,...,3Ж , к = 1, 2, ..., п - 1) могут быть заданы произвольно. Если эти числа равны нулю, то получаем канонический хедж. Запишем его в явном виде. у00 = 0,

уап(к) = о (п = 2,3,...,3Ж , к = 1,2,к,п -1).

Тогда ГпМп) =

С

B (va(n)

B3N (Уп

ß = ^^ ß0 = B •

B3N(yn yn-1,b(n-1)) B0

Сделав необходимые выкладки и воспользовавшись формулой (10), получаем

ßn = ß +

(

B

3N

n - 2

Е

i=1

i-1

Е

k=1

yk, b(k) yk-1,b(k-1)

Л

ya( k ) yk

Zk+Zi

f f -n 2 yk,b(k) yk-1,b(k-1)

Е

k=1

ya (k) k

" yk-1,b(k-1)

f .f - А

n 1 yk,b(k) yk-1,b(k-1)

Е

k=1

yb(k) - y yk yk-1, b( k-1)

Z -

yk-1, b( k-1) Zk +Zn-1

yn-1,b( n-1) ya(n) - y

yn yn-1, b( n-1)

■ I,

a(i)

' IA +

4i (n-1)

Л Л

Zn

Литература

1. ПавловИ.В. // ОППМ. М.; ТВП, 1997. Т. 4. Вып. 3. С. 389-390.

2. Павлов И.В., Мисюра В.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1998. № 1. С. 24-30.

3. БогачеваМ.Н., ПавловИ.В. // УМН. 2002. Т. 57. Вып. 3. С. 143-144.

4. Богачёва М.Н., Павлов И.В. // Мат. и стат. методы в экономике и естествознании: Материалы 3-х межвуз. науч. чтений. Ростов н/Д, 2002. С. 133-135.

5. Волосатова Т.А., Павлов И.В. // ОППМ. М.; ТВП. 2003. Т. 10. Вып. 2. С. 341342.

6. Волосатова Т.А. // ОППМ, М.; ТВП. 2005. Т. 12. Вып. 3. С. 713-714.

7. Данекянц А.Г., Павлов И.В. // ОППМ. М.; ТВП. 2005. Т. 12. Вып. 1. С. 143-144.

8. Данекянц А.Г., Павлов И.В. // ОППМ. М.; ТВП. 2005. Т.12. Вып. 3. С. 730-731.

Ростовский государственный строительный университет

16 октября 2006 г.