Построение совершенных хеджей посредством приближения мартингальных мер Текст научной статьи по специальности «Математика»

Богачева Марина Николаевна

Bogacheva Marina Nikolaevna Ростовский Г осударственный строительный университет Rostov State construction university Доцент кафедры Прикладной математики и вычислительной техники Associate professor of Applied mathematics and computer facilities E-Mail: [email protected]

Построение совершенных хеджей посредством приближения мартингальных мер

Creation of perfect hedges by means of approach of martingalny measures

Аннотация: Подробно рассмотрен пример построения совершенных хеджей посредством приближения мартингальных мер, мерами удовлетворяющими свойству универсальной хааровской единственности.

The Abstract: The example of creation of perfect hedges by means of approach of martingalny measures, measures satisfying to property of universal haarovsky uniqueness is in detail considered.

Ключевые слова: Мартингальные меры, полный рынок, безарбитражный рынок, свойство универсальной хааровской единственности.

Keywords: Martingale measure, full market, bezarbitrazhny market, property of universal haarovsky uniqueness.

***

Стохастическая финансовая математика изучает разнообразные модели финансовых рынков: полные и безарбитражные рынки, безарбитражные и неполные рынки, полные арбитражные финансовые рынки, и наконец, арбитражные неполные рынки. Основные результаты, которые имеют законченный вид, относятся, в основном, к полным безарбитражным рынкам [1,2]. Несмотря на многочисленные работы, посвященные расчетам на неполных безарбит-ражных рынках, тематика, связанная с неполными безарбитражными рынками, еще далеко не исчерпана. Неполные и безарбитражные рынки изучают, в основном, используя методы опционального хеджирования, квантильного хеджирования и хеджирования в среднеквадратичном.

Проблема подобного преобразования неполных безарбитражных рынков в безарбитражные и полные была впервые решена еще в 1987 году в работе М. Такку и В. Виллингера, где переход от неполных рынков к полным осуществлялся заменой исходной мартингальной меры неэквивалентной ей мартингальной мерой. Однако, с помощью полученной таким образом единственной мартингальной меры невозможно вычислять цены финансовых контрактов, справедливые для изначально рассматриваемого финансового рынка. Этот недостаток впервые был преодолен А.В. Мельниковым и К.М. Феоктистовым в 2001 г. В их работе пополнение финансового рынка проводилось посредством добавления к рисковым активам исходного рынка дополнительных активов, функционально зависимых с изначальными.

Для решения проблемы преобразования неполных безарбитражных рынков в полные

безарбитражные финансовые рынки в работе использован метод интерполяции финансовых рынков с помощью хааровских фильтраций (метод хааровских интерполяций финансовых рынков).

Существо этого метода состоит в следующем. Рассматривая безарбитражные, но неполные рынки мы расширяем исходную фильтрацию финансового рынка таким образом, что она превращается в хааровскую фильтрацию, в которой при переходе от момента времени п к моменту п+1 ровно один атом дробится на две части, а остальные атомы остаются неизменными. Затем, используя вероятностное решение задачи Дирихле для дисконтированной цены акции по отношению к хааровской фильтрации, мы получаем однозначно определенную интерполяцию дисконтированной цены акции на специальным образом выбранные промежуточные времена. Наконец, с помощью таким образом полученной мартингальной интерполяции, мы строим финансовый рынок, определенный как на исходных, так и на вновь введенных промежуточных значениях времени. На исходных значения времени цены акции и цены банковского счета этого рынка совпадают с изначально заданными, т. е. мы получаем интерполяцию исходного финансового рынка. Для полученного интерполирующего рынка мы строим хеджирующую стратегию.

Рассмотрим следующий пример. Пусть выполняются все условия леммы 1.4 [3], причём т=4. Не нарушая общности, будем считать, что Ь1 > а > Ь2 > Ь3 > Ь4. Положим

Ь1 = 10, а = 8, Ь2 = 6, Ь3 = 4, Ь4 = 2 . Из пункта 1) доказательства леммы 1.4 следует, что порождающий мартингальные меры многогранник Р(2,Е) совпадает в данном случае с треугольником ЛВС без границы (рис. 1). Вершины треугольника ЛВС имеют следующие координаты: А(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0, 1). Плоскость треугольника ЛВС удовлетворяет уравнению 2р2 + 3р3 + 4р4 = 1. Плоскость треугольника, проходящего через точки (с,0,0), (0,с,0)

Ь1 - а

и (0,0,с) ( где с = ~ ~ ), имеет вид 3р2 + 3р3 + 3р4 = 1.

Ь2 — Ь3

Рисунок 1.

Отрезок ВБ (без концов), представляет мартингальные меры, не удовлетворяющие свойству универсальной хааровской единственности, поэтому найдя уравнение ВБ, и взяв на

нем

произвольную

1 1 1 ч

точку М( — , —,—)

12 6 12

получаем

мартингальные

меры

=2 = _1 = 1 = _1

р1 = з ,р2 = 12 , рз = 6 , р4 = 12 , не удовлетворяющие свойству универсальной хааров-

ской единственности.

Рассмотрим одну из возможных интерполяций данного рынка (1^) рынком (1,У) (рис. 2). Найдем точку на плоскости ЛВС, которая "близка" к точке М. Пусть точка М' имеет следующие координаты - М’(— + 8,1, — + е ). Пользуясь уравнением плоскости ЛВС, получа-

12 6 12

ем, что 8 = —2е. Пусть е = — .

48

Рисунок 2.

Таким образом, получили точку МЧ“,“,“), т.е. нашли мартингальную меру Р':

, _ 33 , _ _1 , _ 1 , _ _5_

Р 1 _ л о ,Р 2 _ ъл , Р з _ ц , Р 4 _ ло удовлетворяющую свойству универсальной хааров-

4о 24 6 4о

ской единственности.

Рассмотрим данную интерполяцию относительно мер Р и Р':

1. Для исходной меры Р имеем:

Ув = 8, УД 5,) = 10, УД В) = 4,

У2(В.) = 10,У (В3) = 4,У2(В2 и В4) = 4,

У3( В1) = 10, ад) = 4, ад) = 6, УД В4) = 2.

2. Для меры Р', удовлетворяющей свойству универсальной хааровской единственности, получаем:

У = 8, ^( В,) = 10, ^ ВО =

5

У2(Вх) = 10,У2(Вз) = 4,У2(В2 иВ4) =

22

7

рынка

Уз( В1) = 10, Уз( Вз) = 4, Уз( В2) = 6, у,( В4) = 2.

г

Найдем общий вид реплицируемого финансового обязательства -* 1 исходного (1, 2)-

4

. Пусть ^ /г1Вг . Тогда

г=1

Р + 10г1 = /1

Л + 6у1 = /2

р + 4 к = /

р1 + 2у| = /4

Данная система разрешима тогда и только тогда, когда

/1 = 4/з - з/4

/ = 2/з - /4 .

Можно найти общий вид реплицируемого финансового обязательства интерполирующего (1, У)-рынка. Например, данное финансовое обязательство реплицируемо тогда и только

тогда, когда /2 = 2/ -/,.

Рассмотрим финансовое обязательство, которое нельзя реплицировать в рынке, полученном мартингальной интерполяцией по мере Р': ^1 = (1,2,1,1). Ясно, что условие

/2 = 2 /з - /4 не выполняется.

ЛИТЕРАТУРА

1. Павлов И.В., Красий Н.П. О безарбитражности и полноте обобщённой модели финансового рынка в случае скупки акций // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1999 г. Т.6. №1.

2. Мисюра В.В. Расчёт хеджирующих стратегий для опционов европейского типа в случае (Б,Б)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации // Сборник научных трудов III Всероссийского симпозиума "Математическое моделирование и компьютерные технологии". Т.4. Кисловодск. 1999. с.62-64.

3. Богачева М.Н., Павлов И.В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Ес-теств.науки, 2002 №з.