Моделирование финансовых рынков со счётным числом состояний Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.216.8

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ СО СЧЁТНЫМ

ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ

Шамраева Виктория Викторовна,

канд. физ.-мат. наук, заместитель заведующего кафедрой математики и информатики, e-mail: vshamraeva@muiv.ru, Московский университет имени С.Ю. Витте, г. Москва, Россия

Используя метод специальной интерполирующей хааровской фильтрации, найдены достаточные условия на параметры финансового рынка со счётным числом состояний. Эти условия позволяют исходный неполный безарбитражный рынок преобразовать в полный безарбитражный. Полученные результаты могут стать основой для создания программного комплекса, который может быть использован инвесторами для выбора оптимальных стратегий на финансовых рынках и построении ими хеджирующих портфелей. Ключевые слова: безарбитражные рынки, полные рынки, мартингальные меры, специальная хааровская фильтрация, свойство универсальной хааровской единственности, условия несовпадения барицентров

DOI 10.21777/2500-2112-2018-1-65-69

Введение

Рассматривается одношаговая модель дисконтированного финансового (В^)-рынка, заданная на фильтрованном пространстве (Q, F). Здесь Q = [шк , F (F0, Ft) - одношаговая фильтрация, причём f = {Q 0} , а Ft - о - алгебра всех подмножеств множества Q. Пусть N - множество натуральных чисел. Цена торгуемой акции Z=(Zk, Fk )k=0, это F - адаптированный случайный процесс Z0 = a , Zj (wk ) = bk, bk > 0 , k = 1,2,...). Множество невырожденных мартингальных мер (м.м.) P рассматриваемого (В^)-рынка будем обозначать через P (Z, F). Предположим, что

inf bk < a < sup bk. (1)

k k

Условие (1) является достаточным условием того, что исходный рынок P (Z, F )*0

Итак, наш рынок безарбитражен и неполон. Актуальным же является рассмотрение безарбитражных полных рынков. Эти эконометрические характеристики связаны с понятием мартингальной меры. Основой для исследований и расчетов в стохастических финансовых моделях с дискретным временем служит первая и вторая фундаментальные теоремы финансовой математики [1].

Теорема 1. (В^)-рынок является безарбитражным тогда и только тогда, когда P (Z, F) Ф 0 .

Теорема 2. (В^)-рынок является полным тогда и только тогда, когда |P (Z, F) |= 1.

Этой задачей в 1987 г. занимались М. Такку и В. Виллингер в работе [3]. Эти авторы предложили заменить исходную мартингальную меру неэквивалентной ей мартингальной мерой. Однако с помощью полученной таким образом единственной мартингальной меры, невозможно вычислять цены финансовых контрактов, справедливые для изначально рассматриваемого финансового рынка. А.В. Мельников и К.М. Феоктистов в 2001 году в [4] добавили к рисковым активам исходного рынка дополнительные активы, зависящие от изначальных. В настоящей статье для перехода от неполных безарбитражных рынков к полным используется метод хааровских интерполяций, который существенным образом отличается от подходов, описанных выше.

1 Применение метода хааровских интерполяций в случае финансового рынка

со счётным числом состояний

Для перехода от неполных безарбитражных рынков к полным будет использован метод хааровских интерполяций [4]. Отметим, что в [4] достаточно хорошо изучены аналогичные модели на конечных вероятностных пространствах. Некоторые продвижения для финансовых рынков со счётным числом состояний и тем же методом были сделаны в [5]. Технически эта задача оказалась намного слож-

нее, чем для финансовых рынков с конечным горизонтом. В статье рассматривается частный случай хааровских интерполирующих фильтраций - специальные хааровские интерполирующие фильтрации. Поясним суть метода. Исходную фильтрацию Е финансового рынка расширяем таким образом, что она превращается в специальную хааровскую фильтрацию (с.х.ф.) Н. Затем, используя мартингальное решение задачи Дирихле для дисконтированной цены акции по отношению к с.х.ф., мы получаем однозначно определенную интерполяцию дисконтированной цены акции на специальным образом выбранные промежуточные времена. Действуя таким образом, будем иметь финансовый рынок, определенный как на исходных, так и на вновь введенных промежуточных значениях временного параметра, при этом цены акции и цены банковского счета этого рынка совпадают с изначально заданными. Назовём такую интерполяцию исходного финансового рынка специальной хааровской интерполирующей фильтрацией (с.х.и.ф.). Обозначим через |А| - число элементов некоторого множества А. Следуя [5], дадим определения 1 и 2.

определение 1. Будем говорить, что мера Р еР (7, Р) обладает свойством универсальной хааровской единственности (СУХЕ), если для любой с.х.и.ф. Н, интерполирующей фильтрацию Е, соответствующий интерполирующий процесс У допускает единственную мартингальную меру (совпадающую с исходной мерой Р), то есть имеет место равенство |Р (7, Р) |= 1.

Такое интерполяционное свойство как СУХЕ является неудобным с точки зрения их аналитической проверки на выполнение для рассматриваемой мартингальной меры. Поэтому мы перейдём к равносильному ему свойству, называемому условием несовпадения барицентов (УНБ) [5].

определение 2. Будем говорить, что мера р е р (7 Р) удовлетворяет условию несовпадения барицентров (УНБ), если для любых двух (упорядоченных по возрастанию) непересекающихся подмножеств индексов I и J (при числах Ь г), I, J с N выполняется неравенство

XЬ рг X Ь]р]

V—ф ^Х • (2)

X Рг X Р1

I J

Множество м.м. процесса 7, удовлетворяющих УНБ, мы будем обозначать УНБ(2). Очевидно, что если существует вероятностная мера Р е Р(7,Р), удовлетворяющая УНБ, то числа а, Ь,, Ь2, ... различны.

Отметим, что до настоящего времени не имелось ни одного примера м.м., удовлетворяющей УНБ.

2 Достаточные условия непустоты УНБ

Следующие далее результаты дают достаточные условия существования м.м., удовлетворяющих

УНБ.

лемма. Пусть Ъ <Ь <Ь <Ь <Ь<<...., причём Ь. - Ъ. > Ь

-1 Р3 > X Ъ]Р], уг> 2 (3)

1=г+1

то мера РеУНБ(2).

Доказательство. Проверим выполнение условия (2). Рассмотрим два произвольных непересекающихся подмножества индексов I = {/1,/2,...} и J = {j1,у2,...} множества индексов {1, 2, ...}, г1>]1. Представим множество I как {г,} и 12, 12 с {г1 + 1,г1 + 2,г1 + 3,...}, а Jкак J1 и J2, где J1с{1,2,3,4,5,... Л-!}, J2 с{г1 +1,. + 2,. + 3,...} Имеем

X Ьр X Ь.Р, Ьч Р1 +Х Ьг Рг X Ь]Р] +Х Ь]Р

1

Ф -^-О

X Рг X Р1 р, +X Рг X Р1+X Р1

J 12 J\ J 2

\/ \ / \/

\РЧ +X ЬгРг X Р1 +X Р1 Ф X Ь1Р1 +X Ь1Р1 Р1 +X Рг

О

О

V 12 У \.1 и2 / Ч. и1 и 2 / Ч. *2 ;

^ Ъ Рч X Р1 - Рч X Ъ1Р1 +Х Ъ Рг X Рз -Х Р X Ъ3 Рз *

ьУ^! ¡2 У1 ¡2 У 1

* Рч X Ъ3 Рз +Х Рг X Ъ3 Рз -Х Ъ Рг X Рз ~ Ъ Р4 X Рз

12 о2

Поскольку

Ъ Рг, X Рз - Рг, X Ъз Рз + X Ъг Рг X Рз - X Рг X Ъз Рз =

У1 12 \

>

Ъг, X Р з - X Ъз Р з Рч + X Ъг Рг X Р з - X Рг X Ъз Р з >

У1 У1 У ¡2 У1 ¡2 У1 \

Ъ X Рз - Ъ-1 X Р з Рч + X Ъ Рг X Рз ~ Ъ -1 X Рг X Рз =

У1 У1 / 12 У1 12 У1

/ \ (Ъг, - Ъг, -1 ) Рч X Рз + X ЪгРг - Ъг,-1 X Рг X Рз -

V 12

12 / У1

- Ъ-11^1 Р з Р +

ш1П Р . -

- Ъг'1 -11ШП-1 Р з Р1 +

1< з <г!-1 \

ш1П Р . -

1<з<\-1

X Ъг Рг - Ъг1 -1 X Р

/2 /2

Ъг1 +1 X Рг - ЪЧ-1 X Рг

¡2 12

- Ъ ! ш1п р ■ рг. +(Ъч +! - Ъ .) ш1п р ■ X рг. -

г1 -11<]<ч-И з 1 V г1 +1 г1 -1Л<з<г1 -1^

¡2

- Ъ . шт р з рг. + (Ъ. +! - Ъ + Ъ - Ъ .) шт р з X рг. -

г1 -11<з<ч-И з г1 V г1 +1 г1 г1 г1 -1Л<з<г1 -И

¡2

- Ъг'1 -1 зП, Рз РЧ + Ъг'1 чшП-Ч Рз X Рг + Ъ ^ ^ Рз X Рг -

¡2 12

- Р1 XX Ъз Р з ^ Рг XX Ъз Р з -

1 = г1 +1 3 2 1 =г1 +1

- Рч\ X Ъз Р з ^ Рг X Ъз Р з -

У 2 ¡2 У 2

- Рч X ЪзРз ^ Рг X ЪзРз ^ ЪгРг X Рз ~ Ъг1 Р* X Рз

Таким образом, неравенство (2) выполнено.

Замечание. Если последовательность р1, р2,... монотонно убывает, то неравенства (3) совпадают с неравенствами

А--1 Рч-1 ^ ЪзРз, - 2.

(4)

з = +1

Пример.

Ъ =1<а=5/3<Ъ 2=2<Ъ3=4<Ъ 4=8<.. ,.<Ь =21-1 <..., Ъ - Ъи=21-1 - 21-2 =21-2 =ЪЫ, мера Р=(2/3; 1/4;1/16;1/64; ...;1/221-2;...) е р (^, р) удовлетворяет условию (4) и значит, обладает УНБ.

(Действительно,

7 2i-2 1 4 ^ ^ 1 1 2

ъг-iPi- = --у = = - > X ъj Pj = L j = = 2", V 0

(5)

Тогда УНБ(2) непусто и строго вложено в Р (7, Р).

Техника доказательства теоремы 3 остаётся прежней (см. к примеру в [10]).

Заключение

Полученные условия существования мартингальных мер, удовлетворяющих условиям несовпадения барицентов, позволяют строить модели безарбитражных неполных финансовых рынков с бесконечным числом состояний, которые с помощью хааровских интерполяций преобразуются в полные безарбитражные. Это свойство модели представляется особенно важным при расчетах цен различных финансовых обязательств и построении хеджирующих портфелей [11, 12].

1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1, 2. // 2 изд. - М.: ФАЗИС, 2004.

2. Taqqu M.S., Willinger W. The analysis of finite security markets// Adv. Appl. Probab. - 1987. - № 9. -P. 1-25.

3.MelnikovA.V., ShiryaevA.N. Criteria for the absence of arbitrage in the financial market // Frontiers in Pure and Applied Probability, II (Proceedings of the Fourth Russian-Finish Simp. on Prob. Theory and Math. Stat., Moscow, October 3-8, 1993). - M.: TVP, 1996. - P. 121-134.

4. БогачеваМ.Н., Павлов И.В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных // Успехи математических наук. - 57:3 (2002). - 143-144.

5. Данекянц А.Г. Моделирование безарбитражных финансовых рынков с помощью хааровских интерполяций на счётном вероятностном пространстве: дисс. ... на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. - Ростов н/Д., 2005.

6. Павлов И.В., Цветкова И.В., Шамраева В.В. О существовании мартингальных мер, удовлетворяющих ослабленному условию несовпадения барицентров: конструктивистский подход // Вестник РГУПС. - 47. - 2014. - № 4. С. 132-138.

7. Шамраева В.В. Новый метод преобразования систем неравенств для нахождения интерполяционных мартингальных мер // Международный научно-исследовательский журнал. - 2016. - № 12(54). Ч. 5. -

8. Шамраева В.В. О неравенствах, обеспечивающих выполнение интерполяционных свойств мартингальных мер // Теория вероятностей и ее применения. 61:3. - 2016. - С. 616-617.

9. Павлов И.В., Цветкова И.В., Шамраева В.В. О существовании мартингальных мер, удовлетворяющих ослабленному условию несовпадения барицентров, в случае счетного вероятностного пространства // Теория вероятностей и ее применения. 61:1. - 2017. - С. 167-175.

10. Павлов И.В., Шамраева В.В. Новые результаты о существовании интерполяционных мартингальных мер // Успехи математических наук. 72:4. - 2017. - С. 193-194.

11. Цветкова И.В., Шамраева В.В. Расчёт компонентов хеджирующего портфеля с помощью процедуры хааровской интерполяции [Электронный ресурс] / И.В. Цветкова, В.В. Шамраева // Электронное научное издание «Науковедение: Интернет-журнал». - 2013. - №3 (16). - URL: http://naukovedenie.ru/ PDF/45trgsu313.pdf

12. Шамраева В.В. Вычисление компонентов хеджирующего портфеля для некоторых платежных обязательств, заданных в финальный момент времени финансового рынка с бесконечным числом состояний [Электронный ресурс] / В.В. Шамраева // Вестник Московского университета им. С.Ю. Витте. Сер. 1: Экономика и управление. - 2014. - № 1. - URL: http://www.muiv.ru/vestnik/pdf/eu/

Список литературы

С.30-41.

eu_2014_1_40-45.pdf

MODELING FINANCIAL MARKETS WITH A COUNTABLE NUMBER STATES

Shamraeva V.V.,

Candidate of Physico-Mathematical Sciences, Deputy head of the department of mathematics and informatics, e-mail: vshamraeva@muiv.ru, Moscow Witte University, Moscow

Using the method of special interpolating Haar filtering, sufficient conditions are found for the parameters of the financial market with an countable number of States. These conditions make it possible to convert the initial incomplete arbitrage-free financial markets into a complete arbitrage-free.

The obtained results can serve as a basis for creating a software package that can be used by investors to select the best strategies in the financial markets and build their hedging portfolios.

Keywords: arbitrage-free markets, complete markets, martingale measure, special Haar filtering, the property of universal Haar uniqueness; noncoincidence barycenter condition