CC BY
29
Цветкова Инна Владимировна
Zvetkova Inna Vladimirovna Ростовский государственный строительный университет,
кафедра «Высшей математики» Rostov State University of Civil Engineering, cathedra of high mathematics ассистент кафедры «Высшая математика», assistant of the cathedra of of high mathematics
магистр математики E-Mail: [email protected]
Шамраева Виктория Викторовна
Shamraeva Victoria Victorovna Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Московский университет имени С.Ю.Витте" Non-State educational institution of higher professional education "Moscow State University named after S. Witte" доцент кафедры "Математика и информатика" associate professor of cathedra "Mathematics and Informatics" кандидат физико-математических наук E-Mail: [email protected]
05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
Расчёт компонентов хеджирующего портфеля с помощью процедуры
хааровской интерполяции
Calculation of components of the hedging portfolio with the help of a haar
interpolation procedure
Аннотация: Одним из важнейших направлений исследования (Б^-рынков является построение хеджирующих стратегий, т.е. определения самофинансируемого портфеля , который бы реплицировал некоторое платёжное обязательство. В данной работе представлены формулы для отыскания компонент канонического хеджа на рынке с бесконечным числом состояний.
The Abstract: One of the most important ways of investigation (B, S) - the markets is the construction of hedging strategies, i.e. calculation of a self-financing portfolios replicated some contingent claim. In this work formulas for calculation of a canonical hedge in the market with infinite number of events are presented.
Ключевые слова: Финансовый рынок, мартингальные меры, ослабленное свойство универсальной хааровской единственности, самофинансируемый портфель, полный капитал, платёжное обязательство.
Keywords: Financial market, martingale measures, the weakened property of the universal Haar uniqueness, self-financing portfolios, capital of portfolio, contingent claim.
Рассмотрим одношаговый (В,8)-рынок, заданный на (О,Ж), где Ж = (Р0,— одношаговая фильтрация, причём Р0 = {0,0}, а Б 1 порождена разбиением О на счетное число атомов , / = 1,2,— Рассмотрим Ж-адаптированный случайный процесс I = {1к,¥к)к=0, который мы мыслим как дисконтированную стоимость акции (10 = а, 11 {Л; ) = Ъ, I е N). Обозначим через Р(1, Ж) множество невырожденных мартингальных мер этого рынка, совпадающее с множеством решений следующей системы:
X =1
/=1
< X Ъ.р.=а
1=1
р1 > 0,1 е N.
Будем предполагать, что inf bi < a < sup bi. Это условие гарантирует
i г
безарбитражность и неполноту исходного финансового рынка.
При моделировании и исследовании финансовых рынков часто используют такое важное интерполяционное свойство меры Pe P(Z, F) как ослабленное свойство универсальной хааровской единственности (ОСУХЕ). Это свойство состоит в следующем: будем говорить, что мера Pe P(Z, F) обладает ослабленным свойством универсальной хааровской единственности, если для любой специальной хааровской интерполирующей фильтрации (с.х.и.ф.) Н фильтрации F соответствующий процесс Yn допускает единственную
мартингальную меру, совпадающую с исходной мерой P. В [1] доказано, что это свойство равносильно ослабленному условию несовпадения барицентров (ОУНБ).
Определение. Пусть {b1, b2,...} — счётный набор действительных чисел, снабжённых, соответственно, весами {p1,p2,...}, где 0<p<1, V i=1,2,.... Будем говорить, что этот набор удовлетворяет ОУНБ, если
1) ряд X Рг сходится, а ряд X btpt абсолютно сходится;
г =1 i=1
2) V i=1,2,. и для любого набора индексов I = {, i2,...}, не содержащего i и такого, что дополнение I множества I конечно, выполняется неравенство:
X ь p
1тГ im b ф mei .
' X Рі (!)
‘т теї
Отметим, что в [2] для рассматриваемой нами модели одношагового финансового рынка найдены достаточные условия того, что Ре Р(2, Р) удовлетворяет (1).
Теорема. Пусть Ре Р^,Р) и ¿1<а<Ь2<Ьз<Ь4<Ь5<_., причём Ь -ЬіХ >Ь 1, "і > 2. Если
Ьі_1 р.-1 > X Ьр " і >3, то мера Р удовлетворяет ОУНБ.
1 ' >¿+1 1 1
Пусть мера Ре Р(2, Р) удовлетворяет ОСУХЕ (например, удовлетворяются условия
сформулированной теоремы) и покупатель и продавец платежного обязательства (п.о.) договорились исчислять его цену усреднением п.о. по этой мере. Опишем процедуру хеджирования п.о., использующую интерполяцию неполного безарбитражного рынка полным рынком (метод хааровских интерполяций). Для этого рассмотрим на ^, Р) специальные
хааровские фильтрации Н = (Нп ^ где Н 0 = ^ Н ¥ = Р и у которых каждая s-алгебра Н п порождается разбиением W на ровно п+1 атом, причем на каждом шагу дробится тот атом, который был получен в результате дробления на предыдущем шаге. Таким образом, каждая такая фильтрация Н интерполирует фильтрацию Р . Положим
Уп = ЕРкНп] = Х^Е’2 • ^ ]• ^ Ер[21 • їВп ]• I
к =1 Р( 4)
= X
к=1 Р(А)
-Ер
XЬї, • 1а
і=1
• I А +
Р (Вп )
Ер
Х ЬІІЛ1 • ІВп
І =1
• їВ =
Вп
п 1 ¥ г т 1 ¥ г 1
= ^^т^Х Ь,Е" [ІЛЛ. ]• ІЛ, +^ X ЬЕр [їЛіЛ =
к=1 Р(Лк) і=1
Р(Вп )£'
п -\ ¥ І ¥
=X Ьр( ЛЛк )• ІЛ, + -гВ1X ЬПЛВ )• ІВ, =
к=1 Р( Лк ) І=1 Р(Вп ) І=1
п 1 1 ¥
= X-^т^kP(Лk )• Іл, +—------------X ЬР(Л, (Л.+1 + Л„2 +...))• І„, =
Р(Лк> X Р(л,) “
к=п +1
п 1 1 ¥ п X X ^кР к
= X ~рїЛГ\ЬкР( Лк )• іл, +--X Ькр(Лк+,)• ІВ. = X Ьк л +^—Д .
к=1 Р(лк) V О//! \ к=1 к=1
X р<-
к=п+1
к = п +1
!]ЬкРк п
Обозначим через Ьп = ----. Тогда Уп = XЬк'ІЛі + Ьп-ІВ . Заметим, что процесс
X Рк
к=1
к = п +1
Г = Л, Н. )¥=0 интерполирует цену акции I и обладает единственной мартингальной мерой, равной исходной мере Р (этот факт обеспечивается удовлетворением меры Р ОСУХЕ).
Пусть, далее / = X с71Л — ограниченное п.о. Образуем с.в.
7=1
X. = ЕР [/'IН п ]= X '.•Іл, +
к=1
X скРк
к=п+1
X рк
к=п+1
і .
Этот процесс будет выполнять роль полного капитала некоторого самофинансируемого портфеля р = (Д,,7» )Г=0
к
XckРk
=п+1____
'X рк
Обозначим через сп = ^-,тогда Хп = X ск • ІЛ1 + Сп • ІВ„ .
к=1
к=п+1
Найдём все самофинансируемые портфели Р = (Ьп ,Гп )Г=0, реплицирующие п.о. / и соответствующие начальные капиталы в момент времени п. Запишем для этого два условия : Хп = Ьп + ГпУп = / (финальное условие) и Хп-1 = ¡5п + ГпУп-1 (условие самофинансирования) (см. [5]). Тогда с одной стороны
АХ, = X, _ X- = у,(У, _ У„_,) = г.ЬГ,, (2)
а с другой
п п-1 (3)
АХп = Хп _ Хп-1 = X ск' 1 Лк + Сп ' 1Вп _ X ск ' 1 Лк _ Сп-1 ' 1Вп-1 = к =1 к =1
= сп^Л„ + Сп1 Вп _ Сп-11Вп-1 = Сп^Лп + Сп1 Вп _ Сп-1 (1 Л„ + 1В„ ) = (сп _ Сп-1 ) 1 Лп + {Сп _ Сп-1 )1В
и
п п-1 / \
= К - К- = X Ьк-ІАі + Ьп-ІВп - X Ьк •іл, - -1 • ^ = (Ьп - Ьп-1) IЛп +(Ьп - Ьп-1 ^ .
АК = К - К_= X Ь,-Г + Ь- и - X Ь
(4)
п п п-
к=1 к=1
Пусть
п -1
Гп = XgкlЛк +Кп/В„-1 . к=1
Подставим (3), (4) и (5) в (2). Имеем
(сп - Сп-1 ) 1Лп + { Сп - Сп-1 ) 1Вп = {X Гп1Лк + Уг11В„_1 { (Ъп - Ъп-1 )IЛп + { Ъп - Ъп-1 ) ^Вп ) =
V к=1 У
= Г"п1Вп_1 (Ъп - Ъп-1) 1Ап + {Ъп - Ъп-1 К. = Г (Ъп - Ъп-1) 1Ап +Г"п {Ъп - Ъп-1 К„ •
Последнее равенство возможно тогда и только тогда, когда
(Сп - Сп-1) = Гп (Ъп - Ъ’п-1);
Д - ‘^п-1 )= Гп ^ - Ъп-1 )•
(5)
Из последней системы находим
у« = Сп Сп-1 = Сп Сп-1 п= 12 3
Ьп - Ьп-1 Ьп - Ьп-/ ”
Рассчитаем компоненты хеджирующего портфеля для канонического хеджа. Согласно
финальному условию, имеем Д, = Хп - г.У,. Здесь
п-1
п„ = I X 1-1X ъ„- + ъ, - ¡в.
.к=1
,к=1
= X ГпЪк1Ак + Г„Ъ„1Лп + Г„Ъп^В„ = Г;Ъ ¿Л, + Г„Ъ„1Вп к=1
(поскольку можно предположить для удобства, что Гп = 0, к=0,1,2,.. .,„-1). Значит
Д=Х„ - Г„г„=X Ск - ¡л, + (;„- 4. - {г:ъ„1л„ + /„Ъ„1в„ У-
к=1
'■X Ск'1Л1 + (с„ - Г„Ъ„ )1Л„ + (с„ - У^п ) - !в
к=1
Пусть
п-1
п-1
Д = XЛ^Aк +А%,„ = XPкJл, +Д„1л. +Д!В, .
к=1
к=1
Из равенств (6) и (7) вытекает, что
Д = <, к = 0,1,2,..., п -1; „> 1
к
Д = с - у Ъ ;
/и и / п п “
Д = <3 - ГЪ .
/и и / п п
(6)
(7)
Таким образом, для канонического хеджа получены следующие вычислительные формулы компонент самофинансируемого портфеля:
Г = 0,к=0,1,2,...,;-1
/ « э э э э ?
„ с - <3 , <3 - <3 ,
г„ = _„_________________„-1 = _„______________________„-1 „ > 1
„ Ъ - Ъ 1 Ъ - Ъ . ’ _
п „-1 п „-1
(8)
Д = ск, к = 0,1,2,...,„ -1 Д = с - ГЪ = <3 - ГЪ , п > 1.
/и и / п п п г П П '
Легко видеть по индукции, что процесс X = {X п, Ни)” есть полный капитал некоторого самофинансируемого портфеля р = {Д ,Г„)¥=0, где Д„ )¥=0 и {г„)¥=0 предсказуемые относительно Н„ последовательности ([4], гл.11, §1Ь). При этом Д = Д„ = Д”+1 =..., Гп=Г;=Г+1 = , "; = 0,1,2,3,....
Из общей теоремы 1.17 в [3] следует выполнение
Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 - до 1800) Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru
lim X = f P -п.н.
п J
Это означает реплицирование п.о. f и полноту интерполирующего рынка Y .
Пример . Пусть Pe P(Z, F) и для неё выполнены условия теоремы , в качестве п. о. возьмём
f =(z, - Z0 )*= £ctiÄi = £b - а)• IA
k=1 k=2
c, = 0
ck = bk - а, k > 2
x о=ep [ f н о ]=Ep
£ (Ьк - а )• IA, н.
к=2
= £bkPk - а
к=2
Рассчитаем компоненты хеджирующего портфеля для канонического хеджа, используя полученные формулы (8).
у,
.1 _ C1 c0
£(b- а )pk £ pk
£ bkPk
'k '-/i'k L-i k Г k
0 k=2_____________________ 0 k=2
+ а
£ Pk
k=1
k=1
а£ Pk - £ bkPk
k=2 k=2
bi - b0
£ bkPk
1 - k=i__________
£ Pk
1 - а
bi £ Pk- а
k=1
k=1
а
(1 - Pi)-(а - bi Pi ) =
Pi
£ (bk- а К £bkPk
b - а - ^--------- b - а - ^-------+ а
П ¥ П ¥
£ Pk £Pk
k=n
b - b
n n
£bkPk
bn - k=¥—
£ Pk
k=n
k=n
У* = о, k = 1,2,...n-1, n>2
in 7 7 ’ 7
ß1 = - yib, = - Pibi
ß = c, = 0, n > 2
Al = ck = bk - а, k = 2,3, n-1, n > 3
Al = c„-yn„b„ = bn - а - bn =-а, n > 2
i n n i n n n n 7
£ bkPk
bn - k=¥----------
£ Pk
k=n
n > 2
1
Окончательно получены компоненты самофинансируемого портфеля:
- рЬ', п=1
Данная работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 13-01-00637а.
хааровской единственности. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 2004, т. 11, вып. 3, с. 506-508.
2. Павлов И.В., Цветков И.В., Шамраева В.В. Некоторые результаты о
мартингальных мерах одношаговых моделей финансовых рынков, связанные с условием несовпадения барицентров. // Вестник РГУПС, 2012, №3, с.177-181.
3. Ширяев А.Н., Чёрный А.С. Векторный стохастический интеграл и
фундаментальные теоремы теории арбитража. // Труды математического института им. В.А.Стеклова РАН, 2002, т.237, с.7-11.
4. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. // Том 1. Факты.
Модели. М: ФАЗИС, 1998. 512 с.
5. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. // Т.2. Теория. М.: ФАЗИС, 1998, 544 с.
Рецензент: Зав. каф. Высшей математики и исследования операций ЮФУ, д.т.н., проф. Белявский Г ригорий Исаакович.
