Оценка справедливой цены опциона для обобщенной модели Кокса-Росса-Рубинштейна в случае m-состояний Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Оценка справедливой цены опциона для обобщенной модели Кокса-Росса-Рубинштейна в случае т состояний

М.Н. Богачева, Л.И. Прянишникова

В качестве модели эволюции цен основных ценных бумаг на финансовом рынке рассмотрим систему двух дискретных стохастических уравнений, описывающих безрисковый В и рисковый 5 активы [1,2]. Пусть В и 3 эволюционируют согласно формулам:

где Ва > 0 и г - постоянная процентная ставка;

где > 0 и последовательность /м-значных случайных величин:

Значения случайной величины (НцО^м - проанализируем

следующим образом:

1. пусть О Е (й^йз,.,., СЕ^) ;

2. обозначим

б = ^тт {й(1, Ъ = шж {«}} с = ^ шах {щ < 0}-^ = шш щ > 0}

(1)

Будем считать, что каждый из атомов при переходе от этого шага к к 4-1 дробится ровно на ш частей.

Таким образом, в соответствии с обозначениями (1), имеем

Введем функцию (см. [3, стр. 46])

где а и Ъ - параметры рассматриваемой обобщенной модели Кокса-Росса-Рубинштейна, см. формулу (1). При этом Я находим из уравнения

(1-Л)а+ЛЬ-г=0=*Л =

г —а

Ъ — а

Рассмотрим европейский опцион на покупку с платежным обязательством

В этом случае

= С^л'Я-лУ'-' - - ■л)—- 1 - ^ _ ^.

Пусть

ке = шп{к Ё -4-«^{1НЬ > К}.

Ясно, что при > ^ функция РлгСЗоД) = 0 и, следовательно, С* = 0. Пусть &0 ^ №. Тогда имеем:

Полагая

А)

N-k

получаем следующее следствие формулы Кокса-Росса-Рубинштейна [3, с.50].

Теорема. Для европейского опциона на покупку с платежным обязательством /Ч^лг) = — рассматриваемого в рамках модели (1), справедливая цена опциона С* определяется формулой

С*(Ю = ад Ось ЛГ; I) - К(1 + г)-" В {ко,ЛГ;Я), где ка = 1 +

К ■ /01— , причем С(N) = если > JV.

Jiii-iüy i+я

Нахождение цены аналогично рассмотренному выше.

Теорема. Для европейского опциона на покупку с платежным обязательством = — К)+, рассматриваемого в рамках модели (1),

справедливая цена опциона определяется формулой

СЛЮ = ЛГ;#0- + гУяВ (к^Н-лО,

где ка=1 + -3,' пРичем ОТ = еслн ко >

■Г-с _

Рассмотрим оценку параметров обобщенной модели Кокса-Росса-Рубинштейна [4, 5, 6]. Качественная оценка параметров модели позволит использовать результаты, полученные выше для дальнейшего исследования. Обычно рассматривают три вида оценки параметров: на основе метода максимального правдоподобия, на основе ранговых статистик, и на основе знаковых статистик. Однако первые два метода требуют знание закона распределения. Поэтому в работе применена непараметрическая схема оценки параметров, которая была ориентирована на знаковые статистики [7].

Расчет параметров нашей модели произведем на основе статистической информации. Происходит статистическая обработка данных стоимости акций и курсов валют (доллар и евро) за 2010 год. Данные получены с сайта rbc.ru. Выборка содержит более 6 тыс. записей. Нами проанализированы следующие виды акций: Американский доллар, Аэрофлот, ДальЭнерго, Евро, ЕЭС России, ИркутскЭнерго, Лукойл, МосЭнерго, РБК, Ростелеком, Ростовэнерго, Самараэнерго, Саратовэнерго, Свердловэнерго, СибНефть, Сургутнефтегаз, Уралсвязь, УралСиб, ЮКОС.

Данные хранятся в базе данных Акции.dbf (файл инсталлируется вместе с программой).

В качестве параметров модели нами выбраны:

• a - минимальная процентная ставка,

• Ь - максимальная процентная ставка,

• c - минимальное падение процентной ставки,

• d - минимальный рост процентной ставки

• г - среднее значение процентной ставки.

Вышеуказанные параметры модели анализируются для двух любых выбранных активов за период с 1.01.2010 по 31.12.2010.

При выборе активов из списка важно, какой из активов выбирается первым, а какой вторым. Первый выбранный актив играет роль рискового актива, второй же безрискового [8]. При этом появляется возможность "перекачки" средств из одного актива в другой [9].

По результатам, полученным в статье, построено программное приложение, позволяющее произвести расчет справедливой верхней цены опциона и расчет нижней цены опциона [10]. Таким образом, получен интервал цен, придерживаясь которого можно минимизировать риск при работе на финансовом рынке, модель которого совпадает с обобщенной моделью Кокса-Росса-Рубинштейна.

Программное приложение позволяет:

• выбрать тип ввода параметров модели: статистический или пользователем;

• выбрать два вида актива при статистическом поиске параметров модели: в первом столбце пользователь выбирает рисковый актив, во втором списке безрисковый актив;

• ввести данные для расчета: необходимо задать начальную цену акции; количество времен; контрактную цену.

• получить справедливую цену опциона для верхнего и нижнего хеджа (рис. 1).

Рис. 1. - Программный комплекс для расчета справедливой цены

опциона.

Таким образом, были изучены основные методы оценки параметров модели (1), и в качестве оптимального выбран метод знаковых статистик.

Литература:

1. Cox J.C., Ross R.A., Rubinstein M. Option pricing a simplified approach [Text] //Journal of Financial Economics. 1976. - Vol. 7 (september). - Р.229-263.

2. Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading [Text] // Stochastic Process. Appl. 1981. - Vol. 11, №3. -Р.215-260.

3. Мельников, А.В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг [Текст] / А.В. Мельников. - Москва: ТВП, 1997. - 126 с. - ISBN 5-85484-023-5.

4. Красий, Н.П. О безарбитражности и полноте обобщённой модели финансового рынка в случае скупки акций [Текст] / Н.П. Красий, И.В. Павлов // Обозрение прикладной и промышленной математики - Москва, ТВП. 1999. - Т.6. №1. - С.162-163.

5. Мисюра, В.В. Расчёт хеджирующих стратегий для опционов европейского типа в случае (Б^)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации [Текст] // Сборник научных трудов III Всероссийского симпозиума "Математическое моделирование и компьютерные технологии". Кисловодск, 1999. - Т.4. - С.62-64.

6. Красий Н.П. О вычислении спрэда для обобщённой модели (B,S)-рынка в случае скупки акций [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, №4 (часть 2). - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1378 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

7. Болдин М.В., Симонова Г.И., Тюрин Ю.Н. Знаковый статистический анализ линейных моделей [Текст] / М.: ФИЗМАТЛИТ, 1997. - 288 с. -(Теория вероятностей и математическая статистика.) - ISBN 5-02-015222-6.

8. Белявский, Г.И., Мисюра В.В., Павлов И.В. Исследование модели (В^)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации [Текст] / Г.И. Белявский, В.В. Мисюра, И.В. Павлов // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 1998 - С. 179-181.

9. Белявский, Г.И. Ранговый критерий полноты одного финансового рынка при допущении арбитража [Текст] / Г.И. Белявский, В.В. Мисюра, И.В. Павлов // Обозрение прикладной и промышленной математики. -Москва, ТВП. 1999. - Т.6. №1. - С.164-165.

10. Шишкова А.Н. Программный комплекс т-полнота (Б, S^bm^ в случае специальной хааровской фильтрации при допущении арбитража [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, №4 (часть 2). -Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4p1y2012/1174 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.