Модель флуктуирующего электрона в некоторых задачах электроники СВЧ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Т

Электроника СВЧ

УДК 621.385.6;621.315.592;530.145.65

А. С. Плахотник

Тихоокеанский военно-морской институт им. С. О. Макарова

Модель флуктуирующего электрона в некоторых задачах электроники СВЧ

Проанализировано уравнение движения флуктуирующего электрона. Получено его решение для стационарных состояний. Доказано, что микроскопический механизм флуктуаций электрона представляет собой взаимодействие элементарного заряда с собственным электрическим полем. Разработана модель флуктуирующего электрона. Обоснована возможность применения модели в электронике СВЧ.

Флуктуирующий электрон, стационарные состояния, собственное электрическое поле, микроскопический механизм флуктуаций, приборы СВЧ

В работе [1] в качестве основной причины возрастания энергетических потерь в приборах миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов рассматривается микроскопический механизм флуктуаций носителей заряда. С этой целью обосновано полное уравнение движения флуктуирующего электрона:

ih(dT/dt) = - [h2/(2me )] V V + (ih/r) v - (h/me l/r2 -V2t/t

(1)

где i - мнимая единица; h - постоянная Планка; T - волновая функция; t - время; me -

масса элементарного заряда; V2 - оператор Лапласа; r = r (x, y, z, t) - радиус траектории

движения заряда; v = const - скорость движения заряда.

В настоящей статье представлен анализ уравнения (1) для стационарных состояний; раскрыта сущность модели флуктуирующего электрона и обоснована возможность использования модели в решении некоторых задач электроники СВЧ. Показаны способы решения соответствующих дифференциальных уравнений.

Полагая, что Т (x, y, z, t) = y (x, y, z) exp [-i (E/h) t] ( у - волновая функция без

временного множителя; E - собственные значения энергии), для стационарных состояний из уравнения (1) получим

' ~ Г ' 2 Т/2,

Ey = - \h2/(2me)] V2y + (ih/r) v- (h/me)y¡ 1¡r2 -V

y. (2)

Рассмотрим несколько способов решения данного уравнения. С одной стороны, решение уравнения (2) зависит от выполнения условий

У2у/у< 1 г2 ; У2у/у> Vг2. (3)

При выполнении первого из них подкоренное выражение в квадратных скобках правой части уравнения (2) представлено как

© Плахотник А. С., 2008 65

г2= NVг, (4)

где N = ^ 2 - некоторое действительное число. Уравнение (2) в этом случае примет вид

(Й2/2те ) V2у + {е + г [(Й2N)/(2тег2 ) - (Й/г) V } у = 0 .

Вещественная часть этого уравнения

(Й2/2те ) V 2у + Еу = 0, (5)

что в точности соответствует волновому уравнению для свободной частицы.

При выполнении второго из условий (3) подкоренное выражение в квадратных скобках правой части уравнения (2) представлено как

г2 = iN*/г, (6)

а уравнение (2) примет вид (h2/2me)V2у + {E-|(h2N)j(2mer2)-i(h/r)v }y = 0

веще-

ственная часть которого

(h2/2me ) V2y + E - h2N(2mer2 ) y = 0 (7)

содержит "добавку" h2 n/ (2mer2) = A r2 (A = const), которая широко используется для

решения ряда физических задач, например, в молекулярном потенциале Кратцера [2], в "эффективной потенциальной энергии" модели Томаса-Ферми и в других физических задачах в качестве слагаемого потенциальной энергии [3]:

U = Ar2 - B/r (B = const) . (8)

В одномерном случае это уравнение примет вид

(Ь2 ¡2me ) у" (х) + E - h2n/(2meх2 ) у (x) = 0, (9)

используемый в методике расчета кинетических коэффициентов для флуктуирующего электрона в полупроводнике [4].

С другой стороны, возведя в квадрат обе части уравнения (2), приведем его к комплексному выражению

E 2у 2 + (h2 Ey/me ) V2y - 2iEhvy2 /r =

e

2

-(h4/4m2)(V2y) +|_Й4у/(mir2)Jv2y + (h2v2/r2 -Й4/m^r4)y2 + i[fc3vy/(mer)]v2y, которое представим в виде двух вещественных уравнений:

- (2Ehvy 2/r ) = (mer ) V2y ; (10)

E 2y2 + (Й2Еу/me ) V2y =

= -(Й4/4m2 )(V2y)2 + (¿Vme2r2 )V2y + (¿V/r2 -¿4/me2r4 )y2. (11)

Из соотношения (10) следует волновое уравнение для свободной частицы (5), что еще раз подтверждает соответствие излагаемых подходов квантовой теории.

66

Квадратное уравнение (11) дает дифференциальное уравнение 72... . /*2

V2y + (2me /h2 ) E - (h2/mer2 ) + (h/mer)y¡m*v2 - 2meE

y = 0. (12)

Тождественность волновых функций в уравнениях (10) и (12) приводит к условию

Е = (те/¡2) - [й2/(2тег2)] = Шк . (13)

В соответствии с выражением (13) для свободной частицы ее полная энергия Е совпадает с кинетической энергией Жк.

Введем обозначения ЛЛ = к2/те ; В* = т^у2 - 2теЕ /те , с учетом которых уравнение (12) примет вид

У2у + (2те/П2 ) (Е - Л*/г2 + В*/г) у = 0. (14)

Волновая функция у в сферических координатах представляется как

у = / (г) У (0, Ф), (15)

где / (г) - радиальная волновая функция; У (0, ф) - поверхностная функция.

С учетом формы операторов Лапласа V2 в сферических координатах [5] на основании уравнения (14) и выражения для волновой функции (15) при I = 0, 1, 2, ... получим

/' (г) + (2/г)/' (г) + (2те/Й2 ) {е - ЛVг2 -1V/(2тег2 )] I(I +1) + В*/г} / (г) = 0 . (16)

Уравнение (16) формально совпадает с уравнением Шредингера для частицы, движущейся в центрально-симметричном поле с потенциальной энергией (8) [3], решения которого известны. Следовательно, можно полагать обоснованным, что уравнения (1), (2) и (14) описывают взаимодействие свободно движущегося электрона с собственным электрическим полем.

Выражение в квадратных скобках в уравнении (2) с учетом обозначений (4), (6) можно представить в виде составляющих скорости флуктуирующего электрона:

vl = V ± ЙN*/тег ; v1 = V ± г (ЙN*/тег). (17)

Средние значения соответствующих им составляющих кинетической энергии электрона равны

Жк1 = теу2 ¡2 + ( Н^ )У(2тег 2 ); (18)

Жк1 = теу212 - ( Ш* ?/(2тег 2 ). (19)

Условие (13) формально совпадает с выражением (19). Поэтому уравнения (1), (2) и (14) можно считать уравнениями движения флуктуирующего электрона. Таковыми являются и уравнения вида (7), (9). Таким образом, основная идея модели флуктуирующего электрона заключается в том, что микроскопические флуктуации частицы вызываются взаимодействием элементарного заряда с собственным электрическим полем.

Рассмотрим, при каких значениях числа N * выполняется количественное условие квазиклассичности [3]

\ё%1 << 1, (20)

67

где X = Х/2п; X (х) = 2лй/p (х) - де-бройлевская длина волны частицы, выраженная как функция координаты х с помощью классической функции p (х) - импульса частицы.

Положим X = r¡ N * . Тогда условие квазиклассичности (20) примет вид

(V N *) (dr/dx )| << 1. (21)

Поскольку в одномерном нерелятивистском случае r = х - vxt (vx - скорость движения электрона вдоль оси х), а в статье рассматриваются стационарные состояния, то из условия (21) следует N* »1. Следовательно, реализуется принцип соответствия Бора: законы квантовой механики при больших значениях квантовых чисел N* »1 переходят в законы классической физики. В этом случае уравнения (17)-(19) целесообразно использовать для анализа движения типичных электронов пространственных зарядов классических приборов СВЧ [1].

Поскольку решение уравнений вида (16) хорошо известно [2], [3], рассмотрим реше-

2 /2

ние одномерного уравнения (9). Введем обозначение k = 2me E/ h и запишем уравнение

(9) следующим образом: + (k2 - n/х2)у = 0 . Используем в этом уравнении безразмерную переменную z = kx:

(z Vk2 ) + (z 2 - N) у = 0. (22)

Произведем в уравнении (22) подстановку

у = z129(z) . (23)

2 2 2 2 С этой целью найдем сначала вторую производную d у/dx с учетом z d у/dx =

= k2 (d2 у/ dz2). Используя это выражение, запишем уравнение (22) в виде

z2 (d2у/dz2 ) + (z2 - N) у = 0. (24)

22

Найдем вторую производную d у/ dz , используя выражение (23):

d V dz 2 = z^V ( z ) + z-УУ ( z ) - (14 ) z-3/2Ф ( z ). (25)

Разделим уравнение (24) на z и подставим в него выражения (23) и (25):

z^y (z ) + z-Уу (z ) - (14) z"32Ф ( z) + (1 - N/z2 ) z129 ( z ) = 0 .

1/2

Разделим это уравнение на z' и запишем в виде

ф'' ( z ) + (1/ z ) ф' ( z ) + [1 - (N +14 )/ z 2 ]ф ( z ) = 0. (26)

Пусть N +1/4 = т . С учетом этого соотношения на основании уравнения (26) получим

ф" ( г ) + (1/ г ) ф' ( г ) + (1 - т2/г 2 ) ф ( г ) = 0. (27)

Уравнение (27) - дифференциальное уравнение Бесселя с действительным аргументом, в котором число т может иметь любое значение. В рассмотренном случае число т

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2008. Вып. 5

определяется параметром N , обоснование значений которого выходит за рамки данной статьи. Приведение уравнения к вырожденному уравнению Гаусса показывает, что решением уравнения (27) не могут быть цилиндрические функции, порядок которых равен половине нечетного целого числа, используемые при решении известного волнового уравнения (5). Этот вывод справедлив также для уравнений (7) и (9).

Библиографический список

1. Плахотник А. С. Квазиклассическая модель энергетических потерь в приборах СВЧ // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2007. № 4. С. 71-77.

2. Флюгге З. Задачи по квантовой механике. Т. 1 М.: Мир, 1974. 335 с.

3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Т. 3. М.: Наука, 1974. 752 с.

4. Плахотник А. С. Расчет кинетических коэффициентов для флуктуирующего электрона в полупроводнике // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2007. № 6. С. 71-76.

5. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 3. Ч. 2. М.: Наука, 1974. 672 с.

A. S. Plakhotnik

Pacific Ocean navy institute named after S. O. Makarov

Model of fluctuation electron in some of problems in microwave electronic

Equation of motion of fluctuation electron has been analyzed. Decision equation for stationary states has been realized. Microscopic mechanism fluctuations of electron is interaction elementary charge with own electric field was proved. Model of fluctuation electron has been made. Basing possibility application model in microwave electronics has been realized.

Fluctuation electron, stationary states, own electric field, microscopic mechanism fluctuations, microwave devices

Статья поступила в редакцию 5 июля 2008 г.

УДК 621.382

Ю. И. Алексеев, А. В. Демьяненко

Технологический институт Южного федерального университета

I Сопоставление генераторных характеристик диодов Ганна сантиметрового диапазона

Проанализированы частотно-мощностные характеристики серийных диодов Ганна с целью выявления диапазонов преимущественного применения каждого из них.

Диод Ганна, перекрытие рабочих диапазонов

Современная элементная база генераторных диодов Ганна представлена широкой номенклатурой приборов, выполненных по принципу литерного частотного разбиения, перекрывающих общий частотный диапазон от 5 до 150 ГГц, что в определенном смысле упрощает выбор активного элемента при разработках усилителей и генераторов, заставляя руководствоваться при этом в основном политерной частотной разбивкой диодов. Однако имеются типы диодов (это в первую очередь касается широкополосных приборов, таких, как 3А703А, 3А703Б и 3А705А, 3А705Б), которые имеют официальный диапазон совмест-

© Алексеев Ю. И., Демьяненко А. В., 2008

69