Расчет кинетических коэффициентов для флуктуирующего электрона в полупроводнике Текст научной статьи по специальности «Физика»

Т

Электроника СВЧ

УДК 621.315.592

А. С. Плахотник

Тихоокеанский военно-морской институт им. С. О. Макарова

Расчет кинетических коэффициентов для флуктуирующего электрона в полупроводнике

Решено уравнение движения для флуктуирующего электрона. Разработана комплексная модель взаимодействия электрона с кристаллической решеткой твердого тела. Представлены расчеты кинетических коэффициентов для флуктуирующего электрона. Проведен анализ дрейфовой скорости электрона в транзисторе на квантовых точках.

Флуктуирующий электрон, кристаллическая решетка, кинетические коэффициенты

Современными физическими методами успешно определяются средние характеристики, регистрируются "продукты" действия флуктуационной динамики, но не сами флуктуации энергии, которые остро локализованы по времени (в пределах одного периода колебаний) [1]. Учет микроскопических механизмов флуктуации микрочастиц важен для дальнейшего развития теории флуктуационной динамики.

Поскольку на электрон в твердом теле действует сильное периодическое поле кристаллической решетки, то для создания более точной модели взаимодействия носителя и решетки необходимо использовать уравнение движения флуктуирующего электрона в вакууме.

Рассмотрим уравнение движения флуктуирующего электрона в виде

{ 2 2 л

Г N 2

„ 2me h2

W

V meх J

V> = 0, (1)

где у - волновая функция без временного множителя; me - масса элементарного заряда; h - постоянная Планка; W - собственное значение энергии; N - некоторое положительное число; х - координата.

Отличие уравнения (1) от уравнения Шредингера для линейного квантового осциллятора заключается в использовании выражения для потенциальной энергии частицы

2 2 // 2\ 22/ h N I\meх J вместо выражения mero х /2, где ю - в классической механике собственная частота колебаний.

Упростим уравнение (1):

xV' + ( х2 - p2 ) у = 0, (2)

где p2 = h2N21(meE) = const > 0 ; 0 < х < да .

© Плахотник А. С., 2007

71

Рис. 1

Уравнение (2) сводится к уравнению

2 / 2 2 ^ Бесселя [2]: х у" + ху' + ^ х - р )у = 0, если в левую часть уравнения (2) формально ввести слагаемое ху' = 0 . Решение уравнения (2) для случая р = 1 найдем в виде

VI = ( х) (3)

с условием, что

у1 = С1 [ J0 (х) - 71 (х)/х] = 0, (4)

где С - постоянная интегрирования; Jl (х), Jo (х) - функции Бесселя первого рода первого и нулевого порядков соответственно. Для р = 2 получим решение

У 2 = С2 -12(х) (5)

с условием

у2 = с2 [2J0 (хУх + (1 - Vх2 ) J1 (х)

= 0,

(6)

где С2 - постоянная интегрирования; J2 (х) - функция Бесселя первого рода второго порядка.

Периодичность потенциального поля кристаллической решетки твердого тела (рис. 1) позволяет искать решения уравнения (2) в виде функций Блоха у (х) = и (х) ехр (/Кх), где

и (х) - пространственно-периодическая функция с периодом, равным постоянной кристаллической решетки, К - волновое число.

На рис. 1 а, Ь - размеры периодической последовательности высоких потенциальных барьеров; Ж - полная энергия электрона, равная его кинетической энергии Жк в пространстве между барьерами (область I); Жп - потенциальная энергия в области барьера (область II), Жп > Ж. Так как в комплексной модели используются функции Бесселя У1 = уп, у 11 = ут , то условию Жп > Ж соответствует условие т > п.

При использовании выражений (3) и (5) функция Блоха для областей I и II равна

и1 ( х) = С Jl ( х) ехр ( —Кх); ип ( х) = С2 J2 ( х ) ехр ( —Кх ). Для определения коэффициентов С1, С2 используем граничные условия. Положим функцию и(х) и ее первую производную непрерывными на границах областей I, II и обладающими свойствами периодичности:

^ (0) = ид (0); \йи^! 0 = |дид/ дх\ 0; ид (а) = ид (-Ь); \йи^! дЛ _ = |дид/дхI __Ь . (7)

' ' х—0 ' ' х—0 ' ' х—а * * х — ь

С учетом условий (7), (4), (6) и интегрального представления Бесселя [3]

|соб (пф - х Бт ф) дф = (х),

0

(0 < ф < п - фазовый угол) получим следующее в общем случае комплексное уравнение:

(2cos ф - sec ф) [(1 п) cos (ф - a sin ф) - iKJx (a)] exp (-iKa) =

= (1 п ) cos ( 2ф + b sin ф) + ÍKJ2 (a) exp (-iKa), (8)

где a = V2; Jx (a) « 0.55, J2 (a) « 0.25 .

Комплексное выражение (8) можно представить в виде двух вещественных уравнений:

tg ( Ka) =

nK

f ( Jb J2, ф, K, a)

cos ( ф- a sin ф) nK sin (Ka)

J\ (a ) +

J2 (a)

cos (ф- a sin ф)

2coscp - secф cos 2ф

J I ( a ) +

nK sin (Ka)

+

J2 ( a )

cos

( Ka ).

(9)

(10)

2совф - secф

Выражение (9) является тангенсом угла потерь при движении электрона в периодической структуре на рис. 1. С помощью этого выражения найдем фазовые углы ф, которые обеспечивают данное равенство при заданных значениях волнового числа К, а затем решим уравнение (10) графически (рис. 2). Результатом являются точные решения, соответствующие конкретным состояниям электрона. Заметим, что уравнения (9) и (10) имеют решение для случая пф = пп, а ^ 0 .

При Ж = ! (те12) на основании уравнения (1) можно записать:

Ы/г = 75V12 , (11)

где г - радиус движения электрона; 5 - некоторое положительное число; I - характер-2

ный размер; V - оператор Лапласа.

Выражение (11) может быть использовано для получения флуктуации скорости движения электрона:

ду = ЬЫ/ (тег ). (12)

С учетом флуктуации (12) выражение для переменной скорости V = V ± ЬЫ/(тег),

где V - постоянная составляющая скорости. Этой скорости соответствует среднее значение кинетической энергии

Жк = теУ 2/2 + Й2Ы2/(2те г2 ), (13)

а эффективная скорость движения флуктуирующего электрона

* -2 v =\ v

^v 2 + h2N2v 2/(me2v 2r 2 ) . (14) С учетом условия квантования

(15)

mevr = nh

выражение (14) примет вид v

* vy¡ 1 + N V n¡ ,

(16)

где щ - целое число, являющееся решением уравнения (10).

f1 f2 0.8 0.4 0

- 0.4

- 0.8 - 1.2

— Ka, рад

Рис. 2

Полагая для случая движения электрона в твердом теле a ^ 0 (размер потенциальной ямы) и N = п^ф = п^к ( пф - целое число, являющееся решением уравнения (9)), из

выражения (16) получим значение эффективной скорости:

V* = ^ 1 + пф2я2/4 . (17)

Среднее время свободного пробега ^ = х/V* =—. ^ -, где Х = 1/ ( Ып пгс2 )

^1+пФ2п2/ п2

- средняя длина свободного пробега ( Ып - концентрация носителей заряда; гс - радиус

сферического рассеивающего центра).

По соотношению Эйнштейна коэффициент диффузии

* * / кТу Г 2 2/2 В = /e = —1 + пф п /щ ,

eE

где к - постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура;

ц* = 2те ) =- еХ (18)

2те^1 + пФ п / П2

- подвижность носителей заряда.

Если бы электронный газ был обычным классическим (невырожденным) газом, то каждый электрон обладал бы средней энергией теплового движения, равной 3кТ/ 2:

теу 2/2 = 3кТ/ 2. (19)

Г~Ч 11 Н4 Н4 7—тН4

Эффективная напряженность электрического поля находится из соотношения V = ц Е

с учетом выражений (17), (18) и (19):

-2

2meV ( 2 2/ 2\ 6кТ I 2 2 / 2\ г г

I1 + пф п /пк) = — (1 + пф п /пк) = Е + Е1-

где Е] - напряженность внутреннего электрического поля.

В свою очередь, напряженность в одномерном случае Е = ди/дх, где и - напряжение источника питания. В результате получим Е = 6кТ/(еХ). Отсюда следует соотношение

6кТ = ЕеХ = ЕХ . (20)

Выражение (20) можно записать также в виде уравнения баланса энергии, которое в равновесном случае с учетом времени релаксации энергии для невырожденного полупроводника имеет следующий вид:

6кТ = ЕеХ = ецЕ1t . (21)

Основываясь на выражении для среднего значения кинетической энергии флуктуирующего электрона (13), определим его эффективную массу:

2 2 2

*

Г юг2

т - ,—- = те , , .

а 2ЖК/ дк 2 V 2 (3п2 + N2)

На основании последнего выражения можно получить

Йю = 3кТ (1 + NVп2 У3 + NVП2 . (22)

Предложенная модель взаимодействия флуктуирующего электрона с кристаллической решеткой твердого тела обладает повышенной точностью, поскольку в ней учтены точные решения, соответствующие конкретным состояниям электрона (см. рис. 2), в то время как в модели Кронига-Пенни конкретным состояниям электрона отвечают зоны Биллюэна. Рассчитанные кинетические коэффициенты в сравнении с данными теории твердого тела подтверждают достоверность модели флуктуирующего электрона.

При условии N = п^к » щ скорость движения электрона (17) может быть значительно выше средней (дрейфовой) скорости элементарного заряда [4]. Согласно выражению (18) это условие обеспечивает аномально сильное уменьшение подвижности носителей заряда.

Соотношение (20) по своей сути совпадает с уравнением Грина-Кубо [5]:

6кТ = ((Дх)Е )( ДГ 2)°. (23)

Из уравнения баланса энергии (23) следует квадратичная зависимость температуры от электрического поля (в общем случае) или температуры носителей и решетки от соответствующего электрического поля. Это значит, что подвижность носителей (18) можно записать с учетом следующих соображений. Решетка с размером потенциальной ямы a ^ 0 характеризуется температурой 7 и соответствующим электрическим полем Е^, а также фазовым параметром и^ф = п^к с точки зрения модели диффузионно-дрейфового

приближения для флуктуирующего электрона. В свою очередь, носители имеют температуру 72 при электрическом поле Е2 и характеризуются параметром щ с точки зрения той

же модели. На основании выражений (21) и (18) можно записать: 7 х (Е^2) х (Пф2л2); 72 х (Е22 ) х (и^ ), а из выражения (18) получим

ц* =Ц0(1 + иф2п2/и2)-12 «Ц0(1 + Е2/Е22^ (24)

Соотношение (24) интерпретируется как проявление полевой зависимости подвижности типа

_1 + (Е/Е, )2 ] ' , (25)

где ^0 - низкополевая подвижность; Е, - характерное поле.

В свою очередь, полевая зависимость подвижности (24), (25) понимается как проявление соответствующей зависимости подвижности от электронной температуры 7 .

Экспериментально установлено десятикратное увеличение максимальной дрейфовой скорости электронов в сильных электрических полях в гетероструктуре AlGaAs/GaAs с введенными барьерами в виде квантовых точек InAs в квантовой яме GaAs в сравнении с дрейфовой скоростью насыщения в объемном GaAs [4]. Однако расчетное значение максимальной дрейфовой скорости V, в два раза меньше экспериментального значения. При этом максимальная дрейфовая скорость оценивается как

-1/2

vs = >1/2, (26)

где

у0р! 2Йюд/те . (27)

Эффект (27) лимитирует рост дрейфовой скорости электрона. Для гетероструктурно-го транзистора получена формула нового максимального значения дрейфовой скорости

электр°на [4]: утах = (1 + ¿0р1 /12).

Используя выражение (22) для вычисления энергии оптического фонона, получим

>t =V(6kTlme )V(l + N2/"2 )2 (3 + NV4 ) . (28)

На основании условия (15)

N/щ = V/rk . (29)

Экспериментальное значение максимальной дрейфовой скорости равно 2 -108 см/с. Учтя, что расчетное значение скорости в два раза меньше экспериментального, а также

Г% /о

приняв Rylrk = L0pt/lx , получим L0pt /lx = 4. В результате с учетом выражений (26), (28) и (29) получим расчетную формулу

vmax = v0pt/2 = 0.^(6kT/mQ ) V(1 + 4п2 )2 (3 + 4n 2 ) ,

которая дает vmax = 1.34-108 см/с при T = 300 K и vmax = 1.55-108 см/с при T = 400 K,

что гораздо ближе к экспериментальному значению. Логично предполагать, что температура носителей для гетероструктурного транзистора на квантовых точках значительно больше, чем T = 400 K . В этом случае предлагаемые подходы для расчета максимальной дрейфовой скорости могут дать результаты, точно совпадающие с экспериментальными данными.

Библиографический список

1. Слуцкер А. И. Атомный уровень флуктуационного механизма разрушения твердых тел // ФТТ. 2005. Т. 47, № 5. С. 777-787.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике М.: Наука, 1978. 831 с.

3. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы М.: Наука, 1978. 224 с.

4. Пожела Ю. К., Мокеров В. Г. Большое повышение максимальной дрейфовой скорости электронов в канале полевого гетеротранзистора // ФТП. 2006. Т. 40, № 3. С. 362-366.

5. Шкилев В. П. Модель аномального стохастического переноса // ЖЭТФ. 2005. Т. 128, № 3(9). С. 655-661.

A. S. Plakhotnik

Pacific Ocean navy institute named after S. O. Makarov

Calculation of the kinetic coefficients for fluctuation electron in semiconductor

Decision equation of motion for fluctuation electron has been realized. Complex model interaction of electron with crystalline grating hard solid has been made. Design kinetic coefficients the fluctuation electron have been assignment. Drift velocity of electron in the transistor on quantum dot has been analyzed.

Fluctuation electron, crystalline grating, kinetic coefficients

Статья поступила в редакцию 2 июня 2007 г.